\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 70}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=70}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0070}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (11.369,6.532) -- (10.965,6.513) -- (10.561,6.485) -- (10.158,6.447) -- (9.756,6.399) -- (9.355,6.342) -- (8.956,6.276) -- (8.558,6.2) -- (8.162,6.115) -- (7.768,6.021) -- (7.377,5.917) -- (6.988,5.804) -- (6.602,5.683) -- (6.219,5.552) -- (5.839,5.412);
\draw[line width=0.5pt] (11.369,6.532) -- (11.24,6.321) -- (11.105,6.114) -- (10.965,5.909) -- (10.821,5.708) -- (10.672,5.511) -- (10.518,5.317) -- (10.36,5.126) -- (10.198,4.94) -- (10.031,4.757) -- (9.86,4.578) -- (9.684,4.403) -- (9.505,4.233) -- (9.322,4.067) -- (9.135,3.905);
\draw[line width=0.5pt] (5.839,5.412) -- (6.056,5.269) -- (6.277,5.131) -- (6.5,4.999) -- (6.727,4.872) -- (6.957,4.75) -- (7.19,4.633) -- (7.425,4.522) -- (7.663,4.417) -- (7.903,4.317) -- (8.145,4.223) -- (8.39,4.135) -- (8.636,4.052) -- (8.885,3.976) -- (9.135,3.905);
\draw[line width=0.5pt] (5.839,5.412) -- (5.673,5.276) -- (5.503,5.143) -- (5.33,5.015) -- (5.154,4.891) -- (4.975,4.771) -- (4.793,4.655) -- (4.608,4.544) -- (4.421,4.437) -- (4.232,4.334) -- (4.04,4.236) -- (3.846,4.142) -- (3.65,4.053) -- (3.452,3.969) -- (3.252,3.889) -- (3.1,3.789) -- (2.95,3.685) -- (2.803,3.577) -- (2.658,3.466) -- (2.516,3.352) -- (2.377,3.234) -- (2.24,3.113) -- (2.106,2.989) -- (1.976,2.861) -- (1.848,2.731) -- (1.723,2.598) -- (1.602,2.462) -- (1.484,2.323) -- (1.369,2.181);
\draw[line width=0.5pt] (5.839,5.412) -- (5.765,5.133) -- (5.698,4.853) -- (5.638,4.571) -- (5.584,4.287) -- (5.536,4.003) -- (5.496,3.717) -- (5.462,3.43) -- (5.435,3.143) -- (5.414,2.855) -- (5.401,2.567) -- (5.394,2.278) -- (5.394,1.99) -- (5.401,1.701) -- (5.414,1.414);
\draw[line width=0.5pt] (9.135,3.905) -- (9.273,3.779) -- (9.408,3.651) -- (9.54,3.519) -- (9.669,3.384) -- (9.795,3.246) -- (9.917,3.105) -- (10.036,2.961) -- (10.152,2.815) -- (10.264,2.666) -- (10.373,2.514) -- (10.478,2.36) -- (10.58,2.203) -- (10.677,2.044) -- (10.771,1.883);
\draw[line width=0.5pt] (9.135,3.905) -- (8.844,3.769) -- (8.556,3.626) -- (8.272,3.477) -- (7.991,3.32) -- (7.714,3.158) -- (7.441,2.988) -- (7.172,2.813) -- (6.907,2.631) -- (6.646,2.443) -- (6.39,2.248) -- (6.139,2.048) -- (5.892,1.842) -- (5.651,1.631) -- (5.414,1.414);
\draw[line width=0.5pt] (1.369,2.181) -- (1.664,2.171) -- (1.959,2.154) -- (2.253,2.13) -- (2.547,2.099) -- (2.84,2.061) -- (3.132,2.016) -- (3.423,1.964) -- (3.713,1.906) -- (4.001,1.84) -- (4.288,1.768) -- (4.573,1.69) -- (4.855,1.604) -- (5.136,1.512) -- (5.414,1.414);
\draw[line width=0.5pt] (10.771,1.883) -- (10.386,1.908) -- (10.001,1.925) -- (9.615,1.932) -- (9.229,1.93) -- (8.844,1.919) -- (8.458,1.898) -- (8.073,1.869) -- (7.689,1.831) -- (7.306,1.784) -- (6.924,1.728) -- (6.544,1.662) -- (6.165,1.588) -- (5.789,1.505) -- (5.414,1.414);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.529,6.532) -- (11.508,6.612) -- (11.449,6.671) -- (11.369,6.692) -- (11.289,6.671) -- (11.231,6.612) -- (11.209,6.532) -- (11.231,6.452) -- (11.289,6.393) -- (11.369,6.372) -- (11.449,6.393) -- (11.508,6.452) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.999,5.412) -- (5.978,5.492) -- (5.919,5.55) -- (5.839,5.572) -- (5.759,5.55) -- (5.701,5.492) -- (5.679,5.412) -- (5.701,5.332) -- (5.759,5.273) -- (5.839,5.252) -- (5.919,5.273) -- (5.978,5.332) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.295,3.905) -- (9.273,3.985) -- (9.215,4.043) -- (9.135,4.065) -- (9.055,4.043) -- (8.996,3.985) -- (8.975,3.905) -- (8.996,3.825) -- (9.055,3.766) -- (9.135,3.745) -- (9.215,3.766) -- (9.273,3.825) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.529,2.181) -- (1.508,2.261) -- (1.449,2.32) -- (1.369,2.341) -- (1.289,2.32) -- (1.231,2.261) -- (1.209,2.181) -- (1.231,2.101) -- (1.289,2.043) -- (1.369,2.021) -- (1.449,2.043) -- (1.508,2.101) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.931,1.883) -- (10.91,1.963) -- (10.851,2.022) -- (10.771,2.043) -- (10.691,2.022) -- (10.632,1.963) -- (10.611,1.883) -- (10.632,1.803) -- (10.691,1.745) -- (10.771,1.723) -- (10.851,1.745) -- (10.91,1.803) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.574,1.414) -- (5.553,1.494) -- (5.494,1.552) -- (5.414,1.574) -- (5.334,1.552) -- (5.276,1.494) -- (5.254,1.414) -- (5.276,1.334) -- (5.334,1.275) -- (5.414,1.254) -- (5.494,1.275) -- (5.553,1.334) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.962,5.886) -- (8.916,6.056) -- (8.792,6.181) -- (8.622,6.226) -- (8.452,6.181) -- (8.327,6.056) -- (8.282,5.886) -- (8.327,5.716) -- (8.452,5.592) -- (8.622,5.546) -- (8.792,5.592) -- (8.916,5.716) -- cycle;
\node at (8.622,5.886) {\scalebox{1.429}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.944,4.919) -- (10.898,5.089) -- (10.774,5.213) -- (10.604,5.259) -- (10.434,5.213) -- (10.31,5.089) -- (10.264,4.919) -- (10.31,4.749) -- (10.434,4.624) -- (10.604,4.579) -- (10.774,4.624) -- (10.898,4.749) -- cycle;
\node at (10.604,4.919) {\scalebox{1.429}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.898,4.813) -- (7.852,4.983) -- (7.728,5.108) -- (7.558,5.153) -- (7.388,5.108) -- (7.263,4.983) -- (7.218,4.813) -- (7.263,4.643) -- (7.388,4.519) -- (7.558,4.473) -- (7.728,4.519) -- (7.852,4.643) -- cycle;
\node at (7.558,4.813) {\scalebox{1.429}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.738,3.604) -- (3.692,3.774) -- (3.568,3.899) -- (3.398,3.944) -- (3.228,3.899) -- (3.103,3.774) -- (3.058,3.604) -- (3.103,3.434) -- (3.228,3.31) -- (3.398,3.264) -- (3.568,3.31) -- (3.692,3.434) -- cycle;
\node at (3.398,3.604) {\scalebox{1.429}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.12,3.396) -- (6.075,3.566) -- (5.95,3.691) -- (5.78,3.736) -- (5.61,3.691) -- (5.486,3.566) -- (5.44,3.396) -- (5.486,3.226) -- (5.61,3.102) -- (5.78,3.056) -- (5.95,3.102) -- (6.075,3.226) -- cycle;
\node at (5.78,3.396) {\scalebox{1.429}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.625,3.163) -- (10.579,3.333) -- (10.455,3.457) -- (10.285,3.503) -- (10.115,3.457) -- (9.99,3.333) -- (9.945,3.163) -- (9.99,2.993) -- (10.115,2.868) -- (10.285,2.823) -- (10.455,2.868) -- (10.579,2.993) -- cycle;
\node at (10.285,3.163) {\scalebox{1.429}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.69,2.547) -- (7.644,2.717) -- (7.52,2.841) -- (7.35,2.887) -- (7.18,2.841) -- (7.055,2.717) -- (7.01,2.547) -- (7.055,2.377) -- (7.18,2.252) -- (7.35,2.207) -- (7.52,2.252) -- (7.644,2.377) -- cycle;
\node at (7.35,2.547) {\scalebox{1.429}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.823,2.279) -- (3.777,2.449) -- (3.653,2.573) -- (3.483,2.619) -- (3.313,2.573) -- (3.189,2.449) -- (3.143,2.279) -- (3.189,2.109) -- (3.313,1.984) -- (3.483,1.939) -- (3.653,1.984) -- (3.777,2.109) -- cycle;
\node at (3.483,2.279) {\scalebox{1.429}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.441,1.551) -- (8.396,1.721) -- (8.271,1.845) -- (8.101,1.891) -- (7.931,1.845) -- (7.807,1.721) -- (7.761,1.551) -- (7.807,1.381) -- (7.931,1.256) -- (8.101,1.211) -- (8.271,1.256) -- (8.396,1.381) -- cycle;
\node at (8.101,1.551) {\scalebox{1.429}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (8.835,3.605) -- (9.435,3.605) -- (9.435,4.205) -- (8.835,4.205) -- cycle;
\node at (9.135,3.905) {\scalebox{1.429}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.619,2.92) -- (5.219,2.92) -- (5.219,3.52) -- (4.619,3.52) -- cycle;
\node at (4.919,3.22) {\scalebox{1.429}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (2.166,1.911) -- (2.766,1.911) -- (2.766,2.511) -- (2.166,2.511) -- cycle;
\node at (2.466,2.211) {\scalebox{1.429}{\small c}};
\node at (11.869,6.899) {\scalebox{1.429}{\small A}};
\node at (5.453,5.897) {\scalebox{1.429}{\small B}};
\node at (9.743,4.022) {\scalebox{1.429}{\small C}};
\node at (0.765,2.042) {\scalebox{1.429}{\small D}};
\node at (11.329,1.613) {\scalebox{1.429}{\small E}};
\node at (5.002,0.95) {\scalebox{1.429}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.669,5.582) -- (12.669,6.682);
\draw[line width=0.5pt] (12.438,6.297) -- (12.669,6.682) -- (12.9,6.297);
\draw[line width=0.5pt] (12.367,6.132) -- (12.972,6.132);
\node at (12.669,7.067) {\scalebox{1.429}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue de l'Église & ⑥ passage du Marché & Ⓐ Placette des Ormes & \textbf{a} la poste \\ \hline
② boulevard du Parc & ⑦ rue du Moulin & Ⓑ Rond-point du Pont & \textbf{b} la boulangerie \\ \hline
③ quai aux Fleurs & ⑧ chemin Creux & Ⓒ Rond-point des Vaches & \textbf{c} le gymnase \\ \hline
④ allée des Tilleuls & ⑨ rue Basse & Ⓓ Coin du Lavoir &  \\ \hline
⑤ rue des Écoles &  & Ⓔ Place du Marché &  \\ \hline
 &  & Ⓕ Rond-point de la Poste &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6263, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (11.369,6.532) -- (10.965,6.513) -- (10.561,6.485) -- (10.158,6.447) -- (9.756,6.399) -- (9.355,6.342) -- (8.956,6.276) -- (8.558,6.2) -- (8.162,6.115) -- (7.768,6.021) -- (7.377,5.917) -- (6.988,5.804) -- (6.602,5.683) -- (6.219,5.552) -- (5.839,5.412);
\draw[line width=0.5pt] (11.369,6.532) -- (11.24,6.321) -- (11.105,6.114) -- (10.965,5.909) -- (10.821,5.708) -- (10.672,5.511) -- (10.518,5.317) -- (10.36,5.126) -- (10.198,4.94) -- (10.031,4.757) -- (9.86,4.578) -- (9.684,4.403) -- (9.505,4.233) -- (9.322,4.067) -- (9.135,3.905);
\draw[line width=0.5pt] (5.839,5.412) -- (6.056,5.269) -- (6.277,5.131) -- (6.5,4.999) -- (6.727,4.872) -- (6.957,4.75) -- (7.19,4.633) -- (7.425,4.522) -- (7.663,4.417) -- (7.903,4.317) -- (8.145,4.223) -- (8.39,4.135) -- (8.636,4.052) -- (8.885,3.976) -- (9.135,3.905);
\draw[line width=0.5pt] (5.839,5.412) -- (5.673,5.276) -- (5.503,5.143) -- (5.33,5.015) -- (5.154,4.891) -- (4.975,4.771) -- (4.793,4.655) -- (4.608,4.544) -- (4.421,4.437) -- (4.232,4.334) -- (4.04,4.236) -- (3.846,4.142) -- (3.65,4.053) -- (3.452,3.969) -- (3.252,3.889) -- (3.1,3.789) -- (2.95,3.685) -- (2.803,3.577) -- (2.658,3.466) -- (2.516,3.352) -- (2.377,3.234) -- (2.24,3.113) -- (2.106,2.989) -- (1.976,2.861) -- (1.848,2.731) -- (1.723,2.598) -- (1.602,2.462) -- (1.484,2.323) -- (1.369,2.181);
\draw[line width=0.5pt] (5.839,5.412) -- (5.765,5.133) -- (5.698,4.853) -- (5.638,4.571) -- (5.584,4.287) -- (5.536,4.003) -- (5.496,3.717) -- (5.462,3.43) -- (5.435,3.143) -- (5.414,2.855) -- (5.401,2.567) -- (5.394,2.278) -- (5.394,1.99) -- (5.401,1.701) -- (5.414,1.414);
\draw[line width=0.5pt] (9.135,3.905) -- (9.273,3.779) -- (9.408,3.651) -- (9.54,3.519) -- (9.669,3.384) -- (9.795,3.246) -- (9.917,3.105) -- (10.036,2.961) -- (10.152,2.815) -- (10.264,2.666) -- (10.373,2.514) -- (10.478,2.36) -- (10.58,2.203) -- (10.677,2.044) -- (10.771,1.883);
\draw[line width=0.5pt] (9.135,3.905) -- (8.844,3.769) -- (8.556,3.626) -- (8.272,3.477) -- (7.991,3.32) -- (7.714,3.158) -- (7.441,2.988) -- (7.172,2.813) -- (6.907,2.631) -- (6.646,2.443) -- (6.39,2.248) -- (6.139,2.048) -- (5.892,1.842) -- (5.651,1.631) -- (5.414,1.414);
\draw[line width=0.5pt] (1.369,2.181) -- (1.664,2.171) -- (1.959,2.154) -- (2.253,2.13) -- (2.547,2.099) -- (2.84,2.061) -- (3.132,2.016) -- (3.423,1.964) -- (3.713,1.906) -- (4.001,1.84) -- (4.288,1.768) -- (4.573,1.69) -- (4.855,1.604) -- (5.136,1.512) -- (5.414,1.414);
\draw[line width=0.5pt] (10.771,1.883) -- (10.386,1.908) -- (10.001,1.925) -- (9.615,1.932) -- (9.229,1.93) -- (8.844,1.919) -- (8.458,1.898) -- (8.073,1.869) -- (7.689,1.831) -- (7.306,1.784) -- (6.924,1.728) -- (6.544,1.662) -- (6.165,1.588) -- (5.789,1.505) -- (5.414,1.414);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.529,6.532) -- (11.508,6.612) -- (11.449,6.671) -- (11.369,6.692) -- (11.289,6.671) -- (11.231,6.612) -- (11.209,6.532) -- (11.231,6.452) -- (11.289,6.393) -- (11.369,6.372) -- (11.449,6.393) -- (11.508,6.452) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.999,5.412) -- (5.978,5.492) -- (5.919,5.55) -- (5.839,5.572) -- (5.759,5.55) -- (5.701,5.492) -- (5.679,5.412) -- (5.701,5.332) -- (5.759,5.273) -- (5.839,5.252) -- (5.919,5.273) -- (5.978,5.332) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.295,3.905) -- (9.273,3.985) -- (9.215,4.043) -- (9.135,4.065) -- (9.055,4.043) -- (8.996,3.985) -- (8.975,3.905) -- (8.996,3.825) -- (9.055,3.766) -- (9.135,3.745) -- (9.215,3.766) -- (9.273,3.825) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.529,2.181) -- (1.508,2.261) -- (1.449,2.32) -- (1.369,2.341) -- (1.289,2.32) -- (1.231,2.261) -- (1.209,2.181) -- (1.231,2.101) -- (1.289,2.043) -- (1.369,2.021) -- (1.449,2.043) -- (1.508,2.101) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.931,1.883) -- (10.91,1.963) -- (10.851,2.022) -- (10.771,2.043) -- (10.691,2.022) -- (10.632,1.963) -- (10.611,1.883) -- (10.632,1.803) -- (10.691,1.745) -- (10.771,1.723) -- (10.851,1.745) -- (10.91,1.803) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.574,1.414) -- (5.553,1.494) -- (5.494,1.552) -- (5.414,1.574) -- (5.334,1.552) -- (5.276,1.494) -- (5.254,1.414) -- (5.276,1.334) -- (5.334,1.275) -- (5.414,1.254) -- (5.494,1.275) -- (5.553,1.334) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.962,5.886) -- (8.916,6.056) -- (8.792,6.181) -- (8.622,6.226) -- (8.452,6.181) -- (8.327,6.056) -- (8.282,5.886) -- (8.327,5.716) -- (8.452,5.592) -- (8.622,5.546) -- (8.792,5.592) -- (8.916,5.716) -- cycle;
\node at (8.622,5.886) {\scalebox{1.597}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.944,4.919) -- (10.898,5.089) -- (10.774,5.213) -- (10.604,5.259) -- (10.434,5.213) -- (10.31,5.089) -- (10.264,4.919) -- (10.31,4.749) -- (10.434,4.624) -- (10.604,4.579) -- (10.774,4.624) -- (10.898,4.749) -- cycle;
\node at (10.604,4.919) {\scalebox{1.597}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.898,4.813) -- (7.852,4.983) -- (7.728,5.108) -- (7.558,5.153) -- (7.388,5.108) -- (7.263,4.983) -- (7.218,4.813) -- (7.263,4.643) -- (7.388,4.519) -- (7.558,4.473) -- (7.728,4.519) -- (7.852,4.643) -- cycle;
\node at (7.558,4.813) {\scalebox{1.597}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.738,3.604) -- (3.692,3.774) -- (3.568,3.899) -- (3.398,3.944) -- (3.228,3.899) -- (3.103,3.774) -- (3.058,3.604) -- (3.103,3.434) -- (3.228,3.31) -- (3.398,3.264) -- (3.568,3.31) -- (3.692,3.434) -- cycle;
\node at (3.398,3.604) {\scalebox{1.597}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.12,3.396) -- (6.075,3.566) -- (5.95,3.691) -- (5.78,3.736) -- (5.61,3.691) -- (5.486,3.566) -- (5.44,3.396) -- (5.486,3.226) -- (5.61,3.102) -- (5.78,3.056) -- (5.95,3.102) -- (6.075,3.226) -- cycle;
\node at (5.78,3.396) {\scalebox{1.597}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.625,3.163) -- (10.579,3.333) -- (10.455,3.457) -- (10.285,3.503) -- (10.115,3.457) -- (9.99,3.333) -- (9.945,3.163) -- (9.99,2.993) -- (10.115,2.868) -- (10.285,2.823) -- (10.455,2.868) -- (10.579,2.993) -- cycle;
\node at (10.285,3.163) {\scalebox{1.597}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.69,2.547) -- (7.644,2.717) -- (7.52,2.841) -- (7.35,2.887) -- (7.18,2.841) -- (7.055,2.717) -- (7.01,2.547) -- (7.055,2.377) -- (7.18,2.252) -- (7.35,2.207) -- (7.52,2.252) -- (7.644,2.377) -- cycle;
\node at (7.35,2.547) {\scalebox{1.597}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.823,2.279) -- (3.777,2.449) -- (3.653,2.573) -- (3.483,2.619) -- (3.313,2.573) -- (3.189,2.449) -- (3.143,2.279) -- (3.189,2.109) -- (3.313,1.984) -- (3.483,1.939) -- (3.653,1.984) -- (3.777,2.109) -- cycle;
\node at (3.483,2.279) {\scalebox{1.597}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.441,1.551) -- (8.396,1.721) -- (8.271,1.845) -- (8.101,1.891) -- (7.931,1.845) -- (7.807,1.721) -- (7.761,1.551) -- (7.807,1.381) -- (7.931,1.256) -- (8.101,1.211) -- (8.271,1.256) -- (8.396,1.381) -- cycle;
\node at (8.101,1.551) {\scalebox{1.597}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (8.835,3.605) -- (9.435,3.605) -- (9.435,4.205) -- (8.835,4.205) -- cycle;
\node at (9.135,3.905) {\scalebox{1.597}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.619,2.92) -- (5.219,2.92) -- (5.219,3.52) -- (4.619,3.52) -- cycle;
\node at (4.919,3.22) {\scalebox{1.597}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (2.166,1.911) -- (2.766,1.911) -- (2.766,2.511) -- (2.166,2.511) -- cycle;
\node at (2.466,2.211) {\scalebox{1.597}{\small c}};
\node at (11.869,6.899) {\scalebox{1.597}{\small A}};
\node at (5.453,5.897) {\scalebox{1.597}{\small B}};
\node at (9.743,4.022) {\scalebox{1.597}{\small C}};
\node at (0.765,2.042) {\scalebox{1.597}{\small D}};
\node at (11.329,1.613) {\scalebox{1.597}{\small E}};
\node at (5.002,0.95) {\scalebox{1.597}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.669,5.582) -- (12.669,6.682);
\draw[line width=0.5pt] (12.438,6.297) -- (12.669,6.682) -- (12.9,6.297);
\draw[line width=0.5pt] (12.367,6.132) -- (12.972,6.132);
\node at (12.669,7.067) {\scalebox{1.597}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 4 & 4 & 2 & 2 & 4 \\ \hline
Parité & pair & pair & pair & pair & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 18 = 2 \(\times\) 9, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Aucun} carrefour n'a un nombre impair de rues : ils sont tous pairs.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{C}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui.} Aucun carrefour n'est impair : chacun peut être traversé de part en part. Le facteur revient même à la poste sans l'avoir cherché.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Voici une tournée possible — ce n'est pas la seule :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Rond-point des Vaches \textbf{(C)}, prend le \textbf{boulevard du Parc ②} vers le nord-est et atteint Placette des Ormes \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue de l'Église ①}, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point du Pont \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{quai aux Fleurs ③}, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point des Vaches \textbf{(C)}.
  \item Il continue tout droit dans le \textbf{passage du Marché ⑥}, vers le sud-est, jusqu'à Place du Marché \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue Basse ⑨}, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point de la Poste \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue des Écoles ⑤}, vers le nord, jusqu'à Rond-point du Pont \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à gauche dans l'\textbf{allée des Tilleuls ④}, vers le sud-ouest, jusqu'à Coin du Lavoir \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{chemin Creux ⑧}, vers l'est, jusqu'à Rond-point de la Poste \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Moulin ⑦}, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point des Vaches \textbf{(C)}.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries La question ne se pose pas : la tournée est possible au départ de la poste, et elle le resterait où qu'on installe celle-ci — aucun carrefour n'est impair.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
