\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 62}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=62}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0062}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7266, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (8.114,11.559) -- (7.854,11.521) -- (7.595,11.477) -- (7.337,11.427) -- (7.08,11.37) -- (6.825,11.308) -- (6.571,11.239) -- (6.319,11.165) -- (6.068,11.085) -- (5.82,10.999) -- (5.574,10.907) -- (5.33,10.809) -- (5.088,10.705) -- (4.849,10.596) -- (4.613,10.482) -- (4.37,10.476) -- (4.127,10.477) -- (3.884,10.483) -- (3.641,10.494) -- (3.398,10.512) -- (3.156,10.535) -- (2.915,10.564) -- (2.674,10.598) -- (2.434,10.638) -- (2.195,10.684) -- (1.957,10.736) -- (1.721,10.793) -- (1.486,10.855) -- (1.253,10.923);
\draw[line width=0.5pt] (8.114,11.559) -- (8.317,11.506) -- (8.519,11.447) -- (8.719,11.383) -- (8.918,11.315) -- (9.115,11.242) -- (9.311,11.165) -- (9.505,11.083) -- (9.696,10.996) -- (9.886,10.905) -- (10.073,10.809) -- (10.258,10.709) -- (10.441,10.605) -- (10.621,10.497) -- (10.799,10.384);
\draw[line width=0.5pt] (8.114,11.559) -- (8.274,11.3) -- (8.44,11.045) -- (8.612,10.793) -- (8.791,10.546) -- (8.975,10.302) -- (9.164,10.064) -- (9.36,9.829) -- (9.56,9.599) -- (9.766,9.375) -- (9.978,9.155) -- (10.194,8.94) -- (10.415,8.73) -- (10.642,8.525) -- (10.872,8.327);
\draw[line width=0.5pt] (8.114,11.559) -- (8.149,11.281) -- (8.177,11.001) -- (8.199,10.721) -- (8.214,10.44) -- (8.222,10.159) -- (8.224,9.878) -- (8.219,9.596) -- (8.208,9.315) -- (8.19,9.035) -- (8.166,8.754) -- (8.135,8.475) -- (8.097,8.196) -- (8.053,7.919) -- (8.002,7.642) -- (7.921,7.471) -- (7.844,7.298) -- (7.771,7.123) -- (7.702,6.946) -- (7.637,6.768) -- (7.577,6.588) -- (7.521,6.406) -- (7.469,6.224) -- (7.421,6.04) -- (7.378,5.855) -- (7.339,5.67) -- (7.305,5.483) -- (7.275,5.296) -- (7.249,5.108);
\draw[line width=0.5pt] (1.253,10.923) -- (1.422,10.689) -- (1.597,10.459) -- (1.777,10.233) -- (1.963,10.011) -- (2.154,9.793) -- (2.35,9.581) -- (2.551,9.372) -- (2.757,9.169) -- (2.967,8.97) -- (3.183,8.777) -- (3.402,8.588) -- (3.626,8.405) -- (3.854,8.228) -- (4.086,8.055);
\draw[line width=0.5pt] (10.799,10.384) -- (10.826,10.239) -- (10.851,10.093) -- (10.871,9.947) -- (10.889,9.8) -- (10.903,9.653) -- (10.913,9.506) -- (10.92,9.358) -- (10.924,9.211) -- (10.924,9.063) -- (10.921,8.915) -- (10.914,8.768) -- (10.903,8.62) -- (10.89,8.473) -- (10.872,8.327);
\draw[line width=0.5pt] (10.872,8.327) -- (10.58,8.138) -- (10.293,7.943) -- (10.01,7.741) -- (9.732,7.532) -- (9.459,7.317) -- (9.191,7.095) -- (8.928,6.867) -- (8.671,6.633) -- (8.419,6.393) -- (8.173,6.147) -- (7.933,5.895) -- (7.698,5.638) -- (7.47,5.376) -- (7.249,5.108);
\draw[line width=0.5pt] (4.086,8.055) -- (4.343,7.881) -- (4.595,7.701) -- (4.843,7.515) -- (5.086,7.322) -- (5.325,7.125) -- (5.56,6.921) -- (5.789,6.712) -- (6.014,6.498) -- (6.233,6.279) -- (6.447,6.054) -- (6.656,5.825) -- (6.859,5.591) -- (7.057,5.352) -- (7.249,5.108);
\draw[line width=0.5pt] (4.086,8.055) -- (4.065,7.83) -- (4.05,7.604) -- (4.039,7.377) -- (4.035,7.151) -- (4.035,6.924) -- (4.041,6.698) -- (4.052,6.471) -- (4.068,6.245) -- (4.09,6.019) -- (4.117,5.794) -- (4.149,5.57) -- (4.187,5.346) -- (4.23,5.124) -- (4.278,4.903);
\draw[line width=0.5pt] (4.086,8.055) -- (3.961,7.779) -- (3.829,7.507) -- (3.69,7.237) -- (3.545,6.97) -- (3.394,6.707) -- (3.237,6.448) -- (3.074,6.192) -- (2.904,5.94) -- (2.729,5.692) -- (2.549,5.449) -- (2.362,5.209) -- (2.17,4.975) -- (1.972,4.745) -- (1.77,4.519);
\draw[line width=0.5pt] (7.249,5.108) -- (7.04,4.883) -- (6.837,4.653) -- (6.639,4.418) -- (6.447,4.178) -- (6.261,3.934) -- (6.08,3.685) -- (5.905,3.433) -- (5.736,3.176) -- (5.573,2.915) -- (5.417,2.651) -- (5.266,2.383) -- (5.122,2.112) -- (4.985,1.837) -- (4.854,1.559);
\draw[line width=0.5pt] (4.278,4.903) -- (4.104,4.848) -- (3.929,4.798) -- (3.753,4.751) -- (3.576,4.709) -- (3.398,4.671) -- (3.219,4.637) -- (3.039,4.608) -- (2.859,4.582) -- (2.678,4.561) -- (2.497,4.544) -- (2.315,4.531) -- (2.133,4.523) -- (1.952,4.519) -- (1.77,4.519);
\draw[line width=0.5pt] (4.278,4.903) -- (4.282,4.659) -- (4.292,4.416) -- (4.308,4.173) -- (4.329,3.931) -- (4.357,3.689) -- (4.389,3.448) -- (4.428,3.207) -- (4.472,2.968) -- (4.522,2.729) -- (4.577,2.492) -- (4.638,2.257) -- (4.705,2.022) -- (4.777,1.79) -- (4.854,1.559);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.274,11.559) -- (8.252,11.639) -- (8.194,11.698) -- (8.114,11.719) -- (8.034,11.698) -- (7.975,11.639) -- (7.954,11.559) -- (7.975,11.479) -- (8.034,11.421) -- (8.114,11.399) -- (8.194,11.421) -- (8.252,11.479) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.413,10.923) -- (1.391,11.003) -- (1.333,11.062) -- (1.253,11.083) -- (1.173,11.062) -- (1.114,11.003) -- (1.093,10.923) -- (1.114,10.843) -- (1.173,10.785) -- (1.253,10.763) -- (1.333,10.785) -- (1.391,10.843) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.959,10.384) -- (10.937,10.464) -- (10.879,10.523) -- (10.799,10.544) -- (10.719,10.523) -- (10.66,10.464) -- (10.639,10.384) -- (10.66,10.304) -- (10.719,10.245) -- (10.799,10.224) -- (10.879,10.245) -- (10.937,10.304) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.032,8.327) -- (11.011,8.407) -- (10.952,8.465) -- (10.872,8.487) -- (10.792,8.465) -- (10.734,8.407) -- (10.712,8.327) -- (10.734,8.247) -- (10.792,8.188) -- (10.872,8.167) -- (10.952,8.188) -- (11.011,8.247) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.246,8.055) -- (4.225,8.135) -- (4.166,8.194) -- (4.086,8.215) -- (4.006,8.194) -- (3.948,8.135) -- (3.926,8.055) -- (3.948,7.975) -- (4.006,7.917) -- (4.086,7.895) -- (4.166,7.917) -- (4.225,7.975) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.409,5.108) -- (7.388,5.188) -- (7.329,5.247) -- (7.249,5.268) -- (7.169,5.247) -- (7.11,5.188) -- (7.089,5.108) -- (7.11,5.028) -- (7.169,4.97) -- (7.249,4.948) -- (7.329,4.97) -- (7.388,5.028) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.438,4.903) -- (4.416,4.983) -- (4.358,5.041) -- (4.278,5.063) -- (4.198,5.041) -- (4.139,4.983) -- (4.118,4.903) -- (4.139,4.823) -- (4.198,4.764) -- (4.278,4.743) -- (4.358,4.764) -- (4.416,4.823) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.93,4.519) -- (1.908,4.599) -- (1.85,4.658) -- (1.77,4.679) -- (1.69,4.658) -- (1.631,4.599) -- (1.61,4.519) -- (1.631,4.439) -- (1.69,4.381) -- (1.77,4.359) -- (1.85,4.381) -- (1.908,4.439) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.014,1.559) -- (4.993,1.639) -- (4.934,1.698) -- (4.854,1.719) -- (4.774,1.698) -- (4.716,1.639) -- (4.694,1.559) -- (4.716,1.479) -- (4.774,1.421) -- (4.854,1.399) -- (4.934,1.421) -- (4.993,1.479) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.031,10.171) -- (4.985,10.341) -- (4.861,10.466) -- (4.691,10.511) -- (4.521,10.466) -- (4.396,10.341) -- (4.351,10.171) -- (4.396,10.001) -- (4.521,9.877) -- (4.691,9.831) -- (4.861,9.877) -- (4.985,10.001) -- cycle;
\node at (4.691,10.171) {\scalebox{1.376}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.973,11.376) -- (9.927,11.546) -- (9.803,11.67) -- (9.633,11.716) -- (9.463,11.67) -- (9.338,11.546) -- (9.293,11.376) -- (9.338,11.206) -- (9.463,11.081) -- (9.633,11.036) -- (9.803,11.081) -- (9.927,11.206) -- cycle;
\node at (9.633,11.376) {\scalebox{1.376}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.943,10.037) -- (9.898,10.207) -- (9.773,10.331) -- (9.603,10.377) -- (9.433,10.331) -- (9.309,10.207) -- (9.263,10.037) -- (9.309,9.867) -- (9.433,9.742) -- (9.603,9.697) -- (9.773,9.742) -- (9.898,9.867) -- cycle;
\node at (9.603,10.037) {\scalebox{1.376}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.649,7.552) -- (8.603,7.722) -- (8.479,7.846) -- (8.309,7.892) -- (8.139,7.846) -- (8.014,7.722) -- (7.969,7.552) -- (8.014,7.382) -- (8.139,7.258) -- (8.309,7.212) -- (8.479,7.258) -- (8.603,7.382) -- cycle;
\node at (8.309,7.552) {\scalebox{1.376}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.119,9.597) -- (3.073,9.767) -- (2.949,9.892) -- (2.779,9.937) -- (2.609,9.892) -- (2.484,9.767) -- (2.439,9.597) -- (2.484,9.427) -- (2.609,9.303) -- (2.779,9.257) -- (2.949,9.303) -- (3.073,9.427) -- cycle;
\node at (2.779,9.597) {\scalebox{1.376}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.58,9.37) -- (11.535,9.54) -- (11.41,9.664) -- (11.24,9.71) -- (11.07,9.664) -- (10.946,9.54) -- (10.9,9.37) -- (10.946,9.2) -- (11.07,9.075) -- (11.24,9.03) -- (11.41,9.075) -- (11.535,9.2) -- cycle;
\node at (11.24,9.37) {\scalebox{1.376}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.48,6.628) -- (9.435,6.798) -- (9.31,6.922) -- (9.14,6.968) -- (8.97,6.922) -- (8.846,6.798) -- (8.8,6.628) -- (8.846,6.458) -- (8.97,6.333) -- (9.14,6.288) -- (9.31,6.333) -- (9.435,6.458) -- cycle;
\node at (9.14,6.628) {\scalebox{1.376}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.347,6.946) -- (6.302,7.116) -- (6.177,7.241) -- (6.007,7.286) -- (5.837,7.241) -- (5.713,7.116) -- (5.667,6.946) -- (5.713,6.776) -- (5.837,6.652) -- (6.007,6.606) -- (6.177,6.652) -- (6.302,6.776) -- cycle;
\node at (6.007,6.946) {\scalebox{1.376}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.711,6.49) -- (4.666,6.66) -- (4.541,6.785) -- (4.371,6.83) -- (4.201,6.785) -- (4.077,6.66) -- (4.031,6.49) -- (4.077,6.32) -- (4.201,6.196) -- (4.371,6.15) -- (4.541,6.196) -- (4.666,6.32) -- cycle;
\node at (4.371,6.49) {\scalebox{1.376}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.681,6.016) -- (3.636,6.186) -- (3.511,6.311) -- (3.341,6.356) -- (3.171,6.311) -- (3.047,6.186) -- (3.001,6.016) -- (3.047,5.846) -- (3.171,5.722) -- (3.341,5.676) -- (3.511,5.722) -- (3.636,5.846) -- cycle;
\node at (3.341,6.016) {\scalebox{1.376}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.51,3.254) -- (6.465,3.424) -- (6.34,3.548) -- (6.17,3.594) -- (6.0,3.548) -- (5.876,3.424) -- (5.83,3.254) -- (5.876,3.084) -- (6.0,2.959) -- (6.17,2.914) -- (6.34,2.959) -- (6.465,3.084) -- cycle;
\node at (6.17,3.254) {\scalebox{1.376}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.428,4.291) -- (3.382,4.461) -- (3.258,4.586) -- (3.088,4.631) -- (2.918,4.586) -- (2.793,4.461) -- (2.748,4.291) -- (2.793,4.121) -- (2.918,3.997) -- (3.088,3.951) -- (3.258,3.997) -- (3.382,4.121) -- cycle;
\node at (3.088,4.291) {\scalebox{1.376}{\small 12}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.083,3.262) -- (5.038,3.432) -- (4.913,3.556) -- (4.743,3.602) -- (4.573,3.556) -- (4.449,3.432) -- (4.403,3.262) -- (4.449,3.092) -- (4.573,2.967) -- (4.743,2.922) -- (4.913,2.967) -- (5.038,3.092) -- cycle;
\node at (4.743,3.262) {\scalebox{1.376}{\small 13}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (6.949,4.808) -- (7.549,4.808) -- (7.549,5.408) -- (6.949,5.408) -- cycle;
\node at (7.249,5.108) {\scalebox{1.376}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (2.28,5.043) -- (2.88,5.043) -- (2.88,5.643) -- (2.28,5.643) -- cycle;
\node at (2.58,5.343) {\scalebox{1.376}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.81,6.253) -- (7.41,6.253) -- (7.41,6.853) -- (6.81,6.853) -- cycle;
\node at (7.11,6.553) {\scalebox{1.376}{\small c}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.063,5.901) -- (10.663,5.901) -- (10.663,6.501) -- (10.063,6.501) -- cycle;
\node at (10.363,6.201) {\scalebox{1.376}{\small d}};
\node at (8.395,12.112) {\scalebox{1.376}{\small A}};
\node at (0.765,11.306) {\scalebox{1.376}{\small B}};
\node at (11.321,10.718) {\scalebox{1.376}{\small C}};
\node at (11.478,8.457) {\scalebox{1.376}{\small D}};
\node at (3.517,8.302) {\scalebox{1.376}{\small E}};
\node at (7.575,4.581) {\scalebox{1.376}{\small F}};
\node at (3.923,4.394) {\scalebox{1.376}{\small G}};
\node at (1.252,4.178) {\scalebox{1.376}{\small H}};
\node at (4.74,0.95) {\scalebox{1.376}{\small I}};
\draw[line width=0.5pt] (12.172,10.609) -- (12.172,11.709);
\draw[line width=0.5pt] (11.941,11.324) -- (12.172,11.709) -- (12.403,11.324);
\draw[line width=0.5pt] (11.87,11.159) -- (12.475,11.159);
\node at (12.172,12.094) {\scalebox{1.376}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① passage du Marché & ⑧ rue Verte & Ⓐ Rond-point du Pont & \textbf{a} la poste \\ \hline
② chemin de Ronde & ⑨ quai aux Fleurs & Ⓑ Place Sainte-Croix & \textbf{b} la mairie \\ \hline
③ chemin Creux & ⑩ rue de la Poste & Ⓒ Place des Tanneurs & \textbf{c} la boulangerie \\ \hline
④ venelle du Chat & ⑪ rue du Four & Ⓓ Carrefour des Quatre-Chemins & \textbf{d} le lavoir \\ \hline
⑤ rue des Écoles & ⑫ rue de l'Église & Ⓔ Rond-point de la Gare &  \\ \hline
⑥ allée des Tilleuls & ⑬ rue du Puits & Ⓕ Carrefour du Lavoir &  \\ \hline
⑦ chemin du Lavoir &  & Ⓖ Rond-point du Stade &  \\ \hline
 &  & Ⓗ Fontaine Notre-Dame &  \\ \hline
 &  & Ⓘ Place aux Herbes &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6501, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (8.114,11.559) -- (7.854,11.521) -- (7.595,11.477) -- (7.337,11.427) -- (7.08,11.37) -- (6.825,11.308) -- (6.571,11.239) -- (6.319,11.165) -- (6.068,11.085) -- (5.82,10.999) -- (5.574,10.907) -- (5.33,10.809) -- (5.088,10.705) -- (4.849,10.596) -- (4.613,10.482) -- (4.37,10.476) -- (4.127,10.477) -- (3.884,10.483) -- (3.641,10.494) -- (3.398,10.512) -- (3.156,10.535) -- (2.915,10.564) -- (2.674,10.598) -- (2.434,10.638) -- (2.195,10.684) -- (1.957,10.736) -- (1.721,10.793) -- (1.486,10.855) -- (1.253,10.923);
\draw[line width=0.5pt] (8.114,11.559) -- (8.317,11.506) -- (8.519,11.447) -- (8.719,11.383) -- (8.918,11.315) -- (9.115,11.242) -- (9.311,11.165) -- (9.505,11.083) -- (9.696,10.996) -- (9.886,10.905) -- (10.073,10.809) -- (10.258,10.709) -- (10.441,10.605) -- (10.621,10.497) -- (10.799,10.384);
\draw[line width=0.5pt] (8.114,11.559) -- (8.274,11.3) -- (8.44,11.045) -- (8.612,10.793) -- (8.791,10.546) -- (8.975,10.302) -- (9.164,10.064) -- (9.36,9.829) -- (9.56,9.599) -- (9.766,9.375) -- (9.978,9.155) -- (10.194,8.94) -- (10.415,8.73) -- (10.642,8.525) -- (10.872,8.327);
\draw[line width=0.5pt] (8.114,11.559) -- (8.149,11.281) -- (8.177,11.001) -- (8.199,10.721) -- (8.214,10.44) -- (8.222,10.159) -- (8.224,9.878) -- (8.219,9.596) -- (8.208,9.315) -- (8.19,9.035) -- (8.166,8.754) -- (8.135,8.475) -- (8.097,8.196) -- (8.053,7.919) -- (8.002,7.642) -- (7.921,7.471) -- (7.844,7.298) -- (7.771,7.123) -- (7.702,6.946) -- (7.637,6.768) -- (7.577,6.588) -- (7.521,6.406) -- (7.469,6.224) -- (7.421,6.04) -- (7.378,5.855) -- (7.339,5.67) -- (7.305,5.483) -- (7.275,5.296) -- (7.249,5.108);
\draw[line width=0.5pt] (1.253,10.923) -- (1.422,10.689) -- (1.597,10.459) -- (1.777,10.233) -- (1.963,10.011) -- (2.154,9.793) -- (2.35,9.581) -- (2.551,9.372) -- (2.757,9.169) -- (2.967,8.97) -- (3.183,8.777) -- (3.402,8.588) -- (3.626,8.405) -- (3.854,8.228) -- (4.086,8.055);
\draw[line width=0.5pt] (10.799,10.384) -- (10.826,10.239) -- (10.851,10.093) -- (10.871,9.947) -- (10.889,9.8) -- (10.903,9.653) -- (10.913,9.506) -- (10.92,9.358) -- (10.924,9.211) -- (10.924,9.063) -- (10.921,8.915) -- (10.914,8.768) -- (10.903,8.62) -- (10.89,8.473) -- (10.872,8.327);
\draw[line width=0.5pt] (10.872,8.327) -- (10.58,8.138) -- (10.293,7.943) -- (10.01,7.741) -- (9.732,7.532) -- (9.459,7.317) -- (9.191,7.095) -- (8.928,6.867) -- (8.671,6.633) -- (8.419,6.393) -- (8.173,6.147) -- (7.933,5.895) -- (7.698,5.638) -- (7.47,5.376) -- (7.249,5.108);
\draw[line width=0.5pt] (4.086,8.055) -- (4.343,7.881) -- (4.595,7.701) -- (4.843,7.515) -- (5.086,7.322) -- (5.325,7.125) -- (5.56,6.921) -- (5.789,6.712) -- (6.014,6.498) -- (6.233,6.279) -- (6.447,6.054) -- (6.656,5.825) -- (6.859,5.591) -- (7.057,5.352) -- (7.249,5.108);
\draw[line width=0.5pt] (4.086,8.055) -- (4.065,7.83) -- (4.05,7.604) -- (4.039,7.377) -- (4.035,7.151) -- (4.035,6.924) -- (4.041,6.698) -- (4.052,6.471) -- (4.068,6.245) -- (4.09,6.019) -- (4.117,5.794) -- (4.149,5.57) -- (4.187,5.346) -- (4.23,5.124) -- (4.278,4.903);
\draw[line width=0.5pt] (4.086,8.055) -- (3.961,7.779) -- (3.829,7.507) -- (3.69,7.237) -- (3.545,6.97) -- (3.394,6.707) -- (3.237,6.448) -- (3.074,6.192) -- (2.904,5.94) -- (2.729,5.692) -- (2.549,5.449) -- (2.362,5.209) -- (2.17,4.975) -- (1.972,4.745) -- (1.77,4.519);
\draw[line width=0.5pt] (7.249,5.108) -- (7.04,4.883) -- (6.837,4.653) -- (6.639,4.418) -- (6.447,4.178) -- (6.261,3.934) -- (6.08,3.685) -- (5.905,3.433) -- (5.736,3.176) -- (5.573,2.915) -- (5.417,2.651) -- (5.266,2.383) -- (5.122,2.112) -- (4.985,1.837) -- (4.854,1.559);
\draw[line width=0.5pt] (4.278,4.903) -- (4.104,4.848) -- (3.929,4.798) -- (3.753,4.751) -- (3.576,4.709) -- (3.398,4.671) -- (3.219,4.637) -- (3.039,4.608) -- (2.859,4.582) -- (2.678,4.561) -- (2.497,4.544) -- (2.315,4.531) -- (2.133,4.523) -- (1.952,4.519) -- (1.77,4.519);
\draw[line width=0.5pt] (4.278,4.903) -- (4.282,4.659) -- (4.292,4.416) -- (4.308,4.173) -- (4.329,3.931) -- (4.357,3.689) -- (4.389,3.448) -- (4.428,3.207) -- (4.472,2.968) -- (4.522,2.729) -- (4.577,2.492) -- (4.638,2.257) -- (4.705,2.022) -- (4.777,1.79) -- (4.854,1.559);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.274,11.559) -- (8.252,11.639) -- (8.194,11.698) -- (8.114,11.719) -- (8.034,11.698) -- (7.975,11.639) -- (7.954,11.559) -- (7.975,11.479) -- (8.034,11.421) -- (8.114,11.399) -- (8.194,11.421) -- (8.252,11.479) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.413,10.923) -- (1.391,11.003) -- (1.333,11.062) -- (1.253,11.083) -- (1.173,11.062) -- (1.114,11.003) -- (1.093,10.923) -- (1.114,10.843) -- (1.173,10.785) -- (1.253,10.763) -- (1.333,10.785) -- (1.391,10.843) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.959,10.384) -- (10.937,10.464) -- (10.879,10.523) -- (10.799,10.544) -- (10.719,10.523) -- (10.66,10.464) -- (10.639,10.384) -- (10.66,10.304) -- (10.719,10.245) -- (10.799,10.224) -- (10.879,10.245) -- (10.937,10.304) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.032,8.327) -- (11.011,8.407) -- (10.952,8.465) -- (10.872,8.487) -- (10.792,8.465) -- (10.734,8.407) -- (10.712,8.327) -- (10.734,8.247) -- (10.792,8.188) -- (10.872,8.167) -- (10.952,8.188) -- (11.011,8.247) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.246,8.055) -- (4.225,8.135) -- (4.166,8.194) -- (4.086,8.215) -- (4.006,8.194) -- (3.948,8.135) -- (3.926,8.055) -- (3.948,7.975) -- (4.006,7.917) -- (4.086,7.895) -- (4.166,7.917) -- (4.225,7.975) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.409,5.108) -- (7.388,5.188) -- (7.329,5.247) -- (7.249,5.268) -- (7.169,5.247) -- (7.11,5.188) -- (7.089,5.108) -- (7.11,5.028) -- (7.169,4.97) -- (7.249,4.948) -- (7.329,4.97) -- (7.388,5.028) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.438,4.903) -- (4.416,4.983) -- (4.358,5.041) -- (4.278,5.063) -- (4.198,5.041) -- (4.139,4.983) -- (4.118,4.903) -- (4.139,4.823) -- (4.198,4.764) -- (4.278,4.743) -- (4.358,4.764) -- (4.416,4.823) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.93,4.519) -- (1.908,4.599) -- (1.85,4.658) -- (1.77,4.679) -- (1.69,4.658) -- (1.631,4.599) -- (1.61,4.519) -- (1.631,4.439) -- (1.69,4.381) -- (1.77,4.359) -- (1.85,4.381) -- (1.908,4.439) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.014,1.559) -- (4.993,1.639) -- (4.934,1.698) -- (4.854,1.719) -- (4.774,1.698) -- (4.716,1.639) -- (4.694,1.559) -- (4.716,1.479) -- (4.774,1.421) -- (4.854,1.399) -- (4.934,1.421) -- (4.993,1.479) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.031,10.171) -- (4.985,10.341) -- (4.861,10.466) -- (4.691,10.511) -- (4.521,10.466) -- (4.396,10.341) -- (4.351,10.171) -- (4.396,10.001) -- (4.521,9.877) -- (4.691,9.831) -- (4.861,9.877) -- (4.985,10.001) -- cycle;
\node at (4.691,10.171) {\scalebox{1.538}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.973,11.376) -- (9.927,11.546) -- (9.803,11.67) -- (9.633,11.716) -- (9.463,11.67) -- (9.338,11.546) -- (9.293,11.376) -- (9.338,11.206) -- (9.463,11.081) -- (9.633,11.036) -- (9.803,11.081) -- (9.927,11.206) -- cycle;
\node at (9.633,11.376) {\scalebox{1.538}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.943,10.037) -- (9.898,10.207) -- (9.773,10.331) -- (9.603,10.377) -- (9.433,10.331) -- (9.309,10.207) -- (9.263,10.037) -- (9.309,9.867) -- (9.433,9.742) -- (9.603,9.697) -- (9.773,9.742) -- (9.898,9.867) -- cycle;
\node at (9.603,10.037) {\scalebox{1.538}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.649,7.552) -- (8.603,7.722) -- (8.479,7.846) -- (8.309,7.892) -- (8.139,7.846) -- (8.014,7.722) -- (7.969,7.552) -- (8.014,7.382) -- (8.139,7.258) -- (8.309,7.212) -- (8.479,7.258) -- (8.603,7.382) -- cycle;
\node at (8.309,7.552) {\scalebox{1.538}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.119,9.597) -- (3.073,9.767) -- (2.949,9.892) -- (2.779,9.937) -- (2.609,9.892) -- (2.484,9.767) -- (2.439,9.597) -- (2.484,9.427) -- (2.609,9.303) -- (2.779,9.257) -- (2.949,9.303) -- (3.073,9.427) -- cycle;
\node at (2.779,9.597) {\scalebox{1.538}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.58,9.37) -- (11.535,9.54) -- (11.41,9.664) -- (11.24,9.71) -- (11.07,9.664) -- (10.946,9.54) -- (10.9,9.37) -- (10.946,9.2) -- (11.07,9.075) -- (11.24,9.03) -- (11.41,9.075) -- (11.535,9.2) -- cycle;
\node at (11.24,9.37) {\scalebox{1.538}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.48,6.628) -- (9.435,6.798) -- (9.31,6.922) -- (9.14,6.968) -- (8.97,6.922) -- (8.846,6.798) -- (8.8,6.628) -- (8.846,6.458) -- (8.97,6.333) -- (9.14,6.288) -- (9.31,6.333) -- (9.435,6.458) -- cycle;
\node at (9.14,6.628) {\scalebox{1.538}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.347,6.946) -- (6.302,7.116) -- (6.177,7.241) -- (6.007,7.286) -- (5.837,7.241) -- (5.713,7.116) -- (5.667,6.946) -- (5.713,6.776) -- (5.837,6.652) -- (6.007,6.606) -- (6.177,6.652) -- (6.302,6.776) -- cycle;
\node at (6.007,6.946) {\scalebox{1.538}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.711,6.49) -- (4.666,6.66) -- (4.541,6.785) -- (4.371,6.83) -- (4.201,6.785) -- (4.077,6.66) -- (4.031,6.49) -- (4.077,6.32) -- (4.201,6.196) -- (4.371,6.15) -- (4.541,6.196) -- (4.666,6.32) -- cycle;
\node at (4.371,6.49) {\scalebox{1.538}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.681,6.016) -- (3.636,6.186) -- (3.511,6.311) -- (3.341,6.356) -- (3.171,6.311) -- (3.047,6.186) -- (3.001,6.016) -- (3.047,5.846) -- (3.171,5.722) -- (3.341,5.676) -- (3.511,5.722) -- (3.636,5.846) -- cycle;
\node at (3.341,6.016) {\scalebox{1.538}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.51,3.254) -- (6.465,3.424) -- (6.34,3.548) -- (6.17,3.594) -- (6.0,3.548) -- (5.876,3.424) -- (5.83,3.254) -- (5.876,3.084) -- (6.0,2.959) -- (6.17,2.914) -- (6.34,2.959) -- (6.465,3.084) -- cycle;
\node at (6.17,3.254) {\scalebox{1.538}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.428,4.291) -- (3.382,4.461) -- (3.258,4.586) -- (3.088,4.631) -- (2.918,4.586) -- (2.793,4.461) -- (2.748,4.291) -- (2.793,4.121) -- (2.918,3.997) -- (3.088,3.951) -- (3.258,3.997) -- (3.382,4.121) -- cycle;
\node at (3.088,4.291) {\scalebox{1.538}{\small 12}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.083,3.262) -- (5.038,3.432) -- (4.913,3.556) -- (4.743,3.602) -- (4.573,3.556) -- (4.449,3.432) -- (4.403,3.262) -- (4.449,3.092) -- (4.573,2.967) -- (4.743,2.922) -- (4.913,2.967) -- (5.038,3.092) -- cycle;
\node at (4.743,3.262) {\scalebox{1.538}{\small 13}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (6.949,4.808) -- (7.549,4.808) -- (7.549,5.408) -- (6.949,5.408) -- cycle;
\node at (7.249,5.108) {\scalebox{1.538}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (2.28,5.043) -- (2.88,5.043) -- (2.88,5.643) -- (2.28,5.643) -- cycle;
\node at (2.58,5.343) {\scalebox{1.538}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.81,6.253) -- (7.41,6.253) -- (7.41,6.853) -- (6.81,6.853) -- cycle;
\node at (7.11,6.553) {\scalebox{1.538}{\small c}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.063,5.901) -- (10.663,5.901) -- (10.663,6.501) -- (10.063,6.501) -- cycle;
\node at (10.363,6.201) {\scalebox{1.538}{\small d}};
\node at (8.395,12.112) {\scalebox{1.538}{\small A}};
\node at (0.765,11.306) {\scalebox{1.538}{\small B}};
\node at (11.321,10.718) {\scalebox{1.538}{\small C}};
\node at (11.478,8.457) {\scalebox{1.538}{\small D}};
\node at (3.517,8.302) {\scalebox{1.538}{\small E}};
\node at (7.575,4.581) {\scalebox{1.538}{\small F}};
\node at (3.923,4.394) {\scalebox{1.538}{\small G}};
\node at (1.252,4.178) {\scalebox{1.538}{\small H}};
\node at (4.74,0.95) {\scalebox{1.538}{\small I}};
\draw[line width=0.5pt] (12.172,10.609) -- (12.172,11.709);
\draw[line width=0.5pt] (11.941,11.324) -- (12.172,11.709) -- (12.403,11.324);
\draw[line width=0.5pt] (11.87,11.159) -- (12.475,11.159);
\node at (12.172,12.094) {\scalebox{1.538}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G & \cellcolor{blue!7}\bfseries H & \cellcolor{blue!7}\bfseries I \\ \hline
Nombre de rues & 4 & 2 & 2 & 3 & 4 & 4 & 3 & 2 & 2 \\ \hline
Parité & pair & pair & pair & \textbf{impair} & pair & pair & \textbf{impair} & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 26 = 2 \(\times\) 13, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{D}, \textbf{G} — il y en a 2.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{F}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Deux carrefours sont impairs, \textbf{D} et \textbf{G} : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Or la poste est en \textbf{F}, où aboutit un nombre \textbf{pair} de rues. Ce carrefour ne peut être que traversé, jamais servir de départ.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui, une tournée existe} — mais elle va de \textbf{D} à \textbf{G}. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il \textbf{ne reviendrait pas} à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Ce parcours, en partant de D :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Carrefour des Quatre-Chemins \textbf{(D)}, prend le \textbf{chemin Creux ③} vers le nord-ouest et atteint Rond-point du Pont \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{passage du Marché ①}, vers l'ouest, jusqu'à Place Sainte-Croix \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue des Écoles ⑤}, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point de la Gare \textbf{(E)}.
  \item Il continue tout droit dans la \textbf{rue Verte ⑧}, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour du Lavoir \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{venelle du Chat ④}, vers le nord, jusqu'à Rond-point du Pont \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{chemin de Ronde ②}, vers le sud-est, jusqu'à Place des Tanneurs \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à droite dans l'\textbf{allée des Tilleuls ⑥}, vers le sud, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{chemin du Lavoir ⑦}, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour du Lavoir \textbf{(F)}.
  \item Il continue tout droit dans la \textbf{rue du Four ⑪}, vers le sud-ouest, jusqu'à Place aux Herbes \textbf{(I)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue du Puits ⑬}, vers le nord, jusqu'à Rond-point du Stade \textbf{(G)}.
  \item Il continue tout droit dans le \textbf{quai aux Fleurs ⑨}, vers le nord, jusqu'à Rond-point de la Gare \textbf{(E)}.
  \item Il prend dans la \textbf{rue de la Poste ⑩}, vers le sud-ouest, jusqu'à Fontaine Notre-Dame \textbf{(H)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue de l'Église ⑫}, vers l'est, jusqu'à Rond-point du Stade \textbf{(G)}.
\end{enumerate}
\end{document}
