\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 67}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=67}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0067}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6952, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (4.115,8.925) -- (4.277,8.894) -- (4.439,8.867) -- (4.602,8.844) -- (4.765,8.824) -- (4.929,8.809) -- (5.093,8.797) -- (5.257,8.789) -- (5.422,8.785) -- (5.586,8.785) -- (5.751,8.789) -- (5.915,8.797) -- (6.079,8.808) -- (6.243,8.824) -- (6.406,8.843);
\draw[line width=0.5pt] (4.115,8.925) -- (4.161,8.724) -- (4.203,8.523) -- (4.239,8.32) -- (4.271,8.116) -- (4.298,7.912) -- (4.32,7.707) -- (4.337,7.502) -- (4.35,7.296) -- (4.358,7.09) -- (4.36,6.884) -- (4.358,6.678) -- (4.352,6.472) -- (4.34,6.267) -- (4.323,6.062);
\draw[line width=0.5pt] (10.537,8.909) -- (10.363,8.713) -- (10.194,8.513) -- (10.03,8.31) -- (9.87,8.102) -- (9.715,7.891) -- (9.566,7.676) -- (9.421,7.458) -- (9.281,7.236) -- (9.147,7.012) -- (9.018,6.784) -- (8.895,6.553) -- (8.777,6.319) -- (8.664,6.083) -- (8.557,5.844);
\draw[line width=0.5pt] (10.968,1.776) -- (10.834,1.732) -- (10.699,1.691) -- (10.563,1.653) -- (10.426,1.619) -- (10.288,1.588) -- (10.15,1.56) -- (10.011,1.535) -- (9.872,1.514) -- (9.732,1.496) -- (9.591,1.481) -- (9.451,1.469) -- (9.31,1.461) -- (9.169,1.456) -- (9.028,1.454);
\draw[line width=0.5pt] (3.741,1.584) -- (3.943,1.531) -- (4.146,1.484) -- (4.351,1.441) -- (4.556,1.403) -- (4.763,1.37) -- (4.97,1.342) -- (5.178,1.319) -- (5.386,1.3) -- (5.594,1.287) -- (5.803,1.278) -- (6.012,1.274) -- (6.221,1.275) -- (6.43,1.281) -- (6.638,1.293) -- (6.806,1.33) -- (6.974,1.364) -- (7.144,1.393) -- (7.313,1.419) -- (7.484,1.441) -- (7.655,1.458) -- (7.826,1.472) -- (7.998,1.482) -- (8.17,1.487) -- (8.342,1.489) -- (8.514,1.486) -- (8.685,1.48) -- (8.857,1.469) -- (9.028,1.454);
\draw[line width=0.5pt] (6.406,8.843) -- (6.289,8.623) -- (6.166,8.406) -- (6.039,8.192) -- (5.906,7.98) -- (5.769,7.772) -- (5.626,7.568) -- (5.479,7.366) -- (5.327,7.168) -- (5.171,6.974) -- (5.01,6.784) -- (4.845,6.597) -- (4.675,6.415) -- (4.501,6.236) -- (4.323,6.062);
\draw[line width=0.5pt] (6.675,6.524) -- (6.503,6.517) -- (6.332,6.506) -- (6.161,6.491) -- (5.99,6.472) -- (5.819,6.449) -- (5.649,6.421) -- (5.48,6.39) -- (5.312,6.355) -- (5.144,6.316) -- (4.978,6.273) -- (4.812,6.226) -- (4.648,6.175) -- (4.485,6.12) -- (4.323,6.062);
\draw[line width=0.5pt] (6.675,6.524) -- (6.705,6.333) -- (6.73,6.14) -- (6.751,5.947) -- (6.767,5.753) -- (6.778,5.559) -- (6.785,5.364) -- (6.788,5.17) -- (6.786,4.975) -- (6.779,4.781) -- (6.768,4.587) -- (6.752,4.393) -- (6.731,4.2) -- (6.706,4.007) -- (6.677,3.815);
\draw[line width=0.5pt] (4.323,6.062) -- (4.286,5.892) -- (4.254,5.721) -- (4.225,5.55) -- (4.2,5.378) -- (4.18,5.205) -- (4.163,5.032) -- (4.151,4.858) -- (4.142,4.685) -- (4.138,4.511) -- (4.137,4.337) -- (4.141,4.163) -- (4.149,3.989) -- (4.161,3.816) -- (4.177,3.643) -- (4.169,3.492) -- (4.157,3.342) -- (4.141,3.191) -- (4.122,3.042) -- (4.1,2.892) -- (4.074,2.743) -- (4.044,2.595) -- (4.011,2.448) -- (3.974,2.301) -- (3.934,2.156) -- (3.891,2.011) -- (3.844,1.867) -- (3.794,1.725) -- (3.741,1.584);
\draw[line width=0.5pt] (4.323,6.062) -- (4.515,5.928) -- (4.703,5.79) -- (4.888,5.648) -- (5.069,5.501) -- (5.247,5.35) -- (5.422,5.195) -- (5.593,5.035) -- (5.76,4.872) -- (5.923,4.705) -- (6.082,4.534) -- (6.237,4.36) -- (6.388,4.182) -- (6.535,4.0) -- (6.677,3.815);
\draw[line width=0.5pt] (4.323,6.062) -- (4.105,5.929) -- (3.889,5.792) -- (3.677,5.649) -- (3.468,5.501) -- (3.263,5.349) -- (3.061,5.191) -- (2.863,5.029) -- (2.669,4.863) -- (2.479,4.692) -- (2.293,4.516) -- (2.111,4.336) -- (1.934,4.152) -- (1.76,3.964) -- (1.592,3.772);
\draw[line width=0.5pt] (8.557,5.844) -- (8.609,5.748) -- (8.659,5.65) -- (8.706,5.552) -- (8.751,5.452) -- (8.794,5.351) -- (8.834,5.249) -- (8.872,5.146) -- (8.907,5.043) -- (8.94,4.938) -- (8.97,4.833) -- (8.998,4.727) -- (9.024,4.621) -- (9.047,4.514) -- (9.067,4.407) -- (9.032,4.198) -- (9.002,3.988) -- (8.977,3.778) -- (8.957,3.567) -- (8.941,3.356) -- (8.931,3.144) -- (8.926,2.932) -- (8.926,2.72) -- (8.93,2.508) -- (8.94,2.297) -- (8.954,2.085) -- (8.974,1.874) -- (8.998,1.664) -- (9.028,1.454);
\draw[line width=0.5pt] (8.557,5.844) -- (8.744,5.687) -- (8.934,5.533) -- (9.128,5.385) -- (9.325,5.241) -- (9.526,5.101) -- (9.73,4.967) -- (9.937,4.837) -- (10.147,4.712) -- (10.36,4.592) -- (10.576,4.477) -- (10.794,4.368) -- (11.015,4.263) -- (11.238,4.164) -- (11.463,4.07);
\draw[line width=0.5pt] (8.557,5.844) -- (8.446,5.68) -- (8.331,5.518) -- (8.213,5.359) -- (8.09,5.203) -- (7.964,5.05) -- (7.834,4.899) -- (7.701,4.752) -- (7.564,4.608) -- (7.424,4.467) -- (7.281,4.33) -- (7.134,4.196) -- (6.985,4.065) -- (6.832,3.938) -- (6.677,3.815);
\draw[line width=0.5pt] (11.463,4.07) -- (11.403,3.913) -- (11.346,3.754) -- (11.294,3.594) -- (11.245,3.433) -- (11.2,3.271) -- (11.158,3.108) -- (11.121,2.943) -- (11.087,2.778) -- (11.057,2.612) -- (11.032,2.446) -- (11.01,2.279) -- (10.992,2.112) -- (10.978,1.944) -- (10.968,1.776);
\draw[line width=0.5pt] (6.677,3.815) -- (6.869,3.673) -- (7.058,3.527) -- (7.244,3.377) -- (7.426,3.222) -- (7.604,3.063) -- (7.779,2.899) -- (7.95,2.732) -- (8.117,2.56) -- (8.279,2.385) -- (8.438,2.206) -- (8.592,2.023) -- (8.742,1.837) -- (8.887,1.647) -- (9.028,1.454);
\draw[line width=0.5pt] (1.592,3.772) -- (1.72,3.593) -- (1.853,3.418) -- (1.99,3.245) -- (2.13,3.076) -- (2.275,2.91) -- (2.424,2.748) -- (2.576,2.589) -- (2.732,2.434) -- (2.892,2.282) -- (3.055,2.135) -- (3.222,1.991) -- (3.391,1.851) -- (3.565,1.715) -- (3.741,1.584);
\draw[line width=0.5pt] (1.463,1.836) -- (1.627,1.843) -- (1.791,1.846) -- (1.956,1.845) -- (2.12,1.841) -- (2.285,1.832) -- (2.449,1.82) -- (2.612,1.804) -- (2.776,1.784) -- (2.938,1.76) -- (3.1,1.732) -- (3.262,1.701) -- (3.422,1.666) -- (3.582,1.627) -- (3.741,1.584);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.275,8.925) -- (4.254,9.005) -- (4.195,9.064) -- (4.115,9.085) -- (4.035,9.064) -- (3.977,9.005) -- (3.955,8.925) -- (3.977,8.845) -- (4.035,8.786) -- (4.115,8.765) -- (4.195,8.786) -- (4.254,8.845) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.697,8.909) -- (10.676,8.989) -- (10.617,9.047) -- (10.537,9.069) -- (10.457,9.047) -- (10.399,8.989) -- (10.377,8.909) -- (10.399,8.829) -- (10.457,8.77) -- (10.537,8.749) -- (10.617,8.77) -- (10.676,8.829) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.566,8.843) -- (6.544,8.923) -- (6.486,8.981) -- (6.406,9.003) -- (6.326,8.981) -- (6.267,8.923) -- (6.246,8.843) -- (6.267,8.763) -- (6.326,8.704) -- (6.406,8.683) -- (6.486,8.704) -- (6.544,8.763) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.835,6.524) -- (6.814,6.604) -- (6.755,6.663) -- (6.675,6.684) -- (6.595,6.663) -- (6.537,6.604) -- (6.515,6.524) -- (6.537,6.444) -- (6.595,6.386) -- (6.675,6.364) -- (6.755,6.386) -- (6.814,6.444) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.483,6.062) -- (4.462,6.142) -- (4.403,6.2) -- (4.323,6.222) -- (4.243,6.2) -- (4.185,6.142) -- (4.163,6.062) -- (4.185,5.982) -- (4.243,5.923) -- (4.323,5.902) -- (4.403,5.923) -- (4.462,5.982) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.717,5.844) -- (8.696,5.924) -- (8.637,5.983) -- (8.557,6.004) -- (8.477,5.983) -- (8.419,5.924) -- (8.397,5.844) -- (8.419,5.764) -- (8.477,5.706) -- (8.557,5.684) -- (8.637,5.706) -- (8.696,5.764) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.623,4.07) -- (11.602,4.15) -- (11.543,4.208) -- (11.463,4.23) -- (11.383,4.208) -- (11.324,4.15) -- (11.303,4.07) -- (11.324,3.99) -- (11.383,3.931) -- (11.463,3.91) -- (11.543,3.931) -- (11.602,3.99) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.837,3.815) -- (6.816,3.895) -- (6.757,3.954) -- (6.677,3.975) -- (6.597,3.954) -- (6.538,3.895) -- (6.517,3.815) -- (6.538,3.735) -- (6.597,3.676) -- (6.677,3.655) -- (6.757,3.676) -- (6.816,3.735) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.752,3.772) -- (1.731,3.852) -- (1.672,3.91) -- (1.592,3.932) -- (1.512,3.91) -- (1.453,3.852) -- (1.432,3.772) -- (1.453,3.692) -- (1.512,3.633) -- (1.592,3.612) -- (1.672,3.633) -- (1.731,3.692) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.623,1.836) -- (1.602,1.916) -- (1.543,1.974) -- (1.463,1.996) -- (1.383,1.974) -- (1.324,1.916) -- (1.303,1.836) -- (1.324,1.756) -- (1.383,1.697) -- (1.463,1.676) -- (1.543,1.697) -- (1.602,1.756) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.128,1.776) -- (11.106,1.856) -- (11.048,1.915) -- (10.968,1.936) -- (10.888,1.915) -- (10.829,1.856) -- (10.808,1.776) -- (10.829,1.696) -- (10.888,1.637) -- (10.968,1.616) -- (11.048,1.637) -- (11.106,1.696) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.901,1.584) -- (3.879,1.664) -- (3.821,1.722) -- (3.741,1.744) -- (3.661,1.722) -- (3.602,1.664) -- (3.581,1.584) -- (3.602,1.504) -- (3.661,1.445) -- (3.741,1.424) -- (3.821,1.445) -- (3.879,1.504) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.188,1.454) -- (9.166,1.534) -- (9.108,1.593) -- (9.028,1.614) -- (8.948,1.593) -- (8.889,1.534) -- (8.868,1.454) -- (8.889,1.374) -- (8.948,1.316) -- (9.028,1.294) -- (9.108,1.316) -- (9.166,1.374) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.609,9.109) -- (5.563,9.279) -- (5.439,9.404) -- (5.269,9.449) -- (5.099,9.404) -- (4.974,9.279) -- (4.929,9.109) -- (4.974,8.939) -- (5.099,8.815) -- (5.269,8.769) -- (5.439,8.815) -- (5.563,8.939) -- cycle;
\node at (5.269,9.109) {\scalebox{1.438}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.997,7.525) -- (4.951,7.695) -- (4.827,7.82) -- (4.657,7.865) -- (4.487,7.82) -- (4.362,7.695) -- (4.317,7.525) -- (4.362,7.355) -- (4.487,7.231) -- (4.657,7.185) -- (4.827,7.231) -- (4.951,7.355) -- cycle;
\node at (4.657,7.525) {\scalebox{1.438}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.03,7.284) -- (9.984,7.454) -- (9.86,7.579) -- (9.69,7.624) -- (9.52,7.579) -- (9.395,7.454) -- (9.35,7.284) -- (9.395,7.114) -- (9.52,6.99) -- (9.69,6.944) -- (9.86,6.99) -- (9.984,7.114) -- cycle;
\node at (9.69,7.284) {\scalebox{1.438}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.403,1.219) -- (10.358,1.389) -- (10.233,1.514) -- (10.063,1.559) -- (9.893,1.514) -- (9.769,1.389) -- (9.723,1.219) -- (9.769,1.049) -- (9.893,0.925) -- (10.063,0.879) -- (10.233,0.925) -- (10.358,1.049) -- cycle;
\node at (10.063,1.219) {\scalebox{1.438}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.937,1.61) -- (6.892,1.78) -- (6.767,1.904) -- (6.597,1.95) -- (6.427,1.904) -- (6.303,1.78) -- (6.257,1.61) -- (6.303,1.44) -- (6.427,1.315) -- (6.597,1.27) -- (6.767,1.315) -- (6.892,1.44) -- cycle;
\node at (6.597,1.61) {\scalebox{1.438}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.075,7.175) -- (6.03,7.345) -- (5.905,7.469) -- (5.735,7.515) -- (5.565,7.469) -- (5.441,7.345) -- (5.395,7.175) -- (5.441,7.005) -- (5.565,6.88) -- (5.735,6.835) -- (5.905,6.88) -- (6.03,7.005) -- cycle;
\node at (5.735,7.175) {\scalebox{1.438}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.882,6.076) -- (5.836,6.246) -- (5.712,6.371) -- (5.542,6.416) -- (5.372,6.371) -- (5.247,6.246) -- (5.202,6.076) -- (5.247,5.906) -- (5.372,5.782) -- (5.542,5.736) -- (5.712,5.782) -- (5.836,5.906) -- cycle;
\node at (5.542,6.076) {\scalebox{1.438}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.448,5.17) -- (7.402,5.34) -- (7.278,5.464) -- (7.108,5.51) -- (6.938,5.464) -- (6.813,5.34) -- (6.768,5.17) -- (6.813,5.0) -- (6.938,4.876) -- (7.108,4.83) -- (7.278,4.876) -- (7.402,5.0) -- cycle;
\node at (7.108,5.17) {\scalebox{1.438}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.837,3.65) -- (4.792,3.82) -- (4.667,3.945) -- (4.497,3.99) -- (4.327,3.945) -- (4.203,3.82) -- (4.157,3.65) -- (4.203,3.48) -- (4.327,3.356) -- (4.497,3.31) -- (4.667,3.356) -- (4.792,3.48) -- cycle;
\node at (4.497,3.65) {\scalebox{1.438}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.154,5.267) -- (6.108,5.437) -- (5.984,5.561) -- (5.814,5.607) -- (5.644,5.561) -- (5.519,5.437) -- (5.474,5.267) -- (5.519,5.097) -- (5.644,4.972) -- (5.814,4.927) -- (5.984,4.972) -- (6.108,5.097) -- cycle;
\node at (5.814,5.267) {\scalebox{1.438}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.409,4.784) -- (3.363,4.954) -- (3.239,5.079) -- (3.069,5.124) -- (2.899,5.079) -- (2.774,4.954) -- (2.729,4.784) -- (2.774,4.614) -- (2.899,4.49) -- (3.069,4.444) -- (3.239,4.49) -- (3.363,4.614) -- cycle;
\node at (3.069,4.784) {\scalebox{1.438}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.727,4.392) -- (9.681,4.562) -- (9.557,4.686) -- (9.387,4.732) -- (9.217,4.686) -- (9.093,4.562) -- (9.047,4.392) -- (9.093,4.222) -- (9.217,4.097) -- (9.387,4.052) -- (9.557,4.097) -- (9.681,4.222) -- cycle;
\node at (9.387,4.392) {\scalebox{1.438}{\small 12}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.444,5.11) -- (10.398,5.28) -- (10.274,5.405) -- (10.104,5.45) -- (9.934,5.405) -- (9.809,5.28) -- (9.764,5.11) -- (9.809,4.94) -- (9.934,4.816) -- (10.104,4.77) -- (10.274,4.816) -- (10.398,4.94) -- cycle;
\node at (10.104,5.11) {\scalebox{1.438}{\small 13}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.276,4.534) -- (8.23,4.704) -- (8.106,4.829) -- (7.936,4.874) -- (7.766,4.829) -- (7.641,4.704) -- (7.596,4.534) -- (7.641,4.364) -- (7.766,4.24) -- (7.936,4.194) -- (8.106,4.24) -- (8.23,4.364) -- cycle;
\node at (7.936,4.534) {\scalebox{1.438}{\small 14}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.774,2.876) -- (11.728,3.046) -- (11.604,3.17) -- (11.434,3.216) -- (11.264,3.17) -- (11.139,3.046) -- (11.094,2.876) -- (11.139,2.706) -- (11.264,2.581) -- (11.434,2.536) -- (11.604,2.581) -- (11.728,2.706) -- cycle;
\node at (11.434,2.876) {\scalebox{1.438}{\small 15}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.517,2.957) -- (8.471,3.127) -- (8.347,3.252) -- (8.177,3.297) -- (8.007,3.252) -- (7.882,3.127) -- (7.837,2.957) -- (7.882,2.787) -- (8.007,2.663) -- (8.177,2.617) -- (8.347,2.663) -- (8.471,2.787) -- cycle;
\node at (8.177,2.957) {\scalebox{1.438}{\small 16}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.144,2.813) -- (3.099,2.983) -- (2.974,3.108) -- (2.804,3.153) -- (2.634,3.108) -- (2.51,2.983) -- (2.464,2.813) -- (2.51,2.643) -- (2.634,2.519) -- (2.804,2.473) -- (2.974,2.519) -- (3.099,2.643) -- cycle;
\node at (2.804,2.813) {\scalebox{1.438}{\small 17}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.917,1.486) -- (2.871,1.656) -- (2.747,1.78) -- (2.577,1.826) -- (2.407,1.78) -- (2.283,1.656) -- (2.237,1.486) -- (2.283,1.316) -- (2.407,1.191) -- (2.577,1.146) -- (2.747,1.191) -- (2.871,1.316) -- cycle;
\node at (2.577,1.486) {\scalebox{1.438}{\small 18}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (4.023,5.762) -- (4.623,5.762) -- (4.623,6.362) -- (4.023,6.362) -- cycle;
\node at (4.323,6.062) {\scalebox{1.438}{\small a}};
\filldraw[fill=blue!12, draw=black, line width=0.5pt] (5.297,7.788) -- (5.897,7.788) -- (5.897,8.388) -- (5.297,8.388) -- cycle;
\node at (5.597,8.088) {\scalebox{1.438}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (8.818,2.042) -- (9.418,2.042) -- (9.418,2.642) -- (8.818,2.642) -- cycle;
\node at (9.118,2.342) {\scalebox{1.438}{\small c}};
\node at (3.793,9.455) {\scalebox{1.438}{\small S0}};
\node at (10.971,9.351) {\scalebox{1.438}{\small S1}};
\node at (6.379,9.462) {\scalebox{1.438}{\small S2}};
\node at (6.711,7.143) {\scalebox{1.438}{\small S3}};
\node at (3.774,6.35) {\scalebox{1.438}{\small S4}};
\node at (9.114,6.116) {\scalebox{1.438}{\small S5}};
\node at (12.075,3.968) {\scalebox{1.438}{\small S6}};
\node at (6.733,3.198) {\scalebox{1.438}{\small S7}};
\node at (0.987,3.637) {\scalebox{1.438}{\small S8}};
\node at (0.93,1.519) {\scalebox{1.438}{\small S9}};
\node at (11.474,1.418) {\scalebox{1.438}{\small S10}};
\node at (3.336,1.114) {\scalebox{1.438}{\small S11}};
\node at (9.389,0.95) {\scalebox{1.438}{\small S12}};
\draw[line width=0.5pt] (12.763,7.975) -- (12.763,9.075);
\draw[line width=0.5pt] (12.532,8.69) -- (12.763,9.075) -- (12.994,8.69);
\draw[line width=0.5pt] (12.46,8.525) -- (13.065,8.525);
\node at (12.763,9.46) {\scalebox{1.438}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① passage du Marché & ⑩ allée des Tilleuls & S0 Place de la Fontaine & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue de la Poste & ⑪ rue des Écoles & S1 Placette des Ormes & \textbf{b} l'école \\ \hline
③ impasse du Vieux-Four & ⑫ rue de l'Église & S2 Fontaine Notre-Dame & \textbf{c} la mairie \\ \hline
④ rue Neuve & ⑬ rue Verte & S3 Place du Marché &  \\ \hline
⑤ rue des Lilas & ⑭ allée des Peupliers & S4 Carrefour des Tilleuls &  \\ \hline
⑥ avenue de la Gare & ⑮ chemin Creux & S5 Carrefour du Lavoir &  \\ \hline
⑦ rue du Pont & ⑯ venelle du Chat & S6 Place du Vieux-Puits &  \\ \hline
⑧ rue Haute & ⑰ rue de la Mairie & S7 Carrefour du Moulin &  \\ \hline
⑨ boulevard du Parc & ⑱ impasse du Puits & S8 Coin du Lavoir &  \\ \hline
 &  & S9 Place aux Herbes &  \\ \hline
 &  & S10 Place des Tanneurs &  \\ \hline
 &  & S11 Carrefour des Quatre-Chemins &  \\ \hline
 &  & S12 Rond-point de la Poste &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.622, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (4.115,8.925) -- (4.277,8.894) -- (4.439,8.867) -- (4.602,8.844) -- (4.765,8.824) -- (4.929,8.809) -- (5.093,8.797) -- (5.257,8.789) -- (5.422,8.785) -- (5.586,8.785) -- (5.751,8.789) -- (5.915,8.797) -- (6.079,8.808) -- (6.243,8.824) -- (6.406,8.843);
\draw[line width=0.5pt] (4.115,8.925) -- (4.161,8.724) -- (4.203,8.523) -- (4.239,8.32) -- (4.271,8.116) -- (4.298,7.912) -- (4.32,7.707) -- (4.337,7.502) -- (4.35,7.296) -- (4.358,7.09) -- (4.36,6.884) -- (4.358,6.678) -- (4.352,6.472) -- (4.34,6.267) -- (4.323,6.062);
\draw[line width=0.5pt] (10.537,8.909) -- (10.363,8.713) -- (10.194,8.513) -- (10.03,8.31) -- (9.87,8.102) -- (9.715,7.891) -- (9.566,7.676) -- (9.421,7.458) -- (9.281,7.236) -- (9.147,7.012) -- (9.018,6.784) -- (8.895,6.553) -- (8.777,6.319) -- (8.664,6.083) -- (8.557,5.844);
\draw[line width=0.5pt] (10.968,1.776) -- (10.834,1.732) -- (10.699,1.691) -- (10.563,1.653) -- (10.426,1.619) -- (10.288,1.588) -- (10.15,1.56) -- (10.011,1.535) -- (9.872,1.514) -- (9.732,1.496) -- (9.591,1.481) -- (9.451,1.469) -- (9.31,1.461) -- (9.169,1.456) -- (9.028,1.454);
\draw[line width=0.5pt] (3.741,1.584) -- (3.943,1.531) -- (4.146,1.484) -- (4.351,1.441) -- (4.556,1.403) -- (4.763,1.37) -- (4.97,1.342) -- (5.178,1.319) -- (5.386,1.3) -- (5.594,1.287) -- (5.803,1.278) -- (6.012,1.274) -- (6.221,1.275) -- (6.43,1.281) -- (6.638,1.293) -- (6.806,1.33) -- (6.974,1.364) -- (7.144,1.393) -- (7.313,1.419) -- (7.484,1.441) -- (7.655,1.458) -- (7.826,1.472) -- (7.998,1.482) -- (8.17,1.487) -- (8.342,1.489) -- (8.514,1.486) -- (8.685,1.48) -- (8.857,1.469) -- (9.028,1.454);
\draw[line width=0.5pt] (6.406,8.843) -- (6.289,8.623) -- (6.166,8.406) -- (6.039,8.192) -- (5.906,7.98) -- (5.769,7.772) -- (5.626,7.568) -- (5.479,7.366) -- (5.327,7.168) -- (5.171,6.974) -- (5.01,6.784) -- (4.845,6.597) -- (4.675,6.415) -- (4.501,6.236) -- (4.323,6.062);
\draw[line width=0.5pt] (6.675,6.524) -- (6.503,6.517) -- (6.332,6.506) -- (6.161,6.491) -- (5.99,6.472) -- (5.819,6.449) -- (5.649,6.421) -- (5.48,6.39) -- (5.312,6.355) -- (5.144,6.316) -- (4.978,6.273) -- (4.812,6.226) -- (4.648,6.175) -- (4.485,6.12) -- (4.323,6.062);
\draw[line width=0.5pt] (6.675,6.524) -- (6.705,6.333) -- (6.73,6.14) -- (6.751,5.947) -- (6.767,5.753) -- (6.778,5.559) -- (6.785,5.364) -- (6.788,5.17) -- (6.786,4.975) -- (6.779,4.781) -- (6.768,4.587) -- (6.752,4.393) -- (6.731,4.2) -- (6.706,4.007) -- (6.677,3.815);
\draw[line width=0.5pt] (4.323,6.062) -- (4.286,5.892) -- (4.254,5.721) -- (4.225,5.55) -- (4.2,5.378) -- (4.18,5.205) -- (4.163,5.032) -- (4.151,4.858) -- (4.142,4.685) -- (4.138,4.511) -- (4.137,4.337) -- (4.141,4.163) -- (4.149,3.989) -- (4.161,3.816) -- (4.177,3.643) -- (4.169,3.492) -- (4.157,3.342) -- (4.141,3.191) -- (4.122,3.042) -- (4.1,2.892) -- (4.074,2.743) -- (4.044,2.595) -- (4.011,2.448) -- (3.974,2.301) -- (3.934,2.156) -- (3.891,2.011) -- (3.844,1.867) -- (3.794,1.725) -- (3.741,1.584);
\draw[line width=0.5pt] (4.323,6.062) -- (4.515,5.928) -- (4.703,5.79) -- (4.888,5.648) -- (5.069,5.501) -- (5.247,5.35) -- (5.422,5.195) -- (5.593,5.035) -- (5.76,4.872) -- (5.923,4.705) -- (6.082,4.534) -- (6.237,4.36) -- (6.388,4.182) -- (6.535,4.0) -- (6.677,3.815);
\draw[line width=0.5pt] (4.323,6.062) -- (4.105,5.929) -- (3.889,5.792) -- (3.677,5.649) -- (3.468,5.501) -- (3.263,5.349) -- (3.061,5.191) -- (2.863,5.029) -- (2.669,4.863) -- (2.479,4.692) -- (2.293,4.516) -- (2.111,4.336) -- (1.934,4.152) -- (1.76,3.964) -- (1.592,3.772);
\draw[line width=0.5pt] (8.557,5.844) -- (8.609,5.748) -- (8.659,5.65) -- (8.706,5.552) -- (8.751,5.452) -- (8.794,5.351) -- (8.834,5.249) -- (8.872,5.146) -- (8.907,5.043) -- (8.94,4.938) -- (8.97,4.833) -- (8.998,4.727) -- (9.024,4.621) -- (9.047,4.514) -- (9.067,4.407) -- (9.032,4.198) -- (9.002,3.988) -- (8.977,3.778) -- (8.957,3.567) -- (8.941,3.356) -- (8.931,3.144) -- (8.926,2.932) -- (8.926,2.72) -- (8.93,2.508) -- (8.94,2.297) -- (8.954,2.085) -- (8.974,1.874) -- (8.998,1.664) -- (9.028,1.454);
\draw[line width=0.5pt] (8.557,5.844) -- (8.744,5.687) -- (8.934,5.533) -- (9.128,5.385) -- (9.325,5.241) -- (9.526,5.101) -- (9.73,4.967) -- (9.937,4.837) -- (10.147,4.712) -- (10.36,4.592) -- (10.576,4.477) -- (10.794,4.368) -- (11.015,4.263) -- (11.238,4.164) -- (11.463,4.07);
\draw[line width=0.5pt] (8.557,5.844) -- (8.446,5.68) -- (8.331,5.518) -- (8.213,5.359) -- (8.09,5.203) -- (7.964,5.05) -- (7.834,4.899) -- (7.701,4.752) -- (7.564,4.608) -- (7.424,4.467) -- (7.281,4.33) -- (7.134,4.196) -- (6.985,4.065) -- (6.832,3.938) -- (6.677,3.815);
\draw[line width=0.5pt] (11.463,4.07) -- (11.403,3.913) -- (11.346,3.754) -- (11.294,3.594) -- (11.245,3.433) -- (11.2,3.271) -- (11.158,3.108) -- (11.121,2.943) -- (11.087,2.778) -- (11.057,2.612) -- (11.032,2.446) -- (11.01,2.279) -- (10.992,2.112) -- (10.978,1.944) -- (10.968,1.776);
\draw[line width=0.5pt] (6.677,3.815) -- (6.869,3.673) -- (7.058,3.527) -- (7.244,3.377) -- (7.426,3.222) -- (7.604,3.063) -- (7.779,2.899) -- (7.95,2.732) -- (8.117,2.56) -- (8.279,2.385) -- (8.438,2.206) -- (8.592,2.023) -- (8.742,1.837) -- (8.887,1.647) -- (9.028,1.454);
\draw[line width=0.5pt] (1.592,3.772) -- (1.72,3.593) -- (1.853,3.418) -- (1.99,3.245) -- (2.13,3.076) -- (2.275,2.91) -- (2.424,2.748) -- (2.576,2.589) -- (2.732,2.434) -- (2.892,2.282) -- (3.055,2.135) -- (3.222,1.991) -- (3.391,1.851) -- (3.565,1.715) -- (3.741,1.584);
\draw[line width=0.5pt] (1.463,1.836) -- (1.627,1.843) -- (1.791,1.846) -- (1.956,1.845) -- (2.12,1.841) -- (2.285,1.832) -- (2.449,1.82) -- (2.612,1.804) -- (2.776,1.784) -- (2.938,1.76) -- (3.1,1.732) -- (3.262,1.701) -- (3.422,1.666) -- (3.582,1.627) -- (3.741,1.584);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.275,8.925) -- (4.254,9.005) -- (4.195,9.064) -- (4.115,9.085) -- (4.035,9.064) -- (3.977,9.005) -- (3.955,8.925) -- (3.977,8.845) -- (4.035,8.786) -- (4.115,8.765) -- (4.195,8.786) -- (4.254,8.845) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.697,8.909) -- (10.676,8.989) -- (10.617,9.047) -- (10.537,9.069) -- (10.457,9.047) -- (10.399,8.989) -- (10.377,8.909) -- (10.399,8.829) -- (10.457,8.77) -- (10.537,8.749) -- (10.617,8.77) -- (10.676,8.829) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.566,8.843) -- (6.544,8.923) -- (6.486,8.981) -- (6.406,9.003) -- (6.326,8.981) -- (6.267,8.923) -- (6.246,8.843) -- (6.267,8.763) -- (6.326,8.704) -- (6.406,8.683) -- (6.486,8.704) -- (6.544,8.763) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.835,6.524) -- (6.814,6.604) -- (6.755,6.663) -- (6.675,6.684) -- (6.595,6.663) -- (6.537,6.604) -- (6.515,6.524) -- (6.537,6.444) -- (6.595,6.386) -- (6.675,6.364) -- (6.755,6.386) -- (6.814,6.444) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.483,6.062) -- (4.462,6.142) -- (4.403,6.2) -- (4.323,6.222) -- (4.243,6.2) -- (4.185,6.142) -- (4.163,6.062) -- (4.185,5.982) -- (4.243,5.923) -- (4.323,5.902) -- (4.403,5.923) -- (4.462,5.982) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.717,5.844) -- (8.696,5.924) -- (8.637,5.983) -- (8.557,6.004) -- (8.477,5.983) -- (8.419,5.924) -- (8.397,5.844) -- (8.419,5.764) -- (8.477,5.706) -- (8.557,5.684) -- (8.637,5.706) -- (8.696,5.764) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.623,4.07) -- (11.602,4.15) -- (11.543,4.208) -- (11.463,4.23) -- (11.383,4.208) -- (11.324,4.15) -- (11.303,4.07) -- (11.324,3.99) -- (11.383,3.931) -- (11.463,3.91) -- (11.543,3.931) -- (11.602,3.99) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.837,3.815) -- (6.816,3.895) -- (6.757,3.954) -- (6.677,3.975) -- (6.597,3.954) -- (6.538,3.895) -- (6.517,3.815) -- (6.538,3.735) -- (6.597,3.676) -- (6.677,3.655) -- (6.757,3.676) -- (6.816,3.735) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.752,3.772) -- (1.731,3.852) -- (1.672,3.91) -- (1.592,3.932) -- (1.512,3.91) -- (1.453,3.852) -- (1.432,3.772) -- (1.453,3.692) -- (1.512,3.633) -- (1.592,3.612) -- (1.672,3.633) -- (1.731,3.692) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.623,1.836) -- (1.602,1.916) -- (1.543,1.974) -- (1.463,1.996) -- (1.383,1.974) -- (1.324,1.916) -- (1.303,1.836) -- (1.324,1.756) -- (1.383,1.697) -- (1.463,1.676) -- (1.543,1.697) -- (1.602,1.756) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.128,1.776) -- (11.106,1.856) -- (11.048,1.915) -- (10.968,1.936) -- (10.888,1.915) -- (10.829,1.856) -- (10.808,1.776) -- (10.829,1.696) -- (10.888,1.637) -- (10.968,1.616) -- (11.048,1.637) -- (11.106,1.696) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.901,1.584) -- (3.879,1.664) -- (3.821,1.722) -- (3.741,1.744) -- (3.661,1.722) -- (3.602,1.664) -- (3.581,1.584) -- (3.602,1.504) -- (3.661,1.445) -- (3.741,1.424) -- (3.821,1.445) -- (3.879,1.504) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.188,1.454) -- (9.166,1.534) -- (9.108,1.593) -- (9.028,1.614) -- (8.948,1.593) -- (8.889,1.534) -- (8.868,1.454) -- (8.889,1.374) -- (8.948,1.316) -- (9.028,1.294) -- (9.108,1.316) -- (9.166,1.374) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.609,9.109) -- (5.563,9.279) -- (5.439,9.404) -- (5.269,9.449) -- (5.099,9.404) -- (4.974,9.279) -- (4.929,9.109) -- (4.974,8.939) -- (5.099,8.815) -- (5.269,8.769) -- (5.439,8.815) -- (5.563,8.939) -- cycle;
\node at (5.269,9.109) {\scalebox{1.608}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.997,7.525) -- (4.951,7.695) -- (4.827,7.82) -- (4.657,7.865) -- (4.487,7.82) -- (4.362,7.695) -- (4.317,7.525) -- (4.362,7.355) -- (4.487,7.231) -- (4.657,7.185) -- (4.827,7.231) -- (4.951,7.355) -- cycle;
\node at (4.657,7.525) {\scalebox{1.608}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.03,7.284) -- (9.984,7.454) -- (9.86,7.579) -- (9.69,7.624) -- (9.52,7.579) -- (9.395,7.454) -- (9.35,7.284) -- (9.395,7.114) -- (9.52,6.99) -- (9.69,6.944) -- (9.86,6.99) -- (9.984,7.114) -- cycle;
\node at (9.69,7.284) {\scalebox{1.608}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.403,1.219) -- (10.358,1.389) -- (10.233,1.514) -- (10.063,1.559) -- (9.893,1.514) -- (9.769,1.389) -- (9.723,1.219) -- (9.769,1.049) -- (9.893,0.925) -- (10.063,0.879) -- (10.233,0.925) -- (10.358,1.049) -- cycle;
\node at (10.063,1.219) {\scalebox{1.608}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.937,1.61) -- (6.892,1.78) -- (6.767,1.904) -- (6.597,1.95) -- (6.427,1.904) -- (6.303,1.78) -- (6.257,1.61) -- (6.303,1.44) -- (6.427,1.315) -- (6.597,1.27) -- (6.767,1.315) -- (6.892,1.44) -- cycle;
\node at (6.597,1.61) {\scalebox{1.608}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.075,7.175) -- (6.03,7.345) -- (5.905,7.469) -- (5.735,7.515) -- (5.565,7.469) -- (5.441,7.345) -- (5.395,7.175) -- (5.441,7.005) -- (5.565,6.88) -- (5.735,6.835) -- (5.905,6.88) -- (6.03,7.005) -- cycle;
\node at (5.735,7.175) {\scalebox{1.608}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.882,6.076) -- (5.836,6.246) -- (5.712,6.371) -- (5.542,6.416) -- (5.372,6.371) -- (5.247,6.246) -- (5.202,6.076) -- (5.247,5.906) -- (5.372,5.782) -- (5.542,5.736) -- (5.712,5.782) -- (5.836,5.906) -- cycle;
\node at (5.542,6.076) {\scalebox{1.608}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.448,5.17) -- (7.402,5.34) -- (7.278,5.464) -- (7.108,5.51) -- (6.938,5.464) -- (6.813,5.34) -- (6.768,5.17) -- (6.813,5.0) -- (6.938,4.876) -- (7.108,4.83) -- (7.278,4.876) -- (7.402,5.0) -- cycle;
\node at (7.108,5.17) {\scalebox{1.608}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.837,3.65) -- (4.792,3.82) -- (4.667,3.945) -- (4.497,3.99) -- (4.327,3.945) -- (4.203,3.82) -- (4.157,3.65) -- (4.203,3.48) -- (4.327,3.356) -- (4.497,3.31) -- (4.667,3.356) -- (4.792,3.48) -- cycle;
\node at (4.497,3.65) {\scalebox{1.608}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.154,5.267) -- (6.108,5.437) -- (5.984,5.561) -- (5.814,5.607) -- (5.644,5.561) -- (5.519,5.437) -- (5.474,5.267) -- (5.519,5.097) -- (5.644,4.972) -- (5.814,4.927) -- (5.984,4.972) -- (6.108,5.097) -- cycle;
\node at (5.814,5.267) {\scalebox{1.608}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.409,4.784) -- (3.363,4.954) -- (3.239,5.079) -- (3.069,5.124) -- (2.899,5.079) -- (2.774,4.954) -- (2.729,4.784) -- (2.774,4.614) -- (2.899,4.49) -- (3.069,4.444) -- (3.239,4.49) -- (3.363,4.614) -- cycle;
\node at (3.069,4.784) {\scalebox{1.608}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.727,4.392) -- (9.681,4.562) -- (9.557,4.686) -- (9.387,4.732) -- (9.217,4.686) -- (9.093,4.562) -- (9.047,4.392) -- (9.093,4.222) -- (9.217,4.097) -- (9.387,4.052) -- (9.557,4.097) -- (9.681,4.222) -- cycle;
\node at (9.387,4.392) {\scalebox{1.608}{\small 12}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.444,5.11) -- (10.398,5.28) -- (10.274,5.405) -- (10.104,5.45) -- (9.934,5.405) -- (9.809,5.28) -- (9.764,5.11) -- (9.809,4.94) -- (9.934,4.816) -- (10.104,4.77) -- (10.274,4.816) -- (10.398,4.94) -- cycle;
\node at (10.104,5.11) {\scalebox{1.608}{\small 13}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.276,4.534) -- (8.23,4.704) -- (8.106,4.829) -- (7.936,4.874) -- (7.766,4.829) -- (7.641,4.704) -- (7.596,4.534) -- (7.641,4.364) -- (7.766,4.24) -- (7.936,4.194) -- (8.106,4.24) -- (8.23,4.364) -- cycle;
\node at (7.936,4.534) {\scalebox{1.608}{\small 14}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.774,2.876) -- (11.728,3.046) -- (11.604,3.17) -- (11.434,3.216) -- (11.264,3.17) -- (11.139,3.046) -- (11.094,2.876) -- (11.139,2.706) -- (11.264,2.581) -- (11.434,2.536) -- (11.604,2.581) -- (11.728,2.706) -- cycle;
\node at (11.434,2.876) {\scalebox{1.608}{\small 15}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.517,2.957) -- (8.471,3.127) -- (8.347,3.252) -- (8.177,3.297) -- (8.007,3.252) -- (7.882,3.127) -- (7.837,2.957) -- (7.882,2.787) -- (8.007,2.663) -- (8.177,2.617) -- (8.347,2.663) -- (8.471,2.787) -- cycle;
\node at (8.177,2.957) {\scalebox{1.608}{\small 16}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.144,2.813) -- (3.099,2.983) -- (2.974,3.108) -- (2.804,3.153) -- (2.634,3.108) -- (2.51,2.983) -- (2.464,2.813) -- (2.51,2.643) -- (2.634,2.519) -- (2.804,2.473) -- (2.974,2.519) -- (3.099,2.643) -- cycle;
\node at (2.804,2.813) {\scalebox{1.608}{\small 17}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.917,1.486) -- (2.871,1.656) -- (2.747,1.78) -- (2.577,1.826) -- (2.407,1.78) -- (2.283,1.656) -- (2.237,1.486) -- (2.283,1.316) -- (2.407,1.191) -- (2.577,1.146) -- (2.747,1.191) -- (2.871,1.316) -- cycle;
\node at (2.577,1.486) {\scalebox{1.608}{\small 18}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (4.023,5.762) -- (4.623,5.762) -- (4.623,6.362) -- (4.023,6.362) -- cycle;
\node at (4.323,6.062) {\scalebox{1.608}{\small a}};
\filldraw[fill=blue!12, draw=black, line width=0.5pt] (5.297,7.788) -- (5.897,7.788) -- (5.897,8.388) -- (5.297,8.388) -- cycle;
\node at (5.597,8.088) {\scalebox{1.608}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (8.818,2.042) -- (9.418,2.042) -- (9.418,2.642) -- (8.818,2.642) -- cycle;
\node at (9.118,2.342) {\scalebox{1.608}{\small c}};
\node at (3.793,9.455) {\scalebox{1.608}{\small S0}};
\node at (10.971,9.351) {\scalebox{1.608}{\small S1}};
\node at (6.379,9.462) {\scalebox{1.608}{\small S2}};
\node at (6.711,7.143) {\scalebox{1.608}{\small S3}};
\node at (3.774,6.35) {\scalebox{1.608}{\small S4}};
\node at (9.114,6.116) {\scalebox{1.608}{\small S5}};
\node at (12.075,3.968) {\scalebox{1.608}{\small S6}};
\node at (6.733,3.198) {\scalebox{1.608}{\small S7}};
\node at (0.987,3.637) {\scalebox{1.608}{\small S8}};
\node at (0.93,1.519) {\scalebox{1.608}{\small S9}};
\node at (11.474,1.418) {\scalebox{1.608}{\small S10}};
\node at (3.336,1.114) {\scalebox{1.608}{\small S11}};
\node at (9.389,0.95) {\scalebox{1.608}{\small S12}};
\draw[line width=0.5pt] (12.763,7.975) -- (12.763,9.075);
\draw[line width=0.5pt] (12.532,8.69) -- (12.763,9.075) -- (12.994,8.69);
\draw[line width=0.5pt] (12.46,8.525) -- (13.065,8.525);
\node at (12.763,9.46) {\scalebox{1.608}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries S0 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S1 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S2 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S3 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S4 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S5 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S6 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S7 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S8 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S9 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S10 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S11 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S12 \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 1 & 2 & 2 & 6 & 4 & 2 & 4 & 2 & 1 & 2 & 4 & 4 \\ \hline
Parité & pair & \textbf{impair} & pair & pair & pair & pair & pair & pair & pair & \textbf{impair} & pair & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 36 = 2 \(\times\) 18, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{S1}, \textbf{S9} — il y en a 2.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{S4}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Deux carrefours sont impairs, \textbf{S1} et \textbf{S9} : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Or la poste est en \textbf{S4}, où aboutit un nombre \textbf{pair} de rues. Ce carrefour ne peut être que traversé, jamais servir de départ.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui, une tournée existe} — mais elle va de \textbf{S1} à \textbf{S9}. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il \textbf{ne reviendrait pas} à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Ce parcours, en partant de S1 :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Placette des Ormes \textbf{(S1)}, prend l'\textbf{impasse du Vieux-Four ③} vers le sud-ouest et atteint Carrefour du Lavoir \textbf{(S5)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue de l'Église ⑫}, vers le sud, jusqu'à Rond-point de la Poste \textbf{(S12)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue Neuve ④}, vers l'est, jusqu'à Place des Tanneurs \textbf{(S10)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{chemin Creux ⑮}, vers le nord, jusqu'à Place du Vieux-Puits \textbf{(S6)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue Verte ⑬}, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour du Lavoir \textbf{(S5)}.
  \item Il tourne à gauche dans l'\textbf{allée des Peupliers ⑭}, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour du Moulin \textbf{(S7)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue Haute ⑧}, vers le nord, jusqu'à Place du Marché \textbf{(S3)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Pont ⑦}, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour des Tilleuls \textbf{(S4)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue de la Poste ②}, vers le nord, jusqu'à Place de la Fontaine \textbf{(S0)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{passage du Marché ①}, vers l'est, jusqu'à Fontaine Notre-Dame \textbf{(S2)}.
  \item Il tourne à droite dans l'\textbf{avenue de la Gare ⑥}, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour des Tilleuls \textbf{(S4)}.
  \item Il continue tout droit dans le \textbf{boulevard du Parc ⑨}, vers le sud, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins \textbf{(S11)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue des Lilas ⑤}, vers l'est, jusqu'à Rond-point de la Poste \textbf{(S12)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{venelle du Chat ⑯}, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour du Moulin \textbf{(S7)}.
  \item Il continue tout droit dans l'\textbf{allée des Tilleuls ⑩}, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour des Tilleuls \textbf{(S4)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue des Écoles ⑪}, vers le sud-ouest, jusqu'à Coin du Lavoir \textbf{(S8)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue de la Mairie ⑰}, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins \textbf{(S11)}.
  \item Il prend dans l'\textbf{impasse du Puits ⑱}, vers l'ouest, jusqu'à Place aux Herbes \textbf{(S9)}.
\end{enumerate}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À remarquer.} Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
