\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 6}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=6}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0006}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6821, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (1.523,7.397) -- (1.757,7.355) -- (1.991,7.319) -- (2.227,7.288) -- (2.463,7.263) -- (2.7,7.243) -- (2.937,7.229) -- (3.174,7.221) -- (3.412,7.218) -- (3.65,7.221) -- (3.887,7.229) -- (4.124,7.243) -- (4.361,7.262) -- (4.597,7.287) -- (4.832,7.318) -- (5.073,7.343) -- (5.314,7.362) -- (5.555,7.375) -- (5.797,7.383) -- (6.039,7.385) -- (6.281,7.381) -- (6.523,7.372) -- (6.764,7.357) -- (7.005,7.336) -- (7.246,7.31) -- (7.486,7.278) -- (7.725,7.24) -- (7.963,7.197) -- (8.199,7.148);
\draw[line width=0.5pt] (1.523,7.397) -- (1.537,7.241) -- (1.547,7.086) -- (1.554,6.93) -- (1.557,6.774) -- (1.556,6.617) -- (1.551,6.461) -- (1.543,6.305) -- (1.532,6.15) -- (1.516,5.994) -- (1.497,5.839) -- (1.474,5.685) -- (1.448,5.531) -- (1.418,5.378) -- (1.384,5.226);
\draw[line width=0.5pt] (11.384,7.154) -- (11.159,7.188) -- (10.932,7.217) -- (10.705,7.241) -- (10.477,7.259) -- (10.249,7.272) -- (10.02,7.28) -- (9.792,7.282) -- (9.563,7.279) -- (9.335,7.271) -- (9.106,7.257) -- (8.879,7.238) -- (8.652,7.213) -- (8.425,7.183) -- (8.199,7.148);
\draw[line width=0.5pt] (11.384,7.154) -- (11.399,6.961) -- (11.408,6.768) -- (11.413,6.575) -- (11.414,6.382) -- (11.41,6.189) -- (11.401,5.995) -- (11.388,5.802) -- (11.371,5.61) -- (11.349,5.418) -- (11.322,5.226) -- (11.291,5.035) -- (11.255,4.845) -- (11.215,4.656) -- (11.171,4.468);
\draw[line width=0.5pt] (8.199,7.148) -- (8.144,7.021) -- (8.091,6.892) -- (8.042,6.763) -- (7.996,6.632) -- (7.952,6.5) -- (7.912,6.367) -- (7.875,6.234) -- (7.841,6.099) -- (7.81,5.964) -- (7.783,5.828) -- (7.758,5.691) -- (7.737,5.554) -- (7.719,5.416) -- (7.705,5.278);
\draw[line width=0.5pt] (8.199,7.148) -- (8.439,6.99) -- (8.675,6.827) -- (8.908,6.659) -- (9.136,6.485) -- (9.36,6.305) -- (9.58,6.121) -- (9.796,5.931) -- (10.007,5.736) -- (10.213,5.536) -- (10.415,5.332) -- (10.611,5.123) -- (10.803,4.909) -- (10.99,4.691) -- (11.171,4.468);
\draw[line width=0.5pt] (7.705,5.278) -- (7.942,5.183) -- (8.181,5.093) -- (8.422,5.009) -- (8.665,4.931) -- (8.91,4.858) -- (9.156,4.792) -- (9.404,4.73) -- (9.654,4.675) -- (9.905,4.626) -- (10.156,4.582) -- (10.409,4.545) -- (10.662,4.513) -- (10.916,4.488) -- (11.171,4.468);
\draw[line width=0.5pt] (7.705,5.278) -- (7.719,5.01) -- (7.727,4.741) -- (7.728,4.472) -- (7.723,4.204) -- (7.711,3.935) -- (7.694,3.666) -- (7.67,3.398) -- (7.64,3.131) -- (7.603,2.865) -- (7.56,2.599) -- (7.511,2.335) -- (7.456,2.071) -- (7.395,1.81) -- (7.327,1.55);
\draw[line width=0.5pt] (1.384,5.226) -- (1.611,5.144) -- (1.84,5.067) -- (2.071,4.996) -- (2.304,4.931) -- (2.538,4.871) -- (2.773,4.816) -- (3.01,4.767) -- (3.247,4.724) -- (3.486,4.686) -- (3.725,4.653) -- (3.965,4.627) -- (4.206,4.606) -- (4.447,4.59) -- (4.688,4.581);
\draw[line width=0.5pt] (4.688,4.581) -- (4.689,4.418) -- (4.685,4.255) -- (4.678,4.091) -- (4.667,3.928) -- (4.652,3.766) -- (4.634,3.604) -- (4.611,3.442) -- (4.585,3.281) -- (4.555,3.12) -- (4.521,2.96) -- (4.484,2.801) -- (4.443,2.643) -- (4.398,2.486) -- (4.349,2.331);
\draw[line width=0.5pt] (4.688,4.581) -- (4.842,4.337) -- (5.002,4.097) -- (5.167,3.861) -- (5.338,3.629) -- (5.514,3.4) -- (5.696,3.176) -- (5.883,2.956) -- (6.075,2.741) -- (6.271,2.53) -- (6.473,2.324) -- (6.68,2.123) -- (6.891,1.927) -- (7.107,1.735) -- (7.327,1.55);
\draw[line width=0.5pt] (11.171,4.468) -- (10.93,4.22) -- (10.684,3.976) -- (10.432,3.739) -- (10.174,3.508) -- (9.911,3.282) -- (9.643,3.063) -- (9.369,2.85) -- (9.091,2.644) -- (8.808,2.444) -- (8.52,2.252) -- (8.228,2.065) -- (7.932,1.886) -- (7.631,1.714) -- (7.327,1.55);
\draw[line width=0.5pt] (4.349,2.331) -- (4.551,2.243) -- (4.756,2.16) -- (4.963,2.081) -- (5.171,2.008) -- (5.381,1.939) -- (5.593,1.876) -- (5.806,1.817) -- (6.02,1.764) -- (6.236,1.715) -- (6.452,1.672) -- (6.67,1.633) -- (6.888,1.6) -- (7.107,1.572) -- (7.327,1.55);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.683,7.397) -- (1.662,7.477) -- (1.603,7.535) -- (1.523,7.557) -- (1.443,7.535) -- (1.385,7.477) -- (1.363,7.397) -- (1.385,7.317) -- (1.443,7.258) -- (1.523,7.237) -- (1.603,7.258) -- (1.662,7.317) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.544,7.154) -- (11.523,7.234) -- (11.464,7.293) -- (11.384,7.314) -- (11.304,7.293) -- (11.246,7.234) -- (11.224,7.154) -- (11.246,7.074) -- (11.304,7.015) -- (11.384,6.994) -- (11.464,7.015) -- (11.523,7.074) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.359,7.148) -- (8.338,7.228) -- (8.279,7.286) -- (8.199,7.308) -- (8.119,7.286) -- (8.061,7.228) -- (8.039,7.148) -- (8.061,7.068) -- (8.119,7.009) -- (8.199,6.988) -- (8.279,7.009) -- (8.338,7.068) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.865,5.278) -- (7.843,5.358) -- (7.785,5.417) -- (7.705,5.438) -- (7.625,5.417) -- (7.566,5.358) -- (7.545,5.278) -- (7.566,5.198) -- (7.625,5.14) -- (7.705,5.118) -- (7.785,5.14) -- (7.843,5.198) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.544,5.226) -- (1.523,5.306) -- (1.464,5.364) -- (1.384,5.386) -- (1.304,5.364) -- (1.246,5.306) -- (1.224,5.226) -- (1.246,5.146) -- (1.304,5.087) -- (1.384,5.066) -- (1.464,5.087) -- (1.523,5.146) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.848,4.581) -- (4.827,4.661) -- (4.768,4.719) -- (4.688,4.741) -- (4.608,4.719) -- (4.55,4.661) -- (4.528,4.581) -- (4.55,4.501) -- (4.608,4.442) -- (4.688,4.421) -- (4.768,4.442) -- (4.827,4.501) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.331,4.468) -- (11.309,4.548) -- (11.251,4.607) -- (11.171,4.628) -- (11.091,4.607) -- (11.032,4.548) -- (11.011,4.468) -- (11.032,4.388) -- (11.091,4.33) -- (11.171,4.308) -- (11.251,4.33) -- (11.309,4.388) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.509,2.331) -- (4.488,2.411) -- (4.429,2.469) -- (4.349,2.491) -- (4.269,2.469) -- (4.21,2.411) -- (4.189,2.331) -- (4.21,2.251) -- (4.269,2.192) -- (4.349,2.171) -- (4.429,2.192) -- (4.488,2.251) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.487,1.55) -- (7.466,1.63) -- (7.407,1.688) -- (7.327,1.71) -- (7.247,1.688) -- (7.188,1.63) -- (7.167,1.55) -- (7.188,1.47) -- (7.247,1.411) -- (7.327,1.39) -- (7.407,1.411) -- (7.466,1.47) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.135,7.636) -- (5.09,7.806) -- (4.965,7.93) -- (4.795,7.976) -- (4.625,7.93) -- (4.501,7.806) -- (4.455,7.636) -- (4.501,7.466) -- (4.625,7.341) -- (4.795,7.296) -- (4.965,7.341) -- (5.09,7.466) -- cycle;
\node at (4.795,7.636) {\scalebox{1.466}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.203,6.285) -- (2.157,6.455) -- (2.033,6.579) -- (1.863,6.625) -- (1.693,6.579) -- (1.568,6.455) -- (1.523,6.285) -- (1.568,6.115) -- (1.693,5.991) -- (1.863,5.945) -- (2.033,5.991) -- (2.157,6.115) -- cycle;
\node at (1.863,6.285) {\scalebox{1.466}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.132,6.962) -- (10.087,7.132) -- (9.962,7.257) -- (9.792,7.302) -- (9.622,7.257) -- (9.498,7.132) -- (9.452,6.962) -- (9.498,6.792) -- (9.622,6.668) -- (9.792,6.622) -- (9.962,6.668) -- (10.087,6.792) -- cycle;
\node at (9.792,6.962) {\scalebox{1.466}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (12.047,5.777) -- (12.002,5.947) -- (11.877,6.071) -- (11.707,6.117) -- (11.537,6.071) -- (11.413,5.947) -- (11.367,5.777) -- (11.413,5.607) -- (11.537,5.483) -- (11.707,5.437) -- (11.877,5.483) -- (12.002,5.607) -- cycle;
\node at (11.707,5.777) {\scalebox{1.466}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.524,6.152) -- (8.479,6.322) -- (8.354,6.446) -- (8.184,6.492) -- (8.014,6.446) -- (7.89,6.322) -- (7.844,6.152) -- (7.89,5.982) -- (8.014,5.857) -- (8.184,5.812) -- (8.354,5.857) -- (8.479,5.982) -- cycle;
\node at (8.184,6.152) {\scalebox{1.466}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.35,6.168) -- (10.304,6.338) -- (10.18,6.463) -- (10.01,6.508) -- (9.84,6.463) -- (9.716,6.338) -- (9.67,6.168) -- (9.716,5.998) -- (9.84,5.874) -- (10.01,5.828) -- (10.18,5.874) -- (10.304,5.998) -- cycle;
\node at (10.01,6.168) {\scalebox{1.466}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.817,5.042) -- (9.772,5.212) -- (9.647,5.337) -- (9.477,5.382) -- (9.307,5.337) -- (9.183,5.212) -- (9.137,5.042) -- (9.183,4.872) -- (9.307,4.748) -- (9.477,4.702) -- (9.647,4.748) -- (9.772,4.872) -- cycle;
\node at (9.477,5.042) {\scalebox{1.466}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.328,3.366) -- (8.283,3.536) -- (8.158,3.661) -- (7.988,3.706) -- (7.818,3.661) -- (7.694,3.536) -- (7.648,3.366) -- (7.694,3.196) -- (7.818,3.072) -- (7.988,3.026) -- (8.158,3.072) -- (8.283,3.196) -- cycle;
\node at (7.988,3.366) {\scalebox{1.466}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.411,5.081) -- (3.365,5.251) -- (3.241,5.376) -- (3.071,5.421) -- (2.901,5.376) -- (2.777,5.251) -- (2.731,5.081) -- (2.777,4.911) -- (2.901,4.787) -- (3.071,4.741) -- (3.241,4.787) -- (3.365,4.911) -- cycle;
\node at (3.071,5.081) {\scalebox{1.466}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.268,3.394) -- (5.222,3.564) -- (5.098,3.689) -- (4.928,3.734) -- (4.758,3.689) -- (4.633,3.564) -- (4.588,3.394) -- (4.633,3.224) -- (4.758,3.1) -- (4.928,3.054) -- (5.098,3.1) -- (5.222,3.224) -- cycle;
\node at (4.928,3.394) {\scalebox{1.466}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.464,3.166) -- (6.418,3.336) -- (6.294,3.461) -- (6.124,3.506) -- (5.954,3.461) -- (5.829,3.336) -- (5.784,3.166) -- (5.829,2.996) -- (5.954,2.872) -- (6.124,2.826) -- (6.294,2.872) -- (6.418,2.996) -- cycle;
\node at (6.124,3.166) {\scalebox{1.466}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.903,2.596) -- (9.857,2.766) -- (9.733,2.89) -- (9.563,2.936) -- (9.393,2.89) -- (9.268,2.766) -- (9.223,2.596) -- (9.268,2.426) -- (9.393,2.301) -- (9.563,2.256) -- (9.733,2.301) -- (9.857,2.426) -- cycle;
\node at (9.563,2.596) {\scalebox{1.466}{\small 12}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.227,2.127) -- (6.181,2.297) -- (6.057,2.421) -- (5.887,2.467) -- (5.717,2.421) -- (5.593,2.297) -- (5.547,2.127) -- (5.593,1.957) -- (5.717,1.832) -- (5.887,1.787) -- (6.057,1.832) -- (6.181,1.957) -- cycle;
\node at (5.887,2.127) {\scalebox{1.466}{\small 13}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (7.899,6.848) -- (8.499,6.848) -- (8.499,7.448) -- (7.899,7.448) -- cycle;
\node at (8.199,7.148) {\scalebox{1.466}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (4.189,2.184) -- (4.789,2.184) -- (4.789,2.784) -- (4.189,2.784) -- cycle;
\node at (4.489,2.484) {\scalebox{1.466}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (12.727,5.606) -- (13.327,5.606) -- (13.327,6.206) -- (12.727,6.206) -- cycle;
\node at (13.027,5.906) {\scalebox{1.466}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (5.455,0.966) -- (6.055,0.966) -- (6.055,1.566) -- (5.455,1.566) -- cycle;
\node at (5.755,1.266) {\scalebox{1.466}{\small d}};
\node at (0.966,7.668) {\scalebox{1.466}{\small A}};
\node at (11.954,7.399) {\scalebox{1.466}{\small B}};
\node at (8.597,7.623) {\scalebox{1.466}{\small C}};
\node at (8.312,5.403) {\scalebox{1.466}{\small D}};
\node at (0.765,5.252) {\scalebox{1.466}{\small E}};
\node at (4.087,4.43) {\scalebox{1.466}{\small F}};
\node at (11.787,4.398) {\scalebox{1.466}{\small G}};
\node at (3.971,1.839) {\scalebox{1.466}{\small H}};
\node at (7.485,0.95) {\scalebox{1.466}{\small I}};
\draw[line width=0.5pt] (12.684,6.447) -- (12.684,7.547);
\draw[line width=0.5pt] (12.453,7.162) -- (12.684,7.547) -- (12.915,7.162);
\draw[line width=0.5pt] (12.382,6.997) -- (12.987,6.997);
\node at (12.684,7.932) {\scalebox{1.466}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① allée des Tilleuls & ⑧ rue Neuve & Ⓐ Fontaine Notre-Dame & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue de l'Église & ⑨ rue du Stade & Ⓑ Place du Marché & \textbf{b} la gendarmerie \\ \hline
③ avenue de la Gare & ⑩ rue Haute & Ⓒ Rond-point de la Gare & \textbf{c} le marché couvert \\ \hline
④ venelle du Chat & ⑪ rue Basse & Ⓓ Carrefour du Moulin & \textbf{d} le gymnase \\ \hline
⑤ chemin des Vignes & ⑫ rue de la Poste & Ⓔ Place des Tanneurs &  \\ \hline
⑥ allée des Peupliers & ⑬ rue du Moulin & Ⓕ Rond-point du Pont &  \\ \hline
⑦ rue des Écoles &  & Ⓖ Rond-point des Vaches &  \\ \hline
 &  & Ⓗ Place de l'Église &  \\ \hline
 &  & Ⓘ Carrefour Saint-Roch &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6103, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (1.523,7.397) -- (1.757,7.355) -- (1.991,7.319) -- (2.227,7.288) -- (2.463,7.263) -- (2.7,7.243) -- (2.937,7.229) -- (3.174,7.221) -- (3.412,7.218) -- (3.65,7.221) -- (3.887,7.229) -- (4.124,7.243) -- (4.361,7.262) -- (4.597,7.287) -- (4.832,7.318) -- (5.073,7.343) -- (5.314,7.362) -- (5.555,7.375) -- (5.797,7.383) -- (6.039,7.385) -- (6.281,7.381) -- (6.523,7.372) -- (6.764,7.357) -- (7.005,7.336) -- (7.246,7.31) -- (7.486,7.278) -- (7.725,7.24) -- (7.963,7.197) -- (8.199,7.148);
\draw[line width=0.5pt] (1.523,7.397) -- (1.537,7.241) -- (1.547,7.086) -- (1.554,6.93) -- (1.557,6.774) -- (1.556,6.617) -- (1.551,6.461) -- (1.543,6.305) -- (1.532,6.15) -- (1.516,5.994) -- (1.497,5.839) -- (1.474,5.685) -- (1.448,5.531) -- (1.418,5.378) -- (1.384,5.226);
\draw[line width=0.5pt] (11.384,7.154) -- (11.159,7.188) -- (10.932,7.217) -- (10.705,7.241) -- (10.477,7.259) -- (10.249,7.272) -- (10.02,7.28) -- (9.792,7.282) -- (9.563,7.279) -- (9.335,7.271) -- (9.106,7.257) -- (8.879,7.238) -- (8.652,7.213) -- (8.425,7.183) -- (8.199,7.148);
\draw[line width=0.5pt] (11.384,7.154) -- (11.399,6.961) -- (11.408,6.768) -- (11.413,6.575) -- (11.414,6.382) -- (11.41,6.189) -- (11.401,5.995) -- (11.388,5.802) -- (11.371,5.61) -- (11.349,5.418) -- (11.322,5.226) -- (11.291,5.035) -- (11.255,4.845) -- (11.215,4.656) -- (11.171,4.468);
\draw[line width=0.5pt] (8.199,7.148) -- (8.144,7.021) -- (8.091,6.892) -- (8.042,6.763) -- (7.996,6.632) -- (7.952,6.5) -- (7.912,6.367) -- (7.875,6.234) -- (7.841,6.099) -- (7.81,5.964) -- (7.783,5.828) -- (7.758,5.691) -- (7.737,5.554) -- (7.719,5.416) -- (7.705,5.278);
\draw[line width=0.5pt] (8.199,7.148) -- (8.439,6.99) -- (8.675,6.827) -- (8.908,6.659) -- (9.136,6.485) -- (9.36,6.305) -- (9.58,6.121) -- (9.796,5.931) -- (10.007,5.736) -- (10.213,5.536) -- (10.415,5.332) -- (10.611,5.123) -- (10.803,4.909) -- (10.99,4.691) -- (11.171,4.468);
\draw[line width=0.5pt] (7.705,5.278) -- (7.942,5.183) -- (8.181,5.093) -- (8.422,5.009) -- (8.665,4.931) -- (8.91,4.858) -- (9.156,4.792) -- (9.404,4.73) -- (9.654,4.675) -- (9.905,4.626) -- (10.156,4.582) -- (10.409,4.545) -- (10.662,4.513) -- (10.916,4.488) -- (11.171,4.468);
\draw[line width=0.5pt] (7.705,5.278) -- (7.719,5.01) -- (7.727,4.741) -- (7.728,4.472) -- (7.723,4.204) -- (7.711,3.935) -- (7.694,3.666) -- (7.67,3.398) -- (7.64,3.131) -- (7.603,2.865) -- (7.56,2.599) -- (7.511,2.335) -- (7.456,2.071) -- (7.395,1.81) -- (7.327,1.55);
\draw[line width=0.5pt] (1.384,5.226) -- (1.611,5.144) -- (1.84,5.067) -- (2.071,4.996) -- (2.304,4.931) -- (2.538,4.871) -- (2.773,4.816) -- (3.01,4.767) -- (3.247,4.724) -- (3.486,4.686) -- (3.725,4.653) -- (3.965,4.627) -- (4.206,4.606) -- (4.447,4.59) -- (4.688,4.581);
\draw[line width=0.5pt] (4.688,4.581) -- (4.689,4.418) -- (4.685,4.255) -- (4.678,4.091) -- (4.667,3.928) -- (4.652,3.766) -- (4.634,3.604) -- (4.611,3.442) -- (4.585,3.281) -- (4.555,3.12) -- (4.521,2.96) -- (4.484,2.801) -- (4.443,2.643) -- (4.398,2.486) -- (4.349,2.331);
\draw[line width=0.5pt] (4.688,4.581) -- (4.842,4.337) -- (5.002,4.097) -- (5.167,3.861) -- (5.338,3.629) -- (5.514,3.4) -- (5.696,3.176) -- (5.883,2.956) -- (6.075,2.741) -- (6.271,2.53) -- (6.473,2.324) -- (6.68,2.123) -- (6.891,1.927) -- (7.107,1.735) -- (7.327,1.55);
\draw[line width=0.5pt] (11.171,4.468) -- (10.93,4.22) -- (10.684,3.976) -- (10.432,3.739) -- (10.174,3.508) -- (9.911,3.282) -- (9.643,3.063) -- (9.369,2.85) -- (9.091,2.644) -- (8.808,2.444) -- (8.52,2.252) -- (8.228,2.065) -- (7.932,1.886) -- (7.631,1.714) -- (7.327,1.55);
\draw[line width=0.5pt] (4.349,2.331) -- (4.551,2.243) -- (4.756,2.16) -- (4.963,2.081) -- (5.171,2.008) -- (5.381,1.939) -- (5.593,1.876) -- (5.806,1.817) -- (6.02,1.764) -- (6.236,1.715) -- (6.452,1.672) -- (6.67,1.633) -- (6.888,1.6) -- (7.107,1.572) -- (7.327,1.55);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.683,7.397) -- (1.662,7.477) -- (1.603,7.535) -- (1.523,7.557) -- (1.443,7.535) -- (1.385,7.477) -- (1.363,7.397) -- (1.385,7.317) -- (1.443,7.258) -- (1.523,7.237) -- (1.603,7.258) -- (1.662,7.317) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.544,7.154) -- (11.523,7.234) -- (11.464,7.293) -- (11.384,7.314) -- (11.304,7.293) -- (11.246,7.234) -- (11.224,7.154) -- (11.246,7.074) -- (11.304,7.015) -- (11.384,6.994) -- (11.464,7.015) -- (11.523,7.074) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.359,7.148) -- (8.338,7.228) -- (8.279,7.286) -- (8.199,7.308) -- (8.119,7.286) -- (8.061,7.228) -- (8.039,7.148) -- (8.061,7.068) -- (8.119,7.009) -- (8.199,6.988) -- (8.279,7.009) -- (8.338,7.068) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.865,5.278) -- (7.843,5.358) -- (7.785,5.417) -- (7.705,5.438) -- (7.625,5.417) -- (7.566,5.358) -- (7.545,5.278) -- (7.566,5.198) -- (7.625,5.14) -- (7.705,5.118) -- (7.785,5.14) -- (7.843,5.198) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.544,5.226) -- (1.523,5.306) -- (1.464,5.364) -- (1.384,5.386) -- (1.304,5.364) -- (1.246,5.306) -- (1.224,5.226) -- (1.246,5.146) -- (1.304,5.087) -- (1.384,5.066) -- (1.464,5.087) -- (1.523,5.146) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.848,4.581) -- (4.827,4.661) -- (4.768,4.719) -- (4.688,4.741) -- (4.608,4.719) -- (4.55,4.661) -- (4.528,4.581) -- (4.55,4.501) -- (4.608,4.442) -- (4.688,4.421) -- (4.768,4.442) -- (4.827,4.501) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.331,4.468) -- (11.309,4.548) -- (11.251,4.607) -- (11.171,4.628) -- (11.091,4.607) -- (11.032,4.548) -- (11.011,4.468) -- (11.032,4.388) -- (11.091,4.33) -- (11.171,4.308) -- (11.251,4.33) -- (11.309,4.388) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.509,2.331) -- (4.488,2.411) -- (4.429,2.469) -- (4.349,2.491) -- (4.269,2.469) -- (4.21,2.411) -- (4.189,2.331) -- (4.21,2.251) -- (4.269,2.192) -- (4.349,2.171) -- (4.429,2.192) -- (4.488,2.251) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.487,1.55) -- (7.466,1.63) -- (7.407,1.688) -- (7.327,1.71) -- (7.247,1.688) -- (7.188,1.63) -- (7.167,1.55) -- (7.188,1.47) -- (7.247,1.411) -- (7.327,1.39) -- (7.407,1.411) -- (7.466,1.47) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.135,7.636) -- (5.09,7.806) -- (4.965,7.93) -- (4.795,7.976) -- (4.625,7.93) -- (4.501,7.806) -- (4.455,7.636) -- (4.501,7.466) -- (4.625,7.341) -- (4.795,7.296) -- (4.965,7.341) -- (5.09,7.466) -- cycle;
\node at (4.795,7.636) {\scalebox{1.639}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.203,6.285) -- (2.157,6.455) -- (2.033,6.579) -- (1.863,6.625) -- (1.693,6.579) -- (1.568,6.455) -- (1.523,6.285) -- (1.568,6.115) -- (1.693,5.991) -- (1.863,5.945) -- (2.033,5.991) -- (2.157,6.115) -- cycle;
\node at (1.863,6.285) {\scalebox{1.639}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.132,6.962) -- (10.087,7.132) -- (9.962,7.257) -- (9.792,7.302) -- (9.622,7.257) -- (9.498,7.132) -- (9.452,6.962) -- (9.498,6.792) -- (9.622,6.668) -- (9.792,6.622) -- (9.962,6.668) -- (10.087,6.792) -- cycle;
\node at (9.792,6.962) {\scalebox{1.639}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (12.047,5.777) -- (12.002,5.947) -- (11.877,6.071) -- (11.707,6.117) -- (11.537,6.071) -- (11.413,5.947) -- (11.367,5.777) -- (11.413,5.607) -- (11.537,5.483) -- (11.707,5.437) -- (11.877,5.483) -- (12.002,5.607) -- cycle;
\node at (11.707,5.777) {\scalebox{1.639}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.524,6.152) -- (8.479,6.322) -- (8.354,6.446) -- (8.184,6.492) -- (8.014,6.446) -- (7.89,6.322) -- (7.844,6.152) -- (7.89,5.982) -- (8.014,5.857) -- (8.184,5.812) -- (8.354,5.857) -- (8.479,5.982) -- cycle;
\node at (8.184,6.152) {\scalebox{1.639}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.35,6.168) -- (10.304,6.338) -- (10.18,6.463) -- (10.01,6.508) -- (9.84,6.463) -- (9.716,6.338) -- (9.67,6.168) -- (9.716,5.998) -- (9.84,5.874) -- (10.01,5.828) -- (10.18,5.874) -- (10.304,5.998) -- cycle;
\node at (10.01,6.168) {\scalebox{1.639}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.817,5.042) -- (9.772,5.212) -- (9.647,5.337) -- (9.477,5.382) -- (9.307,5.337) -- (9.183,5.212) -- (9.137,5.042) -- (9.183,4.872) -- (9.307,4.748) -- (9.477,4.702) -- (9.647,4.748) -- (9.772,4.872) -- cycle;
\node at (9.477,5.042) {\scalebox{1.639}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.328,3.366) -- (8.283,3.536) -- (8.158,3.661) -- (7.988,3.706) -- (7.818,3.661) -- (7.694,3.536) -- (7.648,3.366) -- (7.694,3.196) -- (7.818,3.072) -- (7.988,3.026) -- (8.158,3.072) -- (8.283,3.196) -- cycle;
\node at (7.988,3.366) {\scalebox{1.639}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.411,5.081) -- (3.365,5.251) -- (3.241,5.376) -- (3.071,5.421) -- (2.901,5.376) -- (2.777,5.251) -- (2.731,5.081) -- (2.777,4.911) -- (2.901,4.787) -- (3.071,4.741) -- (3.241,4.787) -- (3.365,4.911) -- cycle;
\node at (3.071,5.081) {\scalebox{1.639}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.268,3.394) -- (5.222,3.564) -- (5.098,3.689) -- (4.928,3.734) -- (4.758,3.689) -- (4.633,3.564) -- (4.588,3.394) -- (4.633,3.224) -- (4.758,3.1) -- (4.928,3.054) -- (5.098,3.1) -- (5.222,3.224) -- cycle;
\node at (4.928,3.394) {\scalebox{1.639}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.464,3.166) -- (6.418,3.336) -- (6.294,3.461) -- (6.124,3.506) -- (5.954,3.461) -- (5.829,3.336) -- (5.784,3.166) -- (5.829,2.996) -- (5.954,2.872) -- (6.124,2.826) -- (6.294,2.872) -- (6.418,2.996) -- cycle;
\node at (6.124,3.166) {\scalebox{1.639}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.903,2.596) -- (9.857,2.766) -- (9.733,2.89) -- (9.563,2.936) -- (9.393,2.89) -- (9.268,2.766) -- (9.223,2.596) -- (9.268,2.426) -- (9.393,2.301) -- (9.563,2.256) -- (9.733,2.301) -- (9.857,2.426) -- cycle;
\node at (9.563,2.596) {\scalebox{1.639}{\small 12}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.227,2.127) -- (6.181,2.297) -- (6.057,2.421) -- (5.887,2.467) -- (5.717,2.421) -- (5.593,2.297) -- (5.547,2.127) -- (5.593,1.957) -- (5.717,1.832) -- (5.887,1.787) -- (6.057,1.832) -- (6.181,1.957) -- cycle;
\node at (5.887,2.127) {\scalebox{1.639}{\small 13}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (7.899,6.848) -- (8.499,6.848) -- (8.499,7.448) -- (7.899,7.448) -- cycle;
\node at (8.199,7.148) {\scalebox{1.639}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (4.189,2.184) -- (4.789,2.184) -- (4.789,2.784) -- (4.189,2.784) -- cycle;
\node at (4.489,2.484) {\scalebox{1.639}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (12.727,5.606) -- (13.327,5.606) -- (13.327,6.206) -- (12.727,6.206) -- cycle;
\node at (13.027,5.906) {\scalebox{1.639}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (5.455,0.966) -- (6.055,0.966) -- (6.055,1.566) -- (5.455,1.566) -- cycle;
\node at (5.755,1.266) {\scalebox{1.639}{\small d}};
\node at (0.966,7.668) {\scalebox{1.639}{\small A}};
\node at (11.954,7.399) {\scalebox{1.639}{\small B}};
\node at (8.597,7.623) {\scalebox{1.639}{\small C}};
\node at (8.312,5.403) {\scalebox{1.639}{\small D}};
\node at (0.765,5.252) {\scalebox{1.639}{\small E}};
\node at (4.087,4.43) {\scalebox{1.639}{\small F}};
\node at (11.787,4.398) {\scalebox{1.639}{\small G}};
\node at (3.971,1.839) {\scalebox{1.639}{\small H}};
\node at (7.485,0.95) {\scalebox{1.639}{\small I}};
\draw[line width=0.5pt] (12.684,6.447) -- (12.684,7.547);
\draw[line width=0.5pt] (12.453,7.162) -- (12.684,7.547) -- (12.915,7.162);
\draw[line width=0.5pt] (12.382,6.997) -- (12.987,6.997);
\node at (12.684,7.932) {\scalebox{1.639}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G & \cellcolor{blue!7}\bfseries H & \cellcolor{blue!7}\bfseries I \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 2 & 4 & 3 & 2 & 3 & 4 & 2 & 4 \\ \hline
Parité & pair & pair & pair & \textbf{impair} & pair & \textbf{impair} & pair & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 26 = 2 \(\times\) 13, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{D}, \textbf{F} — il y en a 2.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{C}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Deux carrefours sont impairs, \textbf{D} et \textbf{F} : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Or la poste est en \textbf{C}, où aboutit un nombre \textbf{pair} de rues. Ce carrefour ne peut être que traversé, jamais servir de départ.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui, une tournée existe} — mais elle va de \textbf{D} à \textbf{F}. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il \textbf{ne reviendrait pas} à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Ce parcours, en partant de D :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Carrefour du Moulin \textbf{(D)}, prend le \textbf{chemin des Vignes ⑤} vers le nord et atteint Rond-point de la Gare \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à gauche dans l'\textbf{allée des Tilleuls ①}, vers l'ouest, jusqu'à Fontaine Notre-Dame \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue de l'Église ②}, vers le sud, jusqu'à Place des Tanneurs \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Stade ⑨}, vers l'est, jusqu'à Rond-point du Pont \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue Haute ⑩}, vers le sud, jusqu'à Place de l'Église \textbf{(H)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Moulin ⑬}, vers l'est, jusqu'à Carrefour Saint-Roch \textbf{(I)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue Neuve ⑧}, vers le nord, jusqu'à Carrefour du Moulin \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue des Écoles ⑦}, vers l'est, jusqu'à Rond-point des Vaches \textbf{(G)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{venelle du Chat ④}, vers le nord, jusqu'à Place du Marché \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à gauche dans l'\textbf{avenue de la Gare ③}, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point de la Gare \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à gauche dans l'\textbf{allée des Peupliers ⑥}, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point des Vaches \textbf{(G)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue de la Poste ⑫}, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour Saint-Roch \textbf{(I)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue Basse ⑪}, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point du Pont \textbf{(F)}.
\end{enumerate}
\end{document}
