\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 65}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=65}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0065}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6916, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (5.992,9.131) -- (5.825,8.953) -- (5.661,8.771) -- (5.502,8.586) -- (5.347,8.397) -- (5.197,8.204) -- (5.051,8.007) -- (4.91,7.807) -- (4.773,7.604) -- (4.642,7.398) -- (4.515,7.189) -- (4.393,6.977) -- (4.277,6.762) -- (4.165,6.544) -- (4.059,6.324);
\draw[line width=0.5pt] (5.992,9.131) -- (6.2,8.957) -- (6.404,8.779) -- (6.603,8.595) -- (6.798,8.407) -- (6.989,8.214) -- (7.175,8.017) -- (7.356,7.816) -- (7.533,7.61) -- (7.705,7.4) -- (7.871,7.186) -- (8.033,6.969) -- (8.189,6.748) -- (8.34,6.523) -- (8.486,6.295);
\draw[line width=0.5pt] (1.87,8.504) -- (2.001,8.326) -- (2.137,8.151) -- (2.276,7.979) -- (2.42,7.81) -- (2.568,7.644) -- (2.719,7.482) -- (2.874,7.324) -- (3.033,7.169) -- (3.196,7.019) -- (3.362,6.872) -- (3.531,6.729) -- (3.704,6.59) -- (3.88,6.455) -- (4.059,6.324);
\draw[line width=0.5pt] (1.87,8.504) -- (1.905,8.342) -- (1.936,8.178) -- (1.964,8.014) -- (1.987,7.849) -- (2.007,7.683) -- (2.023,7.517) -- (2.035,7.351) -- (2.043,7.185) -- (2.047,7.018) -- (2.047,6.851) -- (2.043,6.685) -- (2.035,6.518) -- (2.024,6.352) -- (2.008,6.186) -- (1.948,6.017) -- (1.891,5.847) -- (1.839,5.675) -- (1.79,5.502) -- (1.746,5.328) -- (1.706,5.153) -- (1.67,4.977) -- (1.638,4.8) -- (1.61,4.622) -- (1.586,4.444) -- (1.567,4.265) -- (1.552,4.086) -- (1.541,3.907) -- (1.534,3.728);
\draw[line width=0.5pt] (4.193,1.666) -- (4.346,1.643) -- (4.5,1.623) -- (4.654,1.607) -- (4.809,1.595) -- (4.964,1.586) -- (5.119,1.581) -- (5.274,1.58) -- (5.429,1.582) -- (5.584,1.588) -- (5.739,1.598) -- (5.893,1.611) -- (6.047,1.628) -- (6.201,1.648) -- (6.354,1.672) -- (6.551,1.687) -- (6.749,1.696) -- (6.947,1.701) -- (7.145,1.702) -- (7.343,1.697) -- (7.54,1.688) -- (7.738,1.675) -- (7.935,1.656) -- (8.132,1.633) -- (8.328,1.606) -- (8.523,1.574) -- (8.718,1.537) -- (8.911,1.496) -- (9.104,1.45);
\draw[line width=0.5pt] (11.072,6.968) -- (10.896,6.892) -- (10.718,6.82) -- (10.539,6.752) -- (10.358,6.689) -- (10.176,6.63) -- (9.992,6.575) -- (9.807,6.525) -- (9.621,6.478) -- (9.433,6.437) -- (9.245,6.399) -- (9.056,6.366) -- (8.867,6.338) -- (8.677,6.314) -- (8.486,6.295);
\draw[line width=0.5pt] (11.072,6.968) -- (11.071,6.745) -- (11.076,6.522) -- (11.085,6.3) -- (11.1,6.078) -- (11.12,5.856) -- (11.146,5.634) -- (11.176,5.414) -- (11.212,5.194) -- (11.253,4.975) -- (11.299,4.757) -- (11.35,4.54) -- (11.407,4.324) -- (11.468,4.11) -- (11.534,3.898);
\draw[line width=0.5pt] (4.059,6.324) -- (4.229,6.359) -- (4.4,6.39) -- (4.571,6.417) -- (4.743,6.44) -- (4.916,6.458) -- (5.089,6.473) -- (5.263,6.483) -- (5.436,6.49) -- (5.61,6.492) -- (5.784,6.491) -- (5.957,6.485) -- (6.131,6.475) -- (6.304,6.461) -- (6.476,6.443) -- (6.617,6.411) -- (6.759,6.381) -- (6.901,6.356) -- (7.044,6.333) -- (7.187,6.314) -- (7.331,6.298) -- (7.475,6.286) -- (7.62,6.277) -- (7.764,6.271) -- (7.909,6.269) -- (8.053,6.27) -- (8.198,6.275) -- (8.342,6.283) -- (8.486,6.295);
\draw[line width=0.5pt] (4.059,6.324) -- (4.04,6.185) -- (4.025,6.045) -- (4.014,5.905) -- (4.005,5.764) -- (4.0,5.624) -- (3.998,5.483) -- (4.0,5.342) -- (4.005,5.202) -- (4.013,5.061) -- (4.024,4.921) -- (4.039,4.781) -- (4.057,4.641) -- (4.078,4.502) -- (4.103,4.364);
\draw[line width=0.5pt] (4.059,6.324) -- (4.246,6.181) -- (4.429,6.033) -- (4.609,5.881) -- (4.786,5.724) -- (4.959,5.564) -- (5.128,5.399) -- (5.293,5.231) -- (5.454,5.059) -- (5.611,4.882) -- (5.764,4.703) -- (5.912,4.52) -- (6.056,4.333) -- (6.196,4.143) -- (6.331,3.95);
\draw[line width=0.5pt] (4.059,6.324) -- (3.851,6.168) -- (3.648,6.007) -- (3.448,5.84) -- (3.252,5.67) -- (3.06,5.494) -- (2.873,5.314) -- (2.689,5.13) -- (2.51,4.942) -- (2.336,4.749) -- (2.166,4.552) -- (2.001,4.352) -- (1.84,4.147) -- (1.685,3.939) -- (1.534,3.728);
\draw[line width=0.5pt] (8.486,6.295) -- (8.556,6.16) -- (8.622,6.024) -- (8.685,5.886) -- (8.745,5.746) -- (8.801,5.605) -- (8.855,5.463) -- (8.904,5.32) -- (8.951,5.175) -- (8.994,5.03) -- (9.034,4.884) -- (9.07,4.736) -- (9.102,4.588) -- (9.132,4.439) -- (9.157,4.29) -- (9.122,4.089) -- (9.092,3.888) -- (9.067,3.686) -- (9.046,3.483) -- (9.031,3.28) -- (9.02,3.076) -- (9.013,2.872) -- (9.012,2.668) -- (9.015,2.464) -- (9.023,2.261) -- (9.036,2.057) -- (9.054,1.854) -- (9.076,1.652) -- (9.104,1.45);
\draw[line width=0.5pt] (8.486,6.295) -- (8.308,6.152) -- (8.133,6.005) -- (7.961,5.854) -- (7.793,5.699) -- (7.629,5.54) -- (7.469,5.378) -- (7.312,5.211) -- (7.159,5.041) -- (7.01,4.867) -- (6.866,4.69) -- (6.726,4.51) -- (6.59,4.326) -- (6.458,4.14) -- (6.331,3.95);
\draw[line width=0.5pt] (8.486,6.295) -- (8.728,6.158) -- (8.967,6.016) -- (9.203,5.868) -- (9.435,5.715) -- (9.664,5.556) -- (9.888,5.391) -- (10.109,5.222) -- (10.326,5.047) -- (10.538,4.868) -- (10.747,4.683) -- (10.951,4.494) -- (11.15,4.3) -- (11.345,4.101) -- (11.534,3.898);
\draw[line width=0.5pt] (4.103,4.364) -- (4.08,4.172) -- (4.061,3.979) -- (4.047,3.786) -- (4.038,3.592) -- (4.033,3.399) -- (4.032,3.205) -- (4.037,3.011) -- (4.045,2.818) -- (4.059,2.624) -- (4.077,2.431) -- (4.099,2.239) -- (4.126,2.047) -- (4.157,1.856) -- (4.193,1.666);
\draw[line width=0.5pt] (4.103,4.364) -- (4.265,4.359) -- (4.428,4.35) -- (4.59,4.337) -- (4.752,4.321) -- (4.913,4.301) -- (5.074,4.277) -- (5.234,4.249) -- (5.394,4.217) -- (5.552,4.182) -- (5.71,4.143) -- (5.867,4.1) -- (6.023,4.054) -- (6.178,4.004) -- (6.331,3.95);
\draw[line width=0.5pt] (4.103,4.364) -- (3.914,4.347) -- (3.725,4.325) -- (3.537,4.299) -- (3.35,4.269) -- (3.163,4.234) -- (2.977,4.195) -- (2.792,4.152) -- (2.609,4.104) -- (2.426,4.052) -- (2.245,3.995) -- (2.065,3.935) -- (1.886,3.87) -- (1.709,3.801) -- (1.534,3.728);
\draw[line width=0.5pt] (6.331,3.95) -- (6.205,3.765) -- (6.074,3.582) -- (5.938,3.403) -- (5.799,3.227) -- (5.655,3.055) -- (5.508,2.886) -- (5.356,2.72) -- (5.201,2.558) -- (5.042,2.399) -- (4.879,2.245) -- (4.713,2.094) -- (4.543,1.947) -- (4.37,1.804) -- (4.193,1.666);
\draw[line width=0.5pt] (11.534,3.898) -- (11.335,3.751) -- (11.14,3.599) -- (10.948,3.443) -- (10.76,3.282) -- (10.575,3.117) -- (10.395,2.948) -- (10.218,2.774) -- (10.046,2.596) -- (9.877,2.415) -- (9.714,2.229) -- (9.554,2.04) -- (9.399,1.847) -- (9.249,1.65) -- (9.104,1.45);
\draw[line width=0.5pt] (11.534,3.898) -- (11.494,3.781) -- (11.45,3.665) -- (11.404,3.55) -- (11.356,3.436) -- (11.304,3.323) -- (11.25,3.211) -- (11.193,3.101) -- (11.134,2.992) -- (11.072,2.885) -- (11.008,2.779) -- (10.941,2.674) -- (10.872,2.572) -- (10.8,2.47) -- (10.726,2.371);
\draw[line width=0.5pt] (1.534,3.728) -- (1.7,3.552) -- (1.87,3.381) -- (2.044,3.214) -- (2.222,3.051) -- (2.404,2.892) -- (2.589,2.737) -- (2.779,2.587) -- (2.971,2.441) -- (3.167,2.3) -- (3.366,2.164) -- (3.569,2.032) -- (3.774,1.905) -- (3.982,1.783) -- (4.193,1.666);
\draw[line width=0.5pt] (10.726,2.371) -- (10.621,2.288) -- (10.515,2.208) -- (10.406,2.13) -- (10.295,2.054) -- (10.183,1.981) -- (10.069,1.911) -- (9.953,1.844) -- (9.836,1.779) -- (9.717,1.717) -- (9.597,1.658) -- (9.475,1.601) -- (9.353,1.548) -- (9.229,1.498) -- (9.104,1.45);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.152,9.131) -- (6.131,9.211) -- (6.072,9.269) -- (5.992,9.291) -- (5.912,9.269) -- (5.854,9.211) -- (5.832,9.131) -- (5.854,9.051) -- (5.912,8.992) -- (5.992,8.971) -- (6.072,8.992) -- (6.131,9.051) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.03,8.504) -- (2.009,8.584) -- (1.95,8.643) -- (1.87,8.664) -- (1.79,8.643) -- (1.731,8.584) -- (1.71,8.504) -- (1.731,8.424) -- (1.79,8.366) -- (1.87,8.344) -- (1.95,8.366) -- (2.009,8.424) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.232,6.968) -- (11.211,7.048) -- (11.152,7.106) -- (11.072,7.128) -- (10.992,7.106) -- (10.933,7.048) -- (10.912,6.968) -- (10.933,6.888) -- (10.992,6.829) -- (11.072,6.808) -- (11.152,6.829) -- (11.211,6.888) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.219,6.324) -- (4.197,6.404) -- (4.139,6.463) -- (4.059,6.484) -- (3.979,6.463) -- (3.92,6.404) -- (3.899,6.324) -- (3.92,6.244) -- (3.979,6.186) -- (4.059,6.164) -- (4.139,6.186) -- (4.197,6.244) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.646,6.295) -- (8.625,6.375) -- (8.566,6.433) -- (8.486,6.455) -- (8.406,6.433) -- (8.348,6.375) -- (8.326,6.295) -- (8.348,6.215) -- (8.406,6.156) -- (8.486,6.135) -- (8.566,6.156) -- (8.625,6.215) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.263,4.364) -- (4.241,4.444) -- (4.183,4.502) -- (4.103,4.524) -- (4.023,4.502) -- (3.964,4.444) -- (3.943,4.364) -- (3.964,4.284) -- (4.023,4.225) -- (4.103,4.204) -- (4.183,4.225) -- (4.241,4.284) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.491,3.95) -- (6.47,4.03) -- (6.411,4.088) -- (6.331,4.11) -- (6.251,4.088) -- (6.192,4.03) -- (6.171,3.95) -- (6.192,3.87) -- (6.251,3.811) -- (6.331,3.79) -- (6.411,3.811) -- (6.47,3.87) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.694,3.898) -- (11.673,3.978) -- (11.614,4.036) -- (11.534,4.058) -- (11.454,4.036) -- (11.396,3.978) -- (11.374,3.898) -- (11.396,3.818) -- (11.454,3.759) -- (11.534,3.738) -- (11.614,3.759) -- (11.673,3.818) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.694,3.728) -- (1.673,3.808) -- (1.614,3.866) -- (1.534,3.888) -- (1.454,3.866) -- (1.396,3.808) -- (1.374,3.728) -- (1.396,3.648) -- (1.454,3.589) -- (1.534,3.568) -- (1.614,3.589) -- (1.673,3.648) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.886,2.371) -- (10.865,2.451) -- (10.806,2.51) -- (10.726,2.531) -- (10.646,2.51) -- (10.588,2.451) -- (10.566,2.371) -- (10.588,2.291) -- (10.646,2.233) -- (10.726,2.211) -- (10.806,2.233) -- (10.865,2.291) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.353,1.666) -- (4.332,1.746) -- (4.273,1.805) -- (4.193,1.826) -- (4.113,1.805) -- (4.054,1.746) -- (4.033,1.666) -- (4.054,1.586) -- (4.113,1.527) -- (4.193,1.506) -- (4.273,1.527) -- (4.332,1.586) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.264,1.45) -- (9.242,1.53) -- (9.184,1.589) -- (9.104,1.61) -- (9.024,1.589) -- (8.965,1.53) -- (8.944,1.45) -- (8.965,1.37) -- (9.024,1.311) -- (9.104,1.29) -- (9.184,1.311) -- (9.242,1.37) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.513,7.626) -- (5.468,7.796) -- (5.343,7.92) -- (5.173,7.966) -- (5.003,7.92) -- (4.879,7.796) -- (4.833,7.626) -- (4.879,7.456) -- (5.003,7.331) -- (5.173,7.286) -- (5.343,7.331) -- (5.468,7.456) -- cycle;
\node at (5.173,7.626) {\scalebox{1.446}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.937,8.027) -- (7.891,8.197) -- (7.767,8.321) -- (7.597,8.367) -- (7.427,8.321) -- (7.302,8.197) -- (7.257,8.027) -- (7.302,7.857) -- (7.427,7.732) -- (7.597,7.687) -- (7.767,7.732) -- (7.891,7.857) -- cycle;
\node at (7.597,8.027) {\scalebox{1.446}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.44,7.551) -- (3.395,7.721) -- (3.27,7.845) -- (3.1,7.891) -- (2.93,7.845) -- (2.806,7.721) -- (2.76,7.551) -- (2.806,7.381) -- (2.93,7.256) -- (3.1,7.211) -- (3.27,7.256) -- (3.395,7.381) -- cycle;
\node at (3.1,7.551) {\scalebox{1.446}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.66,6.116) -- (2.615,6.286) -- (2.49,6.41) -- (2.32,6.456) -- (2.15,6.41) -- (2.026,6.286) -- (1.98,6.116) -- (2.026,5.946) -- (2.15,5.821) -- (2.32,5.776) -- (2.49,5.821) -- (2.615,5.946) -- cycle;
\node at (2.32,6.116) {\scalebox{1.446}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.659,1.99) -- (6.613,2.16) -- (6.489,2.285) -- (6.319,2.33) -- (6.149,2.285) -- (6.025,2.16) -- (5.979,1.99) -- (6.025,1.82) -- (6.149,1.696) -- (6.319,1.65) -- (6.489,1.696) -- (6.613,1.82) -- cycle;
\node at (6.319,1.99) {\scalebox{1.446}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.227,6.215) -- (10.182,6.385) -- (10.057,6.509) -- (9.887,6.555) -- (9.717,6.509) -- (9.593,6.385) -- (9.547,6.215) -- (9.593,6.045) -- (9.717,5.92) -- (9.887,5.875) -- (10.057,5.92) -- (10.182,6.045) -- cycle;
\node at (9.887,6.215) {\scalebox{1.446}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.833,5.461) -- (11.787,5.631) -- (11.663,5.756) -- (11.493,5.801) -- (11.323,5.756) -- (11.198,5.631) -- (11.153,5.461) -- (11.198,5.291) -- (11.323,5.167) -- (11.493,5.121) -- (11.663,5.167) -- (11.787,5.291) -- cycle;
\node at (11.493,5.461) {\scalebox{1.446}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.867,6.759) -- (6.822,6.929) -- (6.697,7.053) -- (6.527,7.099) -- (6.357,7.053) -- (6.233,6.929) -- (6.187,6.759) -- (6.233,6.589) -- (6.357,6.464) -- (6.527,6.419) -- (6.697,6.464) -- (6.822,6.589) -- cycle;
\node at (6.527,6.759) {\scalebox{1.446}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.66,5.349) -- (4.614,5.519) -- (4.49,5.644) -- (4.32,5.689) -- (4.15,5.644) -- (4.025,5.519) -- (3.98,5.349) -- (4.025,5.179) -- (4.15,5.055) -- (4.32,5.009) -- (4.49,5.055) -- (4.614,5.179) -- cycle;
\node at (4.32,5.349) {\scalebox{1.446}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.864,5.452) -- (5.818,5.622) -- (5.694,5.747) -- (5.524,5.792) -- (5.354,5.747) -- (5.23,5.622) -- (5.184,5.452) -- (5.23,5.282) -- (5.354,5.158) -- (5.524,5.112) -- (5.694,5.158) -- (5.818,5.282) -- cycle;
\node at (5.524,5.452) {\scalebox{1.446}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.259,4.907) -- (3.213,5.077) -- (3.089,5.201) -- (2.919,5.247) -- (2.749,5.201) -- (2.624,5.077) -- (2.579,4.907) -- (2.624,4.737) -- (2.749,4.613) -- (2.919,4.567) -- (3.089,4.613) -- (3.213,4.737) -- cycle;
\node at (2.919,4.907) {\scalebox{1.446}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.817,4.281) -- (9.772,4.451) -- (9.647,4.576) -- (9.477,4.621) -- (9.307,4.576) -- (9.183,4.451) -- (9.137,4.281) -- (9.183,4.111) -- (9.307,3.987) -- (9.477,3.941) -- (9.647,3.987) -- (9.772,4.111) -- cycle;
\node at (9.477,4.281) {\scalebox{1.446}{\small 12}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.887,4.995) -- (7.842,5.165) -- (7.717,5.289) -- (7.547,5.335) -- (7.377,5.289) -- (7.253,5.165) -- (7.207,4.995) -- (7.253,4.825) -- (7.377,4.7) -- (7.547,4.655) -- (7.717,4.7) -- (7.842,4.825) -- cycle;
\node at (7.547,4.995) {\scalebox{1.446}{\small 13}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.647,5.474) -- (10.601,5.644) -- (10.477,5.768) -- (10.307,5.814) -- (10.137,5.768) -- (10.012,5.644) -- (9.967,5.474) -- (10.012,5.304) -- (10.137,5.179) -- (10.307,5.134) -- (10.477,5.179) -- (10.601,5.304) -- cycle;
\node at (10.307,5.474) {\scalebox{1.446}{\small 14}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.697,3.022) -- (4.651,3.192) -- (4.527,3.316) -- (4.357,3.362) -- (4.187,3.316) -- (4.062,3.192) -- (4.017,3.022) -- (4.062,2.852) -- (4.187,2.727) -- (4.357,2.682) -- (4.527,2.727) -- (4.651,2.852) -- cycle;
\node at (4.357,3.022) {\scalebox{1.446}{\small 15}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.633,4.563) -- (5.587,4.733) -- (5.463,4.858) -- (5.293,4.903) -- (5.123,4.858) -- (4.998,4.733) -- (4.953,4.563) -- (4.998,4.393) -- (5.123,4.269) -- (5.293,4.223) -- (5.463,4.269) -- (5.587,4.393) -- cycle;
\node at (5.293,4.563) {\scalebox{1.446}{\small 16}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.209,3.841) -- (3.164,4.011) -- (3.039,4.136) -- (2.869,4.181) -- (2.699,4.136) -- (2.575,4.011) -- (2.529,3.841) -- (2.575,3.671) -- (2.699,3.547) -- (2.869,3.501) -- (3.039,3.547) -- (3.164,3.671) -- cycle;
\node at (2.869,3.841) {\scalebox{1.446}{\small 17}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.93,2.501) -- (5.884,2.671) -- (5.76,2.796) -- (5.59,2.841) -- (5.42,2.796) -- (5.295,2.671) -- (5.25,2.501) -- (5.295,2.331) -- (5.42,2.207) -- (5.59,2.161) -- (5.76,2.207) -- (5.884,2.331) -- cycle;
\node at (5.59,2.501) {\scalebox{1.446}{\small 18}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.331,3.0) -- (10.285,3.17) -- (10.161,3.294) -- (9.991,3.34) -- (9.821,3.294) -- (9.697,3.17) -- (9.651,3.0) -- (9.697,2.83) -- (9.821,2.705) -- (9.991,2.66) -- (10.161,2.705) -- (10.285,2.83) -- cycle;
\node at (9.991,3.0) {\scalebox{1.446}{\small 19}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.816,2.951) -- (11.771,3.121) -- (11.646,3.246) -- (11.476,3.291) -- (11.306,3.246) -- (11.182,3.121) -- (11.136,2.951) -- (11.182,2.781) -- (11.306,2.657) -- (11.476,2.611) -- (11.646,2.657) -- (11.771,2.781) -- cycle;
\node at (11.476,2.951) {\scalebox{1.446}{\small 20}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.315,2.84) -- (3.269,3.01) -- (3.145,3.134) -- (2.975,3.18) -- (2.805,3.134) -- (2.68,3.01) -- (2.635,2.84) -- (2.68,2.67) -- (2.805,2.546) -- (2.975,2.5) -- (3.145,2.546) -- (3.269,2.67) -- cycle;
\node at (2.975,2.84) {\scalebox{1.446}{\small 21}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.451,1.565) -- (10.405,1.735) -- (10.281,1.86) -- (10.111,1.905) -- (9.941,1.86) -- (9.817,1.735) -- (9.771,1.565) -- (9.817,1.395) -- (9.941,1.271) -- (10.111,1.225) -- (10.281,1.271) -- (10.405,1.395) -- cycle;
\node at (10.111,1.565) {\scalebox{1.446}{\small 22}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (8.804,1.15) -- (9.404,1.15) -- (9.404,1.75) -- (8.804,1.75) -- cycle;
\node at (9.104,1.45) {\scalebox{1.446}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (3.481,1.98) -- (4.081,1.98) -- (4.081,2.58) -- (3.481,2.58) -- cycle;
\node at (3.781,2.28) {\scalebox{1.446}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (1.847,2.201) -- (2.447,2.201) -- (2.447,2.801) -- (1.847,2.801) -- cycle;
\node at (2.147,2.501) {\scalebox{1.446}{\small c}};
\node at (5.907,9.745) {\scalebox{1.446}{\small S0}};
\node at (1.378,8.882) {\scalebox{1.446}{\small S1}};
\node at (11.634,7.228) {\scalebox{1.446}{\small S2}};
\node at (3.52,6.631) {\scalebox{1.446}{\small S3}};
\node at (8.985,6.663) {\scalebox{1.446}{\small S4}};
\node at (3.496,4.236) {\scalebox{1.446}{\small S5}};
\node at (6.17,3.351) {\scalebox{1.446}{\small S6}};
\node at (12.142,3.776) {\scalebox{1.446}{\small S7}};
\node at (0.93,3.589) {\scalebox{1.446}{\small S8}};
\node at (11.256,2.049) {\scalebox{1.446}{\small S9}};
\node at (3.824,1.168) {\scalebox{1.446}{\small S10}};
\node at (9.47,0.95) {\scalebox{1.446}{\small S11}};
\draw[line width=0.5pt] (12.834,8.181) -- (12.834,9.281);
\draw[line width=0.5pt] (12.603,8.896) -- (12.834,9.281) -- (13.065,8.896);
\draw[line width=0.5pt] (12.532,8.731) -- (13.137,8.731);
\node at (12.834,9.666) {\scalebox{1.446}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue Pasteur & ⑫ rue des Jardins & S0 Place de la Fontaine & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue Verte & ⑬ avenue de la Gare & S1 Fontaine Notre-Dame & \textbf{b} le cimetière \\ \hline
③ passage du Marché & ⑭ venelle du Chat & S2 Place du Marché & \textbf{c} la salle des fêtes \\ \hline
④ rue Haute & ⑮ boulevard du Parc & S3 Rond-point des Vaches &  \\ \hline
⑤ chemin de Ronde & ⑯ rue du Puits & S4 Carrefour du Lavoir &  \\ \hline
⑥ allée des Peupliers & ⑰ rue des Écoles & S5 Carrefour Saint-Roch &  \\ \hline
⑦ chemin Creux & ⑱ chemin du Lavoir & S6 Carrefour des Tilleuls &  \\ \hline
⑧ sentier des Prés & ⑲ allée des Tilleuls & S7 Rond-point de la Poste &  \\ \hline
⑨ rue du Stade & ⑳ rue du Pont & S8 Rond-point de la Gare &  \\ \hline
⑩ rue Basse & 21 rue des Lilas & S9 Placette des Ormes &  \\ \hline
⑪ rue du Four & 22 rue de l'Église & S10 Carrefour des Quatre-Chemins &  \\ \hline
 &  & S11 Carrefour du Moulin &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6188, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (5.992,9.131) -- (5.825,8.953) -- (5.661,8.771) -- (5.502,8.586) -- (5.347,8.397) -- (5.197,8.204) -- (5.051,8.007) -- (4.91,7.807) -- (4.773,7.604) -- (4.642,7.398) -- (4.515,7.189) -- (4.393,6.977) -- (4.277,6.762) -- (4.165,6.544) -- (4.059,6.324);
\draw[line width=0.5pt] (5.992,9.131) -- (6.2,8.957) -- (6.404,8.779) -- (6.603,8.595) -- (6.798,8.407) -- (6.989,8.214) -- (7.175,8.017) -- (7.356,7.816) -- (7.533,7.61) -- (7.705,7.4) -- (7.871,7.186) -- (8.033,6.969) -- (8.189,6.748) -- (8.34,6.523) -- (8.486,6.295);
\draw[line width=0.5pt] (1.87,8.504) -- (2.001,8.326) -- (2.137,8.151) -- (2.276,7.979) -- (2.42,7.81) -- (2.568,7.644) -- (2.719,7.482) -- (2.874,7.324) -- (3.033,7.169) -- (3.196,7.019) -- (3.362,6.872) -- (3.531,6.729) -- (3.704,6.59) -- (3.88,6.455) -- (4.059,6.324);
\draw[line width=0.5pt] (1.87,8.504) -- (1.905,8.342) -- (1.936,8.178) -- (1.964,8.014) -- (1.987,7.849) -- (2.007,7.683) -- (2.023,7.517) -- (2.035,7.351) -- (2.043,7.185) -- (2.047,7.018) -- (2.047,6.851) -- (2.043,6.685) -- (2.035,6.518) -- (2.024,6.352) -- (2.008,6.186) -- (1.948,6.017) -- (1.891,5.847) -- (1.839,5.675) -- (1.79,5.502) -- (1.746,5.328) -- (1.706,5.153) -- (1.67,4.977) -- (1.638,4.8) -- (1.61,4.622) -- (1.586,4.444) -- (1.567,4.265) -- (1.552,4.086) -- (1.541,3.907) -- (1.534,3.728);
\draw[line width=0.5pt] (4.193,1.666) -- (4.346,1.643) -- (4.5,1.623) -- (4.654,1.607) -- (4.809,1.595) -- (4.964,1.586) -- (5.119,1.581) -- (5.274,1.58) -- (5.429,1.582) -- (5.584,1.588) -- (5.739,1.598) -- (5.893,1.611) -- (6.047,1.628) -- (6.201,1.648) -- (6.354,1.672) -- (6.551,1.687) -- (6.749,1.696) -- (6.947,1.701) -- (7.145,1.702) -- (7.343,1.697) -- (7.54,1.688) -- (7.738,1.675) -- (7.935,1.656) -- (8.132,1.633) -- (8.328,1.606) -- (8.523,1.574) -- (8.718,1.537) -- (8.911,1.496) -- (9.104,1.45);
\draw[line width=0.5pt] (11.072,6.968) -- (10.896,6.892) -- (10.718,6.82) -- (10.539,6.752) -- (10.358,6.689) -- (10.176,6.63) -- (9.992,6.575) -- (9.807,6.525) -- (9.621,6.478) -- (9.433,6.437) -- (9.245,6.399) -- (9.056,6.366) -- (8.867,6.338) -- (8.677,6.314) -- (8.486,6.295);
\draw[line width=0.5pt] (11.072,6.968) -- (11.071,6.745) -- (11.076,6.522) -- (11.085,6.3) -- (11.1,6.078) -- (11.12,5.856) -- (11.146,5.634) -- (11.176,5.414) -- (11.212,5.194) -- (11.253,4.975) -- (11.299,4.757) -- (11.35,4.54) -- (11.407,4.324) -- (11.468,4.11) -- (11.534,3.898);
\draw[line width=0.5pt] (4.059,6.324) -- (4.229,6.359) -- (4.4,6.39) -- (4.571,6.417) -- (4.743,6.44) -- (4.916,6.458) -- (5.089,6.473) -- (5.263,6.483) -- (5.436,6.49) -- (5.61,6.492) -- (5.784,6.491) -- (5.957,6.485) -- (6.131,6.475) -- (6.304,6.461) -- (6.476,6.443) -- (6.617,6.411) -- (6.759,6.381) -- (6.901,6.356) -- (7.044,6.333) -- (7.187,6.314) -- (7.331,6.298) -- (7.475,6.286) -- (7.62,6.277) -- (7.764,6.271) -- (7.909,6.269) -- (8.053,6.27) -- (8.198,6.275) -- (8.342,6.283) -- (8.486,6.295);
\draw[line width=0.5pt] (4.059,6.324) -- (4.04,6.185) -- (4.025,6.045) -- (4.014,5.905) -- (4.005,5.764) -- (4.0,5.624) -- (3.998,5.483) -- (4.0,5.342) -- (4.005,5.202) -- (4.013,5.061) -- (4.024,4.921) -- (4.039,4.781) -- (4.057,4.641) -- (4.078,4.502) -- (4.103,4.364);
\draw[line width=0.5pt] (4.059,6.324) -- (4.246,6.181) -- (4.429,6.033) -- (4.609,5.881) -- (4.786,5.724) -- (4.959,5.564) -- (5.128,5.399) -- (5.293,5.231) -- (5.454,5.059) -- (5.611,4.882) -- (5.764,4.703) -- (5.912,4.52) -- (6.056,4.333) -- (6.196,4.143) -- (6.331,3.95);
\draw[line width=0.5pt] (4.059,6.324) -- (3.851,6.168) -- (3.648,6.007) -- (3.448,5.84) -- (3.252,5.67) -- (3.06,5.494) -- (2.873,5.314) -- (2.689,5.13) -- (2.51,4.942) -- (2.336,4.749) -- (2.166,4.552) -- (2.001,4.352) -- (1.84,4.147) -- (1.685,3.939) -- (1.534,3.728);
\draw[line width=0.5pt] (8.486,6.295) -- (8.556,6.16) -- (8.622,6.024) -- (8.685,5.886) -- (8.745,5.746) -- (8.801,5.605) -- (8.855,5.463) -- (8.904,5.32) -- (8.951,5.175) -- (8.994,5.03) -- (9.034,4.884) -- (9.07,4.736) -- (9.102,4.588) -- (9.132,4.439) -- (9.157,4.29) -- (9.122,4.089) -- (9.092,3.888) -- (9.067,3.686) -- (9.046,3.483) -- (9.031,3.28) -- (9.02,3.076) -- (9.013,2.872) -- (9.012,2.668) -- (9.015,2.464) -- (9.023,2.261) -- (9.036,2.057) -- (9.054,1.854) -- (9.076,1.652) -- (9.104,1.45);
\draw[line width=0.5pt] (8.486,6.295) -- (8.308,6.152) -- (8.133,6.005) -- (7.961,5.854) -- (7.793,5.699) -- (7.629,5.54) -- (7.469,5.378) -- (7.312,5.211) -- (7.159,5.041) -- (7.01,4.867) -- (6.866,4.69) -- (6.726,4.51) -- (6.59,4.326) -- (6.458,4.14) -- (6.331,3.95);
\draw[line width=0.5pt] (8.486,6.295) -- (8.728,6.158) -- (8.967,6.016) -- (9.203,5.868) -- (9.435,5.715) -- (9.664,5.556) -- (9.888,5.391) -- (10.109,5.222) -- (10.326,5.047) -- (10.538,4.868) -- (10.747,4.683) -- (10.951,4.494) -- (11.15,4.3) -- (11.345,4.101) -- (11.534,3.898);
\draw[line width=0.5pt] (4.103,4.364) -- (4.08,4.172) -- (4.061,3.979) -- (4.047,3.786) -- (4.038,3.592) -- (4.033,3.399) -- (4.032,3.205) -- (4.037,3.011) -- (4.045,2.818) -- (4.059,2.624) -- (4.077,2.431) -- (4.099,2.239) -- (4.126,2.047) -- (4.157,1.856) -- (4.193,1.666);
\draw[line width=0.5pt] (4.103,4.364) -- (4.265,4.359) -- (4.428,4.35) -- (4.59,4.337) -- (4.752,4.321) -- (4.913,4.301) -- (5.074,4.277) -- (5.234,4.249) -- (5.394,4.217) -- (5.552,4.182) -- (5.71,4.143) -- (5.867,4.1) -- (6.023,4.054) -- (6.178,4.004) -- (6.331,3.95);
\draw[line width=0.5pt] (4.103,4.364) -- (3.914,4.347) -- (3.725,4.325) -- (3.537,4.299) -- (3.35,4.269) -- (3.163,4.234) -- (2.977,4.195) -- (2.792,4.152) -- (2.609,4.104) -- (2.426,4.052) -- (2.245,3.995) -- (2.065,3.935) -- (1.886,3.87) -- (1.709,3.801) -- (1.534,3.728);
\draw[line width=0.5pt] (6.331,3.95) -- (6.205,3.765) -- (6.074,3.582) -- (5.938,3.403) -- (5.799,3.227) -- (5.655,3.055) -- (5.508,2.886) -- (5.356,2.72) -- (5.201,2.558) -- (5.042,2.399) -- (4.879,2.245) -- (4.713,2.094) -- (4.543,1.947) -- (4.37,1.804) -- (4.193,1.666);
\draw[line width=0.5pt] (11.534,3.898) -- (11.335,3.751) -- (11.14,3.599) -- (10.948,3.443) -- (10.76,3.282) -- (10.575,3.117) -- (10.395,2.948) -- (10.218,2.774) -- (10.046,2.596) -- (9.877,2.415) -- (9.714,2.229) -- (9.554,2.04) -- (9.399,1.847) -- (9.249,1.65) -- (9.104,1.45);
\draw[line width=0.5pt] (11.534,3.898) -- (11.494,3.781) -- (11.45,3.665) -- (11.404,3.55) -- (11.356,3.436) -- (11.304,3.323) -- (11.25,3.211) -- (11.193,3.101) -- (11.134,2.992) -- (11.072,2.885) -- (11.008,2.779) -- (10.941,2.674) -- (10.872,2.572) -- (10.8,2.47) -- (10.726,2.371);
\draw[line width=0.5pt] (1.534,3.728) -- (1.7,3.552) -- (1.87,3.381) -- (2.044,3.214) -- (2.222,3.051) -- (2.404,2.892) -- (2.589,2.737) -- (2.779,2.587) -- (2.971,2.441) -- (3.167,2.3) -- (3.366,2.164) -- (3.569,2.032) -- (3.774,1.905) -- (3.982,1.783) -- (4.193,1.666);
\draw[line width=0.5pt] (10.726,2.371) -- (10.621,2.288) -- (10.515,2.208) -- (10.406,2.13) -- (10.295,2.054) -- (10.183,1.981) -- (10.069,1.911) -- (9.953,1.844) -- (9.836,1.779) -- (9.717,1.717) -- (9.597,1.658) -- (9.475,1.601) -- (9.353,1.548) -- (9.229,1.498) -- (9.104,1.45);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.152,9.131) -- (6.131,9.211) -- (6.072,9.269) -- (5.992,9.291) -- (5.912,9.269) -- (5.854,9.211) -- (5.832,9.131) -- (5.854,9.051) -- (5.912,8.992) -- (5.992,8.971) -- (6.072,8.992) -- (6.131,9.051) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.03,8.504) -- (2.009,8.584) -- (1.95,8.643) -- (1.87,8.664) -- (1.79,8.643) -- (1.731,8.584) -- (1.71,8.504) -- (1.731,8.424) -- (1.79,8.366) -- (1.87,8.344) -- (1.95,8.366) -- (2.009,8.424) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.232,6.968) -- (11.211,7.048) -- (11.152,7.106) -- (11.072,7.128) -- (10.992,7.106) -- (10.933,7.048) -- (10.912,6.968) -- (10.933,6.888) -- (10.992,6.829) -- (11.072,6.808) -- (11.152,6.829) -- (11.211,6.888) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.219,6.324) -- (4.197,6.404) -- (4.139,6.463) -- (4.059,6.484) -- (3.979,6.463) -- (3.92,6.404) -- (3.899,6.324) -- (3.92,6.244) -- (3.979,6.186) -- (4.059,6.164) -- (4.139,6.186) -- (4.197,6.244) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.646,6.295) -- (8.625,6.375) -- (8.566,6.433) -- (8.486,6.455) -- (8.406,6.433) -- (8.348,6.375) -- (8.326,6.295) -- (8.348,6.215) -- (8.406,6.156) -- (8.486,6.135) -- (8.566,6.156) -- (8.625,6.215) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.263,4.364) -- (4.241,4.444) -- (4.183,4.502) -- (4.103,4.524) -- (4.023,4.502) -- (3.964,4.444) -- (3.943,4.364) -- (3.964,4.284) -- (4.023,4.225) -- (4.103,4.204) -- (4.183,4.225) -- (4.241,4.284) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.491,3.95) -- (6.47,4.03) -- (6.411,4.088) -- (6.331,4.11) -- (6.251,4.088) -- (6.192,4.03) -- (6.171,3.95) -- (6.192,3.87) -- (6.251,3.811) -- (6.331,3.79) -- (6.411,3.811) -- (6.47,3.87) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.694,3.898) -- (11.673,3.978) -- (11.614,4.036) -- (11.534,4.058) -- (11.454,4.036) -- (11.396,3.978) -- (11.374,3.898) -- (11.396,3.818) -- (11.454,3.759) -- (11.534,3.738) -- (11.614,3.759) -- (11.673,3.818) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.694,3.728) -- (1.673,3.808) -- (1.614,3.866) -- (1.534,3.888) -- (1.454,3.866) -- (1.396,3.808) -- (1.374,3.728) -- (1.396,3.648) -- (1.454,3.589) -- (1.534,3.568) -- (1.614,3.589) -- (1.673,3.648) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.886,2.371) -- (10.865,2.451) -- (10.806,2.51) -- (10.726,2.531) -- (10.646,2.51) -- (10.588,2.451) -- (10.566,2.371) -- (10.588,2.291) -- (10.646,2.233) -- (10.726,2.211) -- (10.806,2.233) -- (10.865,2.291) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.353,1.666) -- (4.332,1.746) -- (4.273,1.805) -- (4.193,1.826) -- (4.113,1.805) -- (4.054,1.746) -- (4.033,1.666) -- (4.054,1.586) -- (4.113,1.527) -- (4.193,1.506) -- (4.273,1.527) -- (4.332,1.586) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.264,1.45) -- (9.242,1.53) -- (9.184,1.589) -- (9.104,1.61) -- (9.024,1.589) -- (8.965,1.53) -- (8.944,1.45) -- (8.965,1.37) -- (9.024,1.311) -- (9.104,1.29) -- (9.184,1.311) -- (9.242,1.37) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.513,7.626) -- (5.468,7.796) -- (5.343,7.92) -- (5.173,7.966) -- (5.003,7.92) -- (4.879,7.796) -- (4.833,7.626) -- (4.879,7.456) -- (5.003,7.331) -- (5.173,7.286) -- (5.343,7.331) -- (5.468,7.456) -- cycle;
\node at (5.173,7.626) {\scalebox{1.616}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.937,8.027) -- (7.891,8.197) -- (7.767,8.321) -- (7.597,8.367) -- (7.427,8.321) -- (7.302,8.197) -- (7.257,8.027) -- (7.302,7.857) -- (7.427,7.732) -- (7.597,7.687) -- (7.767,7.732) -- (7.891,7.857) -- cycle;
\node at (7.597,8.027) {\scalebox{1.616}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.44,7.551) -- (3.395,7.721) -- (3.27,7.845) -- (3.1,7.891) -- (2.93,7.845) -- (2.806,7.721) -- (2.76,7.551) -- (2.806,7.381) -- (2.93,7.256) -- (3.1,7.211) -- (3.27,7.256) -- (3.395,7.381) -- cycle;
\node at (3.1,7.551) {\scalebox{1.616}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.66,6.116) -- (2.615,6.286) -- (2.49,6.41) -- (2.32,6.456) -- (2.15,6.41) -- (2.026,6.286) -- (1.98,6.116) -- (2.026,5.946) -- (2.15,5.821) -- (2.32,5.776) -- (2.49,5.821) -- (2.615,5.946) -- cycle;
\node at (2.32,6.116) {\scalebox{1.616}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.659,1.99) -- (6.613,2.16) -- (6.489,2.285) -- (6.319,2.33) -- (6.149,2.285) -- (6.025,2.16) -- (5.979,1.99) -- (6.025,1.82) -- (6.149,1.696) -- (6.319,1.65) -- (6.489,1.696) -- (6.613,1.82) -- cycle;
\node at (6.319,1.99) {\scalebox{1.616}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.227,6.215) -- (10.182,6.385) -- (10.057,6.509) -- (9.887,6.555) -- (9.717,6.509) -- (9.593,6.385) -- (9.547,6.215) -- (9.593,6.045) -- (9.717,5.92) -- (9.887,5.875) -- (10.057,5.92) -- (10.182,6.045) -- cycle;
\node at (9.887,6.215) {\scalebox{1.616}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.833,5.461) -- (11.787,5.631) -- (11.663,5.756) -- (11.493,5.801) -- (11.323,5.756) -- (11.198,5.631) -- (11.153,5.461) -- (11.198,5.291) -- (11.323,5.167) -- (11.493,5.121) -- (11.663,5.167) -- (11.787,5.291) -- cycle;
\node at (11.493,5.461) {\scalebox{1.616}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.867,6.759) -- (6.822,6.929) -- (6.697,7.053) -- (6.527,7.099) -- (6.357,7.053) -- (6.233,6.929) -- (6.187,6.759) -- (6.233,6.589) -- (6.357,6.464) -- (6.527,6.419) -- (6.697,6.464) -- (6.822,6.589) -- cycle;
\node at (6.527,6.759) {\scalebox{1.616}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.66,5.349) -- (4.614,5.519) -- (4.49,5.644) -- (4.32,5.689) -- (4.15,5.644) -- (4.025,5.519) -- (3.98,5.349) -- (4.025,5.179) -- (4.15,5.055) -- (4.32,5.009) -- (4.49,5.055) -- (4.614,5.179) -- cycle;
\node at (4.32,5.349) {\scalebox{1.616}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.864,5.452) -- (5.818,5.622) -- (5.694,5.747) -- (5.524,5.792) -- (5.354,5.747) -- (5.23,5.622) -- (5.184,5.452) -- (5.23,5.282) -- (5.354,5.158) -- (5.524,5.112) -- (5.694,5.158) -- (5.818,5.282) -- cycle;
\node at (5.524,5.452) {\scalebox{1.616}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.259,4.907) -- (3.213,5.077) -- (3.089,5.201) -- (2.919,5.247) -- (2.749,5.201) -- (2.624,5.077) -- (2.579,4.907) -- (2.624,4.737) -- (2.749,4.613) -- (2.919,4.567) -- (3.089,4.613) -- (3.213,4.737) -- cycle;
\node at (2.919,4.907) {\scalebox{1.616}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.817,4.281) -- (9.772,4.451) -- (9.647,4.576) -- (9.477,4.621) -- (9.307,4.576) -- (9.183,4.451) -- (9.137,4.281) -- (9.183,4.111) -- (9.307,3.987) -- (9.477,3.941) -- (9.647,3.987) -- (9.772,4.111) -- cycle;
\node at (9.477,4.281) {\scalebox{1.616}{\small 12}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.887,4.995) -- (7.842,5.165) -- (7.717,5.289) -- (7.547,5.335) -- (7.377,5.289) -- (7.253,5.165) -- (7.207,4.995) -- (7.253,4.825) -- (7.377,4.7) -- (7.547,4.655) -- (7.717,4.7) -- (7.842,4.825) -- cycle;
\node at (7.547,4.995) {\scalebox{1.616}{\small 13}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.647,5.474) -- (10.601,5.644) -- (10.477,5.768) -- (10.307,5.814) -- (10.137,5.768) -- (10.012,5.644) -- (9.967,5.474) -- (10.012,5.304) -- (10.137,5.179) -- (10.307,5.134) -- (10.477,5.179) -- (10.601,5.304) -- cycle;
\node at (10.307,5.474) {\scalebox{1.616}{\small 14}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.697,3.022) -- (4.651,3.192) -- (4.527,3.316) -- (4.357,3.362) -- (4.187,3.316) -- (4.062,3.192) -- (4.017,3.022) -- (4.062,2.852) -- (4.187,2.727) -- (4.357,2.682) -- (4.527,2.727) -- (4.651,2.852) -- cycle;
\node at (4.357,3.022) {\scalebox{1.616}{\small 15}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.633,4.563) -- (5.587,4.733) -- (5.463,4.858) -- (5.293,4.903) -- (5.123,4.858) -- (4.998,4.733) -- (4.953,4.563) -- (4.998,4.393) -- (5.123,4.269) -- (5.293,4.223) -- (5.463,4.269) -- (5.587,4.393) -- cycle;
\node at (5.293,4.563) {\scalebox{1.616}{\small 16}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.209,3.841) -- (3.164,4.011) -- (3.039,4.136) -- (2.869,4.181) -- (2.699,4.136) -- (2.575,4.011) -- (2.529,3.841) -- (2.575,3.671) -- (2.699,3.547) -- (2.869,3.501) -- (3.039,3.547) -- (3.164,3.671) -- cycle;
\node at (2.869,3.841) {\scalebox{1.616}{\small 17}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.93,2.501) -- (5.884,2.671) -- (5.76,2.796) -- (5.59,2.841) -- (5.42,2.796) -- (5.295,2.671) -- (5.25,2.501) -- (5.295,2.331) -- (5.42,2.207) -- (5.59,2.161) -- (5.76,2.207) -- (5.884,2.331) -- cycle;
\node at (5.59,2.501) {\scalebox{1.616}{\small 18}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.331,3.0) -- (10.285,3.17) -- (10.161,3.294) -- (9.991,3.34) -- (9.821,3.294) -- (9.697,3.17) -- (9.651,3.0) -- (9.697,2.83) -- (9.821,2.705) -- (9.991,2.66) -- (10.161,2.705) -- (10.285,2.83) -- cycle;
\node at (9.991,3.0) {\scalebox{1.616}{\small 19}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.816,2.951) -- (11.771,3.121) -- (11.646,3.246) -- (11.476,3.291) -- (11.306,3.246) -- (11.182,3.121) -- (11.136,2.951) -- (11.182,2.781) -- (11.306,2.657) -- (11.476,2.611) -- (11.646,2.657) -- (11.771,2.781) -- cycle;
\node at (11.476,2.951) {\scalebox{1.616}{\small 20}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.315,2.84) -- (3.269,3.01) -- (3.145,3.134) -- (2.975,3.18) -- (2.805,3.134) -- (2.68,3.01) -- (2.635,2.84) -- (2.68,2.67) -- (2.805,2.546) -- (2.975,2.5) -- (3.145,2.546) -- (3.269,2.67) -- cycle;
\node at (2.975,2.84) {\scalebox{1.616}{\small 21}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.451,1.565) -- (10.405,1.735) -- (10.281,1.86) -- (10.111,1.905) -- (9.941,1.86) -- (9.817,1.735) -- (9.771,1.565) -- (9.817,1.395) -- (9.941,1.271) -- (10.111,1.225) -- (10.281,1.271) -- (10.405,1.395) -- cycle;
\node at (10.111,1.565) {\scalebox{1.616}{\small 22}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (8.804,1.15) -- (9.404,1.15) -- (9.404,1.75) -- (8.804,1.75) -- cycle;
\node at (9.104,1.45) {\scalebox{1.616}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (3.481,1.98) -- (4.081,1.98) -- (4.081,2.58) -- (3.481,2.58) -- cycle;
\node at (3.781,2.28) {\scalebox{1.616}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (1.847,2.201) -- (2.447,2.201) -- (2.447,2.801) -- (1.847,2.801) -- cycle;
\node at (2.147,2.501) {\scalebox{1.616}{\small c}};
\node at (5.907,9.745) {\scalebox{1.616}{\small S0}};
\node at (1.378,8.882) {\scalebox{1.616}{\small S1}};
\node at (11.634,7.228) {\scalebox{1.616}{\small S2}};
\node at (3.52,6.631) {\scalebox{1.616}{\small S3}};
\node at (8.985,6.663) {\scalebox{1.616}{\small S4}};
\node at (3.496,4.236) {\scalebox{1.616}{\small S5}};
\node at (6.17,3.351) {\scalebox{1.616}{\small S6}};
\node at (12.142,3.776) {\scalebox{1.616}{\small S7}};
\node at (0.93,3.589) {\scalebox{1.616}{\small S8}};
\node at (11.256,2.049) {\scalebox{1.616}{\small S9}};
\node at (3.824,1.168) {\scalebox{1.616}{\small S10}};
\node at (9.47,0.95) {\scalebox{1.616}{\small S11}};
\draw[line width=0.5pt] (12.834,8.181) -- (12.834,9.281);
\draw[line width=0.5pt] (12.603,8.896) -- (12.834,9.281) -- (13.065,8.896);
\draw[line width=0.5pt] (12.532,8.731) -- (13.137,8.731);
\node at (12.834,9.666) {\scalebox{1.616}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries S0 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S1 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S2 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S3 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S4 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S5 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S6 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S7 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S8 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S9 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S10 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S11 \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 2 & 2 & 6 & 6 & 4 & 4 & 4 & 4 & 2 & 4 & 4 \\ \hline
Parité & pair & pair & pair & pair & pair & pair & pair & pair & pair & pair & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 44 = 2 \(\times\) 22, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Aucun} carrefour n'a un nombre impair de rues : ils sont tous pairs.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{S11}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui.} Aucun carrefour n'est impair : chacun peut être traversé de part en part. Le facteur revient même à la poste sans l'avoir cherché.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Voici une tournée possible — ce n'est pas la seule :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Carrefour du Moulin \textbf{(S11)}, prend le \textbf{chemin de Ronde ⑤} vers l'ouest et atteint Carrefour des Quatre-Chemins \textbf{(S10)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{boulevard du Parc ⑮}, vers le nord, jusqu'à Carrefour Saint-Roch \textbf{(S5)}.
  \item Il continue tout droit dans la \textbf{rue du Stade ⑨}, vers le nord, jusqu'à Rond-point des Vaches \textbf{(S3)}.
  \item Il continue tout droit dans la \textbf{rue Pasteur ①}, vers le nord-est, jusqu'à Place de la Fontaine \textbf{(S0)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue Verte ②}, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour du Lavoir \textbf{(S4)}.
  \item Il tourne à gauche dans l'\textbf{allée des Peupliers ⑥}, vers l'est, jusqu'à Place du Marché \textbf{(S2)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{chemin Creux ⑦}, vers le sud, jusqu'à Rond-point de la Poste \textbf{(S7)}.
  \item Il prend dans la \textbf{venelle du Chat ⑭}, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour du Lavoir \textbf{(S4)}.
  \item Il continue tout droit dans le \textbf{sentier des Prés ⑧}, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point des Vaches \textbf{(S3)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{passage du Marché ③}, vers le nord-ouest, jusqu'à Fontaine Notre-Dame \textbf{(S1)}.
  \item Il prend dans la \textbf{rue Haute ④}, vers le sud, jusqu'à Rond-point de la Gare \textbf{(S8)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Four ⑪}, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point des Vaches \textbf{(S3)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue Basse ⑩}, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour des Tilleuls \textbf{(S6)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue du Puits ⑯}, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour Saint-Roch \textbf{(S5)}.
  \item Il continue tout droit dans la \textbf{rue des Écoles ⑰}, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point de la Gare \textbf{(S8)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue des Lilas 21}, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins \textbf{(S10)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{chemin du Lavoir ⑱}, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour des Tilleuls \textbf{(S6)}.
  \item Il continue tout droit dans l'\textbf{avenue de la Gare ⑬}, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour du Lavoir \textbf{(S4)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue des Jardins ⑫}, vers le sud, jusqu'à Carrefour du Moulin \textbf{(S11)}.
  \item Il tourne à gauche dans l'\textbf{allée des Tilleuls ⑲}, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point de la Poste \textbf{(S7)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue du Pont ⑳}, vers le sud-ouest, jusqu'à Placette des Ormes \textbf{(S9)}.
  \item Il continue tout droit dans la \textbf{rue de l'Église 22}, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour du Moulin \textbf{(S11)}.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries La question ne se pose pas : la tournée est possible au départ de la poste, et elle le resterait où qu'on installe celle-ci — aucun carrefour n'est impair.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
