\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 80}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=80}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0080}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7769, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (1.209,11.44) -- (1.462,10.983) -- (1.727,10.532) -- (2.002,10.088) -- (2.287,9.65) -- (2.583,9.218) -- (2.888,8.794) -- (3.204,8.377) -- (3.529,7.967) -- (3.864,7.566) -- (4.208,7.172) -- (4.562,6.786) -- (4.924,6.409) -- (5.295,6.041) -- (5.674,5.682);
\draw[line width=0.5pt] (1.209,11.44) -- (1.246,11.119) -- (1.275,10.798) -- (1.297,10.476) -- (1.31,10.153) -- (1.317,9.83) -- (1.316,9.507) -- (1.307,9.185) -- (1.29,8.862) -- (1.266,8.54) -- (1.235,8.218) -- (1.196,7.898) -- (1.149,7.578) -- (1.095,7.26) -- (1.033,6.944) -- (0.999,6.55) -- (0.974,6.155) -- (0.959,5.759) -- (0.952,5.364) -- (0.955,4.968) -- (0.968,4.572) -- (0.989,4.177) -- (1.02,3.782) -- (1.06,3.388) -- (1.11,2.995) -- (1.168,2.604) -- (1.236,2.214) -- (1.313,1.826) -- (1.399,1.44);
\draw[line width=0.5pt] (6.695,11.327) -- (6.914,11.266) -- (7.134,11.21) -- (7.355,11.159) -- (7.578,11.113) -- (7.802,11.073) -- (8.027,11.038) -- (8.252,11.008) -- (8.478,10.983) -- (8.705,10.964) -- (8.932,10.95) -- (9.159,10.942) -- (9.387,10.938) -- (9.614,10.941) -- (9.841,10.948);
\draw[line width=0.5pt] (6.695,11.327) -- (6.684,10.916) -- (6.664,10.505) -- (6.634,10.094) -- (6.594,9.685) -- (6.545,9.276) -- (6.486,8.868) -- (6.417,8.462) -- (6.339,8.058) -- (6.252,7.656) -- (6.155,7.256) -- (6.049,6.858) -- (5.933,6.463) -- (5.808,6.071) -- (5.674,5.682);
\draw[line width=0.5pt] (9.841,10.948) -- (9.801,10.605) -- (9.77,10.261) -- (9.747,9.916) -- (9.731,9.571) -- (9.724,9.225) -- (9.725,8.88) -- (9.735,8.534) -- (9.752,8.188) -- (9.777,7.844) -- (9.811,7.5) -- (9.852,7.156) -- (9.902,6.814) -- (9.96,6.474) -- (10.025,6.135);
\draw[line width=0.5pt] (10.025,6.135) -- (9.722,6.055) -- (9.417,5.982) -- (9.11,5.917) -- (8.801,5.859) -- (8.491,5.808) -- (8.18,5.765) -- (7.868,5.729) -- (7.556,5.7) -- (7.242,5.679) -- (6.929,5.664) -- (6.615,5.658) -- (6.301,5.658) -- (5.987,5.666) -- (5.674,5.682);
\draw[line width=0.5pt] (5.674,5.682) -- (5.61,5.443) -- (5.551,5.202) -- (5.498,4.96) -- (5.451,4.716) -- (5.41,4.472) -- (5.374,4.226) -- (5.344,3.98) -- (5.32,3.733) -- (5.302,3.486) -- (5.289,3.238) -- (5.282,2.99) -- (5.282,2.742) -- (5.287,2.495) -- (5.298,2.247);
\draw[line width=0.5pt] (5.298,2.247) -- (5.03,2.147) -- (4.76,2.054) -- (4.488,1.967) -- (4.214,1.886) -- (3.938,1.812) -- (3.661,1.744) -- (3.382,1.683) -- (3.101,1.628) -- (2.82,1.58) -- (2.537,1.539) -- (2.253,1.504) -- (1.969,1.476) -- (1.684,1.455) -- (1.399,1.44);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.369,11.44) -- (1.348,11.52) -- (1.289,11.579) -- (1.209,11.6) -- (1.129,11.579) -- (1.071,11.52) -- (1.049,11.44) -- (1.071,11.36) -- (1.129,11.301) -- (1.209,11.28) -- (1.289,11.301) -- (1.348,11.36) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.855,11.327) -- (6.833,11.407) -- (6.775,11.466) -- (6.695,11.487) -- (6.615,11.466) -- (6.556,11.407) -- (6.535,11.327) -- (6.556,11.247) -- (6.615,11.188) -- (6.695,11.167) -- (6.775,11.188) -- (6.833,11.247) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.001,10.948) -- (9.98,11.028) -- (9.921,11.087) -- (9.841,11.108) -- (9.761,11.087) -- (9.702,11.028) -- (9.681,10.948) -- (9.702,10.868) -- (9.761,10.81) -- (9.841,10.788) -- (9.921,10.81) -- (9.98,10.868) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.185,6.135) -- (10.164,6.215) -- (10.105,6.273) -- (10.025,6.295) -- (9.945,6.273) -- (9.887,6.215) -- (9.865,6.135) -- (9.887,6.055) -- (9.945,5.996) -- (10.025,5.975) -- (10.105,5.996) -- (10.164,6.055) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.834,5.682) -- (5.812,5.762) -- (5.754,5.821) -- (5.674,5.842) -- (5.594,5.821) -- (5.535,5.762) -- (5.514,5.682) -- (5.535,5.602) -- (5.594,5.543) -- (5.674,5.522) -- (5.754,5.543) -- (5.812,5.602) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.458,2.247) -- (5.436,2.327) -- (5.378,2.386) -- (5.298,2.407) -- (5.218,2.386) -- (5.159,2.327) -- (5.138,2.247) -- (5.159,2.167) -- (5.218,2.108) -- (5.298,2.087) -- (5.378,2.108) -- (5.436,2.167) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.559,1.44) -- (1.538,1.52) -- (1.479,1.579) -- (1.399,1.6) -- (1.319,1.579) -- (1.261,1.52) -- (1.239,1.44) -- (1.261,1.36) -- (1.319,1.301) -- (1.399,1.28) -- (1.479,1.301) -- (1.538,1.36) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.797,8.573) -- (3.751,8.743) -- (3.627,8.867) -- (3.457,8.913) -- (3.287,8.867) -- (3.162,8.743) -- (3.117,8.573) -- (3.162,8.403) -- (3.287,8.278) -- (3.457,8.233) -- (3.627,8.278) -- (3.751,8.403) -- cycle;
\node at (3.457,8.573) {\scalebox{1.287}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (1.691,6.901) -- (1.645,7.071) -- (1.521,7.195) -- (1.351,7.241) -- (1.181,7.195) -- (1.056,7.071) -- (1.011,6.901) -- (1.056,6.731) -- (1.181,6.606) -- (1.351,6.561) -- (1.521,6.606) -- (1.645,6.731) -- cycle;
\node at (1.351,6.901) {\scalebox{1.287}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.631,11.326) -- (8.585,11.496) -- (8.461,11.62) -- (8.291,11.666) -- (8.121,11.62) -- (7.996,11.496) -- (7.951,11.326) -- (7.996,11.156) -- (8.121,11.031) -- (8.291,10.986) -- (8.461,11.031) -- (8.585,11.156) -- cycle;
\node at (8.291,11.326) {\scalebox{1.287}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.072,8.405) -- (7.027,8.575) -- (6.902,8.7) -- (6.732,8.745) -- (6.562,8.7) -- (6.438,8.575) -- (6.392,8.405) -- (6.438,8.235) -- (6.562,8.111) -- (6.732,8.065) -- (6.902,8.111) -- (7.027,8.235) -- cycle;
\node at (6.732,8.405) {\scalebox{1.287}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.394,8.546) -- (10.349,8.716) -- (10.224,8.841) -- (10.054,8.886) -- (9.884,8.841) -- (9.76,8.716) -- (9.714,8.546) -- (9.76,8.376) -- (9.884,8.252) -- (10.054,8.206) -- (10.224,8.252) -- (10.349,8.376) -- cycle;
\node at (10.054,8.546) {\scalebox{1.287}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.241,5.411) -- (8.196,5.581) -- (8.071,5.705) -- (7.901,5.751) -- (7.731,5.705) -- (7.607,5.581) -- (7.561,5.411) -- (7.607,5.241) -- (7.731,5.116) -- (7.901,5.071) -- (8.071,5.116) -- (8.196,5.241) -- cycle;
\node at (7.901,5.411) {\scalebox{1.287}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.002,3.945) -- (5.957,4.115) -- (5.832,4.24) -- (5.662,4.285) -- (5.492,4.24) -- (5.368,4.115) -- (5.322,3.945) -- (5.368,3.775) -- (5.492,3.651) -- (5.662,3.605) -- (5.832,3.651) -- (5.957,3.775) -- cycle;
\node at (5.662,3.945) {\scalebox{1.287}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.787,1.369) -- (3.741,1.539) -- (3.617,1.664) -- (3.447,1.709) -- (3.277,1.664) -- (3.152,1.539) -- (3.107,1.369) -- (3.152,1.199) -- (3.277,1.075) -- (3.447,1.029) -- (3.617,1.075) -- (3.741,1.199) -- cycle;
\node at (3.447,1.369) {\scalebox{1.287}{\small 8}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (5.374,5.382) -- (5.974,5.382) -- (5.974,5.982) -- (5.374,5.982) -- cycle;
\node at (5.674,5.682) {\scalebox{1.287}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.027,8.604) -- (11.627,8.604) -- (11.627,9.204) -- (11.027,9.204) -- cycle;
\node at (11.327,8.904) {\scalebox{1.287}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (5.646,2.522) -- (6.246,2.522) -- (6.246,3.122) -- (5.646,3.122) -- cycle;
\node at (5.946,2.822) {\scalebox{1.287}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (2.481,9.103) -- (3.081,9.103) -- (3.081,9.703) -- (2.481,9.703) -- cycle;
\node at (2.781,9.403) {\scalebox{1.287}{\small d}};
\node at (0.765,11.873) {\scalebox{1.287}{\small A}};
\node at (6.83,11.932) {\scalebox{1.287}{\small B}};
\node at (10.29,11.376) {\scalebox{1.287}{\small C}};
\node at (10.632,6.008) {\scalebox{1.287}{\small D}};
\node at (5.646,5.063) {\scalebox{1.287}{\small E}};
\node at (5.241,1.63) {\scalebox{1.287}{\small F}};
\node at (1.019,0.95) {\scalebox{1.287}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (11.325,10.49) -- (11.325,11.59);
\draw[line width=0.5pt] (11.094,11.205) -- (11.325,11.59) -- (11.556,11.205);
\draw[line width=0.5pt] (11.023,11.04) -- (11.628,11.04);
\node at (11.325,11.975) {\scalebox{1.287}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue Verte & ⑤ allée des Peupliers & Ⓐ Place aux Herbes & \textbf{a} la poste \\ \hline
② chemin des Vignes & ⑥ venelle du Chat & Ⓑ Place du Vieux-Puits & \textbf{b} la boulangerie \\ \hline
③ chemin du Lavoir & ⑦ rue Basse & Ⓒ Place des Tanneurs & \textbf{c} la salle des fêtes \\ \hline
④ rue de la Poste & ⑧ boulevard du Parc & Ⓓ Place Sainte-Croix & \textbf{d} le stade \\ \hline
 &  & Ⓔ Carrefour du Lavoir &  \\ \hline
 &  & Ⓕ Place de l'Église &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Fontaine Notre-Dame &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6951, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (1.209,11.44) -- (1.462,10.983) -- (1.727,10.532) -- (2.002,10.088) -- (2.287,9.65) -- (2.583,9.218) -- (2.888,8.794) -- (3.204,8.377) -- (3.529,7.967) -- (3.864,7.566) -- (4.208,7.172) -- (4.562,6.786) -- (4.924,6.409) -- (5.295,6.041) -- (5.674,5.682);
\draw[line width=0.5pt] (1.209,11.44) -- (1.246,11.119) -- (1.275,10.798) -- (1.297,10.476) -- (1.31,10.153) -- (1.317,9.83) -- (1.316,9.507) -- (1.307,9.185) -- (1.29,8.862) -- (1.266,8.54) -- (1.235,8.218) -- (1.196,7.898) -- (1.149,7.578) -- (1.095,7.26) -- (1.033,6.944) -- (0.999,6.55) -- (0.974,6.155) -- (0.959,5.759) -- (0.952,5.364) -- (0.955,4.968) -- (0.968,4.572) -- (0.989,4.177) -- (1.02,3.782) -- (1.06,3.388) -- (1.11,2.995) -- (1.168,2.604) -- (1.236,2.214) -- (1.313,1.826) -- (1.399,1.44);
\draw[line width=0.5pt] (6.695,11.327) -- (6.914,11.266) -- (7.134,11.21) -- (7.355,11.159) -- (7.578,11.113) -- (7.802,11.073) -- (8.027,11.038) -- (8.252,11.008) -- (8.478,10.983) -- (8.705,10.964) -- (8.932,10.95) -- (9.159,10.942) -- (9.387,10.938) -- (9.614,10.941) -- (9.841,10.948);
\draw[line width=0.5pt] (6.695,11.327) -- (6.684,10.916) -- (6.664,10.505) -- (6.634,10.094) -- (6.594,9.685) -- (6.545,9.276) -- (6.486,8.868) -- (6.417,8.462) -- (6.339,8.058) -- (6.252,7.656) -- (6.155,7.256) -- (6.049,6.858) -- (5.933,6.463) -- (5.808,6.071) -- (5.674,5.682);
\draw[line width=0.5pt] (9.841,10.948) -- (9.801,10.605) -- (9.77,10.261) -- (9.747,9.916) -- (9.731,9.571) -- (9.724,9.225) -- (9.725,8.88) -- (9.735,8.534) -- (9.752,8.188) -- (9.777,7.844) -- (9.811,7.5) -- (9.852,7.156) -- (9.902,6.814) -- (9.96,6.474) -- (10.025,6.135);
\draw[line width=0.5pt] (10.025,6.135) -- (9.722,6.055) -- (9.417,5.982) -- (9.11,5.917) -- (8.801,5.859) -- (8.491,5.808) -- (8.18,5.765) -- (7.868,5.729) -- (7.556,5.7) -- (7.242,5.679) -- (6.929,5.664) -- (6.615,5.658) -- (6.301,5.658) -- (5.987,5.666) -- (5.674,5.682);
\draw[line width=0.5pt] (5.674,5.682) -- (5.61,5.443) -- (5.551,5.202) -- (5.498,4.96) -- (5.451,4.716) -- (5.41,4.472) -- (5.374,4.226) -- (5.344,3.98) -- (5.32,3.733) -- (5.302,3.486) -- (5.289,3.238) -- (5.282,2.99) -- (5.282,2.742) -- (5.287,2.495) -- (5.298,2.247);
\draw[line width=0.5pt] (5.298,2.247) -- (5.03,2.147) -- (4.76,2.054) -- (4.488,1.967) -- (4.214,1.886) -- (3.938,1.812) -- (3.661,1.744) -- (3.382,1.683) -- (3.101,1.628) -- (2.82,1.58) -- (2.537,1.539) -- (2.253,1.504) -- (1.969,1.476) -- (1.684,1.455) -- (1.399,1.44);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.369,11.44) -- (1.348,11.52) -- (1.289,11.579) -- (1.209,11.6) -- (1.129,11.579) -- (1.071,11.52) -- (1.049,11.44) -- (1.071,11.36) -- (1.129,11.301) -- (1.209,11.28) -- (1.289,11.301) -- (1.348,11.36) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.855,11.327) -- (6.833,11.407) -- (6.775,11.466) -- (6.695,11.487) -- (6.615,11.466) -- (6.556,11.407) -- (6.535,11.327) -- (6.556,11.247) -- (6.615,11.188) -- (6.695,11.167) -- (6.775,11.188) -- (6.833,11.247) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.001,10.948) -- (9.98,11.028) -- (9.921,11.087) -- (9.841,11.108) -- (9.761,11.087) -- (9.702,11.028) -- (9.681,10.948) -- (9.702,10.868) -- (9.761,10.81) -- (9.841,10.788) -- (9.921,10.81) -- (9.98,10.868) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.185,6.135) -- (10.164,6.215) -- (10.105,6.273) -- (10.025,6.295) -- (9.945,6.273) -- (9.887,6.215) -- (9.865,6.135) -- (9.887,6.055) -- (9.945,5.996) -- (10.025,5.975) -- (10.105,5.996) -- (10.164,6.055) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.834,5.682) -- (5.812,5.762) -- (5.754,5.821) -- (5.674,5.842) -- (5.594,5.821) -- (5.535,5.762) -- (5.514,5.682) -- (5.535,5.602) -- (5.594,5.543) -- (5.674,5.522) -- (5.754,5.543) -- (5.812,5.602) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.458,2.247) -- (5.436,2.327) -- (5.378,2.386) -- (5.298,2.407) -- (5.218,2.386) -- (5.159,2.327) -- (5.138,2.247) -- (5.159,2.167) -- (5.218,2.108) -- (5.298,2.087) -- (5.378,2.108) -- (5.436,2.167) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.559,1.44) -- (1.538,1.52) -- (1.479,1.579) -- (1.399,1.6) -- (1.319,1.579) -- (1.261,1.52) -- (1.239,1.44) -- (1.261,1.36) -- (1.319,1.301) -- (1.399,1.28) -- (1.479,1.301) -- (1.538,1.36) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.797,8.573) -- (3.751,8.743) -- (3.627,8.867) -- (3.457,8.913) -- (3.287,8.867) -- (3.162,8.743) -- (3.117,8.573) -- (3.162,8.403) -- (3.287,8.278) -- (3.457,8.233) -- (3.627,8.278) -- (3.751,8.403) -- cycle;
\node at (3.457,8.573) {\scalebox{1.439}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (1.691,6.901) -- (1.645,7.071) -- (1.521,7.195) -- (1.351,7.241) -- (1.181,7.195) -- (1.056,7.071) -- (1.011,6.901) -- (1.056,6.731) -- (1.181,6.606) -- (1.351,6.561) -- (1.521,6.606) -- (1.645,6.731) -- cycle;
\node at (1.351,6.901) {\scalebox{1.439}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.631,11.326) -- (8.585,11.496) -- (8.461,11.62) -- (8.291,11.666) -- (8.121,11.62) -- (7.996,11.496) -- (7.951,11.326) -- (7.996,11.156) -- (8.121,11.031) -- (8.291,10.986) -- (8.461,11.031) -- (8.585,11.156) -- cycle;
\node at (8.291,11.326) {\scalebox{1.439}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.072,8.405) -- (7.027,8.575) -- (6.902,8.7) -- (6.732,8.745) -- (6.562,8.7) -- (6.438,8.575) -- (6.392,8.405) -- (6.438,8.235) -- (6.562,8.111) -- (6.732,8.065) -- (6.902,8.111) -- (7.027,8.235) -- cycle;
\node at (6.732,8.405) {\scalebox{1.439}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.394,8.546) -- (10.349,8.716) -- (10.224,8.841) -- (10.054,8.886) -- (9.884,8.841) -- (9.76,8.716) -- (9.714,8.546) -- (9.76,8.376) -- (9.884,8.252) -- (10.054,8.206) -- (10.224,8.252) -- (10.349,8.376) -- cycle;
\node at (10.054,8.546) {\scalebox{1.439}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.241,5.411) -- (8.196,5.581) -- (8.071,5.705) -- (7.901,5.751) -- (7.731,5.705) -- (7.607,5.581) -- (7.561,5.411) -- (7.607,5.241) -- (7.731,5.116) -- (7.901,5.071) -- (8.071,5.116) -- (8.196,5.241) -- cycle;
\node at (7.901,5.411) {\scalebox{1.439}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.002,3.945) -- (5.957,4.115) -- (5.832,4.24) -- (5.662,4.285) -- (5.492,4.24) -- (5.368,4.115) -- (5.322,3.945) -- (5.368,3.775) -- (5.492,3.651) -- (5.662,3.605) -- (5.832,3.651) -- (5.957,3.775) -- cycle;
\node at (5.662,3.945) {\scalebox{1.439}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.787,1.369) -- (3.741,1.539) -- (3.617,1.664) -- (3.447,1.709) -- (3.277,1.664) -- (3.152,1.539) -- (3.107,1.369) -- (3.152,1.199) -- (3.277,1.075) -- (3.447,1.029) -- (3.617,1.075) -- (3.741,1.199) -- cycle;
\node at (3.447,1.369) {\scalebox{1.439}{\small 8}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (5.374,5.382) -- (5.974,5.382) -- (5.974,5.982) -- (5.374,5.982) -- cycle;
\node at (5.674,5.682) {\scalebox{1.439}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.027,8.604) -- (11.627,8.604) -- (11.627,9.204) -- (11.027,9.204) -- cycle;
\node at (11.327,8.904) {\scalebox{1.439}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (5.646,2.522) -- (6.246,2.522) -- (6.246,3.122) -- (5.646,3.122) -- cycle;
\node at (5.946,2.822) {\scalebox{1.439}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (2.481,9.103) -- (3.081,9.103) -- (3.081,9.703) -- (2.481,9.703) -- cycle;
\node at (2.781,9.403) {\scalebox{1.439}{\small d}};
\node at (0.765,11.873) {\scalebox{1.439}{\small A}};
\node at (6.83,11.932) {\scalebox{1.439}{\small B}};
\node at (10.29,11.376) {\scalebox{1.439}{\small C}};
\node at (10.632,6.008) {\scalebox{1.439}{\small D}};
\node at (5.646,5.063) {\scalebox{1.439}{\small E}};
\node at (5.241,1.63) {\scalebox{1.439}{\small F}};
\node at (1.019,0.95) {\scalebox{1.439}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (11.325,10.49) -- (11.325,11.59);
\draw[line width=0.5pt] (11.094,11.205) -- (11.325,11.59) -- (11.556,11.205);
\draw[line width=0.5pt] (11.023,11.04) -- (11.628,11.04);
\node at (11.325,11.975) {\scalebox{1.439}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 2 & 2 & 2 & 4 & 2 & 2 \\ \hline
Parité & pair & pair & pair & pair & pair & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 16 = 2 \(\times\) 8, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Aucun} carrefour n'a un nombre impair de rues : ils sont tous pairs.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{E}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui.} Aucun carrefour n'est impair : chacun peut être traversé de part en part. Le facteur revient même à la poste sans l'avoir cherché.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Voici une tournée possible — ce n'est pas la seule :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Carrefour du Lavoir \textbf{(E)}, prend la \textbf{rue Verte ①} vers le nord-ouest et atteint Place aux Herbes \textbf{(A)}.
  \item Il prend dans le \textbf{chemin des Vignes ②}, vers le sud, jusqu'à Fontaine Notre-Dame \textbf{(G)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{boulevard du Parc ⑧}, vers l'est, jusqu'à Place de l'Église \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue Basse ⑦}, vers le nord, jusqu'à Carrefour du Lavoir \textbf{(E)}.
  \item Il continue tout droit dans la \textbf{rue de la Poste ④}, vers le nord, jusqu'à Place du Vieux-Puits \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{chemin du Lavoir ③}, vers l'est, jusqu'à Place des Tanneurs \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à droite dans l'\textbf{allée des Peupliers ⑤}, vers le sud, jusqu'à Place Sainte-Croix \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{venelle du Chat ⑥}, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour du Lavoir \textbf{(E)}.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries La question ne se pose pas : la tournée est possible au départ de la poste, et elle le resterait où qu'on installe celle-ci — aucun carrefour n'est impair.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
