\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 73}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=73}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0073}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7017, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (1.336,7.522) -- (1.634,7.43) -- (1.935,7.345) -- (2.238,7.267) -- (2.543,7.197) -- (2.849,7.133) -- (3.157,7.077) -- (3.466,7.028) -- (3.776,6.987) -- (4.087,6.952) -- (4.398,6.925) -- (4.71,6.906) -- (5.023,6.893) -- (5.335,6.888) -- (5.648,6.891);
\draw[line width=0.5pt] (1.336,7.522) -- (1.395,7.385) -- (1.45,7.246) -- (1.502,7.106) -- (1.551,6.965) -- (1.597,6.823) -- (1.639,6.68) -- (1.678,6.536) -- (1.714,6.391) -- (1.746,6.245) -- (1.775,6.098) -- (1.8,5.951) -- (1.822,5.803) -- (1.84,5.655) -- (1.855,5.507) -- (1.996,5.193) -- (2.145,4.882) -- (2.301,4.575) -- (2.465,4.271) -- (2.635,3.971) -- (2.813,3.676) -- (2.997,3.385) -- (3.189,3.098) -- (3.387,2.815) -- (3.591,2.538) -- (3.802,2.265) -- (4.019,1.997) -- (4.243,1.735) -- (4.472,1.478);
\draw[line width=0.5pt] (11.336,6.973) -- (10.932,7.029) -- (10.526,7.076) -- (10.12,7.113) -- (9.713,7.141) -- (9.305,7.159) -- (8.897,7.168) -- (8.488,7.166) -- (8.08,7.156) -- (7.672,7.136) -- (7.265,7.106) -- (6.859,7.066) -- (6.453,7.017) -- (6.05,6.959) -- (5.648,6.891);
\draw[line width=0.5pt] (11.336,6.973) -- (11.121,6.806) -- (10.902,6.644) -- (10.68,6.488) -- (10.454,6.337) -- (10.224,6.191) -- (9.991,6.051) -- (9.755,5.916) -- (9.515,5.786) -- (9.273,5.663) -- (9.027,5.545) -- (8.78,5.433) -- (8.529,5.327) -- (8.276,5.226) -- (8.021,5.132);
\draw[line width=0.5pt] (11.336,6.973) -- (11.187,6.729) -- (11.044,6.483) -- (10.907,6.232) -- (10.775,5.979) -- (10.65,5.722) -- (10.531,5.463) -- (10.417,5.201) -- (10.31,4.936) -- (10.21,4.669) -- (10.115,4.4) -- (10.027,4.128) -- (9.945,3.855) -- (9.87,3.58) -- (9.802,3.303);
\draw[line width=0.5pt] (5.648,6.891) -- (5.835,6.792) -- (6.02,6.689) -- (6.203,6.582) -- (6.383,6.47) -- (6.56,6.354) -- (6.735,6.234) -- (6.907,6.11) -- (7.076,5.981) -- (7.242,5.849) -- (7.405,5.713) -- (7.564,5.573) -- (7.72,5.43) -- (7.873,5.283) -- (8.021,5.132);
\draw[line width=0.5pt] (5.648,6.891) -- (5.505,6.52) -- (5.371,6.146) -- (5.246,5.769) -- (5.13,5.389) -- (5.023,5.006) -- (4.925,4.621) -- (4.837,4.233) -- (4.757,3.844) -- (4.686,3.452) -- (4.625,3.06) -- (4.573,2.666) -- (4.53,2.271) -- (4.496,1.875) -- (4.472,1.478);
\draw[line width=0.5pt] (8.021,5.132) -- (8.168,5.022) -- (8.311,4.908) -- (8.452,4.791) -- (8.59,4.671) -- (8.725,4.548) -- (8.858,4.421) -- (8.987,4.291) -- (9.113,4.158) -- (9.236,4.022) -- (9.356,3.884) -- (9.473,3.742) -- (9.586,3.598) -- (9.696,3.452) -- (9.802,3.303);
\draw[line width=0.5pt] (9.802,3.303) -- (9.404,3.232) -- (9.008,3.151) -- (8.614,3.062) -- (8.222,2.963) -- (7.833,2.854) -- (7.446,2.737) -- (7.062,2.61) -- (6.681,2.475) -- (6.303,2.331) -- (5.929,2.177) -- (5.558,2.016) -- (5.192,1.845) -- (4.83,1.666) -- (4.472,1.478);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.496,7.522) -- (1.474,7.602) -- (1.416,7.66) -- (1.336,7.682) -- (1.256,7.66) -- (1.197,7.602) -- (1.176,7.522) -- (1.197,7.442) -- (1.256,7.383) -- (1.336,7.362) -- (1.416,7.383) -- (1.474,7.442) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.496,6.973) -- (11.474,7.053) -- (11.416,7.111) -- (11.336,7.133) -- (11.256,7.111) -- (11.197,7.053) -- (11.176,6.973) -- (11.197,6.893) -- (11.256,6.834) -- (11.336,6.813) -- (11.416,6.834) -- (11.474,6.893) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.808,6.891) -- (5.786,6.971) -- (5.728,7.03) -- (5.648,7.051) -- (5.568,7.03) -- (5.509,6.971) -- (5.488,6.891) -- (5.509,6.811) -- (5.568,6.752) -- (5.648,6.731) -- (5.728,6.752) -- (5.786,6.811) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.181,5.132) -- (8.16,5.212) -- (8.101,5.271) -- (8.021,5.292) -- (7.941,5.271) -- (7.883,5.212) -- (7.861,5.132) -- (7.883,5.052) -- (7.941,4.994) -- (8.021,4.972) -- (8.101,4.994) -- (8.16,5.052) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.962,3.303) -- (9.94,3.383) -- (9.882,3.441) -- (9.802,3.463) -- (9.722,3.441) -- (9.663,3.383) -- (9.642,3.303) -- (9.663,3.223) -- (9.722,3.164) -- (9.802,3.143) -- (9.882,3.164) -- (9.94,3.223) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.632,1.478) -- (4.611,1.558) -- (4.552,1.617) -- (4.472,1.638) -- (4.392,1.617) -- (4.334,1.558) -- (4.312,1.478) -- (4.334,1.398) -- (4.392,1.34) -- (4.472,1.318) -- (4.552,1.34) -- (4.611,1.398) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.852,7.345) -- (3.806,7.515) -- (3.682,7.64) -- (3.512,7.685) -- (3.342,7.64) -- (3.217,7.515) -- (3.172,7.345) -- (3.217,7.175) -- (3.342,7.051) -- (3.512,7.005) -- (3.682,7.051) -- (3.806,7.175) -- cycle;
\node at (3.512,7.345) {\scalebox{1.425}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.498,5.609) -- (2.452,5.779) -- (2.328,5.904) -- (2.158,5.949) -- (1.988,5.904) -- (1.864,5.779) -- (1.818,5.609) -- (1.864,5.439) -- (1.988,5.315) -- (2.158,5.269) -- (2.328,5.315) -- (2.452,5.439) -- cycle;
\node at (2.158,5.609) {\scalebox{1.425}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.833,6.846) -- (8.787,7.016) -- (8.663,7.141) -- (8.493,7.186) -- (8.323,7.141) -- (8.198,7.016) -- (8.153,6.846) -- (8.198,6.676) -- (8.323,6.552) -- (8.493,6.506) -- (8.663,6.552) -- (8.787,6.676) -- cycle;
\node at (8.493,6.846) {\scalebox{1.425}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.25,5.636) -- (10.204,5.806) -- (10.08,5.93) -- (9.91,5.976) -- (9.74,5.93) -- (9.615,5.806) -- (9.57,5.636) -- (9.615,5.466) -- (9.74,5.342) -- (9.91,5.296) -- (10.08,5.342) -- (10.204,5.466) -- cycle;
\node at (9.91,5.636) {\scalebox{1.425}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.053,5.078) -- (11.007,5.248) -- (10.883,5.372) -- (10.713,5.418) -- (10.543,5.372) -- (10.418,5.248) -- (10.373,5.078) -- (10.418,4.908) -- (10.543,4.783) -- (10.713,4.738) -- (10.883,4.783) -- (11.007,4.908) -- cycle;
\node at (10.713,5.078) {\scalebox{1.425}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.438,6.367) -- (7.392,6.537) -- (7.268,6.661) -- (7.098,6.707) -- (6.928,6.661) -- (6.803,6.537) -- (6.758,6.367) -- (6.803,6.197) -- (6.928,6.072) -- (7.098,6.027) -- (7.268,6.072) -- (7.392,6.197) -- cycle;
\node at (7.098,6.367) {\scalebox{1.425}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.489,4.165) -- (5.444,4.335) -- (5.319,4.46) -- (5.149,4.505) -- (4.979,4.46) -- (4.855,4.335) -- (4.809,4.165) -- (4.855,3.995) -- (4.979,3.871) -- (5.149,3.825) -- (5.319,3.871) -- (5.444,3.995) -- cycle;
\node at (5.149,4.165) {\scalebox{1.425}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.556,4.514) -- (9.511,4.684) -- (9.386,4.809) -- (9.216,4.854) -- (9.046,4.809) -- (8.922,4.684) -- (8.876,4.514) -- (8.922,4.344) -- (9.046,4.22) -- (9.216,4.174) -- (9.386,4.22) -- (9.511,4.344) -- cycle;
\node at (9.216,4.514) {\scalebox{1.425}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.505,2.308) -- (7.46,2.478) -- (7.335,2.602) -- (7.165,2.648) -- (6.995,2.602) -- (6.871,2.478) -- (6.825,2.308) -- (6.871,2.138) -- (6.995,2.013) -- (7.165,1.968) -- (7.335,2.013) -- (7.46,2.138) -- cycle;
\node at (7.165,2.308) {\scalebox{1.425}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (11.036,6.673) -- (11.636,6.673) -- (11.636,7.273) -- (11.036,7.273) -- cycle;
\node at (11.336,6.973) {\scalebox{1.425}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (9.081,4.375) -- (9.681,4.375) -- (9.681,4.975) -- (9.081,4.975) -- cycle;
\node at (9.381,4.675) {\scalebox{1.425}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (11.723,4.629) -- (12.323,4.629) -- (12.323,5.229) -- (11.723,5.229) -- cycle;
\node at (12.023,4.929) {\scalebox{1.425}{\small c}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.722,5.135) -- (10.322,5.135) -- (10.322,5.735) -- (9.722,5.735) -- cycle;
\node at (10.022,5.435) {\scalebox{1.425}{\small d}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (4.21,3.135) -- (4.81,3.135) -- (4.81,3.735) -- (4.21,3.735) -- cycle;
\node at (4.51,3.435) {\scalebox{1.425}{\small e}};
\node at (0.765,7.764) {\scalebox{1.425}{\small A}};
\node at (11.914,7.195) {\scalebox{1.425}{\small B}};
\node at (5.302,7.406) {\scalebox{1.425}{\small C}};
\node at (8.64,5.091) {\scalebox{1.425}{\small D}};
\node at (10.326,2.972) {\scalebox{1.425}{\small E}};
\node at (4.148,0.95) {\scalebox{1.425}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.636,6.572) -- (12.636,7.672);
\draw[line width=0.5pt] (12.405,7.287) -- (12.636,7.672) -- (12.867,7.287);
\draw[line width=0.5pt] (12.333,7.122) -- (12.938,7.122);
\node at (12.636,8.057) {\scalebox{1.425}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue du Pont & ⑥ rue Basse & Ⓐ Place des Tanneurs & \textbf{a} la poste \\ \hline
② allée des Peupliers & ⑦ avenue de la Gare & Ⓑ Carrefour du Lavoir & \textbf{b} la gendarmerie \\ \hline
③ rue Haute & ⑧ allée des Tilleuls & Ⓒ Carrefour Saint-Roch & \textbf{c} le cimetière \\ \hline
④ rue de la Mairie & ⑨ rue de l'Église & Ⓓ Carrefour des Quatre-Chemins & \textbf{d} la pharmacie \\ \hline
⑤ rue Neuve &  & Ⓔ Rond-point du Pont & \textbf{e} la mairie \\ \hline
 &  & Ⓕ Rond-point des Vaches &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6279, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (1.336,7.522) -- (1.634,7.43) -- (1.935,7.345) -- (2.238,7.267) -- (2.543,7.197) -- (2.849,7.133) -- (3.157,7.077) -- (3.466,7.028) -- (3.776,6.987) -- (4.087,6.952) -- (4.398,6.925) -- (4.71,6.906) -- (5.023,6.893) -- (5.335,6.888) -- (5.648,6.891);
\draw[line width=0.5pt] (1.336,7.522) -- (1.395,7.385) -- (1.45,7.246) -- (1.502,7.106) -- (1.551,6.965) -- (1.597,6.823) -- (1.639,6.68) -- (1.678,6.536) -- (1.714,6.391) -- (1.746,6.245) -- (1.775,6.098) -- (1.8,5.951) -- (1.822,5.803) -- (1.84,5.655) -- (1.855,5.507) -- (1.996,5.193) -- (2.145,4.882) -- (2.301,4.575) -- (2.465,4.271) -- (2.635,3.971) -- (2.813,3.676) -- (2.997,3.385) -- (3.189,3.098) -- (3.387,2.815) -- (3.591,2.538) -- (3.802,2.265) -- (4.019,1.997) -- (4.243,1.735) -- (4.472,1.478);
\draw[line width=0.5pt] (11.336,6.973) -- (10.932,7.029) -- (10.526,7.076) -- (10.12,7.113) -- (9.713,7.141) -- (9.305,7.159) -- (8.897,7.168) -- (8.488,7.166) -- (8.08,7.156) -- (7.672,7.136) -- (7.265,7.106) -- (6.859,7.066) -- (6.453,7.017) -- (6.05,6.959) -- (5.648,6.891);
\draw[line width=0.5pt] (11.336,6.973) -- (11.121,6.806) -- (10.902,6.644) -- (10.68,6.488) -- (10.454,6.337) -- (10.224,6.191) -- (9.991,6.051) -- (9.755,5.916) -- (9.515,5.786) -- (9.273,5.663) -- (9.027,5.545) -- (8.78,5.433) -- (8.529,5.327) -- (8.276,5.226) -- (8.021,5.132);
\draw[line width=0.5pt] (11.336,6.973) -- (11.187,6.729) -- (11.044,6.483) -- (10.907,6.232) -- (10.775,5.979) -- (10.65,5.722) -- (10.531,5.463) -- (10.417,5.201) -- (10.31,4.936) -- (10.21,4.669) -- (10.115,4.4) -- (10.027,4.128) -- (9.945,3.855) -- (9.87,3.58) -- (9.802,3.303);
\draw[line width=0.5pt] (5.648,6.891) -- (5.835,6.792) -- (6.02,6.689) -- (6.203,6.582) -- (6.383,6.47) -- (6.56,6.354) -- (6.735,6.234) -- (6.907,6.11) -- (7.076,5.981) -- (7.242,5.849) -- (7.405,5.713) -- (7.564,5.573) -- (7.72,5.43) -- (7.873,5.283) -- (8.021,5.132);
\draw[line width=0.5pt] (5.648,6.891) -- (5.505,6.52) -- (5.371,6.146) -- (5.246,5.769) -- (5.13,5.389) -- (5.023,5.006) -- (4.925,4.621) -- (4.837,4.233) -- (4.757,3.844) -- (4.686,3.452) -- (4.625,3.06) -- (4.573,2.666) -- (4.53,2.271) -- (4.496,1.875) -- (4.472,1.478);
\draw[line width=0.5pt] (8.021,5.132) -- (8.168,5.022) -- (8.311,4.908) -- (8.452,4.791) -- (8.59,4.671) -- (8.725,4.548) -- (8.858,4.421) -- (8.987,4.291) -- (9.113,4.158) -- (9.236,4.022) -- (9.356,3.884) -- (9.473,3.742) -- (9.586,3.598) -- (9.696,3.452) -- (9.802,3.303);
\draw[line width=0.5pt] (9.802,3.303) -- (9.404,3.232) -- (9.008,3.151) -- (8.614,3.062) -- (8.222,2.963) -- (7.833,2.854) -- (7.446,2.737) -- (7.062,2.61) -- (6.681,2.475) -- (6.303,2.331) -- (5.929,2.177) -- (5.558,2.016) -- (5.192,1.845) -- (4.83,1.666) -- (4.472,1.478);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.496,7.522) -- (1.474,7.602) -- (1.416,7.66) -- (1.336,7.682) -- (1.256,7.66) -- (1.197,7.602) -- (1.176,7.522) -- (1.197,7.442) -- (1.256,7.383) -- (1.336,7.362) -- (1.416,7.383) -- (1.474,7.442) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.496,6.973) -- (11.474,7.053) -- (11.416,7.111) -- (11.336,7.133) -- (11.256,7.111) -- (11.197,7.053) -- (11.176,6.973) -- (11.197,6.893) -- (11.256,6.834) -- (11.336,6.813) -- (11.416,6.834) -- (11.474,6.893) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.808,6.891) -- (5.786,6.971) -- (5.728,7.03) -- (5.648,7.051) -- (5.568,7.03) -- (5.509,6.971) -- (5.488,6.891) -- (5.509,6.811) -- (5.568,6.752) -- (5.648,6.731) -- (5.728,6.752) -- (5.786,6.811) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.181,5.132) -- (8.16,5.212) -- (8.101,5.271) -- (8.021,5.292) -- (7.941,5.271) -- (7.883,5.212) -- (7.861,5.132) -- (7.883,5.052) -- (7.941,4.994) -- (8.021,4.972) -- (8.101,4.994) -- (8.16,5.052) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.962,3.303) -- (9.94,3.383) -- (9.882,3.441) -- (9.802,3.463) -- (9.722,3.441) -- (9.663,3.383) -- (9.642,3.303) -- (9.663,3.223) -- (9.722,3.164) -- (9.802,3.143) -- (9.882,3.164) -- (9.94,3.223) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.632,1.478) -- (4.611,1.558) -- (4.552,1.617) -- (4.472,1.638) -- (4.392,1.617) -- (4.334,1.558) -- (4.312,1.478) -- (4.334,1.398) -- (4.392,1.34) -- (4.472,1.318) -- (4.552,1.34) -- (4.611,1.398) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.852,7.345) -- (3.806,7.515) -- (3.682,7.64) -- (3.512,7.685) -- (3.342,7.64) -- (3.217,7.515) -- (3.172,7.345) -- (3.217,7.175) -- (3.342,7.051) -- (3.512,7.005) -- (3.682,7.051) -- (3.806,7.175) -- cycle;
\node at (3.512,7.345) {\scalebox{1.593}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.498,5.609) -- (2.452,5.779) -- (2.328,5.904) -- (2.158,5.949) -- (1.988,5.904) -- (1.864,5.779) -- (1.818,5.609) -- (1.864,5.439) -- (1.988,5.315) -- (2.158,5.269) -- (2.328,5.315) -- (2.452,5.439) -- cycle;
\node at (2.158,5.609) {\scalebox{1.593}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.833,6.846) -- (8.787,7.016) -- (8.663,7.141) -- (8.493,7.186) -- (8.323,7.141) -- (8.198,7.016) -- (8.153,6.846) -- (8.198,6.676) -- (8.323,6.552) -- (8.493,6.506) -- (8.663,6.552) -- (8.787,6.676) -- cycle;
\node at (8.493,6.846) {\scalebox{1.593}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.25,5.636) -- (10.204,5.806) -- (10.08,5.93) -- (9.91,5.976) -- (9.74,5.93) -- (9.615,5.806) -- (9.57,5.636) -- (9.615,5.466) -- (9.74,5.342) -- (9.91,5.296) -- (10.08,5.342) -- (10.204,5.466) -- cycle;
\node at (9.91,5.636) {\scalebox{1.593}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.053,5.078) -- (11.007,5.248) -- (10.883,5.372) -- (10.713,5.418) -- (10.543,5.372) -- (10.418,5.248) -- (10.373,5.078) -- (10.418,4.908) -- (10.543,4.783) -- (10.713,4.738) -- (10.883,4.783) -- (11.007,4.908) -- cycle;
\node at (10.713,5.078) {\scalebox{1.593}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.438,6.367) -- (7.392,6.537) -- (7.268,6.661) -- (7.098,6.707) -- (6.928,6.661) -- (6.803,6.537) -- (6.758,6.367) -- (6.803,6.197) -- (6.928,6.072) -- (7.098,6.027) -- (7.268,6.072) -- (7.392,6.197) -- cycle;
\node at (7.098,6.367) {\scalebox{1.593}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.489,4.165) -- (5.444,4.335) -- (5.319,4.46) -- (5.149,4.505) -- (4.979,4.46) -- (4.855,4.335) -- (4.809,4.165) -- (4.855,3.995) -- (4.979,3.871) -- (5.149,3.825) -- (5.319,3.871) -- (5.444,3.995) -- cycle;
\node at (5.149,4.165) {\scalebox{1.593}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.556,4.514) -- (9.511,4.684) -- (9.386,4.809) -- (9.216,4.854) -- (9.046,4.809) -- (8.922,4.684) -- (8.876,4.514) -- (8.922,4.344) -- (9.046,4.22) -- (9.216,4.174) -- (9.386,4.22) -- (9.511,4.344) -- cycle;
\node at (9.216,4.514) {\scalebox{1.593}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.505,2.308) -- (7.46,2.478) -- (7.335,2.602) -- (7.165,2.648) -- (6.995,2.602) -- (6.871,2.478) -- (6.825,2.308) -- (6.871,2.138) -- (6.995,2.013) -- (7.165,1.968) -- (7.335,2.013) -- (7.46,2.138) -- cycle;
\node at (7.165,2.308) {\scalebox{1.593}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (11.036,6.673) -- (11.636,6.673) -- (11.636,7.273) -- (11.036,7.273) -- cycle;
\node at (11.336,6.973) {\scalebox{1.593}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (9.081,4.375) -- (9.681,4.375) -- (9.681,4.975) -- (9.081,4.975) -- cycle;
\node at (9.381,4.675) {\scalebox{1.593}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (11.723,4.629) -- (12.323,4.629) -- (12.323,5.229) -- (11.723,5.229) -- cycle;
\node at (12.023,4.929) {\scalebox{1.593}{\small c}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.722,5.135) -- (10.322,5.135) -- (10.322,5.735) -- (9.722,5.735) -- cycle;
\node at (10.022,5.435) {\scalebox{1.593}{\small d}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (4.21,3.135) -- (4.81,3.135) -- (4.81,3.735) -- (4.21,3.735) -- cycle;
\node at (4.51,3.435) {\scalebox{1.593}{\small e}};
\node at (0.765,7.764) {\scalebox{1.593}{\small A}};
\node at (11.914,7.195) {\scalebox{1.593}{\small B}};
\node at (5.302,7.406) {\scalebox{1.593}{\small C}};
\node at (8.64,5.091) {\scalebox{1.593}{\small D}};
\node at (10.326,2.972) {\scalebox{1.593}{\small E}};
\node at (4.148,0.95) {\scalebox{1.593}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.636,6.572) -- (12.636,7.672);
\draw[line width=0.5pt] (12.405,7.287) -- (12.636,7.672) -- (12.867,7.287);
\draw[line width=0.5pt] (12.333,7.122) -- (12.938,7.122);
\node at (12.636,8.057) {\scalebox{1.593}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 3 & 4 & 3 & 3 & 3 \\ \hline
Parité & pair & \textbf{impair} & pair & \textbf{impair} & \textbf{impair} & \textbf{impair} \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 18 = 2 \(\times\) 9, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{B}, \textbf{D}, \textbf{E}, \textbf{F} — il y en a 4.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{B}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Le quartier compte \textbf{4 carrefours impairs} (B, D, E, F).}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Chacun d'eux exigerait d'être un départ ou une arrivée. Une tournée n'a qu'un départ et qu'une arrivée : au moins 2 d'entre eux resteraient sans solution.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non plus.} Où que l'on installe la poste, il reste 4 carrefours impairs, et une tournée n'en tolère que deux : un pour partir, un pour arriver.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}C'est la différence avec un quartier à deux carrefours impairs, où déplacer la poste suffisait. Ici, le problème ne vient pas du point de départ mais du plan lui-même.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Combien de rues en double, au minimum ?} Il faut apparier les carrefours impairs deux à deux, ce qui demande 1 passage(s) supplémentaire(s) au mieux pour une tournée ouverte, un de plus pour revenir à la poste. C'est le « problème du postier chinois », étudié bien après Euler.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
