\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 72}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=72}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0072}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7034, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (6.271,7.814) -- (5.921,7.741) -- (5.573,7.659) -- (5.227,7.569) -- (4.884,7.471) -- (4.542,7.364) -- (4.203,7.25) -- (3.867,7.128) -- (3.534,6.998) -- (3.204,6.86) -- (2.877,6.714) -- (2.554,6.561) -- (2.235,6.4) -- (1.919,6.232) -- (1.608,6.057);
\draw[line width=0.5pt] (6.271,7.814) -- (6.153,7.493) -- (6.027,7.175) -- (5.893,6.86) -- (5.752,6.549) -- (5.604,6.24) -- (5.448,5.935) -- (5.286,5.634) -- (5.116,5.337) -- (4.94,5.044) -- (4.756,4.755) -- (4.566,4.47) -- (4.37,4.19) -- (4.166,3.915) -- (3.957,3.645);
\draw[line width=0.5pt] (6.271,7.814) -- (6.409,7.576) -- (6.552,7.341) -- (6.702,7.11) -- (6.856,6.882) -- (7.016,6.658) -- (7.181,6.438) -- (7.352,6.221) -- (7.527,6.009) -- (7.707,5.801) -- (7.892,5.597) -- (8.082,5.397) -- (8.277,5.202) -- (8.476,5.012) -- (8.679,4.827) -- (8.896,4.652) -- (9.11,4.471) -- (9.319,4.286) -- (9.523,4.096) -- (9.723,3.901) -- (9.919,3.701) -- (10.11,3.497) -- (10.296,3.288) -- (10.477,3.075) -- (10.652,2.858) -- (10.823,2.636) -- (10.989,2.411) -- (11.149,2.182) -- (11.303,1.95);
\draw[line width=0.5pt] (6.271,7.814) -- (6.309,7.364) -- (6.336,6.914) -- (6.353,6.462) -- (6.359,6.011) -- (6.354,5.559) -- (6.339,5.108) -- (6.313,4.656) -- (6.276,4.206) -- (6.229,3.757) -- (6.172,3.309) -- (6.104,2.862) -- (6.025,2.417) -- (5.936,1.975) -- (5.837,1.535);
\draw[line width=0.5pt] (1.608,6.057) -- (1.748,5.86) -- (1.893,5.667) -- (2.042,5.477) -- (2.196,5.291) -- (2.354,5.108) -- (2.516,4.929) -- (2.683,4.754) -- (2.854,4.583) -- (3.028,4.416) -- (3.207,4.253) -- (3.389,4.094) -- (3.575,3.94) -- (3.764,3.79) -- (3.957,3.645);
\draw[line width=0.5pt] (3.957,3.645) -- (3.791,3.473) -- (3.621,3.305) -- (3.447,3.141) -- (3.269,2.981) -- (3.087,2.825) -- (2.902,2.674) -- (2.713,2.527) -- (2.521,2.384) -- (2.326,2.246) -- (2.127,2.112) -- (1.925,1.984) -- (1.721,1.86) -- (1.513,1.741) -- (1.303,1.627);
\draw[line width=0.5pt] (3.957,3.645) -- (4.067,3.475) -- (4.181,3.308) -- (4.299,3.143) -- (4.421,2.981) -- (4.547,2.822) -- (4.676,2.665) -- (4.81,2.512) -- (4.946,2.362) -- (5.087,2.216) -- (5.23,2.072) -- (5.377,1.933) -- (5.527,1.796) -- (5.68,1.664) -- (5.837,1.535);
\draw[line width=0.5pt] (1.303,1.627) -- (1.625,1.67) -- (1.949,1.705) -- (2.273,1.733) -- (2.597,1.753) -- (2.923,1.766) -- (3.248,1.77) -- (3.574,1.768) -- (3.899,1.757) -- (4.224,1.739) -- (4.548,1.714) -- (4.872,1.68) -- (5.195,1.639) -- (5.516,1.591) -- (5.837,1.535);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.431,7.814) -- (6.41,7.894) -- (6.351,7.953) -- (6.271,7.974) -- (6.191,7.953) -- (6.132,7.894) -- (6.111,7.814) -- (6.132,7.734) -- (6.191,7.676) -- (6.271,7.654) -- (6.351,7.676) -- (6.41,7.734) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.768,6.057) -- (1.747,6.137) -- (1.688,6.195) -- (1.608,6.217) -- (1.528,6.195) -- (1.47,6.137) -- (1.448,6.057) -- (1.47,5.977) -- (1.528,5.918) -- (1.608,5.897) -- (1.688,5.918) -- (1.747,5.977) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.117,3.645) -- (4.095,3.725) -- (4.037,3.784) -- (3.957,3.805) -- (3.877,3.784) -- (3.818,3.725) -- (3.797,3.645) -- (3.818,3.565) -- (3.877,3.507) -- (3.957,3.485) -- (4.037,3.507) -- (4.095,3.565) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.463,1.95) -- (11.442,2.03) -- (11.383,2.088) -- (11.303,2.11) -- (11.223,2.088) -- (11.164,2.03) -- (11.143,1.95) -- (11.164,1.87) -- (11.223,1.811) -- (11.303,1.79) -- (11.383,1.811) -- (11.442,1.87) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.463,1.627) -- (1.442,1.707) -- (1.383,1.765) -- (1.303,1.787) -- (1.223,1.765) -- (1.164,1.707) -- (1.143,1.627) -- (1.164,1.547) -- (1.223,1.488) -- (1.303,1.467) -- (1.383,1.488) -- (1.442,1.547) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.997,1.535) -- (5.975,1.615) -- (5.917,1.673) -- (5.837,1.695) -- (5.757,1.673) -- (5.698,1.615) -- (5.677,1.535) -- (5.698,1.455) -- (5.757,1.396) -- (5.837,1.375) -- (5.917,1.396) -- (5.975,1.455) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.32,6.828) -- (4.274,6.998) -- (4.15,7.123) -- (3.98,7.168) -- (3.81,7.123) -- (3.685,6.998) -- (3.64,6.828) -- (3.685,6.658) -- (3.81,6.534) -- (3.98,6.488) -- (4.15,6.534) -- (4.274,6.658) -- cycle;
\node at (3.98,6.828) {\scalebox{1.422}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.906,5.479) -- (5.86,5.649) -- (5.736,5.773) -- (5.566,5.819) -- (5.396,5.773) -- (5.271,5.649) -- (5.226,5.479) -- (5.271,5.309) -- (5.396,5.184) -- (5.566,5.139) -- (5.736,5.184) -- (5.86,5.309) -- cycle;
\node at (5.566,5.479) {\scalebox{1.422}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.227,5.07) -- (9.181,5.24) -- (9.057,5.364) -- (8.887,5.41) -- (8.717,5.364) -- (8.593,5.24) -- (8.547,5.07) -- (8.593,4.9) -- (8.717,4.775) -- (8.887,4.73) -- (9.057,4.775) -- (9.181,4.9) -- cycle;
\node at (8.887,5.07) {\scalebox{1.422}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.972,4.634) -- (6.926,4.804) -- (6.802,4.929) -- (6.632,4.974) -- (6.462,4.929) -- (6.338,4.804) -- (6.292,4.634) -- (6.338,4.464) -- (6.462,4.34) -- (6.632,4.294) -- (6.802,4.34) -- (6.926,4.464) -- cycle;
\node at (6.632,4.634) {\scalebox{1.422}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.252,4.977) -- (3.207,5.147) -- (3.082,5.272) -- (2.912,5.317) -- (2.742,5.272) -- (2.618,5.147) -- (2.572,4.977) -- (2.618,4.807) -- (2.742,4.683) -- (2.912,4.637) -- (3.082,4.683) -- (3.207,4.807) -- cycle;
\node at (2.912,4.977) {\scalebox{1.422}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.247,2.272) -- (3.201,2.442) -- (3.077,2.566) -- (2.907,2.612) -- (2.737,2.566) -- (2.612,2.442) -- (2.567,2.272) -- (2.612,2.102) -- (2.737,1.977) -- (2.907,1.932) -- (3.077,1.977) -- (3.201,2.102) -- cycle;
\node at (2.907,2.272) {\scalebox{1.422}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.389,2.725) -- (5.343,2.895) -- (5.219,3.02) -- (5.049,3.065) -- (4.879,3.02) -- (4.754,2.895) -- (4.709,2.725) -- (4.754,2.555) -- (4.879,2.431) -- (5.049,2.385) -- (5.219,2.431) -- (5.343,2.555) -- cycle;
\node at (5.049,2.725) {\scalebox{1.422}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.907,1.448) -- (3.862,1.618) -- (3.737,1.742) -- (3.567,1.788) -- (3.397,1.742) -- (3.273,1.618) -- (3.227,1.448) -- (3.273,1.278) -- (3.397,1.153) -- (3.567,1.108) -- (3.737,1.153) -- (3.862,1.278) -- cycle;
\node at (3.567,1.448) {\scalebox{1.422}{\small 8}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (5.971,7.514) -- (6.571,7.514) -- (6.571,8.114) -- (5.971,8.114) -- cycle;
\node at (6.271,7.814) {\scalebox{1.422}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (7.558,4.784) -- (8.158,4.784) -- (8.158,5.384) -- (7.558,5.384) -- cycle;
\node at (7.858,5.084) {\scalebox{1.422}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (5.919,6.07) -- (6.519,6.07) -- (6.519,6.67) -- (5.919,6.67) -- cycle;
\node at (6.219,6.37) {\scalebox{1.422}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (5.131,1.498) -- (5.731,1.498) -- (5.731,2.098) -- (5.131,2.098) -- cycle;
\node at (5.431,1.798) {\scalebox{1.422}{\small d}};
\node at (6.451,8.407) {\scalebox{1.422}{\small A}};
\node at (1.092,6.4) {\scalebox{1.422}{\small B}};
\node at (3.341,3.574) {\scalebox{1.422}{\small C}};
\node at (11.898,1.776) {\scalebox{1.422}{\small D}};
\node at (0.765,1.319) {\scalebox{1.422}{\small E}};
\node at (6.043,0.95) {\scalebox{1.422}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.603,6.864) -- (12.603,7.964);
\draw[line width=0.5pt] (12.372,7.579) -- (12.603,7.964) -- (12.834,7.579);
\draw[line width=0.5pt] (12.3,7.414) -- (12.905,7.414);
\node at (12.603,8.349) {\scalebox{1.422}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue de la Mairie & ⑤ passage du Marché & Ⓐ Carrefour du Moulin & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue du Pont & ⑥ chemin du Lavoir & Ⓑ Place du Marché & \textbf{b} l'église \\ \hline
③ impasse du Puits & ⑦ rue Verte & Ⓒ Carrefour de la Mairie & \textbf{c} le stade \\ \hline
④ rue Neuve & ⑧ sentier des Prés & Ⓓ Place aux Herbes & \textbf{d} la mairie \\ \hline
 &  & Ⓔ Place Sainte-Croix &  \\ \hline
 &  & Ⓕ Carrefour des Quatre-Chemins &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6294, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (6.271,7.814) -- (5.921,7.741) -- (5.573,7.659) -- (5.227,7.569) -- (4.884,7.471) -- (4.542,7.364) -- (4.203,7.25) -- (3.867,7.128) -- (3.534,6.998) -- (3.204,6.86) -- (2.877,6.714) -- (2.554,6.561) -- (2.235,6.4) -- (1.919,6.232) -- (1.608,6.057);
\draw[line width=0.5pt] (6.271,7.814) -- (6.153,7.493) -- (6.027,7.175) -- (5.893,6.86) -- (5.752,6.549) -- (5.604,6.24) -- (5.448,5.935) -- (5.286,5.634) -- (5.116,5.337) -- (4.94,5.044) -- (4.756,4.755) -- (4.566,4.47) -- (4.37,4.19) -- (4.166,3.915) -- (3.957,3.645);
\draw[line width=0.5pt] (6.271,7.814) -- (6.409,7.576) -- (6.552,7.341) -- (6.702,7.11) -- (6.856,6.882) -- (7.016,6.658) -- (7.181,6.438) -- (7.352,6.221) -- (7.527,6.009) -- (7.707,5.801) -- (7.892,5.597) -- (8.082,5.397) -- (8.277,5.202) -- (8.476,5.012) -- (8.679,4.827) -- (8.896,4.652) -- (9.11,4.471) -- (9.319,4.286) -- (9.523,4.096) -- (9.723,3.901) -- (9.919,3.701) -- (10.11,3.497) -- (10.296,3.288) -- (10.477,3.075) -- (10.652,2.858) -- (10.823,2.636) -- (10.989,2.411) -- (11.149,2.182) -- (11.303,1.95);
\draw[line width=0.5pt] (6.271,7.814) -- (6.309,7.364) -- (6.336,6.914) -- (6.353,6.462) -- (6.359,6.011) -- (6.354,5.559) -- (6.339,5.108) -- (6.313,4.656) -- (6.276,4.206) -- (6.229,3.757) -- (6.172,3.309) -- (6.104,2.862) -- (6.025,2.417) -- (5.936,1.975) -- (5.837,1.535);
\draw[line width=0.5pt] (1.608,6.057) -- (1.748,5.86) -- (1.893,5.667) -- (2.042,5.477) -- (2.196,5.291) -- (2.354,5.108) -- (2.516,4.929) -- (2.683,4.754) -- (2.854,4.583) -- (3.028,4.416) -- (3.207,4.253) -- (3.389,4.094) -- (3.575,3.94) -- (3.764,3.79) -- (3.957,3.645);
\draw[line width=0.5pt] (3.957,3.645) -- (3.791,3.473) -- (3.621,3.305) -- (3.447,3.141) -- (3.269,2.981) -- (3.087,2.825) -- (2.902,2.674) -- (2.713,2.527) -- (2.521,2.384) -- (2.326,2.246) -- (2.127,2.112) -- (1.925,1.984) -- (1.721,1.86) -- (1.513,1.741) -- (1.303,1.627);
\draw[line width=0.5pt] (3.957,3.645) -- (4.067,3.475) -- (4.181,3.308) -- (4.299,3.143) -- (4.421,2.981) -- (4.547,2.822) -- (4.676,2.665) -- (4.81,2.512) -- (4.946,2.362) -- (5.087,2.216) -- (5.23,2.072) -- (5.377,1.933) -- (5.527,1.796) -- (5.68,1.664) -- (5.837,1.535);
\draw[line width=0.5pt] (1.303,1.627) -- (1.625,1.67) -- (1.949,1.705) -- (2.273,1.733) -- (2.597,1.753) -- (2.923,1.766) -- (3.248,1.77) -- (3.574,1.768) -- (3.899,1.757) -- (4.224,1.739) -- (4.548,1.714) -- (4.872,1.68) -- (5.195,1.639) -- (5.516,1.591) -- (5.837,1.535);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.431,7.814) -- (6.41,7.894) -- (6.351,7.953) -- (6.271,7.974) -- (6.191,7.953) -- (6.132,7.894) -- (6.111,7.814) -- (6.132,7.734) -- (6.191,7.676) -- (6.271,7.654) -- (6.351,7.676) -- (6.41,7.734) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.768,6.057) -- (1.747,6.137) -- (1.688,6.195) -- (1.608,6.217) -- (1.528,6.195) -- (1.47,6.137) -- (1.448,6.057) -- (1.47,5.977) -- (1.528,5.918) -- (1.608,5.897) -- (1.688,5.918) -- (1.747,5.977) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.117,3.645) -- (4.095,3.725) -- (4.037,3.784) -- (3.957,3.805) -- (3.877,3.784) -- (3.818,3.725) -- (3.797,3.645) -- (3.818,3.565) -- (3.877,3.507) -- (3.957,3.485) -- (4.037,3.507) -- (4.095,3.565) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.463,1.95) -- (11.442,2.03) -- (11.383,2.088) -- (11.303,2.11) -- (11.223,2.088) -- (11.164,2.03) -- (11.143,1.95) -- (11.164,1.87) -- (11.223,1.811) -- (11.303,1.79) -- (11.383,1.811) -- (11.442,1.87) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.463,1.627) -- (1.442,1.707) -- (1.383,1.765) -- (1.303,1.787) -- (1.223,1.765) -- (1.164,1.707) -- (1.143,1.627) -- (1.164,1.547) -- (1.223,1.488) -- (1.303,1.467) -- (1.383,1.488) -- (1.442,1.547) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.997,1.535) -- (5.975,1.615) -- (5.917,1.673) -- (5.837,1.695) -- (5.757,1.673) -- (5.698,1.615) -- (5.677,1.535) -- (5.698,1.455) -- (5.757,1.396) -- (5.837,1.375) -- (5.917,1.396) -- (5.975,1.455) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.32,6.828) -- (4.274,6.998) -- (4.15,7.123) -- (3.98,7.168) -- (3.81,7.123) -- (3.685,6.998) -- (3.64,6.828) -- (3.685,6.658) -- (3.81,6.534) -- (3.98,6.488) -- (4.15,6.534) -- (4.274,6.658) -- cycle;
\node at (3.98,6.828) {\scalebox{1.589}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.906,5.479) -- (5.86,5.649) -- (5.736,5.773) -- (5.566,5.819) -- (5.396,5.773) -- (5.271,5.649) -- (5.226,5.479) -- (5.271,5.309) -- (5.396,5.184) -- (5.566,5.139) -- (5.736,5.184) -- (5.86,5.309) -- cycle;
\node at (5.566,5.479) {\scalebox{1.589}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.227,5.07) -- (9.181,5.24) -- (9.057,5.364) -- (8.887,5.41) -- (8.717,5.364) -- (8.593,5.24) -- (8.547,5.07) -- (8.593,4.9) -- (8.717,4.775) -- (8.887,4.73) -- (9.057,4.775) -- (9.181,4.9) -- cycle;
\node at (8.887,5.07) {\scalebox{1.589}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.972,4.634) -- (6.926,4.804) -- (6.802,4.929) -- (6.632,4.974) -- (6.462,4.929) -- (6.338,4.804) -- (6.292,4.634) -- (6.338,4.464) -- (6.462,4.34) -- (6.632,4.294) -- (6.802,4.34) -- (6.926,4.464) -- cycle;
\node at (6.632,4.634) {\scalebox{1.589}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.252,4.977) -- (3.207,5.147) -- (3.082,5.272) -- (2.912,5.317) -- (2.742,5.272) -- (2.618,5.147) -- (2.572,4.977) -- (2.618,4.807) -- (2.742,4.683) -- (2.912,4.637) -- (3.082,4.683) -- (3.207,4.807) -- cycle;
\node at (2.912,4.977) {\scalebox{1.589}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.247,2.272) -- (3.201,2.442) -- (3.077,2.566) -- (2.907,2.612) -- (2.737,2.566) -- (2.612,2.442) -- (2.567,2.272) -- (2.612,2.102) -- (2.737,1.977) -- (2.907,1.932) -- (3.077,1.977) -- (3.201,2.102) -- cycle;
\node at (2.907,2.272) {\scalebox{1.589}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.389,2.725) -- (5.343,2.895) -- (5.219,3.02) -- (5.049,3.065) -- (4.879,3.02) -- (4.754,2.895) -- (4.709,2.725) -- (4.754,2.555) -- (4.879,2.431) -- (5.049,2.385) -- (5.219,2.431) -- (5.343,2.555) -- cycle;
\node at (5.049,2.725) {\scalebox{1.589}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.907,1.448) -- (3.862,1.618) -- (3.737,1.742) -- (3.567,1.788) -- (3.397,1.742) -- (3.273,1.618) -- (3.227,1.448) -- (3.273,1.278) -- (3.397,1.153) -- (3.567,1.108) -- (3.737,1.153) -- (3.862,1.278) -- cycle;
\node at (3.567,1.448) {\scalebox{1.589}{\small 8}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (5.971,7.514) -- (6.571,7.514) -- (6.571,8.114) -- (5.971,8.114) -- cycle;
\node at (6.271,7.814) {\scalebox{1.589}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (7.558,4.784) -- (8.158,4.784) -- (8.158,5.384) -- (7.558,5.384) -- cycle;
\node at (7.858,5.084) {\scalebox{1.589}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (5.919,6.07) -- (6.519,6.07) -- (6.519,6.67) -- (5.919,6.67) -- cycle;
\node at (6.219,6.37) {\scalebox{1.589}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (5.131,1.498) -- (5.731,1.498) -- (5.731,2.098) -- (5.131,2.098) -- cycle;
\node at (5.431,1.798) {\scalebox{1.589}{\small d}};
\node at (6.451,8.407) {\scalebox{1.589}{\small A}};
\node at (1.092,6.4) {\scalebox{1.589}{\small B}};
\node at (3.341,3.574) {\scalebox{1.589}{\small C}};
\node at (11.898,1.776) {\scalebox{1.589}{\small D}};
\node at (0.765,1.319) {\scalebox{1.589}{\small E}};
\node at (6.043,0.95) {\scalebox{1.589}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.603,6.864) -- (12.603,7.964);
\draw[line width=0.5pt] (12.372,7.579) -- (12.603,7.964) -- (12.834,7.579);
\draw[line width=0.5pt] (12.3,7.414) -- (12.905,7.414);
\node at (12.603,8.349) {\scalebox{1.589}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F \\ \hline
Nombre de rues & 4 & 2 & 4 & 1 & 2 & 3 \\ \hline
Parité & pair & pair & pair & \textbf{impair} & pair & \textbf{impair} \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 16 = 2 \(\times\) 8, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{D}, \textbf{F} — il y en a 2.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{A}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Deux carrefours sont impairs, \textbf{D} et \textbf{F} : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Or la poste est en \textbf{A}, où aboutit un nombre \textbf{pair} de rues. Ce carrefour ne peut être que traversé, jamais servir de départ.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui, une tournée existe} — mais elle va de \textbf{D} à \textbf{F}. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il \textbf{ne reviendrait pas} à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Ce parcours, en partant de D :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Place aux Herbes \textbf{(D)}, prend l'\textbf{impasse du Puits ③} vers le nord-ouest et atteint Carrefour du Moulin \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue de la Mairie ①}, vers l'ouest, jusqu'à Place du Marché \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{passage du Marché ⑤}, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour de la Mairie \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Pont ②}, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour du Moulin \textbf{(A)}.
  \item Il prend dans la \textbf{rue Neuve ④}, vers le sud, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue Verte ⑦}, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour de la Mairie \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{chemin du Lavoir ⑥}, vers le sud-ouest, jusqu'à Place Sainte-Croix \textbf{(E)}.
  \item Il prend dans le \textbf{sentier des Prés ⑧}, vers l'est, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins \textbf{(F)}.
\end{enumerate}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À remarquer.} Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
