\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 54}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=54}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0054}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6997, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (11.376,8.561) -- (11.281,8.305) -- (11.193,8.046) -- (11.11,7.785) -- (11.034,7.522) -- (10.964,7.257) -- (10.9,6.991) -- (10.843,6.724) -- (10.792,6.455) -- (10.747,6.185) -- (10.708,5.913) -- (10.676,5.642) -- (10.65,5.369) -- (10.631,5.096) -- (10.618,4.823) -- (10.71,4.583) -- (10.795,4.34) -- (10.875,4.096) -- (10.949,3.85) -- (11.017,3.602) -- (11.079,3.352) -- (11.136,3.101) -- (11.186,2.849) -- (11.231,2.595) -- (11.27,2.341) -- (11.302,2.086) -- (11.329,1.83) -- (11.349,1.574) -- (11.364,1.317);
\draw[line width=0.5pt] (7.583,7.702) -- (7.663,7.543) -- (7.739,7.382) -- (7.811,7.219) -- (7.879,7.055) -- (7.944,6.889) -- (8.004,6.721) -- (8.061,6.552) -- (8.113,6.382) -- (8.162,6.211) -- (8.206,6.039) -- (8.247,5.865) -- (8.283,5.691) -- (8.315,5.516) -- (8.344,5.34);
\draw[line width=0.5pt] (7.583,7.702) -- (7.329,7.545) -- (7.079,7.383) -- (6.833,7.215) -- (6.591,7.04) -- (6.353,6.861) -- (6.119,6.675) -- (5.889,6.484) -- (5.664,6.288) -- (5.444,6.087) -- (5.229,5.881) -- (5.018,5.669) -- (4.813,5.453) -- (4.612,5.232) -- (4.418,5.006);
\draw[line width=0.5pt] (1.631,7.536) -- (1.856,7.387) -- (2.078,7.233) -- (2.296,7.074) -- (2.51,6.909) -- (2.72,6.74) -- (2.926,6.565) -- (3.129,6.386) -- (3.327,6.202) -- (3.52,6.014) -- (3.709,5.821) -- (3.893,5.623) -- (4.073,5.422) -- (4.248,5.216) -- (4.418,5.006);
\draw[line width=0.5pt] (1.631,7.536) -- (1.579,7.322) -- (1.533,7.107) -- (1.491,6.89) -- (1.455,6.673) -- (1.424,6.455) -- (1.398,6.236) -- (1.377,6.017) -- (1.361,5.797) -- (1.351,5.576) -- (1.345,5.356) -- (1.345,5.136) -- (1.35,4.915) -- (1.36,4.695) -- (1.376,4.476);
\draw[line width=0.5pt] (8.344,5.34) -- (8.069,5.274) -- (7.793,5.214) -- (7.515,5.16) -- (7.237,5.113) -- (6.957,5.073) -- (6.676,5.039) -- (6.394,5.011) -- (6.112,4.991) -- (5.83,4.977) -- (5.547,4.969) -- (5.264,4.968) -- (4.982,4.974) -- (4.7,4.987) -- (4.418,5.006);
\draw[line width=0.5pt] (4.418,5.006) -- (4.196,5.002) -- (3.975,4.992) -- (3.754,4.978) -- (3.533,4.958) -- (3.313,4.932) -- (3.094,4.902) -- (2.875,4.866) -- (2.657,4.826) -- (2.44,4.78) -- (2.224,4.729) -- (2.01,4.673) -- (1.797,4.613) -- (1.585,4.547) -- (1.376,4.476);
\draw[line width=0.5pt] (4.418,5.006) -- (4.645,4.862) -- (4.868,4.712) -- (5.088,4.557) -- (5.304,4.396) -- (5.516,4.231) -- (5.725,4.061) -- (5.929,3.885) -- (6.13,3.705) -- (6.326,3.521) -- (6.517,3.332) -- (6.704,3.138) -- (6.886,2.94) -- (7.064,2.738) -- (7.237,2.532) -- (7.516,2.401) -- (7.798,2.276) -- (8.083,2.158) -- (8.371,2.047) -- (8.662,1.942) -- (8.955,1.845) -- (9.25,1.754) -- (9.547,1.671) -- (9.847,1.594) -- (10.147,1.524) -- (10.45,1.462) -- (10.753,1.406) -- (11.058,1.358) -- (11.364,1.317);
\draw[line width=0.5pt] (1.376,4.476) -- (1.369,4.322) -- (1.367,4.168) -- (1.368,4.014) -- (1.373,3.861) -- (1.381,3.707) -- (1.393,3.553) -- (1.409,3.4) -- (1.428,3.247) -- (1.451,3.095) -- (1.477,2.944) -- (1.507,2.793) -- (1.541,2.642) -- (1.578,2.493) -- (1.618,2.345);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.536,8.561) -- (11.514,8.641) -- (11.456,8.7) -- (11.376,8.721) -- (11.296,8.7) -- (11.237,8.641) -- (11.216,8.561) -- (11.237,8.481) -- (11.296,8.423) -- (11.376,8.401) -- (11.456,8.423) -- (11.514,8.481) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.743,7.702) -- (7.722,7.782) -- (7.663,7.84) -- (7.583,7.862) -- (7.503,7.84) -- (7.445,7.782) -- (7.423,7.702) -- (7.445,7.622) -- (7.503,7.563) -- (7.583,7.542) -- (7.663,7.563) -- (7.722,7.622) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.791,7.536) -- (1.769,7.616) -- (1.711,7.675) -- (1.631,7.696) -- (1.551,7.675) -- (1.492,7.616) -- (1.471,7.536) -- (1.492,7.456) -- (1.551,7.398) -- (1.631,7.376) -- (1.711,7.398) -- (1.769,7.456) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.504,5.34) -- (8.482,5.42) -- (8.424,5.479) -- (8.344,5.5) -- (8.264,5.479) -- (8.205,5.42) -- (8.184,5.34) -- (8.205,5.26) -- (8.264,5.202) -- (8.344,5.18) -- (8.424,5.202) -- (8.482,5.26) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.578,5.006) -- (4.556,5.086) -- (4.498,5.145) -- (4.418,5.166) -- (4.338,5.145) -- (4.279,5.086) -- (4.258,5.006) -- (4.279,4.926) -- (4.338,4.868) -- (4.418,4.846) -- (4.498,4.868) -- (4.556,4.926) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.536,4.476) -- (1.514,4.556) -- (1.456,4.614) -- (1.376,4.636) -- (1.296,4.614) -- (1.237,4.556) -- (1.216,4.476) -- (1.237,4.396) -- (1.296,4.337) -- (1.376,4.316) -- (1.456,4.337) -- (1.514,4.396) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.778,2.345) -- (1.757,2.425) -- (1.698,2.483) -- (1.618,2.505) -- (1.538,2.483) -- (1.48,2.425) -- (1.458,2.345) -- (1.48,2.265) -- (1.538,2.206) -- (1.618,2.185) -- (1.698,2.206) -- (1.757,2.265) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.524,1.317) -- (11.502,1.397) -- (11.444,1.456) -- (11.364,1.477) -- (11.284,1.456) -- (11.225,1.397) -- (11.204,1.317) -- (11.225,1.237) -- (11.284,1.179) -- (11.364,1.157) -- (11.444,1.179) -- (11.502,1.237) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.275,4.872) -- (11.229,5.042) -- (11.105,5.166) -- (10.935,5.212) -- (10.765,5.166) -- (10.64,5.042) -- (10.595,4.872) -- (10.64,4.702) -- (10.765,4.577) -- (10.935,4.532) -- (11.105,4.577) -- (11.229,4.702) -- cycle;
\node at (10.935,4.872) {\scalebox{1.429}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.705,6.65) -- (8.66,6.82) -- (8.535,6.945) -- (8.365,6.99) -- (8.195,6.945) -- (8.071,6.82) -- (8.025,6.65) -- (8.071,6.48) -- (8.195,6.356) -- (8.365,6.31) -- (8.535,6.356) -- (8.66,6.48) -- cycle;
\node at (8.365,6.65) {\scalebox{1.429}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.437,6.241) -- (6.391,6.411) -- (6.267,6.535) -- (6.097,6.581) -- (5.927,6.535) -- (5.802,6.411) -- (5.757,6.241) -- (5.802,6.071) -- (5.927,5.946) -- (6.097,5.901) -- (6.267,5.946) -- (6.391,6.071) -- cycle;
\node at (6.097,6.241) {\scalebox{1.429}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.684,6.623) -- (3.638,6.793) -- (3.514,6.918) -- (3.344,6.963) -- (3.174,6.918) -- (3.049,6.793) -- (3.004,6.623) -- (3.049,6.453) -- (3.174,6.329) -- (3.344,6.283) -- (3.514,6.329) -- (3.638,6.453) -- cycle;
\node at (3.344,6.623) {\scalebox{1.429}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.036,5.99) -- (1.99,6.16) -- (1.866,6.284) -- (1.696,6.33) -- (1.526,6.284) -- (1.401,6.16) -- (1.356,5.99) -- (1.401,5.82) -- (1.526,5.695) -- (1.696,5.65) -- (1.866,5.695) -- (1.99,5.82) -- cycle;
\node at (1.696,5.99) {\scalebox{1.429}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.762,4.693) -- (6.716,4.863) -- (6.592,4.987) -- (6.422,5.033) -- (6.252,4.987) -- (6.127,4.863) -- (6.082,4.693) -- (6.127,4.523) -- (6.252,4.398) -- (6.422,4.353) -- (6.592,4.398) -- (6.716,4.523) -- cycle;
\node at (6.422,4.693) {\scalebox{1.429}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.27,4.551) -- (3.224,4.721) -- (3.1,4.846) -- (2.93,4.891) -- (2.76,4.846) -- (2.635,4.721) -- (2.59,4.551) -- (2.635,4.381) -- (2.76,4.257) -- (2.93,4.211) -- (3.1,4.257) -- (3.224,4.381) -- cycle;
\node at (2.93,4.551) {\scalebox{1.429}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.768,2.788) -- (7.723,2.958) -- (7.598,3.083) -- (7.428,3.128) -- (7.258,3.083) -- (7.134,2.958) -- (7.088,2.788) -- (7.134,2.618) -- (7.258,2.494) -- (7.428,2.448) -- (7.598,2.494) -- (7.723,2.618) -- cycle;
\node at (7.428,2.788) {\scalebox{1.429}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.067,3.436) -- (2.021,3.606) -- (1.897,3.731) -- (1.727,3.776) -- (1.557,3.731) -- (1.433,3.606) -- (1.387,3.436) -- (1.433,3.266) -- (1.557,3.142) -- (1.727,3.096) -- (1.897,3.142) -- (2.021,3.266) -- cycle;
\node at (1.727,3.436) {\scalebox{1.429}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (1.318,2.045) -- (1.918,2.045) -- (1.918,2.645) -- (1.318,2.645) -- cycle;
\node at (1.618,2.345) {\scalebox{1.429}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (11.959,4.526) -- (12.559,4.526) -- (12.559,5.126) -- (11.959,5.126) -- cycle;
\node at (12.259,4.826) {\scalebox{1.429}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (2.26,7.067) -- (2.86,7.067) -- (2.86,7.667) -- (2.26,7.667) -- cycle;
\node at (2.56,7.367) {\scalebox{1.429}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (6.141,4.163) -- (6.741,4.163) -- (6.741,4.763) -- (6.141,4.763) -- cycle;
\node at (6.441,4.463) {\scalebox{1.429}{\small d}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (6.32,6.8) -- (6.92,6.8) -- (6.92,7.4) -- (6.32,7.4) -- cycle;
\node at (6.62,7.1) {\scalebox{1.429}{\small e}};
\node at (11.906,8.883) {\scalebox{1.429}{\small A}};
\node at (7.928,8.217) {\scalebox{1.429}{\small B}};
\node at (1.081,7.822) {\scalebox{1.429}{\small C}};
\node at (8.963,5.355) {\scalebox{1.429}{\small D}};
\node at (3.808,4.896) {\scalebox{1.429}{\small E}};
\node at (0.765,4.368) {\scalebox{1.429}{\small F}};
\node at (1.105,1.997) {\scalebox{1.429}{\small G}};
\node at (11.863,0.95) {\scalebox{1.429}{\small H}};
\draw[line width=0.5pt] (12.676,7.611) -- (12.676,8.711);
\draw[line width=0.5pt] (12.445,8.326) -- (12.676,8.711) -- (12.907,8.326);
\draw[line width=0.5pt] (12.373,8.161) -- (12.978,8.161);
\node at (12.676,9.096) {\scalebox{1.429}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① impasse du Vieux-Four & ⑥ rue du Pont & Ⓐ Place du Vieux-Puits & \textbf{a} la poste \\ \hline
② allée des Tilleuls & ⑦ rue des Lilas & Ⓑ Place de l'Église & \textbf{b} la mairie \\ \hline
③ rue Haute & ⑧ rue du Four & Ⓒ Place Sainte-Croix & \textbf{c} l'église \\ \hline
④ chemin de Ronde & ⑨ impasse des Roses & Ⓓ Place du Marché & \textbf{d} la bibliothèque \\ \hline
⑤ rue de la Mairie &  & Ⓔ Rond-point de la Poste & \textbf{e} le gymnase \\ \hline
 &  & Ⓕ Carrefour de la Mairie &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Coin du Lavoir &  \\ \hline
 &  & Ⓗ Fontaine Notre-Dame &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.626, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (11.376,8.561) -- (11.281,8.305) -- (11.193,8.046) -- (11.11,7.785) -- (11.034,7.522) -- (10.964,7.257) -- (10.9,6.991) -- (10.843,6.724) -- (10.792,6.455) -- (10.747,6.185) -- (10.708,5.913) -- (10.676,5.642) -- (10.65,5.369) -- (10.631,5.096) -- (10.618,4.823) -- (10.71,4.583) -- (10.795,4.34) -- (10.875,4.096) -- (10.949,3.85) -- (11.017,3.602) -- (11.079,3.352) -- (11.136,3.101) -- (11.186,2.849) -- (11.231,2.595) -- (11.27,2.341) -- (11.302,2.086) -- (11.329,1.83) -- (11.349,1.574) -- (11.364,1.317);
\draw[line width=0.5pt] (7.583,7.702) -- (7.663,7.543) -- (7.739,7.382) -- (7.811,7.219) -- (7.879,7.055) -- (7.944,6.889) -- (8.004,6.721) -- (8.061,6.552) -- (8.113,6.382) -- (8.162,6.211) -- (8.206,6.039) -- (8.247,5.865) -- (8.283,5.691) -- (8.315,5.516) -- (8.344,5.34);
\draw[line width=0.5pt] (7.583,7.702) -- (7.329,7.545) -- (7.079,7.383) -- (6.833,7.215) -- (6.591,7.04) -- (6.353,6.861) -- (6.119,6.675) -- (5.889,6.484) -- (5.664,6.288) -- (5.444,6.087) -- (5.229,5.881) -- (5.018,5.669) -- (4.813,5.453) -- (4.612,5.232) -- (4.418,5.006);
\draw[line width=0.5pt] (1.631,7.536) -- (1.856,7.387) -- (2.078,7.233) -- (2.296,7.074) -- (2.51,6.909) -- (2.72,6.74) -- (2.926,6.565) -- (3.129,6.386) -- (3.327,6.202) -- (3.52,6.014) -- (3.709,5.821) -- (3.893,5.623) -- (4.073,5.422) -- (4.248,5.216) -- (4.418,5.006);
\draw[line width=0.5pt] (1.631,7.536) -- (1.579,7.322) -- (1.533,7.107) -- (1.491,6.89) -- (1.455,6.673) -- (1.424,6.455) -- (1.398,6.236) -- (1.377,6.017) -- (1.361,5.797) -- (1.351,5.576) -- (1.345,5.356) -- (1.345,5.136) -- (1.35,4.915) -- (1.36,4.695) -- (1.376,4.476);
\draw[line width=0.5pt] (8.344,5.34) -- (8.069,5.274) -- (7.793,5.214) -- (7.515,5.16) -- (7.237,5.113) -- (6.957,5.073) -- (6.676,5.039) -- (6.394,5.011) -- (6.112,4.991) -- (5.83,4.977) -- (5.547,4.969) -- (5.264,4.968) -- (4.982,4.974) -- (4.7,4.987) -- (4.418,5.006);
\draw[line width=0.5pt] (4.418,5.006) -- (4.196,5.002) -- (3.975,4.992) -- (3.754,4.978) -- (3.533,4.958) -- (3.313,4.932) -- (3.094,4.902) -- (2.875,4.866) -- (2.657,4.826) -- (2.44,4.78) -- (2.224,4.729) -- (2.01,4.673) -- (1.797,4.613) -- (1.585,4.547) -- (1.376,4.476);
\draw[line width=0.5pt] (4.418,5.006) -- (4.645,4.862) -- (4.868,4.712) -- (5.088,4.557) -- (5.304,4.396) -- (5.516,4.231) -- (5.725,4.061) -- (5.929,3.885) -- (6.13,3.705) -- (6.326,3.521) -- (6.517,3.332) -- (6.704,3.138) -- (6.886,2.94) -- (7.064,2.738) -- (7.237,2.532) -- (7.516,2.401) -- (7.798,2.276) -- (8.083,2.158) -- (8.371,2.047) -- (8.662,1.942) -- (8.955,1.845) -- (9.25,1.754) -- (9.547,1.671) -- (9.847,1.594) -- (10.147,1.524) -- (10.45,1.462) -- (10.753,1.406) -- (11.058,1.358) -- (11.364,1.317);
\draw[line width=0.5pt] (1.376,4.476) -- (1.369,4.322) -- (1.367,4.168) -- (1.368,4.014) -- (1.373,3.861) -- (1.381,3.707) -- (1.393,3.553) -- (1.409,3.4) -- (1.428,3.247) -- (1.451,3.095) -- (1.477,2.944) -- (1.507,2.793) -- (1.541,2.642) -- (1.578,2.493) -- (1.618,2.345);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.536,8.561) -- (11.514,8.641) -- (11.456,8.7) -- (11.376,8.721) -- (11.296,8.7) -- (11.237,8.641) -- (11.216,8.561) -- (11.237,8.481) -- (11.296,8.423) -- (11.376,8.401) -- (11.456,8.423) -- (11.514,8.481) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.743,7.702) -- (7.722,7.782) -- (7.663,7.84) -- (7.583,7.862) -- (7.503,7.84) -- (7.445,7.782) -- (7.423,7.702) -- (7.445,7.622) -- (7.503,7.563) -- (7.583,7.542) -- (7.663,7.563) -- (7.722,7.622) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.791,7.536) -- (1.769,7.616) -- (1.711,7.675) -- (1.631,7.696) -- (1.551,7.675) -- (1.492,7.616) -- (1.471,7.536) -- (1.492,7.456) -- (1.551,7.398) -- (1.631,7.376) -- (1.711,7.398) -- (1.769,7.456) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.504,5.34) -- (8.482,5.42) -- (8.424,5.479) -- (8.344,5.5) -- (8.264,5.479) -- (8.205,5.42) -- (8.184,5.34) -- (8.205,5.26) -- (8.264,5.202) -- (8.344,5.18) -- (8.424,5.202) -- (8.482,5.26) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.578,5.006) -- (4.556,5.086) -- (4.498,5.145) -- (4.418,5.166) -- (4.338,5.145) -- (4.279,5.086) -- (4.258,5.006) -- (4.279,4.926) -- (4.338,4.868) -- (4.418,4.846) -- (4.498,4.868) -- (4.556,4.926) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.536,4.476) -- (1.514,4.556) -- (1.456,4.614) -- (1.376,4.636) -- (1.296,4.614) -- (1.237,4.556) -- (1.216,4.476) -- (1.237,4.396) -- (1.296,4.337) -- (1.376,4.316) -- (1.456,4.337) -- (1.514,4.396) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.778,2.345) -- (1.757,2.425) -- (1.698,2.483) -- (1.618,2.505) -- (1.538,2.483) -- (1.48,2.425) -- (1.458,2.345) -- (1.48,2.265) -- (1.538,2.206) -- (1.618,2.185) -- (1.698,2.206) -- (1.757,2.265) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.524,1.317) -- (11.502,1.397) -- (11.444,1.456) -- (11.364,1.477) -- (11.284,1.456) -- (11.225,1.397) -- (11.204,1.317) -- (11.225,1.237) -- (11.284,1.179) -- (11.364,1.157) -- (11.444,1.179) -- (11.502,1.237) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.275,4.872) -- (11.229,5.042) -- (11.105,5.166) -- (10.935,5.212) -- (10.765,5.166) -- (10.64,5.042) -- (10.595,4.872) -- (10.64,4.702) -- (10.765,4.577) -- (10.935,4.532) -- (11.105,4.577) -- (11.229,4.702) -- cycle;
\node at (10.935,4.872) {\scalebox{1.597}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.705,6.65) -- (8.66,6.82) -- (8.535,6.945) -- (8.365,6.99) -- (8.195,6.945) -- (8.071,6.82) -- (8.025,6.65) -- (8.071,6.48) -- (8.195,6.356) -- (8.365,6.31) -- (8.535,6.356) -- (8.66,6.48) -- cycle;
\node at (8.365,6.65) {\scalebox{1.597}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.437,6.241) -- (6.391,6.411) -- (6.267,6.535) -- (6.097,6.581) -- (5.927,6.535) -- (5.802,6.411) -- (5.757,6.241) -- (5.802,6.071) -- (5.927,5.946) -- (6.097,5.901) -- (6.267,5.946) -- (6.391,6.071) -- cycle;
\node at (6.097,6.241) {\scalebox{1.597}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.684,6.623) -- (3.638,6.793) -- (3.514,6.918) -- (3.344,6.963) -- (3.174,6.918) -- (3.049,6.793) -- (3.004,6.623) -- (3.049,6.453) -- (3.174,6.329) -- (3.344,6.283) -- (3.514,6.329) -- (3.638,6.453) -- cycle;
\node at (3.344,6.623) {\scalebox{1.597}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.036,5.99) -- (1.99,6.16) -- (1.866,6.284) -- (1.696,6.33) -- (1.526,6.284) -- (1.401,6.16) -- (1.356,5.99) -- (1.401,5.82) -- (1.526,5.695) -- (1.696,5.65) -- (1.866,5.695) -- (1.99,5.82) -- cycle;
\node at (1.696,5.99) {\scalebox{1.597}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.762,4.693) -- (6.716,4.863) -- (6.592,4.987) -- (6.422,5.033) -- (6.252,4.987) -- (6.127,4.863) -- (6.082,4.693) -- (6.127,4.523) -- (6.252,4.398) -- (6.422,4.353) -- (6.592,4.398) -- (6.716,4.523) -- cycle;
\node at (6.422,4.693) {\scalebox{1.597}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.27,4.551) -- (3.224,4.721) -- (3.1,4.846) -- (2.93,4.891) -- (2.76,4.846) -- (2.635,4.721) -- (2.59,4.551) -- (2.635,4.381) -- (2.76,4.257) -- (2.93,4.211) -- (3.1,4.257) -- (3.224,4.381) -- cycle;
\node at (2.93,4.551) {\scalebox{1.597}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.768,2.788) -- (7.723,2.958) -- (7.598,3.083) -- (7.428,3.128) -- (7.258,3.083) -- (7.134,2.958) -- (7.088,2.788) -- (7.134,2.618) -- (7.258,2.494) -- (7.428,2.448) -- (7.598,2.494) -- (7.723,2.618) -- cycle;
\node at (7.428,2.788) {\scalebox{1.597}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.067,3.436) -- (2.021,3.606) -- (1.897,3.731) -- (1.727,3.776) -- (1.557,3.731) -- (1.433,3.606) -- (1.387,3.436) -- (1.433,3.266) -- (1.557,3.142) -- (1.727,3.096) -- (1.897,3.142) -- (2.021,3.266) -- cycle;
\node at (1.727,3.436) {\scalebox{1.597}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (1.318,2.045) -- (1.918,2.045) -- (1.918,2.645) -- (1.318,2.645) -- cycle;
\node at (1.618,2.345) {\scalebox{1.597}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (11.959,4.526) -- (12.559,4.526) -- (12.559,5.126) -- (11.959,5.126) -- cycle;
\node at (12.259,4.826) {\scalebox{1.597}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (2.26,7.067) -- (2.86,7.067) -- (2.86,7.667) -- (2.26,7.667) -- cycle;
\node at (2.56,7.367) {\scalebox{1.597}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (6.141,4.163) -- (6.741,4.163) -- (6.741,4.763) -- (6.141,4.763) -- cycle;
\node at (6.441,4.463) {\scalebox{1.597}{\small d}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (6.32,6.8) -- (6.92,6.8) -- (6.92,7.4) -- (6.32,7.4) -- cycle;
\node at (6.62,7.1) {\scalebox{1.597}{\small e}};
\node at (11.906,8.883) {\scalebox{1.597}{\small A}};
\node at (7.928,8.217) {\scalebox{1.597}{\small B}};
\node at (1.081,7.822) {\scalebox{1.597}{\small C}};
\node at (8.963,5.355) {\scalebox{1.597}{\small D}};
\node at (3.808,4.896) {\scalebox{1.597}{\small E}};
\node at (0.765,4.368) {\scalebox{1.597}{\small F}};
\node at (1.105,1.997) {\scalebox{1.597}{\small G}};
\node at (11.863,0.95) {\scalebox{1.597}{\small H}};
\draw[line width=0.5pt] (12.676,7.611) -- (12.676,8.711);
\draw[line width=0.5pt] (12.445,8.326) -- (12.676,8.711) -- (12.907,8.326);
\draw[line width=0.5pt] (12.373,8.161) -- (12.978,8.161);
\node at (12.676,9.096) {\scalebox{1.597}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G & \cellcolor{blue!7}\bfseries H \\ \hline
Nombre de rues & 1 & 2 & 2 & 2 & 5 & 3 & 1 & 2 \\ \hline
Parité & \textbf{impair} & pair & pair & pair & \textbf{impair} & \textbf{impair} & \textbf{impair} & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 18 = 2 \(\times\) 9, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{A}, \textbf{E}, \textbf{F}, \textbf{G} — il y en a 4.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{G}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Le quartier compte \textbf{4 carrefours impairs} (A, E, F, G).}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Chacun d'eux exigerait d'être un départ ou une arrivée. Une tournée n'a qu'un départ et qu'une arrivée : au moins 2 d'entre eux resteraient sans solution.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non plus.} Où que l'on installe la poste, il reste 4 carrefours impairs, et une tournée n'en tolère que deux : un pour partir, un pour arriver.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}C'est la différence avec un quartier à deux carrefours impairs, où déplacer la poste suffisait. Ici, le problème ne vient pas du point de départ mais du plan lui-même.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Combien de rues en double, au minimum ?} Il faut apparier les carrefours impairs deux à deux, ce qui demande 1 passage(s) supplémentaire(s) au mieux pour une tournée ouverte, un de plus pour revenir à la poste. C'est le « problème du postier chinois », étudié bien après Euler.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À remarquer.} Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
