\documentclass[a4paper,11pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[a4paper,top=3.2cm,bottom=2cm,left=2cm,right=2cm]{geometry}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
\DeclareUnicodeCharacter{2460}{\textcircled{\scriptsize 1}}
\DeclareUnicodeCharacter{2461}{\textcircled{\scriptsize 2}}
\DeclareUnicodeCharacter{2462}{\textcircled{\scriptsize 3}}
\DeclareUnicodeCharacter{2463}{\textcircled{\scriptsize 4}}
\DeclareUnicodeCharacter{2464}{\textcircled{\scriptsize 5}}
\DeclareUnicodeCharacter{2465}{\textcircled{\scriptsize 6}}
\DeclareUnicodeCharacter{2466}{\textcircled{\scriptsize 7}}
\DeclareUnicodeCharacter{2467}{\textcircled{\scriptsize 8}}
\DeclareUnicodeCharacter{2468}{\textcircled{\scriptsize 9}}
\DeclareUnicodeCharacter{2469}{\textcircled{\scriptsize 10}}
\DeclareUnicodeCharacter{246A}{\textcircled{\scriptsize 11}}
\DeclareUnicodeCharacter{246B}{\textcircled{\scriptsize 12}}
\DeclareUnicodeCharacter{246C}{\textcircled{\scriptsize 13}}
\DeclareUnicodeCharacter{246D}{\textcircled{\scriptsize 14}}
\DeclareUnicodeCharacter{246E}{\textcircled{\scriptsize 15}}
\DeclareUnicodeCharacter{246F}{\textcircled{\scriptsize 16}}
\DeclareUnicodeCharacter{2470}{\textcircled{\scriptsize 17}}
\DeclareUnicodeCharacter{2471}{\textcircled{\scriptsize 18}}
\DeclareUnicodeCharacter{2472}{\textcircled{\scriptsize 19}}
\DeclareUnicodeCharacter{2473}{\textcircled{\scriptsize 20}}
\DeclareUnicodeCharacter{24B6}{\textcircled{\scriptsize A}}
\DeclareUnicodeCharacter{24B7}{\textcircled{\scriptsize B}}
\DeclareUnicodeCharacter{24B8}{\textcircled{\scriptsize C}}
\DeclareUnicodeCharacter{24B9}{\textcircled{\scriptsize D}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BA}{\textcircled{\scriptsize E}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BB}{\textcircled{\scriptsize F}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BC}{\textcircled{\scriptsize G}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BD}{\textcircled{\scriptsize H}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BE}{\textcircled{\scriptsize I}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BF}{\textcircled{\scriptsize J}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C0}{\textcircled{\scriptsize K}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C1}{\textcircled{\scriptsize L}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C2}{\textcircled{\scriptsize M}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C3}{\textcircled{\scriptsize N}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C4}{\textcircled{\scriptsize O}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C5}{\textcircled{\scriptsize P}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C6}{\textcircled{\scriptsize Q}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C7}{\textcircled{\scriptsize R}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C8}{\textcircled{\scriptsize S}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C9}{\textcircled{\scriptsize T}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CA}{\textcircled{\scriptsize U}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CB}{\textcircled{\scriptsize V}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CC}{\textcircled{\scriptsize W}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CD}{\textcircled{\scriptsize X}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CE}{\textcircled{\scriptsize Y}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CF}{\textcircled{\scriptsize Z}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D0}{\textcircled{\scriptsize a}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D1}{\textcircled{\scriptsize b}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D2}{\textcircled{\scriptsize c}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D3}{\textcircled{\scriptsize d}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D4}{\textcircled{\scriptsize e}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D5}{\textcircled{\scriptsize f}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D6}{\textcircled{\scriptsize g}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D7}{\textcircled{\scriptsize h}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D8}{\textcircled{\scriptsize i}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D9}{\textcircled{\scriptsize j}}

\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 74}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=74}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0074}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7015, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (11.34,8.471) -- (10.939,8.437) -- (10.538,8.393) -- (10.138,8.34) -- (9.739,8.278) -- (9.342,8.206) -- (8.946,8.125) -- (8.553,8.035) -- (8.162,7.935) -- (7.773,7.826) -- (7.387,7.709) -- (7.004,7.582) -- (6.624,7.446) -- (6.247,7.301) -- (5.874,7.148);
\draw[line width=0.5pt] (11.34,8.471) -- (11.161,8.145) -- (10.973,7.823) -- (10.778,7.506) -- (10.575,7.193) -- (10.366,6.885) -- (10.148,6.582) -- (9.924,6.284) -- (9.693,5.992) -- (9.455,5.705) -- (9.211,5.424) -- (8.96,5.148) -- (8.702,4.879) -- (8.438,4.616) -- (8.169,4.359);
\draw[line width=0.5pt] (11.34,8.471) -- (11.211,7.978) -- (11.094,7.483) -- (10.989,6.984) -- (10.895,6.484) -- (10.813,5.981) -- (10.743,5.476) -- (10.684,4.97) -- (10.638,4.462) -- (10.603,3.954) -- (10.581,3.445) -- (10.57,2.935) -- (10.572,2.426) -- (10.585,1.917) -- (10.611,1.408);
\draw[line width=0.5pt] (1.34,7.736) -- (1.668,7.744) -- (1.996,7.744) -- (2.324,7.737) -- (2.652,7.721) -- (2.979,7.698) -- (3.306,7.668) -- (3.632,7.629) -- (3.957,7.583) -- (4.28,7.529) -- (4.603,7.468) -- (4.924,7.399) -- (5.243,7.323) -- (5.56,7.239) -- (5.874,7.148);
\draw[line width=0.5pt] (1.34,7.736) -- (1.479,7.444) -- (1.625,7.154) -- (1.777,6.868) -- (1.936,6.586) -- (2.102,6.307) -- (2.274,6.032) -- (2.453,5.761) -- (2.638,5.495) -- (2.829,5.233) -- (3.027,4.976) -- (3.23,4.723) -- (3.439,4.475) -- (3.654,4.233) -- (3.874,3.995);
\draw[line width=0.5pt] (5.874,7.148) -- (6.067,6.975) -- (6.256,6.798) -- (6.441,6.617) -- (6.622,6.431) -- (6.798,6.241) -- (6.97,6.046) -- (7.137,5.848) -- (7.299,5.646) -- (7.456,5.44) -- (7.609,5.231) -- (7.757,5.018) -- (7.899,4.802) -- (8.037,4.582) -- (8.169,4.359);
\draw[line width=0.5pt] (5.874,7.148) -- (5.698,6.946) -- (5.527,6.74) -- (5.36,6.531) -- (5.199,6.317) -- (5.042,6.1) -- (4.89,5.879) -- (4.744,5.654) -- (4.603,5.426) -- (4.468,5.195) -- (4.338,4.961) -- (4.213,4.723) -- (4.094,4.483) -- (3.981,4.241) -- (3.874,3.995);
\draw[line width=0.5pt] (8.169,4.359) -- (8.374,4.177) -- (8.575,3.99) -- (8.772,3.798) -- (8.964,3.601) -- (9.151,3.4) -- (9.334,3.194) -- (9.511,2.985) -- (9.684,2.771) -- (9.852,2.553) -- (10.015,2.331) -- (10.172,2.106) -- (10.324,1.877) -- (10.47,1.644) -- (10.611,1.408);
\draw[line width=0.5pt] (3.874,3.995) -- (4.001,3.911) -- (4.13,3.829) -- (4.26,3.75) -- (4.393,3.674) -- (4.527,3.602) -- (4.663,3.532) -- (4.801,3.466) -- (4.94,3.403) -- (5.081,3.343) -- (5.223,3.287) -- (5.366,3.234) -- (5.51,3.184) -- (5.655,3.138) -- (5.802,3.096) -- (6.161,3.029) -- (6.519,2.953) -- (6.875,2.869) -- (7.228,2.777) -- (7.58,2.676) -- (7.929,2.567) -- (8.276,2.45) -- (8.62,2.325) -- (8.96,2.192) -- (9.298,2.051) -- (9.632,1.902) -- (9.962,1.745) -- (10.288,1.581) -- (10.611,1.408);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.5,8.471) -- (11.479,8.551) -- (11.42,8.609) -- (11.34,8.631) -- (11.26,8.609) -- (11.202,8.551) -- (11.18,8.471) -- (11.202,8.391) -- (11.26,8.332) -- (11.34,8.311) -- (11.42,8.332) -- (11.479,8.391) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.5,7.736) -- (1.479,7.816) -- (1.42,7.875) -- (1.34,7.896) -- (1.26,7.875) -- (1.202,7.816) -- (1.18,7.736) -- (1.202,7.656) -- (1.26,7.598) -- (1.34,7.576) -- (1.42,7.598) -- (1.479,7.656) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.034,7.148) -- (6.013,7.228) -- (5.954,7.286) -- (5.874,7.308) -- (5.794,7.286) -- (5.736,7.228) -- (5.714,7.148) -- (5.736,7.068) -- (5.794,7.009) -- (5.874,6.988) -- (5.954,7.009) -- (6.013,7.068) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.329,4.359) -- (8.307,4.439) -- (8.249,4.498) -- (8.169,4.519) -- (8.089,4.498) -- (8.03,4.439) -- (8.009,4.359) -- (8.03,4.279) -- (8.089,4.221) -- (8.169,4.199) -- (8.249,4.221) -- (8.307,4.279) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.034,3.995) -- (4.013,4.075) -- (3.954,4.134) -- (3.874,4.155) -- (3.794,4.134) -- (3.736,4.075) -- (3.714,3.995) -- (3.736,3.915) -- (3.794,3.857) -- (3.874,3.835) -- (3.954,3.857) -- (4.013,3.915) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.771,1.408) -- (10.749,1.488) -- (10.691,1.547) -- (10.611,1.568) -- (10.531,1.547) -- (10.472,1.488) -- (10.451,1.408) -- (10.472,1.328) -- (10.531,1.27) -- (10.611,1.248) -- (10.691,1.27) -- (10.749,1.328) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.968,7.724) -- (8.923,7.894) -- (8.798,8.018) -- (8.628,8.064) -- (8.458,8.018) -- (8.334,7.894) -- (8.288,7.724) -- (8.334,7.554) -- (8.458,7.429) -- (8.628,7.384) -- (8.798,7.429) -- (8.923,7.554) -- cycle;
\node at (8.628,7.724) {\scalebox{1.426}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.518,6.089) -- (10.472,6.259) -- (10.348,6.383) -- (10.178,6.429) -- (10.008,6.383) -- (9.883,6.259) -- (9.838,6.089) -- (9.883,5.919) -- (10.008,5.794) -- (10.178,5.749) -- (10.348,5.794) -- (10.472,5.919) -- cycle;
\node at (10.178,6.089) {\scalebox{1.426}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.343,4.937) -- (11.297,5.107) -- (11.173,5.231) -- (11.003,5.277) -- (10.833,5.231) -- (10.708,5.107) -- (10.663,4.937) -- (10.708,4.767) -- (10.833,4.642) -- (11.003,4.597) -- (11.173,4.642) -- (11.297,4.767) -- cycle;
\node at (11.003,4.937) {\scalebox{1.426}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.013,7.946) -- (3.967,8.116) -- (3.843,8.241) -- (3.673,8.286) -- (3.503,8.241) -- (3.378,8.116) -- (3.333,7.946) -- (3.378,7.776) -- (3.503,7.652) -- (3.673,7.606) -- (3.843,7.652) -- (3.967,7.776) -- cycle;
\node at (3.673,7.946) {\scalebox{1.426}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.058,5.941) -- (3.012,6.111) -- (2.888,6.235) -- (2.718,6.281) -- (2.548,6.235) -- (2.424,6.111) -- (2.378,5.941) -- (2.424,5.771) -- (2.548,5.646) -- (2.718,5.601) -- (2.888,5.646) -- (3.012,5.771) -- cycle;
\node at (2.718,5.941) {\scalebox{1.426}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.724,6.051) -- (7.678,6.221) -- (7.554,6.346) -- (7.384,6.391) -- (7.214,6.346) -- (7.089,6.221) -- (7.044,6.051) -- (7.089,5.881) -- (7.214,5.757) -- (7.384,5.711) -- (7.554,5.757) -- (7.678,5.881) -- cycle;
\node at (7.384,6.051) {\scalebox{1.426}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.354,5.483) -- (5.309,5.653) -- (5.184,5.777) -- (5.014,5.823) -- (4.844,5.777) -- (4.72,5.653) -- (4.674,5.483) -- (4.72,5.313) -- (4.844,5.188) -- (5.014,5.143) -- (5.184,5.188) -- (5.309,5.313) -- cycle;
\node at (5.014,5.483) {\scalebox{1.426}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.098,3.189) -- (10.052,3.359) -- (9.928,3.483) -- (9.758,3.529) -- (9.588,3.483) -- (9.464,3.359) -- (9.418,3.189) -- (9.464,3.019) -- (9.588,2.894) -- (9.758,2.849) -- (9.928,2.894) -- (10.052,3.019) -- cycle;
\node at (9.758,3.189) {\scalebox{1.426}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.21,3.408) -- (6.164,3.578) -- (6.04,3.703) -- (5.87,3.748) -- (5.7,3.703) -- (5.575,3.578) -- (5.53,3.408) -- (5.575,3.238) -- (5.7,3.114) -- (5.87,3.068) -- (6.04,3.114) -- (6.164,3.238) -- cycle;
\node at (5.87,3.408) {\scalebox{1.426}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (3.574,3.695) -- (4.174,3.695) -- (4.174,4.295) -- (3.574,4.295) -- cycle;
\node at (3.874,3.995) {\scalebox{1.426}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (12.021,4.462) -- (12.621,4.462) -- (12.621,5.062) -- (12.021,5.062) -- cycle;
\node at (12.321,4.762) {\scalebox{1.426}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.519,5.921) -- (2.119,5.921) -- (2.119,6.521) -- (1.519,6.521) -- cycle;
\node at (1.819,6.221) {\scalebox{1.426}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (10.531,2.397) -- (11.131,2.397) -- (11.131,2.997) -- (10.531,2.997) -- cycle;
\node at (10.831,2.697) {\scalebox{1.426}{\small d}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (11.151,5.782) -- (11.751,5.782) -- (11.751,6.382) -- (11.151,6.382) -- cycle;
\node at (11.451,6.082) {\scalebox{1.426}{\small e}};
\node at (11.858,8.812) {\scalebox{1.426}{\small A}};
\node at (0.765,7.967) {\scalebox{1.426}{\small B}};
\node at (5.551,7.677) {\scalebox{1.426}{\small C}};
\node at (8.631,3.947) {\scalebox{1.426}{\small D}};
\node at (3.322,3.714) {\scalebox{1.426}{\small E}};
\node at (11.028,0.95) {\scalebox{1.426}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.64,7.521) -- (12.64,8.621);
\draw[line width=0.5pt] (12.409,8.236) -- (12.64,8.621) -- (12.871,8.236);
\draw[line width=0.5pt] (12.338,8.071) -- (12.943,8.071);
\node at (12.64,9.006) {\scalebox{1.426}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue du Four & ⑥ rue du Moulin & Ⓐ Carrefour des Quatre-Chemins & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue Verte & ⑦ avenue de la Gare & Ⓑ Placette des Ormes & \textbf{b} le lavoir \\ \hline
③ rue Basse & ⑧ boulevard du Parc & Ⓒ Carrefour de la Mairie & \textbf{c} le marché couvert \\ \hline
④ chemin du Lavoir & ⑨ chemin des Vignes & Ⓓ Rond-point du Stade & \textbf{d} le stade \\ \hline
⑤ rue des Jardins &  & Ⓔ Carrefour du Moulin & \textbf{e} la salle des fêtes \\ \hline
 &  & Ⓕ Rond-point des Vaches &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6276, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (11.34,8.471) -- (10.939,8.437) -- (10.538,8.393) -- (10.138,8.34) -- (9.739,8.278) -- (9.342,8.206) -- (8.946,8.125) -- (8.553,8.035) -- (8.162,7.935) -- (7.773,7.826) -- (7.387,7.709) -- (7.004,7.582) -- (6.624,7.446) -- (6.247,7.301) -- (5.874,7.148);
\draw[line width=0.5pt] (11.34,8.471) -- (11.161,8.145) -- (10.973,7.823) -- (10.778,7.506) -- (10.575,7.193) -- (10.366,6.885) -- (10.148,6.582) -- (9.924,6.284) -- (9.693,5.992) -- (9.455,5.705) -- (9.211,5.424) -- (8.96,5.148) -- (8.702,4.879) -- (8.438,4.616) -- (8.169,4.359);
\draw[line width=0.5pt] (11.34,8.471) -- (11.211,7.978) -- (11.094,7.483) -- (10.989,6.984) -- (10.895,6.484) -- (10.813,5.981) -- (10.743,5.476) -- (10.684,4.97) -- (10.638,4.462) -- (10.603,3.954) -- (10.581,3.445) -- (10.57,2.935) -- (10.572,2.426) -- (10.585,1.917) -- (10.611,1.408);
\draw[line width=0.5pt] (1.34,7.736) -- (1.668,7.744) -- (1.996,7.744) -- (2.324,7.737) -- (2.652,7.721) -- (2.979,7.698) -- (3.306,7.668) -- (3.632,7.629) -- (3.957,7.583) -- (4.28,7.529) -- (4.603,7.468) -- (4.924,7.399) -- (5.243,7.323) -- (5.56,7.239) -- (5.874,7.148);
\draw[line width=0.5pt] (1.34,7.736) -- (1.479,7.444) -- (1.625,7.154) -- (1.777,6.868) -- (1.936,6.586) -- (2.102,6.307) -- (2.274,6.032) -- (2.453,5.761) -- (2.638,5.495) -- (2.829,5.233) -- (3.027,4.976) -- (3.23,4.723) -- (3.439,4.475) -- (3.654,4.233) -- (3.874,3.995);
\draw[line width=0.5pt] (5.874,7.148) -- (6.067,6.975) -- (6.256,6.798) -- (6.441,6.617) -- (6.622,6.431) -- (6.798,6.241) -- (6.97,6.046) -- (7.137,5.848) -- (7.299,5.646) -- (7.456,5.44) -- (7.609,5.231) -- (7.757,5.018) -- (7.899,4.802) -- (8.037,4.582) -- (8.169,4.359);
\draw[line width=0.5pt] (5.874,7.148) -- (5.698,6.946) -- (5.527,6.74) -- (5.36,6.531) -- (5.199,6.317) -- (5.042,6.1) -- (4.89,5.879) -- (4.744,5.654) -- (4.603,5.426) -- (4.468,5.195) -- (4.338,4.961) -- (4.213,4.723) -- (4.094,4.483) -- (3.981,4.241) -- (3.874,3.995);
\draw[line width=0.5pt] (8.169,4.359) -- (8.374,4.177) -- (8.575,3.99) -- (8.772,3.798) -- (8.964,3.601) -- (9.151,3.4) -- (9.334,3.194) -- (9.511,2.985) -- (9.684,2.771) -- (9.852,2.553) -- (10.015,2.331) -- (10.172,2.106) -- (10.324,1.877) -- (10.47,1.644) -- (10.611,1.408);
\draw[line width=0.5pt] (3.874,3.995) -- (4.001,3.911) -- (4.13,3.829) -- (4.26,3.75) -- (4.393,3.674) -- (4.527,3.602) -- (4.663,3.532) -- (4.801,3.466) -- (4.94,3.403) -- (5.081,3.343) -- (5.223,3.287) -- (5.366,3.234) -- (5.51,3.184) -- (5.655,3.138) -- (5.802,3.096) -- (6.161,3.029) -- (6.519,2.953) -- (6.875,2.869) -- (7.228,2.777) -- (7.58,2.676) -- (7.929,2.567) -- (8.276,2.45) -- (8.62,2.325) -- (8.96,2.192) -- (9.298,2.051) -- (9.632,1.902) -- (9.962,1.745) -- (10.288,1.581) -- (10.611,1.408);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.5,8.471) -- (11.479,8.551) -- (11.42,8.609) -- (11.34,8.631) -- (11.26,8.609) -- (11.202,8.551) -- (11.18,8.471) -- (11.202,8.391) -- (11.26,8.332) -- (11.34,8.311) -- (11.42,8.332) -- (11.479,8.391) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.5,7.736) -- (1.479,7.816) -- (1.42,7.875) -- (1.34,7.896) -- (1.26,7.875) -- (1.202,7.816) -- (1.18,7.736) -- (1.202,7.656) -- (1.26,7.598) -- (1.34,7.576) -- (1.42,7.598) -- (1.479,7.656) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.034,7.148) -- (6.013,7.228) -- (5.954,7.286) -- (5.874,7.308) -- (5.794,7.286) -- (5.736,7.228) -- (5.714,7.148) -- (5.736,7.068) -- (5.794,7.009) -- (5.874,6.988) -- (5.954,7.009) -- (6.013,7.068) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.329,4.359) -- (8.307,4.439) -- (8.249,4.498) -- (8.169,4.519) -- (8.089,4.498) -- (8.03,4.439) -- (8.009,4.359) -- (8.03,4.279) -- (8.089,4.221) -- (8.169,4.199) -- (8.249,4.221) -- (8.307,4.279) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.034,3.995) -- (4.013,4.075) -- (3.954,4.134) -- (3.874,4.155) -- (3.794,4.134) -- (3.736,4.075) -- (3.714,3.995) -- (3.736,3.915) -- (3.794,3.857) -- (3.874,3.835) -- (3.954,3.857) -- (4.013,3.915) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.771,1.408) -- (10.749,1.488) -- (10.691,1.547) -- (10.611,1.568) -- (10.531,1.547) -- (10.472,1.488) -- (10.451,1.408) -- (10.472,1.328) -- (10.531,1.27) -- (10.611,1.248) -- (10.691,1.27) -- (10.749,1.328) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.968,7.724) -- (8.923,7.894) -- (8.798,8.018) -- (8.628,8.064) -- (8.458,8.018) -- (8.334,7.894) -- (8.288,7.724) -- (8.334,7.554) -- (8.458,7.429) -- (8.628,7.384) -- (8.798,7.429) -- (8.923,7.554) -- cycle;
\node at (8.628,7.724) {\scalebox{1.593}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.518,6.089) -- (10.472,6.259) -- (10.348,6.383) -- (10.178,6.429) -- (10.008,6.383) -- (9.883,6.259) -- (9.838,6.089) -- (9.883,5.919) -- (10.008,5.794) -- (10.178,5.749) -- (10.348,5.794) -- (10.472,5.919) -- cycle;
\node at (10.178,6.089) {\scalebox{1.593}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.343,4.937) -- (11.297,5.107) -- (11.173,5.231) -- (11.003,5.277) -- (10.833,5.231) -- (10.708,5.107) -- (10.663,4.937) -- (10.708,4.767) -- (10.833,4.642) -- (11.003,4.597) -- (11.173,4.642) -- (11.297,4.767) -- cycle;
\node at (11.003,4.937) {\scalebox{1.593}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.013,7.946) -- (3.967,8.116) -- (3.843,8.241) -- (3.673,8.286) -- (3.503,8.241) -- (3.378,8.116) -- (3.333,7.946) -- (3.378,7.776) -- (3.503,7.652) -- (3.673,7.606) -- (3.843,7.652) -- (3.967,7.776) -- cycle;
\node at (3.673,7.946) {\scalebox{1.593}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.058,5.941) -- (3.012,6.111) -- (2.888,6.235) -- (2.718,6.281) -- (2.548,6.235) -- (2.424,6.111) -- (2.378,5.941) -- (2.424,5.771) -- (2.548,5.646) -- (2.718,5.601) -- (2.888,5.646) -- (3.012,5.771) -- cycle;
\node at (2.718,5.941) {\scalebox{1.593}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.724,6.051) -- (7.678,6.221) -- (7.554,6.346) -- (7.384,6.391) -- (7.214,6.346) -- (7.089,6.221) -- (7.044,6.051) -- (7.089,5.881) -- (7.214,5.757) -- (7.384,5.711) -- (7.554,5.757) -- (7.678,5.881) -- cycle;
\node at (7.384,6.051) {\scalebox{1.593}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.354,5.483) -- (5.309,5.653) -- (5.184,5.777) -- (5.014,5.823) -- (4.844,5.777) -- (4.72,5.653) -- (4.674,5.483) -- (4.72,5.313) -- (4.844,5.188) -- (5.014,5.143) -- (5.184,5.188) -- (5.309,5.313) -- cycle;
\node at (5.014,5.483) {\scalebox{1.593}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.098,3.189) -- (10.052,3.359) -- (9.928,3.483) -- (9.758,3.529) -- (9.588,3.483) -- (9.464,3.359) -- (9.418,3.189) -- (9.464,3.019) -- (9.588,2.894) -- (9.758,2.849) -- (9.928,2.894) -- (10.052,3.019) -- cycle;
\node at (9.758,3.189) {\scalebox{1.593}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.21,3.408) -- (6.164,3.578) -- (6.04,3.703) -- (5.87,3.748) -- (5.7,3.703) -- (5.575,3.578) -- (5.53,3.408) -- (5.575,3.238) -- (5.7,3.114) -- (5.87,3.068) -- (6.04,3.114) -- (6.164,3.238) -- cycle;
\node at (5.87,3.408) {\scalebox{1.593}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (3.574,3.695) -- (4.174,3.695) -- (4.174,4.295) -- (3.574,4.295) -- cycle;
\node at (3.874,3.995) {\scalebox{1.593}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (12.021,4.462) -- (12.621,4.462) -- (12.621,5.062) -- (12.021,5.062) -- cycle;
\node at (12.321,4.762) {\scalebox{1.593}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.519,5.921) -- (2.119,5.921) -- (2.119,6.521) -- (1.519,6.521) -- cycle;
\node at (1.819,6.221) {\scalebox{1.593}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (10.531,2.397) -- (11.131,2.397) -- (11.131,2.997) -- (10.531,2.997) -- cycle;
\node at (10.831,2.697) {\scalebox{1.593}{\small d}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (11.151,5.782) -- (11.751,5.782) -- (11.751,6.382) -- (11.151,6.382) -- cycle;
\node at (11.451,6.082) {\scalebox{1.593}{\small e}};
\node at (11.858,8.812) {\scalebox{1.593}{\small A}};
\node at (0.765,7.967) {\scalebox{1.593}{\small B}};
\node at (5.551,7.677) {\scalebox{1.593}{\small C}};
\node at (8.631,3.947) {\scalebox{1.593}{\small D}};
\node at (3.322,3.714) {\scalebox{1.593}{\small E}};
\node at (11.028,0.95) {\scalebox{1.593}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.64,7.521) -- (12.64,8.621);
\draw[line width=0.5pt] (12.409,8.236) -- (12.64,8.621) -- (12.871,8.236);
\draw[line width=0.5pt] (12.338,8.071) -- (12.943,8.071);
\node at (12.64,9.006) {\scalebox{1.593}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F \\ \hline
Nombre de rues & 3 & 2 & 4 & 3 & 3 & 3 \\ \hline
Parité & \textbf{impair} & pair & pair & \textbf{impair} & \textbf{impair} & \textbf{impair} \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 18 = 2 \(\times\) 9, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{A}, \textbf{D}, \textbf{E}, \textbf{F} — il y en a 4.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{E}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Le quartier compte \textbf{4 carrefours impairs} (A, D, E, F).}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Chacun d'eux exigerait d'être un départ ou une arrivée. Une tournée n'a qu'un départ et qu'une arrivée : au moins 2 d'entre eux resteraient sans solution.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non plus.} Où que l'on installe la poste, il reste 4 carrefours impairs, et une tournée n'en tolère que deux : un pour partir, un pour arriver.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}C'est la différence avec un quartier à deux carrefours impairs, où déplacer la poste suffisait. Ici, le problème ne vient pas du point de départ mais du plan lui-même.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Combien de rues en double, au minimum ?} Il faut apparier les carrefours impairs deux à deux, ce qui demande 1 passage(s) supplémentaire(s) au mieux pour une tournée ouverte, un de plus pour revenir à la poste. C'est le « problème du postier chinois », étudié bien après Euler.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
