\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 71}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=71}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0071}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7057, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (11.259,8.859) -- (10.817,8.909) -- (10.374,8.948) -- (9.93,8.976) -- (9.485,8.994) -- (9.039,9.002) -- (8.594,8.999) -- (8.149,8.986) -- (7.704,8.962) -- (7.26,8.928) -- (6.816,8.884) -- (6.375,8.829) -- (5.934,8.763) -- (5.496,8.688) -- (5.059,8.602);
\draw[line width=0.5pt] (11.259,8.859) -- (11.305,8.394) -- (11.34,7.928) -- (11.364,7.462) -- (11.376,6.994) -- (11.378,6.527) -- (11.369,6.059) -- (11.348,5.592) -- (11.317,5.126) -- (11.275,4.66) -- (11.222,4.196) -- (11.158,3.733) -- (11.083,3.271) -- (10.997,2.812) -- (10.901,2.355);
\draw[line width=0.5pt] (5.059,8.602) -- (4.8,8.332) -- (4.548,8.056) -- (4.302,7.774) -- (4.062,7.486) -- (3.83,7.192) -- (3.604,6.894) -- (3.386,6.59) -- (3.175,6.281) -- (2.971,5.967) -- (2.774,5.648) -- (2.585,5.325) -- (2.404,4.998) -- (2.231,4.666) -- (2.065,4.331);
\draw[line width=0.5pt] (5.059,8.602) -- (5.088,8.229) -- (5.109,7.856) -- (5.121,7.482) -- (5.123,7.109) -- (5.117,6.735) -- (5.103,6.361) -- (5.079,5.988) -- (5.047,5.615) -- (5.006,5.244) -- (4.956,4.873) -- (4.898,4.504) -- (4.831,4.136) -- (4.755,3.77) -- (4.671,3.406);
\draw[line width=0.5pt] (5.059,8.602) -- (5.25,8.281) -- (5.448,7.964) -- (5.654,7.653) -- (5.867,7.346) -- (6.088,7.044) -- (6.315,6.747) -- (6.55,6.456) -- (6.791,6.171) -- (7.039,5.891) -- (7.293,5.617) -- (7.553,5.349) -- (7.82,5.088) -- (8.093,4.833) -- (8.372,4.584) -- (8.575,4.454) -- (8.776,4.319) -- (8.973,4.179) -- (9.167,4.034) -- (9.358,3.885) -- (9.545,3.732) -- (9.728,3.574) -- (9.908,3.412) -- (10.084,3.246) -- (10.256,3.075) -- (10.423,2.901) -- (10.587,2.723) -- (10.746,2.541) -- (10.901,2.355);
\draw[line width=0.5pt] (2.065,4.331) -- (2.26,4.294) -- (2.454,4.252) -- (2.647,4.206) -- (2.838,4.155) -- (3.029,4.1) -- (3.218,4.04) -- (3.406,3.976) -- (3.592,3.907) -- (3.777,3.834) -- (3.96,3.757) -- (4.141,3.676) -- (4.319,3.59) -- (4.496,3.5) -- (4.671,3.406);
\draw[line width=0.5pt] (2.065,4.331) -- (1.975,4.126) -- (1.89,3.92) -- (1.81,3.712) -- (1.734,3.501) -- (1.664,3.289) -- (1.599,3.076) -- (1.538,2.861) -- (1.483,2.644) -- (1.433,2.426) -- (1.388,2.208) -- (1.348,1.988) -- (1.313,1.767) -- (1.284,1.546) -- (1.259,1.324);
\draw[line width=0.5pt] (4.671,3.406) -- (5.124,3.4) -- (5.577,3.383) -- (6.029,3.355) -- (6.481,3.317) -- (6.931,3.268) -- (7.381,3.208) -- (7.829,3.138) -- (8.275,3.057) -- (8.72,2.966) -- (9.162,2.864) -- (9.601,2.752) -- (10.038,2.63) -- (10.471,2.498) -- (10.901,2.355);
\draw[line width=0.5pt] (4.671,3.406) -- (4.406,3.296) -- (4.144,3.18) -- (3.885,3.057) -- (3.629,2.928) -- (3.376,2.793) -- (3.126,2.652) -- (2.879,2.506) -- (2.636,2.354) -- (2.397,2.196) -- (2.161,2.032) -- (1.929,1.863) -- (1.702,1.689) -- (1.478,1.509) -- (1.259,1.324);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.419,8.859) -- (11.398,8.939) -- (11.339,8.998) -- (11.259,9.019) -- (11.179,8.998) -- (11.121,8.939) -- (11.099,8.859) -- (11.121,8.779) -- (11.179,8.72) -- (11.259,8.699) -- (11.339,8.72) -- (11.398,8.779) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.219,8.602) -- (5.198,8.682) -- (5.139,8.74) -- (5.059,8.762) -- (4.979,8.74) -- (4.92,8.682) -- (4.899,8.602) -- (4.92,8.522) -- (4.979,8.463) -- (5.059,8.442) -- (5.139,8.463) -- (5.198,8.522) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.225,4.331) -- (2.204,4.411) -- (2.145,4.469) -- (2.065,4.491) -- (1.985,4.469) -- (1.927,4.411) -- (1.905,4.331) -- (1.927,4.251) -- (1.985,4.192) -- (2.065,4.171) -- (2.145,4.192) -- (2.204,4.251) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.831,3.406) -- (4.809,3.486) -- (4.751,3.545) -- (4.671,3.566) -- (4.591,3.545) -- (4.532,3.486) -- (4.511,3.406) -- (4.532,3.326) -- (4.591,3.268) -- (4.671,3.246) -- (4.751,3.268) -- (4.809,3.326) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.061,2.355) -- (11.039,2.435) -- (10.981,2.494) -- (10.901,2.515) -- (10.821,2.494) -- (10.762,2.435) -- (10.741,2.355) -- (10.762,2.275) -- (10.821,2.217) -- (10.901,2.195) -- (10.981,2.217) -- (11.039,2.275) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.419,1.324) -- (1.398,1.404) -- (1.339,1.463) -- (1.259,1.484) -- (1.179,1.463) -- (1.121,1.404) -- (1.099,1.324) -- (1.121,1.244) -- (1.179,1.186) -- (1.259,1.164) -- (1.339,1.186) -- (1.398,1.244) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.502,8.666) -- (8.456,8.836) -- (8.332,8.961) -- (8.162,9.006) -- (7.992,8.961) -- (7.867,8.836) -- (7.822,8.666) -- (7.867,8.496) -- (7.992,8.372) -- (8.162,8.326) -- (8.332,8.372) -- (8.456,8.496) -- cycle;
\node at (8.162,8.666) {\scalebox{1.417}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (12.008,5.575) -- (11.962,5.745) -- (11.838,5.869) -- (11.668,5.915) -- (11.498,5.869) -- (11.373,5.745) -- (11.328,5.575) -- (11.373,5.405) -- (11.498,5.28) -- (11.668,5.235) -- (11.838,5.28) -- (11.962,5.405) -- cycle;
\node at (11.668,5.575) {\scalebox{1.417}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.988,6.406) -- (3.942,6.576) -- (3.818,6.7) -- (3.648,6.746) -- (3.478,6.7) -- (3.354,6.576) -- (3.308,6.406) -- (3.354,6.236) -- (3.478,6.111) -- (3.648,6.066) -- (3.818,6.111) -- (3.942,6.236) -- cycle;
\node at (3.648,6.406) {\scalebox{1.417}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.738,5.964) -- (5.693,6.134) -- (5.568,6.258) -- (5.398,6.304) -- (5.228,6.258) -- (5.104,6.134) -- (5.058,5.964) -- (5.104,5.794) -- (5.228,5.67) -- (5.398,5.624) -- (5.568,5.67) -- (5.693,5.794) -- cycle;
\node at (5.398,5.964) {\scalebox{1.417}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.909,4.836) -- (8.864,5.006) -- (8.739,5.13) -- (8.569,5.176) -- (8.399,5.13) -- (8.275,5.006) -- (8.229,4.836) -- (8.275,4.666) -- (8.399,4.541) -- (8.569,4.496) -- (8.739,4.541) -- (8.864,4.666) -- cycle;
\node at (8.569,4.836) {\scalebox{1.417}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.853,4.278) -- (3.808,4.448) -- (3.683,4.572) -- (3.513,4.618) -- (3.343,4.572) -- (3.219,4.448) -- (3.173,4.278) -- (3.219,4.108) -- (3.343,3.983) -- (3.513,3.938) -- (3.683,3.983) -- (3.808,4.108) -- cycle;
\node at (3.513,4.278) {\scalebox{1.417}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.187,2.778) -- (2.142,2.948) -- (2.017,3.072) -- (1.847,3.118) -- (1.677,3.072) -- (1.553,2.948) -- (1.507,2.778) -- (1.553,2.608) -- (1.677,2.483) -- (1.847,2.438) -- (2.017,2.483) -- (2.142,2.608) -- cycle;
\node at (1.847,2.778) {\scalebox{1.417}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.222,3.453) -- (8.177,3.623) -- (8.052,3.748) -- (7.882,3.793) -- (7.712,3.748) -- (7.588,3.623) -- (7.542,3.453) -- (7.588,3.283) -- (7.712,3.159) -- (7.882,3.113) -- (8.052,3.159) -- (8.177,3.283) -- cycle;
\node at (7.882,3.453) {\scalebox{1.417}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.386,2.233) -- (3.34,2.403) -- (3.216,2.527) -- (3.046,2.573) -- (2.876,2.527) -- (2.751,2.403) -- (2.706,2.233) -- (2.751,2.063) -- (2.876,1.938) -- (3.046,1.893) -- (3.216,1.938) -- (3.34,2.063) -- cycle;
\node at (3.046,2.233) {\scalebox{1.417}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (1.765,4.031) -- (2.365,4.031) -- (2.365,4.631) -- (1.765,4.631) -- cycle;
\node at (2.065,4.331) {\scalebox{1.417}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.643,6.616) -- (3.243,6.616) -- (3.243,7.216) -- (2.643,7.216) -- cycle;
\node at (2.943,6.916) {\scalebox{1.417}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.098,0.948) -- (2.698,0.948) -- (2.698,1.548) -- (2.098,1.548) -- cycle;
\node at (2.398,1.248) {\scalebox{1.417}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (8.461,9.065) -- (9.061,9.065) -- (9.061,9.665) -- (8.461,9.665) -- cycle;
\node at (8.761,9.365) {\scalebox{1.417}{\small d}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (5.099,6.723) -- (5.699,6.723) -- (5.699,7.323) -- (5.099,7.323) -- cycle;
\node at (5.399,7.023) {\scalebox{1.417}{\small e}};
\node at (11.755,9.231) {\scalebox{1.417}{\small A}};
\node at (4.929,9.208) {\scalebox{1.417}{\small B}};
\node at (1.45,4.253) {\scalebox{1.417}{\small C}};
\node at (4.269,2.934) {\scalebox{1.417}{\small D}};
\node at (11.458,2.083) {\scalebox{1.417}{\small E}};
\node at (0.765,0.95) {\scalebox{1.417}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.559,7.909) -- (12.559,9.009);
\draw[line width=0.5pt] (12.328,8.624) -- (12.559,9.009) -- (12.79,8.624);
\draw[line width=0.5pt] (12.257,8.459) -- (12.862,8.459);
\node at (12.559,9.394) {\scalebox{1.417}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue Basse & ⑥ rue de la Mairie & Ⓐ Fontaine Notre-Dame & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue du Moulin & ⑦ chemin Creux & Ⓑ Carrefour de l'Hôpital & \textbf{b} le lavoir \\ \hline
③ rue de l'Église & ⑧ boulevard du Parc & Ⓒ Carrefour du Moulin & \textbf{c} le marché couvert \\ \hline
④ rue de la Poste & ⑨ rue des Jardins & Ⓓ Rond-point du Stade & \textbf{d} le stade \\ \hline
⑤ chemin de Ronde &  & Ⓔ Carrefour Saint-Roch & \textbf{e} la gendarmerie \\ \hline
 &  & Ⓕ Place Sainte-Croix &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6314, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (11.259,8.859) -- (10.817,8.909) -- (10.374,8.948) -- (9.93,8.976) -- (9.485,8.994) -- (9.039,9.002) -- (8.594,8.999) -- (8.149,8.986) -- (7.704,8.962) -- (7.26,8.928) -- (6.816,8.884) -- (6.375,8.829) -- (5.934,8.763) -- (5.496,8.688) -- (5.059,8.602);
\draw[line width=0.5pt] (11.259,8.859) -- (11.305,8.394) -- (11.34,7.928) -- (11.364,7.462) -- (11.376,6.994) -- (11.378,6.527) -- (11.369,6.059) -- (11.348,5.592) -- (11.317,5.126) -- (11.275,4.66) -- (11.222,4.196) -- (11.158,3.733) -- (11.083,3.271) -- (10.997,2.812) -- (10.901,2.355);
\draw[line width=0.5pt] (5.059,8.602) -- (4.8,8.332) -- (4.548,8.056) -- (4.302,7.774) -- (4.062,7.486) -- (3.83,7.192) -- (3.604,6.894) -- (3.386,6.59) -- (3.175,6.281) -- (2.971,5.967) -- (2.774,5.648) -- (2.585,5.325) -- (2.404,4.998) -- (2.231,4.666) -- (2.065,4.331);
\draw[line width=0.5pt] (5.059,8.602) -- (5.088,8.229) -- (5.109,7.856) -- (5.121,7.482) -- (5.123,7.109) -- (5.117,6.735) -- (5.103,6.361) -- (5.079,5.988) -- (5.047,5.615) -- (5.006,5.244) -- (4.956,4.873) -- (4.898,4.504) -- (4.831,4.136) -- (4.755,3.77) -- (4.671,3.406);
\draw[line width=0.5pt] (5.059,8.602) -- (5.25,8.281) -- (5.448,7.964) -- (5.654,7.653) -- (5.867,7.346) -- (6.088,7.044) -- (6.315,6.747) -- (6.55,6.456) -- (6.791,6.171) -- (7.039,5.891) -- (7.293,5.617) -- (7.553,5.349) -- (7.82,5.088) -- (8.093,4.833) -- (8.372,4.584) -- (8.575,4.454) -- (8.776,4.319) -- (8.973,4.179) -- (9.167,4.034) -- (9.358,3.885) -- (9.545,3.732) -- (9.728,3.574) -- (9.908,3.412) -- (10.084,3.246) -- (10.256,3.075) -- (10.423,2.901) -- (10.587,2.723) -- (10.746,2.541) -- (10.901,2.355);
\draw[line width=0.5pt] (2.065,4.331) -- (2.26,4.294) -- (2.454,4.252) -- (2.647,4.206) -- (2.838,4.155) -- (3.029,4.1) -- (3.218,4.04) -- (3.406,3.976) -- (3.592,3.907) -- (3.777,3.834) -- (3.96,3.757) -- (4.141,3.676) -- (4.319,3.59) -- (4.496,3.5) -- (4.671,3.406);
\draw[line width=0.5pt] (2.065,4.331) -- (1.975,4.126) -- (1.89,3.92) -- (1.81,3.712) -- (1.734,3.501) -- (1.664,3.289) -- (1.599,3.076) -- (1.538,2.861) -- (1.483,2.644) -- (1.433,2.426) -- (1.388,2.208) -- (1.348,1.988) -- (1.313,1.767) -- (1.284,1.546) -- (1.259,1.324);
\draw[line width=0.5pt] (4.671,3.406) -- (5.124,3.4) -- (5.577,3.383) -- (6.029,3.355) -- (6.481,3.317) -- (6.931,3.268) -- (7.381,3.208) -- (7.829,3.138) -- (8.275,3.057) -- (8.72,2.966) -- (9.162,2.864) -- (9.601,2.752) -- (10.038,2.63) -- (10.471,2.498) -- (10.901,2.355);
\draw[line width=0.5pt] (4.671,3.406) -- (4.406,3.296) -- (4.144,3.18) -- (3.885,3.057) -- (3.629,2.928) -- (3.376,2.793) -- (3.126,2.652) -- (2.879,2.506) -- (2.636,2.354) -- (2.397,2.196) -- (2.161,2.032) -- (1.929,1.863) -- (1.702,1.689) -- (1.478,1.509) -- (1.259,1.324);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.419,8.859) -- (11.398,8.939) -- (11.339,8.998) -- (11.259,9.019) -- (11.179,8.998) -- (11.121,8.939) -- (11.099,8.859) -- (11.121,8.779) -- (11.179,8.72) -- (11.259,8.699) -- (11.339,8.72) -- (11.398,8.779) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.219,8.602) -- (5.198,8.682) -- (5.139,8.74) -- (5.059,8.762) -- (4.979,8.74) -- (4.92,8.682) -- (4.899,8.602) -- (4.92,8.522) -- (4.979,8.463) -- (5.059,8.442) -- (5.139,8.463) -- (5.198,8.522) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.225,4.331) -- (2.204,4.411) -- (2.145,4.469) -- (2.065,4.491) -- (1.985,4.469) -- (1.927,4.411) -- (1.905,4.331) -- (1.927,4.251) -- (1.985,4.192) -- (2.065,4.171) -- (2.145,4.192) -- (2.204,4.251) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.831,3.406) -- (4.809,3.486) -- (4.751,3.545) -- (4.671,3.566) -- (4.591,3.545) -- (4.532,3.486) -- (4.511,3.406) -- (4.532,3.326) -- (4.591,3.268) -- (4.671,3.246) -- (4.751,3.268) -- (4.809,3.326) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.061,2.355) -- (11.039,2.435) -- (10.981,2.494) -- (10.901,2.515) -- (10.821,2.494) -- (10.762,2.435) -- (10.741,2.355) -- (10.762,2.275) -- (10.821,2.217) -- (10.901,2.195) -- (10.981,2.217) -- (11.039,2.275) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.419,1.324) -- (1.398,1.404) -- (1.339,1.463) -- (1.259,1.484) -- (1.179,1.463) -- (1.121,1.404) -- (1.099,1.324) -- (1.121,1.244) -- (1.179,1.186) -- (1.259,1.164) -- (1.339,1.186) -- (1.398,1.244) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.502,8.666) -- (8.456,8.836) -- (8.332,8.961) -- (8.162,9.006) -- (7.992,8.961) -- (7.867,8.836) -- (7.822,8.666) -- (7.867,8.496) -- (7.992,8.372) -- (8.162,8.326) -- (8.332,8.372) -- (8.456,8.496) -- cycle;
\node at (8.162,8.666) {\scalebox{1.584}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (12.008,5.575) -- (11.962,5.745) -- (11.838,5.869) -- (11.668,5.915) -- (11.498,5.869) -- (11.373,5.745) -- (11.328,5.575) -- (11.373,5.405) -- (11.498,5.28) -- (11.668,5.235) -- (11.838,5.28) -- (11.962,5.405) -- cycle;
\node at (11.668,5.575) {\scalebox{1.584}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.988,6.406) -- (3.942,6.576) -- (3.818,6.7) -- (3.648,6.746) -- (3.478,6.7) -- (3.354,6.576) -- (3.308,6.406) -- (3.354,6.236) -- (3.478,6.111) -- (3.648,6.066) -- (3.818,6.111) -- (3.942,6.236) -- cycle;
\node at (3.648,6.406) {\scalebox{1.584}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.738,5.964) -- (5.693,6.134) -- (5.568,6.258) -- (5.398,6.304) -- (5.228,6.258) -- (5.104,6.134) -- (5.058,5.964) -- (5.104,5.794) -- (5.228,5.67) -- (5.398,5.624) -- (5.568,5.67) -- (5.693,5.794) -- cycle;
\node at (5.398,5.964) {\scalebox{1.584}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.909,4.836) -- (8.864,5.006) -- (8.739,5.13) -- (8.569,5.176) -- (8.399,5.13) -- (8.275,5.006) -- (8.229,4.836) -- (8.275,4.666) -- (8.399,4.541) -- (8.569,4.496) -- (8.739,4.541) -- (8.864,4.666) -- cycle;
\node at (8.569,4.836) {\scalebox{1.584}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.853,4.278) -- (3.808,4.448) -- (3.683,4.572) -- (3.513,4.618) -- (3.343,4.572) -- (3.219,4.448) -- (3.173,4.278) -- (3.219,4.108) -- (3.343,3.983) -- (3.513,3.938) -- (3.683,3.983) -- (3.808,4.108) -- cycle;
\node at (3.513,4.278) {\scalebox{1.584}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.187,2.778) -- (2.142,2.948) -- (2.017,3.072) -- (1.847,3.118) -- (1.677,3.072) -- (1.553,2.948) -- (1.507,2.778) -- (1.553,2.608) -- (1.677,2.483) -- (1.847,2.438) -- (2.017,2.483) -- (2.142,2.608) -- cycle;
\node at (1.847,2.778) {\scalebox{1.584}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.222,3.453) -- (8.177,3.623) -- (8.052,3.748) -- (7.882,3.793) -- (7.712,3.748) -- (7.588,3.623) -- (7.542,3.453) -- (7.588,3.283) -- (7.712,3.159) -- (7.882,3.113) -- (8.052,3.159) -- (8.177,3.283) -- cycle;
\node at (7.882,3.453) {\scalebox{1.584}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.386,2.233) -- (3.34,2.403) -- (3.216,2.527) -- (3.046,2.573) -- (2.876,2.527) -- (2.751,2.403) -- (2.706,2.233) -- (2.751,2.063) -- (2.876,1.938) -- (3.046,1.893) -- (3.216,1.938) -- (3.34,2.063) -- cycle;
\node at (3.046,2.233) {\scalebox{1.584}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (1.765,4.031) -- (2.365,4.031) -- (2.365,4.631) -- (1.765,4.631) -- cycle;
\node at (2.065,4.331) {\scalebox{1.584}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.643,6.616) -- (3.243,6.616) -- (3.243,7.216) -- (2.643,7.216) -- cycle;
\node at (2.943,6.916) {\scalebox{1.584}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.098,0.948) -- (2.698,0.948) -- (2.698,1.548) -- (2.098,1.548) -- cycle;
\node at (2.398,1.248) {\scalebox{1.584}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (8.461,9.065) -- (9.061,9.065) -- (9.061,9.665) -- (8.461,9.665) -- cycle;
\node at (8.761,9.365) {\scalebox{1.584}{\small d}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (5.099,6.723) -- (5.699,6.723) -- (5.699,7.323) -- (5.099,7.323) -- cycle;
\node at (5.399,7.023) {\scalebox{1.584}{\small e}};
\node at (11.755,9.231) {\scalebox{1.584}{\small A}};
\node at (4.929,9.208) {\scalebox{1.584}{\small B}};
\node at (1.45,4.253) {\scalebox{1.584}{\small C}};
\node at (4.269,2.934) {\scalebox{1.584}{\small D}};
\node at (11.458,2.083) {\scalebox{1.584}{\small E}};
\node at (0.765,0.95) {\scalebox{1.584}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.559,7.909) -- (12.559,9.009);
\draw[line width=0.5pt] (12.328,8.624) -- (12.559,9.009) -- (12.79,8.624);
\draw[line width=0.5pt] (12.257,8.459) -- (12.862,8.459);
\node at (12.559,9.394) {\scalebox{1.584}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 4 & 3 & 4 & 3 & 2 \\ \hline
Parité & pair & pair & \textbf{impair} & pair & \textbf{impair} & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 18 = 2 \(\times\) 9, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{C}, \textbf{E} — il y en a 2.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{C}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui.} Deux carrefours sont impairs, \textbf{C} et \textbf{E}, et la poste est justement sur l'un des deux (\textbf{C}). Il part donc de la poste et \textbf{termine en E}, l'autre carrefour impair.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Voici une tournée possible :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Carrefour du Moulin \textbf{(C)}, prend la \textbf{rue de l'Église ③} vers le nord-est et atteint Carrefour de l'Hôpital \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue Basse ①}, vers l'est, jusqu'à Fontaine Notre-Dame \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue du Moulin ②}, vers le sud, jusqu'à Carrefour Saint-Roch \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{chemin de Ronde ⑤}, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital \textbf{(B)}.
  \item Il prend dans la \textbf{rue de la Poste ④}, vers le sud, jusqu'à Rond-point du Stade \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue de la Mairie ⑥}, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour du Moulin \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{chemin Creux ⑦}, vers le sud, jusqu'à Place Sainte-Croix \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue des Jardins ⑨}, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point du Stade \textbf{(D)}.
  \item Il continue tout droit dans le \textbf{boulevard du Parc ⑧}, vers l'est, jusqu'à Carrefour Saint-Roch \textbf{(E)}.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries C'était déjà possible. Notons seulement que la poste devait être en \textbf{C} ou en \textbf{E} : ailleurs, la tournée n'aurait pas pu commencer.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
