\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 81}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=81}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0081}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7509, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (9.648,11.452) -- (9.435,11.448) -- (9.222,11.439) -- (9.009,11.425) -- (8.797,11.406) -- (8.585,11.382) -- (8.374,11.353) -- (8.163,11.319) -- (7.953,11.28) -- (7.744,11.236) -- (7.537,11.187) -- (7.33,11.134) -- (7.125,11.075) -- (6.921,11.012) -- (6.719,10.944) -- (6.323,10.916) -- (5.927,10.898) -- (5.53,10.889) -- (5.133,10.889) -- (4.736,10.899) -- (4.339,10.918) -- (3.943,10.947) -- (3.547,10.985) -- (3.153,11.032) -- (2.76,11.088) -- (2.368,11.154) -- (1.978,11.228) -- (1.59,11.312) -- (1.204,11.405);
\draw[line width=0.5pt] (9.648,11.452) -- (9.481,11.111) -- (9.305,10.773) -- (9.121,10.44) -- (8.93,10.111) -- (8.731,9.787) -- (8.524,9.467) -- (8.309,9.152) -- (8.088,8.843) -- (7.859,8.539) -- (7.623,8.24) -- (7.38,7.947) -- (7.131,7.659) -- (6.874,7.378) -- (6.612,7.103);
\draw[line width=0.5pt] (9.648,11.452) -- (9.644,11.048) -- (9.649,10.643) -- (9.664,10.239) -- (9.688,9.835) -- (9.722,9.431) -- (9.766,9.029) -- (9.818,8.627) -- (9.881,8.227) -- (9.952,7.828) -- (10.033,7.432) -- (10.123,7.037) -- (10.223,6.645) -- (10.331,6.255) -- (10.449,5.868);
\draw[line width=0.5pt] (1.204,11.405) -- (1.293,11.074) -- (1.373,10.74) -- (1.445,10.405) -- (1.509,10.068) -- (1.566,9.729) -- (1.614,9.39) -- (1.655,9.049) -- (1.687,8.707) -- (1.712,8.365) -- (1.728,8.022) -- (1.736,7.679) -- (1.737,7.336) -- (1.729,6.993) -- (1.713,6.65) -- (1.696,6.276) -- (1.688,5.901) -- (1.689,5.526) -- (1.698,5.151) -- (1.717,4.776) -- (1.744,4.402) -- (1.78,4.028) -- (1.825,3.655) -- (1.878,3.284) -- (1.941,2.914) -- (2.011,2.545) -- (2.091,2.179) -- (2.179,1.814) -- (2.276,1.452);
\draw[line width=0.5pt] (6.612,7.103) -- (6.87,6.974) -- (7.131,6.85) -- (7.396,6.733) -- (7.663,6.622) -- (7.933,6.518) -- (8.205,6.419) -- (8.479,6.327) -- (8.756,6.242) -- (9.034,6.163) -- (9.314,6.091) -- (9.596,6.025) -- (9.879,5.966) -- (10.164,5.914) -- (10.449,5.868);
\draw[line width=0.5pt] (6.612,7.103) -- (6.612,6.764) -- (6.605,6.425) -- (6.59,6.086) -- (6.567,5.747) -- (6.536,5.409) -- (6.497,5.071) -- (6.45,4.735) -- (6.395,4.4) -- (6.332,4.066) -- (6.261,3.734) -- (6.183,3.404) -- (6.097,3.075) -- (6.003,2.749) -- (5.902,2.425);
\draw[line width=0.5pt] (6.612,7.103) -- (6.242,6.75) -- (5.882,6.389) -- (5.53,6.018) -- (5.186,5.64) -- (4.852,5.253) -- (4.527,4.859) -- (4.211,4.457) -- (3.904,4.047) -- (3.607,3.631) -- (3.321,3.208) -- (3.044,2.778) -- (2.777,2.342) -- (2.521,1.9) -- (2.276,1.452);
\draw[line width=0.5pt] (5.902,2.425) -- (5.656,2.317) -- (5.407,2.214) -- (5.155,2.117) -- (4.902,2.026) -- (4.646,1.941) -- (4.388,1.862) -- (4.129,1.789) -- (3.868,1.722) -- (3.605,1.662) -- (3.342,1.607) -- (3.077,1.559) -- (2.81,1.517) -- (2.544,1.481) -- (2.276,1.452);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.808,11.452) -- (9.787,11.532) -- (9.728,11.591) -- (9.648,11.612) -- (9.568,11.591) -- (9.51,11.532) -- (9.488,11.452) -- (9.51,11.372) -- (9.568,11.314) -- (9.648,11.292) -- (9.728,11.314) -- (9.787,11.372) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.364,11.405) -- (1.343,11.485) -- (1.284,11.544) -- (1.204,11.565) -- (1.124,11.544) -- (1.066,11.485) -- (1.044,11.405) -- (1.066,11.325) -- (1.124,11.267) -- (1.204,11.245) -- (1.284,11.267) -- (1.343,11.325) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.772,7.103) -- (6.75,7.183) -- (6.692,7.242) -- (6.612,7.263) -- (6.532,7.242) -- (6.473,7.183) -- (6.452,7.103) -- (6.473,7.023) -- (6.532,6.965) -- (6.612,6.943) -- (6.692,6.965) -- (6.75,7.023) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.609,5.868) -- (10.588,5.948) -- (10.529,6.007) -- (10.449,6.028) -- (10.369,6.007) -- (10.311,5.948) -- (10.289,5.868) -- (10.311,5.788) -- (10.369,5.73) -- (10.449,5.708) -- (10.529,5.73) -- (10.588,5.788) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.062,2.425) -- (6.04,2.505) -- (5.982,2.564) -- (5.902,2.585) -- (5.822,2.564) -- (5.763,2.505) -- (5.742,2.425) -- (5.763,2.345) -- (5.822,2.287) -- (5.902,2.265) -- (5.982,2.287) -- (6.04,2.345) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.436,1.452) -- (2.415,1.532) -- (2.356,1.591) -- (2.276,1.612) -- (2.196,1.591) -- (2.137,1.532) -- (2.116,1.452) -- (2.137,1.372) -- (2.196,1.314) -- (2.276,1.292) -- (2.356,1.314) -- (2.415,1.372) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.11,10.628) -- (7.064,10.798) -- (6.94,10.922) -- (6.77,10.968) -- (6.6,10.922) -- (6.475,10.798) -- (6.43,10.628) -- (6.475,10.458) -- (6.6,10.333) -- (6.77,10.288) -- (6.94,10.333) -- (7.064,10.458) -- cycle;
\node at (6.77,10.628) {\scalebox{1.332}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.912,8.969) -- (8.866,9.139) -- (8.742,9.264) -- (8.572,9.309) -- (8.402,9.264) -- (8.277,9.139) -- (8.232,8.969) -- (8.277,8.799) -- (8.402,8.675) -- (8.572,8.629) -- (8.742,8.675) -- (8.866,8.799) -- cycle;
\node at (8.572,8.969) {\scalebox{1.332}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.475,8.673) -- (10.43,8.843) -- (10.305,8.967) -- (10.135,9.013) -- (9.965,8.967) -- (9.841,8.843) -- (9.795,8.673) -- (9.841,8.503) -- (9.965,8.378) -- (10.135,8.333) -- (10.305,8.378) -- (10.43,8.503) -- cycle;
\node at (10.135,8.673) {\scalebox{1.332}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.372,6.636) -- (2.327,6.806) -- (2.202,6.93) -- (2.032,6.976) -- (1.862,6.93) -- (1.738,6.806) -- (1.692,6.636) -- (1.738,6.466) -- (1.862,6.341) -- (2.032,6.296) -- (2.202,6.341) -- (2.327,6.466) -- cycle;
\node at (2.032,6.636) {\scalebox{1.332}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.917,6.632) -- (8.872,6.802) -- (8.747,6.926) -- (8.577,6.972) -- (8.407,6.926) -- (8.283,6.802) -- (8.237,6.632) -- (8.283,6.462) -- (8.407,6.338) -- (8.577,6.292) -- (8.747,6.338) -- (8.872,6.462) -- cycle;
\node at (8.577,6.632) {\scalebox{1.332}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.106,4.687) -- (7.06,4.857) -- (6.936,4.981) -- (6.766,5.027) -- (6.596,4.981) -- (6.472,4.857) -- (6.426,4.687) -- (6.472,4.517) -- (6.596,4.393) -- (6.766,4.347) -- (6.936,4.393) -- (7.06,4.517) -- cycle;
\node at (6.766,4.687) {\scalebox{1.332}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.805,4.262) -- (4.759,4.432) -- (4.635,4.556) -- (4.465,4.602) -- (4.295,4.556) -- (4.17,4.432) -- (4.125,4.262) -- (4.17,4.092) -- (4.295,3.967) -- (4.465,3.922) -- (4.635,3.967) -- (4.759,4.092) -- cycle;
\node at (4.465,4.262) {\scalebox{1.332}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.552,1.48) -- (4.506,1.65) -- (4.382,1.775) -- (4.212,1.82) -- (4.042,1.775) -- (3.918,1.65) -- (3.872,1.48) -- (3.918,1.31) -- (4.042,1.186) -- (4.212,1.14) -- (4.382,1.186) -- (4.506,1.31) -- cycle;
\node at (4.212,1.48) {\scalebox{1.332}{\small 8}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (6.312,6.803) -- (6.912,6.803) -- (6.912,7.403) -- (6.312,7.403) -- cycle;
\node at (6.612,7.103) {\scalebox{1.332}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (0.862,6.327) -- (1.462,6.327) -- (1.462,6.927) -- (0.862,6.927) -- cycle;
\node at (1.162,6.627) {\scalebox{1.332}{\small b}};
\filldraw[fill=blue!12, draw=black, line width=0.5pt] (11.055,8.881) -- (11.655,8.881) -- (11.655,9.481) -- (11.055,9.481) -- cycle;
\node at (11.355,9.181) {\scalebox{1.332}{\small c}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.444,6.648) -- (10.044,6.648) -- (10.044,7.248) -- (9.444,7.248) -- cycle;
\node at (9.744,6.948) {\scalebox{1.332}{\small d}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (9.316,9.229) -- (9.916,9.229) -- (9.916,9.829) -- (9.316,9.829) -- cycle;
\node at (9.616,9.529) {\scalebox{1.332}{\small e}};
\node at (10.021,11.948) {\scalebox{1.332}{\small A}};
\node at (0.765,11.842) {\scalebox{1.332}{\small B}};
\node at (7.092,7.495) {\scalebox{1.332}{\small C}};
\node at (11.06,5.765) {\scalebox{1.332}{\small D}};
\node at (5.885,1.806) {\scalebox{1.332}{\small E}};
\node at (1.912,0.95) {\scalebox{1.332}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (11.749,10.502) -- (11.749,11.602);
\draw[line width=0.5pt] (11.518,11.217) -- (11.749,11.602) -- (11.98,11.217);
\draw[line width=0.5pt] (11.447,11.052) -- (12.052,11.052);
\node at (11.749,11.987) {\scalebox{1.332}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① chemin des Vignes & ⑤ rue Pasteur & Ⓐ Carrefour du Lavoir & \textbf{a} la poste \\ \hline
② passage du Marché & ⑥ rue Basse & Ⓑ Place du Marché & \textbf{b} la bibliothèque \\ \hline
③ venelle du Chat & ⑦ rue Haute & Ⓒ Carrefour des Quatre-Chemins & \textbf{c} l'école \\ \hline
④ chemin Creux & ⑧ rue du Puits & Ⓓ Place aux Herbes & \textbf{d} la boulangerie \\ \hline
 &  & Ⓔ Coin du Lavoir & \textbf{e} la gendarmerie \\ \hline
 &  & Ⓕ Carrefour du Moulin &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6718, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (9.648,11.452) -- (9.435,11.448) -- (9.222,11.439) -- (9.009,11.425) -- (8.797,11.406) -- (8.585,11.382) -- (8.374,11.353) -- (8.163,11.319) -- (7.953,11.28) -- (7.744,11.236) -- (7.537,11.187) -- (7.33,11.134) -- (7.125,11.075) -- (6.921,11.012) -- (6.719,10.944) -- (6.323,10.916) -- (5.927,10.898) -- (5.53,10.889) -- (5.133,10.889) -- (4.736,10.899) -- (4.339,10.918) -- (3.943,10.947) -- (3.547,10.985) -- (3.153,11.032) -- (2.76,11.088) -- (2.368,11.154) -- (1.978,11.228) -- (1.59,11.312) -- (1.204,11.405);
\draw[line width=0.5pt] (9.648,11.452) -- (9.481,11.111) -- (9.305,10.773) -- (9.121,10.44) -- (8.93,10.111) -- (8.731,9.787) -- (8.524,9.467) -- (8.309,9.152) -- (8.088,8.843) -- (7.859,8.539) -- (7.623,8.24) -- (7.38,7.947) -- (7.131,7.659) -- (6.874,7.378) -- (6.612,7.103);
\draw[line width=0.5pt] (9.648,11.452) -- (9.644,11.048) -- (9.649,10.643) -- (9.664,10.239) -- (9.688,9.835) -- (9.722,9.431) -- (9.766,9.029) -- (9.818,8.627) -- (9.881,8.227) -- (9.952,7.828) -- (10.033,7.432) -- (10.123,7.037) -- (10.223,6.645) -- (10.331,6.255) -- (10.449,5.868);
\draw[line width=0.5pt] (1.204,11.405) -- (1.293,11.074) -- (1.373,10.74) -- (1.445,10.405) -- (1.509,10.068) -- (1.566,9.729) -- (1.614,9.39) -- (1.655,9.049) -- (1.687,8.707) -- (1.712,8.365) -- (1.728,8.022) -- (1.736,7.679) -- (1.737,7.336) -- (1.729,6.993) -- (1.713,6.65) -- (1.696,6.276) -- (1.688,5.901) -- (1.689,5.526) -- (1.698,5.151) -- (1.717,4.776) -- (1.744,4.402) -- (1.78,4.028) -- (1.825,3.655) -- (1.878,3.284) -- (1.941,2.914) -- (2.011,2.545) -- (2.091,2.179) -- (2.179,1.814) -- (2.276,1.452);
\draw[line width=0.5pt] (6.612,7.103) -- (6.87,6.974) -- (7.131,6.85) -- (7.396,6.733) -- (7.663,6.622) -- (7.933,6.518) -- (8.205,6.419) -- (8.479,6.327) -- (8.756,6.242) -- (9.034,6.163) -- (9.314,6.091) -- (9.596,6.025) -- (9.879,5.966) -- (10.164,5.914) -- (10.449,5.868);
\draw[line width=0.5pt] (6.612,7.103) -- (6.612,6.764) -- (6.605,6.425) -- (6.59,6.086) -- (6.567,5.747) -- (6.536,5.409) -- (6.497,5.071) -- (6.45,4.735) -- (6.395,4.4) -- (6.332,4.066) -- (6.261,3.734) -- (6.183,3.404) -- (6.097,3.075) -- (6.003,2.749) -- (5.902,2.425);
\draw[line width=0.5pt] (6.612,7.103) -- (6.242,6.75) -- (5.882,6.389) -- (5.53,6.018) -- (5.186,5.64) -- (4.852,5.253) -- (4.527,4.859) -- (4.211,4.457) -- (3.904,4.047) -- (3.607,3.631) -- (3.321,3.208) -- (3.044,2.778) -- (2.777,2.342) -- (2.521,1.9) -- (2.276,1.452);
\draw[line width=0.5pt] (5.902,2.425) -- (5.656,2.317) -- (5.407,2.214) -- (5.155,2.117) -- (4.902,2.026) -- (4.646,1.941) -- (4.388,1.862) -- (4.129,1.789) -- (3.868,1.722) -- (3.605,1.662) -- (3.342,1.607) -- (3.077,1.559) -- (2.81,1.517) -- (2.544,1.481) -- (2.276,1.452);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.808,11.452) -- (9.787,11.532) -- (9.728,11.591) -- (9.648,11.612) -- (9.568,11.591) -- (9.51,11.532) -- (9.488,11.452) -- (9.51,11.372) -- (9.568,11.314) -- (9.648,11.292) -- (9.728,11.314) -- (9.787,11.372) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.364,11.405) -- (1.343,11.485) -- (1.284,11.544) -- (1.204,11.565) -- (1.124,11.544) -- (1.066,11.485) -- (1.044,11.405) -- (1.066,11.325) -- (1.124,11.267) -- (1.204,11.245) -- (1.284,11.267) -- (1.343,11.325) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.772,7.103) -- (6.75,7.183) -- (6.692,7.242) -- (6.612,7.263) -- (6.532,7.242) -- (6.473,7.183) -- (6.452,7.103) -- (6.473,7.023) -- (6.532,6.965) -- (6.612,6.943) -- (6.692,6.965) -- (6.75,7.023) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.609,5.868) -- (10.588,5.948) -- (10.529,6.007) -- (10.449,6.028) -- (10.369,6.007) -- (10.311,5.948) -- (10.289,5.868) -- (10.311,5.788) -- (10.369,5.73) -- (10.449,5.708) -- (10.529,5.73) -- (10.588,5.788) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.062,2.425) -- (6.04,2.505) -- (5.982,2.564) -- (5.902,2.585) -- (5.822,2.564) -- (5.763,2.505) -- (5.742,2.425) -- (5.763,2.345) -- (5.822,2.287) -- (5.902,2.265) -- (5.982,2.287) -- (6.04,2.345) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.436,1.452) -- (2.415,1.532) -- (2.356,1.591) -- (2.276,1.612) -- (2.196,1.591) -- (2.137,1.532) -- (2.116,1.452) -- (2.137,1.372) -- (2.196,1.314) -- (2.276,1.292) -- (2.356,1.314) -- (2.415,1.372) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.11,10.628) -- (7.064,10.798) -- (6.94,10.922) -- (6.77,10.968) -- (6.6,10.922) -- (6.475,10.798) -- (6.43,10.628) -- (6.475,10.458) -- (6.6,10.333) -- (6.77,10.288) -- (6.94,10.333) -- (7.064,10.458) -- cycle;
\node at (6.77,10.628) {\scalebox{1.489}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.912,8.969) -- (8.866,9.139) -- (8.742,9.264) -- (8.572,9.309) -- (8.402,9.264) -- (8.277,9.139) -- (8.232,8.969) -- (8.277,8.799) -- (8.402,8.675) -- (8.572,8.629) -- (8.742,8.675) -- (8.866,8.799) -- cycle;
\node at (8.572,8.969) {\scalebox{1.489}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.475,8.673) -- (10.43,8.843) -- (10.305,8.967) -- (10.135,9.013) -- (9.965,8.967) -- (9.841,8.843) -- (9.795,8.673) -- (9.841,8.503) -- (9.965,8.378) -- (10.135,8.333) -- (10.305,8.378) -- (10.43,8.503) -- cycle;
\node at (10.135,8.673) {\scalebox{1.489}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.372,6.636) -- (2.327,6.806) -- (2.202,6.93) -- (2.032,6.976) -- (1.862,6.93) -- (1.738,6.806) -- (1.692,6.636) -- (1.738,6.466) -- (1.862,6.341) -- (2.032,6.296) -- (2.202,6.341) -- (2.327,6.466) -- cycle;
\node at (2.032,6.636) {\scalebox{1.489}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.917,6.632) -- (8.872,6.802) -- (8.747,6.926) -- (8.577,6.972) -- (8.407,6.926) -- (8.283,6.802) -- (8.237,6.632) -- (8.283,6.462) -- (8.407,6.338) -- (8.577,6.292) -- (8.747,6.338) -- (8.872,6.462) -- cycle;
\node at (8.577,6.632) {\scalebox{1.489}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.106,4.687) -- (7.06,4.857) -- (6.936,4.981) -- (6.766,5.027) -- (6.596,4.981) -- (6.472,4.857) -- (6.426,4.687) -- (6.472,4.517) -- (6.596,4.393) -- (6.766,4.347) -- (6.936,4.393) -- (7.06,4.517) -- cycle;
\node at (6.766,4.687) {\scalebox{1.489}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.805,4.262) -- (4.759,4.432) -- (4.635,4.556) -- (4.465,4.602) -- (4.295,4.556) -- (4.17,4.432) -- (4.125,4.262) -- (4.17,4.092) -- (4.295,3.967) -- (4.465,3.922) -- (4.635,3.967) -- (4.759,4.092) -- cycle;
\node at (4.465,4.262) {\scalebox{1.489}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.552,1.48) -- (4.506,1.65) -- (4.382,1.775) -- (4.212,1.82) -- (4.042,1.775) -- (3.918,1.65) -- (3.872,1.48) -- (3.918,1.31) -- (4.042,1.186) -- (4.212,1.14) -- (4.382,1.186) -- (4.506,1.31) -- cycle;
\node at (4.212,1.48) {\scalebox{1.489}{\small 8}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (6.312,6.803) -- (6.912,6.803) -- (6.912,7.403) -- (6.312,7.403) -- cycle;
\node at (6.612,7.103) {\scalebox{1.489}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (0.862,6.327) -- (1.462,6.327) -- (1.462,6.927) -- (0.862,6.927) -- cycle;
\node at (1.162,6.627) {\scalebox{1.489}{\small b}};
\filldraw[fill=blue!12, draw=black, line width=0.5pt] (11.055,8.881) -- (11.655,8.881) -- (11.655,9.481) -- (11.055,9.481) -- cycle;
\node at (11.355,9.181) {\scalebox{1.489}{\small c}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.444,6.648) -- (10.044,6.648) -- (10.044,7.248) -- (9.444,7.248) -- cycle;
\node at (9.744,6.948) {\scalebox{1.489}{\small d}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (9.316,9.229) -- (9.916,9.229) -- (9.916,9.829) -- (9.316,9.829) -- cycle;
\node at (9.616,9.529) {\scalebox{1.489}{\small e}};
\node at (10.021,11.948) {\scalebox{1.489}{\small A}};
\node at (0.765,11.842) {\scalebox{1.489}{\small B}};
\node at (7.092,7.495) {\scalebox{1.489}{\small C}};
\node at (11.06,5.765) {\scalebox{1.489}{\small D}};
\node at (5.885,1.806) {\scalebox{1.489}{\small E}};
\node at (1.912,0.95) {\scalebox{1.489}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (11.749,10.502) -- (11.749,11.602);
\draw[line width=0.5pt] (11.518,11.217) -- (11.749,11.602) -- (11.98,11.217);
\draw[line width=0.5pt] (11.447,11.052) -- (12.052,11.052);
\node at (11.749,11.987) {\scalebox{1.489}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F \\ \hline
Nombre de rues & 3 & 2 & 4 & 2 & 2 & 3 \\ \hline
Parité & \textbf{impair} & pair & pair & pair & pair & \textbf{impair} \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 16 = 2 \(\times\) 8, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{A}, \textbf{F} — il y en a 2.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{C}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Deux carrefours sont impairs, \textbf{A} et \textbf{F} : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Or la poste est en \textbf{C}, où aboutit un nombre \textbf{pair} de rues. Ce carrefour ne peut être que traversé, jamais servir de départ.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui, une tournée existe} — mais elle va de \textbf{A} à \textbf{F}. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il \textbf{ne reviendrait pas} à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Ce parcours, en partant de A :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Carrefour du Lavoir \textbf{(A)}, prend le \textbf{chemin des Vignes ①} vers l'ouest et atteint Place du Marché \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{chemin Creux ④}, vers le sud, jusqu'à Carrefour du Moulin \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue Haute ⑦}, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins \textbf{(C)}.
  \item Il continue tout droit dans le \textbf{passage du Marché ②}, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour du Lavoir \textbf{(A)}.
  \item Il prend dans la \textbf{venelle du Chat ③}, vers le sud, jusqu'à Place aux Herbes \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue Pasteur ⑤}, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue Basse ⑥}, vers le sud, jusqu'à Coin du Lavoir \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue du Puits ⑧}, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour du Moulin \textbf{(F)}.
\end{enumerate}
\end{document}
