\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 57}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=57}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0057}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6971, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (7.974,11.123) -- (8.189,11.085) -- (8.405,11.052) -- (8.623,11.024) -- (8.84,11.001) -- (9.059,10.983) -- (9.277,10.97) -- (9.496,10.963) -- (9.715,10.961) -- (9.935,10.963) -- (10.153,10.971) -- (10.372,10.984) -- (10.59,11.003) -- (10.808,11.026) -- (11.025,11.055);
\draw[line width=0.5pt] (7.974,11.123) -- (7.819,10.886) -- (7.659,10.653) -- (7.494,10.424) -- (7.323,10.199) -- (7.147,9.977) -- (6.965,9.76) -- (6.779,9.547) -- (6.587,9.339) -- (6.391,9.135) -- (6.19,8.936) -- (5.985,8.742) -- (5.775,8.553) -- (5.561,8.368) -- (5.342,8.189);
\draw[line width=0.5pt] (7.974,11.123) -- (8.179,10.832) -- (8.391,10.546) -- (8.611,10.264) -- (8.836,9.988) -- (9.069,9.718) -- (9.307,9.453) -- (9.552,9.193) -- (9.803,8.939) -- (10.059,8.692) -- (10.322,8.45) -- (10.59,8.215) -- (10.863,7.986) -- (11.141,7.763) -- (11.425,7.548);
\draw[line width=0.5pt] (7.974,11.123) -- (8.044,10.894) -- (8.109,10.664) -- (8.169,10.431) -- (8.223,10.198) -- (8.271,9.963) -- (8.314,9.728) -- (8.352,9.491) -- (8.384,9.253) -- (8.41,9.015) -- (8.431,8.776) -- (8.446,8.537) -- (8.455,8.298) -- (8.459,8.058) -- (8.457,7.819) -- (8.419,7.623) -- (8.385,7.426) -- (8.356,7.228) -- (8.332,7.029) -- (8.312,6.83) -- (8.297,6.631) -- (8.287,6.431) -- (8.281,6.231) -- (8.28,6.031) -- (8.284,5.831) -- (8.292,5.631) -- (8.306,5.432) -- (8.324,5.232) -- (8.346,5.034);
\draw[line width=0.5pt] (11.025,11.055) -- (11.015,10.802) -- (11.011,10.549) -- (11.013,10.295) -- (11.021,10.042) -- (11.035,9.789) -- (11.055,9.537) -- (11.08,9.285) -- (11.112,9.033) -- (11.15,8.783) -- (11.193,8.533) -- (11.242,8.285) -- (11.298,8.038) -- (11.358,7.792) -- (11.425,7.548);
\draw[line width=0.5pt] (5.269,10.848) -- (5.304,10.661) -- (5.333,10.472) -- (5.359,10.283) -- (5.38,10.093) -- (5.396,9.903) -- (5.408,9.713) -- (5.415,9.522) -- (5.418,9.331) -- (5.417,9.14) -- (5.411,8.949) -- (5.4,8.759) -- (5.385,8.568) -- (5.366,8.378) -- (5.342,8.189);
\draw[line width=0.5pt] (5.342,8.189) -- (5.093,8.007) -- (4.848,7.819) -- (4.607,7.625) -- (4.372,7.425) -- (4.14,7.22) -- (3.914,7.009) -- (3.693,6.793) -- (3.477,6.572) -- (3.266,6.346) -- (3.06,6.115) -- (2.86,5.879) -- (2.666,5.639) -- (2.478,5.394) -- (2.295,5.145);
\draw[line width=0.5pt] (5.342,8.189) -- (5.352,7.965) -- (5.356,7.741) -- (5.355,7.516) -- (5.349,7.291) -- (5.337,7.067) -- (5.321,6.843) -- (5.298,6.619) -- (5.271,6.396) -- (5.239,6.174) -- (5.201,5.952) -- (5.158,5.732) -- (5.11,5.513) -- (5.057,5.294) -- (4.998,5.078);
\draw[line width=0.5pt] (5.342,8.189) -- (5.52,7.933) -- (5.705,7.681) -- (5.895,7.433) -- (6.091,7.189) -- (6.293,6.951) -- (6.501,6.717) -- (6.714,6.488) -- (6.932,6.264) -- (7.156,6.045) -- (7.384,5.831) -- (7.618,5.624) -- (7.856,5.421) -- (8.099,5.225) -- (8.346,5.034);
\draw[line width=0.5pt] (11.425,7.548) -- (11.391,7.39) -- (11.353,7.233) -- (11.312,7.077) -- (11.267,6.922) -- (11.218,6.768) -- (11.166,6.615) -- (11.11,6.463) -- (11.05,6.313) -- (10.987,6.164) -- (10.921,6.017) -- (10.851,5.871) -- (10.778,5.727) -- (10.701,5.585) -- (10.621,5.445);
\draw[line width=0.5pt] (11.425,7.548) -- (11.179,7.403) -- (10.937,7.253) -- (10.699,7.097) -- (10.463,6.935) -- (10.232,6.768) -- (10.005,6.596) -- (9.782,6.418) -- (9.563,6.235) -- (9.349,6.047) -- (9.139,5.854) -- (8.933,5.656) -- (8.733,5.453) -- (8.537,5.246) -- (8.346,5.034);
\draw[line width=0.5pt] (10.621,5.445) -- (10.464,5.391) -- (10.306,5.341) -- (10.147,5.294) -- (9.987,5.251) -- (9.826,5.212) -- (9.663,5.177) -- (9.501,5.146) -- (9.337,5.118) -- (9.173,5.094) -- (9.008,5.074) -- (8.843,5.058) -- (8.677,5.046) -- (8.512,5.038) -- (8.346,5.034);
\draw[line width=0.5pt] (2.295,5.145) -- (2.475,4.856) -- (2.662,4.572) -- (2.856,4.292) -- (3.057,4.017) -- (3.264,3.746) -- (3.477,3.48) -- (3.697,3.22) -- (3.922,2.964) -- (4.154,2.714) -- (4.391,2.47) -- (4.634,2.231) -- (4.882,1.998) -- (5.136,1.771) -- (5.395,1.55);
\draw[line width=0.5pt] (2.295,5.145) -- (2.487,5.17) -- (2.68,5.19) -- (2.873,5.206) -- (3.067,5.217) -- (3.261,5.224) -- (3.455,5.226) -- (3.649,5.223) -- (3.843,5.216) -- (4.037,5.204) -- (4.23,5.188) -- (4.423,5.167) -- (4.616,5.142) -- (4.807,5.112) -- (4.998,5.078);
\draw[line width=0.5pt] (2.295,5.145) -- (2.207,4.981) -- (2.122,4.815) -- (2.041,4.647) -- (1.965,4.478) -- (1.892,4.306) -- (1.824,4.133) -- (1.759,3.958) -- (1.699,3.782) -- (1.643,3.604) -- (1.591,3.425) -- (1.543,3.245) -- (1.499,3.064) -- (1.46,2.882) -- (1.425,2.699);
\draw[line width=0.5pt] (4.998,5.078) -- (5.065,4.832) -- (5.126,4.585) -- (5.181,4.336) -- (5.23,4.086) -- (5.273,3.835) -- (5.311,3.583) -- (5.342,3.33) -- (5.368,3.077) -- (5.387,2.823) -- (5.401,2.568) -- (5.409,2.314) -- (5.41,2.059) -- (5.406,1.804) -- (5.395,1.55);
\draw[line width=0.5pt] (4.998,5.078) -- (5.235,5.038) -- (5.473,5.004) -- (5.711,4.975) -- (5.95,4.952) -- (6.19,4.935) -- (6.43,4.924) -- (6.67,4.918) -- (6.911,4.917) -- (7.151,4.923) -- (7.391,4.934) -- (7.631,4.95) -- (7.87,4.972) -- (8.108,5.0) -- (8.346,5.034);
\draw[line width=0.5pt] (8.346,5.034) -- (8.175,4.755) -- (7.998,4.48) -- (7.813,4.209) -- (7.623,3.942) -- (7.426,3.68) -- (7.223,3.423) -- (7.014,3.17) -- (6.8,2.923) -- (6.579,2.68) -- (6.353,2.443) -- (6.122,2.211) -- (5.885,1.985) -- (5.643,1.765) -- (5.395,1.55);
\draw[line width=0.5pt] (1.425,2.699) -- (1.694,2.574) -- (1.966,2.455) -- (2.24,2.343) -- (2.517,2.238) -- (2.797,2.139) -- (3.079,2.046) -- (3.363,1.961) -- (3.649,1.881) -- (3.936,1.809) -- (4.226,1.743) -- (4.516,1.685) -- (4.808,1.633) -- (5.101,1.588) -- (5.395,1.55);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.134,11.123) -- (8.112,11.203) -- (8.054,11.261) -- (7.974,11.283) -- (7.894,11.261) -- (7.835,11.203) -- (7.814,11.123) -- (7.835,11.043) -- (7.894,10.984) -- (7.974,10.963) -- (8.054,10.984) -- (8.112,11.043) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.185,11.055) -- (11.163,11.135) -- (11.105,11.193) -- (11.025,11.215) -- (10.945,11.193) -- (10.886,11.135) -- (10.865,11.055) -- (10.886,10.975) -- (10.945,10.916) -- (11.025,10.895) -- (11.105,10.916) -- (11.163,10.975) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.429,10.848) -- (5.408,10.928) -- (5.349,10.987) -- (5.269,11.008) -- (5.189,10.987) -- (5.131,10.928) -- (5.109,10.848) -- (5.131,10.768) -- (5.189,10.71) -- (5.269,10.688) -- (5.349,10.71) -- (5.408,10.768) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.502,8.189) -- (5.481,8.269) -- (5.422,8.328) -- (5.342,8.349) -- (5.262,8.328) -- (5.203,8.269) -- (5.182,8.189) -- (5.203,8.109) -- (5.262,8.051) -- (5.342,8.029) -- (5.422,8.051) -- (5.481,8.109) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.585,7.548) -- (11.564,7.628) -- (11.505,7.686) -- (11.425,7.708) -- (11.345,7.686) -- (11.287,7.628) -- (11.265,7.548) -- (11.287,7.468) -- (11.345,7.409) -- (11.425,7.388) -- (11.505,7.409) -- (11.564,7.468) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.781,5.445) -- (10.76,5.525) -- (10.701,5.584) -- (10.621,5.605) -- (10.541,5.584) -- (10.482,5.525) -- (10.461,5.445) -- (10.482,5.365) -- (10.541,5.307) -- (10.621,5.285) -- (10.701,5.307) -- (10.76,5.365) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.455,5.145) -- (2.433,5.225) -- (2.375,5.284) -- (2.295,5.305) -- (2.215,5.284) -- (2.156,5.225) -- (2.135,5.145) -- (2.156,5.065) -- (2.215,5.007) -- (2.295,4.985) -- (2.375,5.007) -- (2.433,5.065) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.158,5.078) -- (5.137,5.158) -- (5.078,5.216) -- (4.998,5.238) -- (4.918,5.216) -- (4.86,5.158) -- (4.838,5.078) -- (4.86,4.998) -- (4.918,4.939) -- (4.998,4.918) -- (5.078,4.939) -- (5.137,4.998) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.506,5.034) -- (8.485,5.114) -- (8.426,5.172) -- (8.346,5.194) -- (8.266,5.172) -- (8.208,5.114) -- (8.186,5.034) -- (8.208,4.954) -- (8.266,4.895) -- (8.346,4.874) -- (8.426,4.895) -- (8.485,4.954) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.585,2.699) -- (1.564,2.779) -- (1.505,2.837) -- (1.425,2.859) -- (1.345,2.837) -- (1.287,2.779) -- (1.265,2.699) -- (1.287,2.619) -- (1.345,2.56) -- (1.425,2.539) -- (1.505,2.56) -- (1.564,2.619) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.555,1.55) -- (5.534,1.63) -- (5.475,1.689) -- (5.395,1.71) -- (5.315,1.689) -- (5.257,1.63) -- (5.235,1.55) -- (5.257,1.47) -- (5.315,1.411) -- (5.395,1.39) -- (5.475,1.411) -- (5.534,1.47) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.844,11.283) -- (9.798,11.453) -- (9.674,11.577) -- (9.504,11.623) -- (9.334,11.577) -- (9.209,11.453) -- (9.164,11.283) -- (9.209,11.113) -- (9.334,10.988) -- (9.504,10.943) -- (9.674,10.988) -- (9.798,11.113) -- cycle;
\node at (9.504,11.283) {\scalebox{1.435}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.357,9.334) -- (7.311,9.504) -- (7.187,9.628) -- (7.017,9.674) -- (6.847,9.628) -- (6.723,9.504) -- (6.677,9.334) -- (6.723,9.164) -- (6.847,9.039) -- (7.017,8.994) -- (7.187,9.039) -- (7.311,9.164) -- cycle;
\node at (7.017,9.334) {\scalebox{1.435}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.122,9.415) -- (10.077,9.585) -- (9.952,9.71) -- (9.782,9.755) -- (9.612,9.71) -- (9.488,9.585) -- (9.442,9.415) -- (9.488,9.245) -- (9.612,9.121) -- (9.782,9.075) -- (9.952,9.121) -- (10.077,9.245) -- cycle;
\node at (9.782,9.415) {\scalebox{1.435}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.116,7.789) -- (9.07,7.959) -- (8.946,8.084) -- (8.776,8.129) -- (8.606,8.084) -- (8.481,7.959) -- (8.436,7.789) -- (8.481,7.619) -- (8.606,7.495) -- (8.776,7.449) -- (8.946,7.495) -- (9.07,7.619) -- cycle;
\node at (8.776,7.789) {\scalebox{1.435}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.738,9.321) -- (11.693,9.491) -- (11.568,9.616) -- (11.398,9.661) -- (11.228,9.616) -- (11.104,9.491) -- (11.058,9.321) -- (11.104,9.151) -- (11.228,9.027) -- (11.398,8.981) -- (11.568,9.027) -- (11.693,9.151) -- cycle;
\node at (11.398,9.321) {\scalebox{1.435}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.075,9.531) -- (6.03,9.701) -- (5.905,9.825) -- (5.735,9.871) -- (5.565,9.825) -- (5.441,9.701) -- (5.395,9.531) -- (5.441,9.361) -- (5.565,9.236) -- (5.735,9.191) -- (5.905,9.236) -- (6.03,9.361) -- cycle;
\node at (5.735,9.531) {\scalebox{1.435}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.259,6.567) -- (4.214,6.737) -- (4.089,6.861) -- (3.919,6.907) -- (3.749,6.861) -- (3.625,6.737) -- (3.579,6.567) -- (3.625,6.397) -- (3.749,6.272) -- (3.919,6.227) -- (4.089,6.272) -- (4.214,6.397) -- cycle;
\node at (3.919,6.567) {\scalebox{1.435}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.957,6.584) -- (5.911,6.754) -- (5.787,6.879) -- (5.617,6.924) -- (5.447,6.879) -- (5.322,6.754) -- (5.277,6.584) -- (5.322,6.414) -- (5.447,6.29) -- (5.617,6.244) -- (5.787,6.29) -- (5.911,6.414) -- cycle;
\node at (5.617,6.584) {\scalebox{1.435}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.286,6.708) -- (7.24,6.878) -- (7.116,7.003) -- (6.946,7.048) -- (6.776,7.003) -- (6.651,6.878) -- (6.606,6.708) -- (6.651,6.538) -- (6.776,6.414) -- (6.946,6.368) -- (7.116,6.414) -- (7.24,6.538) -- cycle;
\node at (6.946,6.708) {\scalebox{1.435}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.749,6.349) -- (11.703,6.519) -- (11.579,6.644) -- (11.409,6.689) -- (11.239,6.644) -- (11.114,6.519) -- (11.069,6.349) -- (11.114,6.179) -- (11.239,6.055) -- (11.409,6.009) -- (11.579,6.055) -- (11.703,6.179) -- cycle;
\node at (11.409,6.349) {\scalebox{1.435}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.324,6.17) -- (10.279,6.34) -- (10.154,6.464) -- (9.984,6.51) -- (9.814,6.464) -- (9.69,6.34) -- (9.644,6.17) -- (9.69,6.0) -- (9.814,5.876) -- (9.984,5.83) -- (10.154,5.876) -- (10.279,6.0) -- cycle;
\node at (9.984,6.17) {\scalebox{1.435}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.897,4.831) -- (9.852,5.001) -- (9.727,5.125) -- (9.557,5.171) -- (9.387,5.125) -- (9.263,5.001) -- (9.217,4.831) -- (9.263,4.661) -- (9.387,4.536) -- (9.557,4.491) -- (9.727,4.536) -- (9.852,4.661) -- cycle;
\node at (9.557,4.831) {\scalebox{1.435}{\small 12}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.279,3.429) -- (4.234,3.599) -- (4.109,3.723) -- (3.939,3.769) -- (3.769,3.723) -- (3.645,3.599) -- (3.599,3.429) -- (3.645,3.259) -- (3.769,3.134) -- (3.939,3.089) -- (4.109,3.134) -- (4.234,3.259) -- cycle;
\node at (3.939,3.429) {\scalebox{1.435}{\small 13}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.997,5.543) -- (3.952,5.713) -- (3.827,5.837) -- (3.657,5.883) -- (3.487,5.837) -- (3.363,5.713) -- (3.317,5.543) -- (3.363,5.373) -- (3.487,5.248) -- (3.657,5.203) -- (3.827,5.248) -- (3.952,5.373) -- cycle;
\node at (3.657,5.543) {\scalebox{1.435}{\small 14}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.401,3.851) -- (2.355,4.021) -- (2.231,4.145) -- (2.061,4.191) -- (1.891,4.145) -- (1.766,4.021) -- (1.721,3.851) -- (1.766,3.681) -- (1.891,3.556) -- (2.061,3.511) -- (2.231,3.556) -- (2.355,3.681) -- cycle;
\node at (2.061,3.851) {\scalebox{1.435}{\small 15}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.0,3.366) -- (5.955,3.536) -- (5.83,3.66) -- (5.66,3.706) -- (5.49,3.66) -- (5.366,3.536) -- (5.32,3.366) -- (5.366,3.196) -- (5.49,3.072) -- (5.66,3.026) -- (5.83,3.072) -- (5.955,3.196) -- cycle;
\node at (5.66,3.366) {\scalebox{1.435}{\small 16}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.015,5.238) -- (6.969,5.408) -- (6.845,5.532) -- (6.675,5.578) -- (6.505,5.532) -- (6.38,5.408) -- (6.335,5.238) -- (6.38,5.068) -- (6.505,4.943) -- (6.675,4.898) -- (6.845,4.943) -- (6.969,5.068) -- cycle;
\node at (6.675,5.238) {\scalebox{1.435}{\small 17}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.599,2.963) -- (7.553,3.133) -- (7.429,3.258) -- (7.259,3.303) -- (7.089,3.258) -- (6.964,3.133) -- (6.919,2.963) -- (6.964,2.793) -- (7.089,2.669) -- (7.259,2.623) -- (7.429,2.669) -- (7.553,2.793) -- cycle;
\node at (7.259,2.963) {\scalebox{1.435}{\small 18}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.792,2.268) -- (3.746,2.438) -- (3.622,2.562) -- (3.452,2.608) -- (3.282,2.562) -- (3.157,2.438) -- (3.112,2.268) -- (3.157,2.098) -- (3.282,1.974) -- (3.452,1.928) -- (3.622,1.974) -- (3.746,2.098) -- cycle;
\node at (3.452,2.268) {\scalebox{1.435}{\small 19}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (5.042,7.889) -- (5.642,7.889) -- (5.642,8.489) -- (5.042,8.489) -- cycle;
\node at (5.342,8.189) {\scalebox{1.435}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (12.419,5.869) -- (13.019,5.869) -- (13.019,6.469) -- (12.419,6.469) -- cycle;
\node at (12.719,6.169) {\scalebox{1.435}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (5.316,2.026) -- (5.916,2.026) -- (5.916,2.626) -- (5.316,2.626) -- cycle;
\node at (5.616,2.326) {\scalebox{1.435}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (1.058,2.87) -- (1.658,2.87) -- (1.658,3.47) -- (1.058,3.47) -- cycle;
\node at (1.358,3.17) {\scalebox{1.435}{\small d}};
\node at (8.14,11.72) {\scalebox{1.435}{\small S0}};
\node at (11.46,11.496) {\scalebox{1.435}{\small S1}};
\node at (5.062,11.433) {\scalebox{1.435}{\small S2}};
\node at (4.918,8.641) {\scalebox{1.435}{\small S3}};
\node at (12.035,7.658) {\scalebox{1.435}{\small S4}};
\node at (11.211,5.254) {\scalebox{1.435}{\small S5}};
\node at (1.71,4.94) {\scalebox{1.435}{\small S6}};
\node at (4.545,4.655) {\scalebox{1.435}{\small S7}};
\node at (8.777,4.588) {\scalebox{1.435}{\small S8}};
\node at (0.93,2.326) {\scalebox{1.435}{\small S9}};
\node at (5.239,0.95) {\scalebox{1.435}{\small S10}};
\draw[line width=0.5pt] (12.725,10.173) -- (12.725,11.273);
\draw[line width=0.5pt] (12.494,10.888) -- (12.725,11.273) -- (12.956,10.888);
\draw[line width=0.5pt] (12.423,10.723) -- (13.028,10.723);
\node at (12.725,11.658) {\scalebox{1.435}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① venelle du Chat & ⑪ chemin de Ronde & S0 Carrefour du Moulin & \textbf{a} la poste \\ \hline
② allée des Tilleuls & ⑫ rue de la Mairie & S1 Place du Marché & \textbf{b} la pharmacie \\ \hline
③ rue de l'Église & ⑬ rue de la Poste & S2 Place aux Herbes & \textbf{c} la mairie \\ \hline
④ rue Verte & ⑭ passage du Marché & S3 Carrefour du Lavoir & \textbf{d} l'église \\ \hline
⑤ rue des Lilas & ⑮ chemin du Lavoir & S4 Rond-point du Pont &  \\ \hline
⑥ impasse du Puits & ⑯ quai aux Fleurs & S5 Place de la Fontaine &  \\ \hline
⑦ sentier des Prés & ⑰ rue du Puits & S6 Rond-point des Vaches &  \\ \hline
⑧ avenue de la Gare & ⑱ boulevard du Parc & S7 Rond-point de la Poste &  \\ \hline
⑨ rue du Stade & ⑲ rue du Moulin & S8 Carrefour des Quatre-Chemins &  \\ \hline
⑩ rue Neuve &  & S9 Place Sainte-Croix &  \\ \hline
 &  & S10 Rond-point de la Gare &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6237, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (7.974,11.123) -- (8.189,11.085) -- (8.405,11.052) -- (8.623,11.024) -- (8.84,11.001) -- (9.059,10.983) -- (9.277,10.97) -- (9.496,10.963) -- (9.715,10.961) -- (9.935,10.963) -- (10.153,10.971) -- (10.372,10.984) -- (10.59,11.003) -- (10.808,11.026) -- (11.025,11.055);
\draw[line width=0.5pt] (7.974,11.123) -- (7.819,10.886) -- (7.659,10.653) -- (7.494,10.424) -- (7.323,10.199) -- (7.147,9.977) -- (6.965,9.76) -- (6.779,9.547) -- (6.587,9.339) -- (6.391,9.135) -- (6.19,8.936) -- (5.985,8.742) -- (5.775,8.553) -- (5.561,8.368) -- (5.342,8.189);
\draw[line width=0.5pt] (7.974,11.123) -- (8.179,10.832) -- (8.391,10.546) -- (8.611,10.264) -- (8.836,9.988) -- (9.069,9.718) -- (9.307,9.453) -- (9.552,9.193) -- (9.803,8.939) -- (10.059,8.692) -- (10.322,8.45) -- (10.59,8.215) -- (10.863,7.986) -- (11.141,7.763) -- (11.425,7.548);
\draw[line width=0.5pt] (7.974,11.123) -- (8.044,10.894) -- (8.109,10.664) -- (8.169,10.431) -- (8.223,10.198) -- (8.271,9.963) -- (8.314,9.728) -- (8.352,9.491) -- (8.384,9.253) -- (8.41,9.015) -- (8.431,8.776) -- (8.446,8.537) -- (8.455,8.298) -- (8.459,8.058) -- (8.457,7.819) -- (8.419,7.623) -- (8.385,7.426) -- (8.356,7.228) -- (8.332,7.029) -- (8.312,6.83) -- (8.297,6.631) -- (8.287,6.431) -- (8.281,6.231) -- (8.28,6.031) -- (8.284,5.831) -- (8.292,5.631) -- (8.306,5.432) -- (8.324,5.232) -- (8.346,5.034);
\draw[line width=0.5pt] (11.025,11.055) -- (11.015,10.802) -- (11.011,10.549) -- (11.013,10.295) -- (11.021,10.042) -- (11.035,9.789) -- (11.055,9.537) -- (11.08,9.285) -- (11.112,9.033) -- (11.15,8.783) -- (11.193,8.533) -- (11.242,8.285) -- (11.298,8.038) -- (11.358,7.792) -- (11.425,7.548);
\draw[line width=0.5pt] (5.269,10.848) -- (5.304,10.661) -- (5.333,10.472) -- (5.359,10.283) -- (5.38,10.093) -- (5.396,9.903) -- (5.408,9.713) -- (5.415,9.522) -- (5.418,9.331) -- (5.417,9.14) -- (5.411,8.949) -- (5.4,8.759) -- (5.385,8.568) -- (5.366,8.378) -- (5.342,8.189);
\draw[line width=0.5pt] (5.342,8.189) -- (5.093,8.007) -- (4.848,7.819) -- (4.607,7.625) -- (4.372,7.425) -- (4.14,7.22) -- (3.914,7.009) -- (3.693,6.793) -- (3.477,6.572) -- (3.266,6.346) -- (3.06,6.115) -- (2.86,5.879) -- (2.666,5.639) -- (2.478,5.394) -- (2.295,5.145);
\draw[line width=0.5pt] (5.342,8.189) -- (5.352,7.965) -- (5.356,7.741) -- (5.355,7.516) -- (5.349,7.291) -- (5.337,7.067) -- (5.321,6.843) -- (5.298,6.619) -- (5.271,6.396) -- (5.239,6.174) -- (5.201,5.952) -- (5.158,5.732) -- (5.11,5.513) -- (5.057,5.294) -- (4.998,5.078);
\draw[line width=0.5pt] (5.342,8.189) -- (5.52,7.933) -- (5.705,7.681) -- (5.895,7.433) -- (6.091,7.189) -- (6.293,6.951) -- (6.501,6.717) -- (6.714,6.488) -- (6.932,6.264) -- (7.156,6.045) -- (7.384,5.831) -- (7.618,5.624) -- (7.856,5.421) -- (8.099,5.225) -- (8.346,5.034);
\draw[line width=0.5pt] (11.425,7.548) -- (11.391,7.39) -- (11.353,7.233) -- (11.312,7.077) -- (11.267,6.922) -- (11.218,6.768) -- (11.166,6.615) -- (11.11,6.463) -- (11.05,6.313) -- (10.987,6.164) -- (10.921,6.017) -- (10.851,5.871) -- (10.778,5.727) -- (10.701,5.585) -- (10.621,5.445);
\draw[line width=0.5pt] (11.425,7.548) -- (11.179,7.403) -- (10.937,7.253) -- (10.699,7.097) -- (10.463,6.935) -- (10.232,6.768) -- (10.005,6.596) -- (9.782,6.418) -- (9.563,6.235) -- (9.349,6.047) -- (9.139,5.854) -- (8.933,5.656) -- (8.733,5.453) -- (8.537,5.246) -- (8.346,5.034);
\draw[line width=0.5pt] (10.621,5.445) -- (10.464,5.391) -- (10.306,5.341) -- (10.147,5.294) -- (9.987,5.251) -- (9.826,5.212) -- (9.663,5.177) -- (9.501,5.146) -- (9.337,5.118) -- (9.173,5.094) -- (9.008,5.074) -- (8.843,5.058) -- (8.677,5.046) -- (8.512,5.038) -- (8.346,5.034);
\draw[line width=0.5pt] (2.295,5.145) -- (2.475,4.856) -- (2.662,4.572) -- (2.856,4.292) -- (3.057,4.017) -- (3.264,3.746) -- (3.477,3.48) -- (3.697,3.22) -- (3.922,2.964) -- (4.154,2.714) -- (4.391,2.47) -- (4.634,2.231) -- (4.882,1.998) -- (5.136,1.771) -- (5.395,1.55);
\draw[line width=0.5pt] (2.295,5.145) -- (2.487,5.17) -- (2.68,5.19) -- (2.873,5.206) -- (3.067,5.217) -- (3.261,5.224) -- (3.455,5.226) -- (3.649,5.223) -- (3.843,5.216) -- (4.037,5.204) -- (4.23,5.188) -- (4.423,5.167) -- (4.616,5.142) -- (4.807,5.112) -- (4.998,5.078);
\draw[line width=0.5pt] (2.295,5.145) -- (2.207,4.981) -- (2.122,4.815) -- (2.041,4.647) -- (1.965,4.478) -- (1.892,4.306) -- (1.824,4.133) -- (1.759,3.958) -- (1.699,3.782) -- (1.643,3.604) -- (1.591,3.425) -- (1.543,3.245) -- (1.499,3.064) -- (1.46,2.882) -- (1.425,2.699);
\draw[line width=0.5pt] (4.998,5.078) -- (5.065,4.832) -- (5.126,4.585) -- (5.181,4.336) -- (5.23,4.086) -- (5.273,3.835) -- (5.311,3.583) -- (5.342,3.33) -- (5.368,3.077) -- (5.387,2.823) -- (5.401,2.568) -- (5.409,2.314) -- (5.41,2.059) -- (5.406,1.804) -- (5.395,1.55);
\draw[line width=0.5pt] (4.998,5.078) -- (5.235,5.038) -- (5.473,5.004) -- (5.711,4.975) -- (5.95,4.952) -- (6.19,4.935) -- (6.43,4.924) -- (6.67,4.918) -- (6.911,4.917) -- (7.151,4.923) -- (7.391,4.934) -- (7.631,4.95) -- (7.87,4.972) -- (8.108,5.0) -- (8.346,5.034);
\draw[line width=0.5pt] (8.346,5.034) -- (8.175,4.755) -- (7.998,4.48) -- (7.813,4.209) -- (7.623,3.942) -- (7.426,3.68) -- (7.223,3.423) -- (7.014,3.17) -- (6.8,2.923) -- (6.579,2.68) -- (6.353,2.443) -- (6.122,2.211) -- (5.885,1.985) -- (5.643,1.765) -- (5.395,1.55);
\draw[line width=0.5pt] (1.425,2.699) -- (1.694,2.574) -- (1.966,2.455) -- (2.24,2.343) -- (2.517,2.238) -- (2.797,2.139) -- (3.079,2.046) -- (3.363,1.961) -- (3.649,1.881) -- (3.936,1.809) -- (4.226,1.743) -- (4.516,1.685) -- (4.808,1.633) -- (5.101,1.588) -- (5.395,1.55);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.134,11.123) -- (8.112,11.203) -- (8.054,11.261) -- (7.974,11.283) -- (7.894,11.261) -- (7.835,11.203) -- (7.814,11.123) -- (7.835,11.043) -- (7.894,10.984) -- (7.974,10.963) -- (8.054,10.984) -- (8.112,11.043) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.185,11.055) -- (11.163,11.135) -- (11.105,11.193) -- (11.025,11.215) -- (10.945,11.193) -- (10.886,11.135) -- (10.865,11.055) -- (10.886,10.975) -- (10.945,10.916) -- (11.025,10.895) -- (11.105,10.916) -- (11.163,10.975) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.429,10.848) -- (5.408,10.928) -- (5.349,10.987) -- (5.269,11.008) -- (5.189,10.987) -- (5.131,10.928) -- (5.109,10.848) -- (5.131,10.768) -- (5.189,10.71) -- (5.269,10.688) -- (5.349,10.71) -- (5.408,10.768) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.502,8.189) -- (5.481,8.269) -- (5.422,8.328) -- (5.342,8.349) -- (5.262,8.328) -- (5.203,8.269) -- (5.182,8.189) -- (5.203,8.109) -- (5.262,8.051) -- (5.342,8.029) -- (5.422,8.051) -- (5.481,8.109) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.585,7.548) -- (11.564,7.628) -- (11.505,7.686) -- (11.425,7.708) -- (11.345,7.686) -- (11.287,7.628) -- (11.265,7.548) -- (11.287,7.468) -- (11.345,7.409) -- (11.425,7.388) -- (11.505,7.409) -- (11.564,7.468) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.781,5.445) -- (10.76,5.525) -- (10.701,5.584) -- (10.621,5.605) -- (10.541,5.584) -- (10.482,5.525) -- (10.461,5.445) -- (10.482,5.365) -- (10.541,5.307) -- (10.621,5.285) -- (10.701,5.307) -- (10.76,5.365) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.455,5.145) -- (2.433,5.225) -- (2.375,5.284) -- (2.295,5.305) -- (2.215,5.284) -- (2.156,5.225) -- (2.135,5.145) -- (2.156,5.065) -- (2.215,5.007) -- (2.295,4.985) -- (2.375,5.007) -- (2.433,5.065) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.158,5.078) -- (5.137,5.158) -- (5.078,5.216) -- (4.998,5.238) -- (4.918,5.216) -- (4.86,5.158) -- (4.838,5.078) -- (4.86,4.998) -- (4.918,4.939) -- (4.998,4.918) -- (5.078,4.939) -- (5.137,4.998) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.506,5.034) -- (8.485,5.114) -- (8.426,5.172) -- (8.346,5.194) -- (8.266,5.172) -- (8.208,5.114) -- (8.186,5.034) -- (8.208,4.954) -- (8.266,4.895) -- (8.346,4.874) -- (8.426,4.895) -- (8.485,4.954) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.585,2.699) -- (1.564,2.779) -- (1.505,2.837) -- (1.425,2.859) -- (1.345,2.837) -- (1.287,2.779) -- (1.265,2.699) -- (1.287,2.619) -- (1.345,2.56) -- (1.425,2.539) -- (1.505,2.56) -- (1.564,2.619) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.555,1.55) -- (5.534,1.63) -- (5.475,1.689) -- (5.395,1.71) -- (5.315,1.689) -- (5.257,1.63) -- (5.235,1.55) -- (5.257,1.47) -- (5.315,1.411) -- (5.395,1.39) -- (5.475,1.411) -- (5.534,1.47) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.844,11.283) -- (9.798,11.453) -- (9.674,11.577) -- (9.504,11.623) -- (9.334,11.577) -- (9.209,11.453) -- (9.164,11.283) -- (9.209,11.113) -- (9.334,10.988) -- (9.504,10.943) -- (9.674,10.988) -- (9.798,11.113) -- cycle;
\node at (9.504,11.283) {\scalebox{1.603}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.357,9.334) -- (7.311,9.504) -- (7.187,9.628) -- (7.017,9.674) -- (6.847,9.628) -- (6.723,9.504) -- (6.677,9.334) -- (6.723,9.164) -- (6.847,9.039) -- (7.017,8.994) -- (7.187,9.039) -- (7.311,9.164) -- cycle;
\node at (7.017,9.334) {\scalebox{1.603}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.122,9.415) -- (10.077,9.585) -- (9.952,9.71) -- (9.782,9.755) -- (9.612,9.71) -- (9.488,9.585) -- (9.442,9.415) -- (9.488,9.245) -- (9.612,9.121) -- (9.782,9.075) -- (9.952,9.121) -- (10.077,9.245) -- cycle;
\node at (9.782,9.415) {\scalebox{1.603}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.116,7.789) -- (9.07,7.959) -- (8.946,8.084) -- (8.776,8.129) -- (8.606,8.084) -- (8.481,7.959) -- (8.436,7.789) -- (8.481,7.619) -- (8.606,7.495) -- (8.776,7.449) -- (8.946,7.495) -- (9.07,7.619) -- cycle;
\node at (8.776,7.789) {\scalebox{1.603}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.738,9.321) -- (11.693,9.491) -- (11.568,9.616) -- (11.398,9.661) -- (11.228,9.616) -- (11.104,9.491) -- (11.058,9.321) -- (11.104,9.151) -- (11.228,9.027) -- (11.398,8.981) -- (11.568,9.027) -- (11.693,9.151) -- cycle;
\node at (11.398,9.321) {\scalebox{1.603}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.075,9.531) -- (6.03,9.701) -- (5.905,9.825) -- (5.735,9.871) -- (5.565,9.825) -- (5.441,9.701) -- (5.395,9.531) -- (5.441,9.361) -- (5.565,9.236) -- (5.735,9.191) -- (5.905,9.236) -- (6.03,9.361) -- cycle;
\node at (5.735,9.531) {\scalebox{1.603}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.259,6.567) -- (4.214,6.737) -- (4.089,6.861) -- (3.919,6.907) -- (3.749,6.861) -- (3.625,6.737) -- (3.579,6.567) -- (3.625,6.397) -- (3.749,6.272) -- (3.919,6.227) -- (4.089,6.272) -- (4.214,6.397) -- cycle;
\node at (3.919,6.567) {\scalebox{1.603}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.957,6.584) -- (5.911,6.754) -- (5.787,6.879) -- (5.617,6.924) -- (5.447,6.879) -- (5.322,6.754) -- (5.277,6.584) -- (5.322,6.414) -- (5.447,6.29) -- (5.617,6.244) -- (5.787,6.29) -- (5.911,6.414) -- cycle;
\node at (5.617,6.584) {\scalebox{1.603}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.286,6.708) -- (7.24,6.878) -- (7.116,7.003) -- (6.946,7.048) -- (6.776,7.003) -- (6.651,6.878) -- (6.606,6.708) -- (6.651,6.538) -- (6.776,6.414) -- (6.946,6.368) -- (7.116,6.414) -- (7.24,6.538) -- cycle;
\node at (6.946,6.708) {\scalebox{1.603}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.749,6.349) -- (11.703,6.519) -- (11.579,6.644) -- (11.409,6.689) -- (11.239,6.644) -- (11.114,6.519) -- (11.069,6.349) -- (11.114,6.179) -- (11.239,6.055) -- (11.409,6.009) -- (11.579,6.055) -- (11.703,6.179) -- cycle;
\node at (11.409,6.349) {\scalebox{1.603}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.324,6.17) -- (10.279,6.34) -- (10.154,6.464) -- (9.984,6.51) -- (9.814,6.464) -- (9.69,6.34) -- (9.644,6.17) -- (9.69,6.0) -- (9.814,5.876) -- (9.984,5.83) -- (10.154,5.876) -- (10.279,6.0) -- cycle;
\node at (9.984,6.17) {\scalebox{1.603}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.897,4.831) -- (9.852,5.001) -- (9.727,5.125) -- (9.557,5.171) -- (9.387,5.125) -- (9.263,5.001) -- (9.217,4.831) -- (9.263,4.661) -- (9.387,4.536) -- (9.557,4.491) -- (9.727,4.536) -- (9.852,4.661) -- cycle;
\node at (9.557,4.831) {\scalebox{1.603}{\small 12}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.279,3.429) -- (4.234,3.599) -- (4.109,3.723) -- (3.939,3.769) -- (3.769,3.723) -- (3.645,3.599) -- (3.599,3.429) -- (3.645,3.259) -- (3.769,3.134) -- (3.939,3.089) -- (4.109,3.134) -- (4.234,3.259) -- cycle;
\node at (3.939,3.429) {\scalebox{1.603}{\small 13}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.997,5.543) -- (3.952,5.713) -- (3.827,5.837) -- (3.657,5.883) -- (3.487,5.837) -- (3.363,5.713) -- (3.317,5.543) -- (3.363,5.373) -- (3.487,5.248) -- (3.657,5.203) -- (3.827,5.248) -- (3.952,5.373) -- cycle;
\node at (3.657,5.543) {\scalebox{1.603}{\small 14}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.401,3.851) -- (2.355,4.021) -- (2.231,4.145) -- (2.061,4.191) -- (1.891,4.145) -- (1.766,4.021) -- (1.721,3.851) -- (1.766,3.681) -- (1.891,3.556) -- (2.061,3.511) -- (2.231,3.556) -- (2.355,3.681) -- cycle;
\node at (2.061,3.851) {\scalebox{1.603}{\small 15}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.0,3.366) -- (5.955,3.536) -- (5.83,3.66) -- (5.66,3.706) -- (5.49,3.66) -- (5.366,3.536) -- (5.32,3.366) -- (5.366,3.196) -- (5.49,3.072) -- (5.66,3.026) -- (5.83,3.072) -- (5.955,3.196) -- cycle;
\node at (5.66,3.366) {\scalebox{1.603}{\small 16}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.015,5.238) -- (6.969,5.408) -- (6.845,5.532) -- (6.675,5.578) -- (6.505,5.532) -- (6.38,5.408) -- (6.335,5.238) -- (6.38,5.068) -- (6.505,4.943) -- (6.675,4.898) -- (6.845,4.943) -- (6.969,5.068) -- cycle;
\node at (6.675,5.238) {\scalebox{1.603}{\small 17}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.599,2.963) -- (7.553,3.133) -- (7.429,3.258) -- (7.259,3.303) -- (7.089,3.258) -- (6.964,3.133) -- (6.919,2.963) -- (6.964,2.793) -- (7.089,2.669) -- (7.259,2.623) -- (7.429,2.669) -- (7.553,2.793) -- cycle;
\node at (7.259,2.963) {\scalebox{1.603}{\small 18}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.792,2.268) -- (3.746,2.438) -- (3.622,2.562) -- (3.452,2.608) -- (3.282,2.562) -- (3.157,2.438) -- (3.112,2.268) -- (3.157,2.098) -- (3.282,1.974) -- (3.452,1.928) -- (3.622,1.974) -- (3.746,2.098) -- cycle;
\node at (3.452,2.268) {\scalebox{1.603}{\small 19}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (5.042,7.889) -- (5.642,7.889) -- (5.642,8.489) -- (5.042,8.489) -- cycle;
\node at (5.342,8.189) {\scalebox{1.603}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (12.419,5.869) -- (13.019,5.869) -- (13.019,6.469) -- (12.419,6.469) -- cycle;
\node at (12.719,6.169) {\scalebox{1.603}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (5.316,2.026) -- (5.916,2.026) -- (5.916,2.626) -- (5.316,2.626) -- cycle;
\node at (5.616,2.326) {\scalebox{1.603}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (1.058,2.87) -- (1.658,2.87) -- (1.658,3.47) -- (1.058,3.47) -- cycle;
\node at (1.358,3.17) {\scalebox{1.603}{\small d}};
\node at (8.14,11.72) {\scalebox{1.603}{\small S0}};
\node at (11.46,11.496) {\scalebox{1.603}{\small S1}};
\node at (5.062,11.433) {\scalebox{1.603}{\small S2}};
\node at (4.918,8.641) {\scalebox{1.603}{\small S3}};
\node at (12.035,7.658) {\scalebox{1.603}{\small S4}};
\node at (11.211,5.254) {\scalebox{1.603}{\small S5}};
\node at (1.71,4.94) {\scalebox{1.603}{\small S6}};
\node at (4.545,4.655) {\scalebox{1.603}{\small S7}};
\node at (8.777,4.588) {\scalebox{1.603}{\small S8}};
\node at (0.93,2.326) {\scalebox{1.603}{\small S9}};
\node at (5.239,0.95) {\scalebox{1.603}{\small S10}};
\draw[line width=0.5pt] (12.725,10.173) -- (12.725,11.273);
\draw[line width=0.5pt] (12.494,10.888) -- (12.725,11.273) -- (12.956,10.888);
\draw[line width=0.5pt] (12.423,10.723) -- (13.028,10.723);
\node at (12.725,11.658) {\scalebox{1.603}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries S0 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S1 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S2 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S3 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S4 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S5 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S6 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S7 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S8 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S9 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S10 \\ \hline
Nombre de rues & 4 & 2 & 1 & 5 & 4 & 2 & 4 & 4 & 6 & 2 & 4 \\ \hline
Parité & pair & pair & \textbf{impair} & \textbf{impair} & pair & pair & pair & pair & pair & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 38 = 2 \(\times\) 19, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{S2}, \textbf{S3} — il y en a 2.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{S3}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui.} Deux carrefours sont impairs, \textbf{S2} et \textbf{S3}, et la poste est justement sur l'un des deux (\textbf{S3}). Il part donc de la poste et \textbf{termine en S2}, l'autre carrefour impair.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Voici une tournée possible :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Carrefour du Lavoir \textbf{(S3)}, prend l'\textbf{allée des Tilleuls ②} vers le nord-est et atteint Carrefour du Moulin \textbf{(S0)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{venelle du Chat ①}, vers l'est, jusqu'à Place du Marché \textbf{(S1)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue des Lilas ⑤}, vers le sud, jusqu'à Rond-point du Pont \textbf{(S4)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue de l'Église ③}, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour du Moulin \textbf{(S0)}.
  \item Il prend dans la \textbf{rue Verte ④}, vers le sud, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins \textbf{(S8)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue du Stade ⑨}, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour du Lavoir \textbf{(S3)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{sentier des Prés ⑦}, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point des Vaches \textbf{(S6)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue de la Poste ⑬}, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point de la Gare \textbf{(S10)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{quai aux Fleurs ⑯}, vers le nord, jusqu'à Rond-point de la Poste \textbf{(S7)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{passage du Marché ⑭}, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point des Vaches \textbf{(S6)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{chemin du Lavoir ⑮}, vers le sud, jusqu'à Place Sainte-Croix \textbf{(S9)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Moulin ⑲}, vers l'est, jusqu'à Rond-point de la Gare \textbf{(S10)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{boulevard du Parc ⑱}, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins \textbf{(S8)}.
  \item Il continue tout droit dans le \textbf{chemin de Ronde ⑪}, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point du Pont \textbf{(S4)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue Neuve ⑩}, vers le sud, jusqu'à Place de la Fontaine \textbf{(S5)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue de la Mairie ⑫}, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins \textbf{(S8)}.
  \item Il continue tout droit dans la \textbf{rue du Puits ⑰}, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point de la Poste \textbf{(S7)}.
  \item Il tourne à droite dans l'\textbf{avenue de la Gare ⑧}, vers le nord, jusqu'à Carrefour du Lavoir \textbf{(S3)}.
  \item Il continue tout droit dans l'\textbf{impasse du Puits ⑥}, vers le nord, jusqu'à Place aux Herbes \textbf{(S2)}.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries C'était déjà possible. Notons seulement que la poste devait être en \textbf{S2} ou en \textbf{S3} : ailleurs, la tournée n'aurait pas pu commencer.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À remarquer.} Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
