\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 82}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=82}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0082}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7921, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (9.084,11.173) -- (8.804,11.232) -- (8.523,11.284) -- (8.241,11.33) -- (7.957,11.369) -- (7.673,11.402) -- (7.388,11.428) -- (7.102,11.447) -- (6.816,11.459) -- (6.53,11.465) -- (6.244,11.464) -- (5.958,11.456) -- (5.672,11.442) -- (5.387,11.42) -- (5.102,11.392) -- (4.854,11.322) -- (4.604,11.258) -- (4.353,11.2) -- (4.1,11.147) -- (3.846,11.101) -- (3.591,11.06) -- (3.335,11.026) -- (3.079,10.997) -- (2.822,10.975) -- (2.564,10.958) -- (2.306,10.948) -- (2.048,10.944) -- (1.79,10.946) -- (1.532,10.954);
\draw[line width=0.5pt] (9.084,11.173) -- (8.888,10.801) -- (8.682,10.434) -- (8.469,10.072) -- (8.246,9.715) -- (8.015,9.363) -- (7.776,9.016) -- (7.529,8.676) -- (7.274,8.341) -- (7.012,8.012) -- (6.741,7.69) -- (6.464,7.374) -- (6.178,7.065) -- (5.886,6.763) -- (5.587,6.468);
\draw[line width=0.5pt] (1.532,10.954) -- (1.771,10.591) -- (2.017,10.235) -- (2.273,9.884) -- (2.536,9.539) -- (2.808,9.201) -- (3.087,8.869) -- (3.375,8.543) -- (3.669,8.225) -- (3.971,7.913) -- (4.281,7.609) -- (4.597,7.312) -- (4.921,7.023) -- (5.25,6.741) -- (5.587,6.468);
\draw[line width=0.5pt] (8.666,6.997) -- (8.453,6.926) -- (8.239,6.86) -- (8.024,6.799) -- (7.807,6.743) -- (7.588,6.692) -- (7.369,6.646) -- (7.148,6.605) -- (6.927,6.57) -- (6.705,6.54) -- (6.482,6.515) -- (6.258,6.495) -- (6.035,6.481) -- (5.811,6.471) -- (5.587,6.468);
\draw[line width=0.5pt] (8.666,6.997) -- (8.689,6.621) -- (8.722,6.244) -- (8.763,5.869) -- (8.813,5.495) -- (8.872,5.121) -- (8.94,4.75) -- (9.016,4.38) -- (9.101,4.011) -- (9.195,3.645) -- (9.297,3.282) -- (9.408,2.92) -- (9.527,2.562) -- (9.655,2.207) -- (9.79,1.854);
\draw[line width=0.5pt] (5.587,6.468) -- (5.528,6.221) -- (5.463,5.977) -- (5.392,5.734) -- (5.316,5.492) -- (5.234,5.252) -- (5.146,5.015) -- (5.053,4.779) -- (4.955,4.546) -- (4.851,4.315) -- (4.741,4.086) -- (4.626,3.86) -- (4.506,3.637) -- (4.381,3.418) -- (4.25,3.201);
\draw[line width=0.5pt] (5.587,6.468) -- (5.834,6.095) -- (6.09,5.728) -- (6.355,5.367) -- (6.629,5.012) -- (6.911,4.664) -- (7.201,4.322) -- (7.498,3.988) -- (7.804,3.66) -- (8.117,3.34) -- (8.438,3.027) -- (8.766,2.722) -- (9.1,2.425) -- (9.442,2.135) -- (9.79,1.854);
\draw[line width=0.5pt] (5.587,6.468) -- (5.331,6.06) -- (5.066,5.658) -- (4.792,5.263) -- (4.508,4.874) -- (4.215,4.492) -- (3.913,4.117) -- (3.602,3.749) -- (3.283,3.388) -- (2.956,3.035) -- (2.62,2.69) -- (2.276,2.353) -- (1.925,2.024) -- (1.566,1.704) -- (1.199,1.392);
\draw[line width=0.5pt] (4.25,3.201) -- (4.628,3.045) -- (5.01,2.898) -- (5.395,2.76) -- (5.783,2.631) -- (6.174,2.511) -- (6.568,2.4) -- (6.965,2.299) -- (7.364,2.207) -- (7.764,2.124) -- (8.167,2.051) -- (8.571,1.988) -- (8.977,1.934) -- (9.383,1.889) -- (9.79,1.854);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.244,11.173) -- (9.222,11.253) -- (9.164,11.311) -- (9.084,11.333) -- (9.004,11.311) -- (8.945,11.253) -- (8.924,11.173) -- (8.945,11.093) -- (9.004,11.034) -- (9.084,11.013) -- (9.164,11.034) -- (9.222,11.093) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.692,10.954) -- (1.671,11.034) -- (1.612,11.092) -- (1.532,11.114) -- (1.452,11.092) -- (1.394,11.034) -- (1.372,10.954) -- (1.394,10.874) -- (1.452,10.815) -- (1.532,10.794) -- (1.612,10.815) -- (1.671,10.874) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.826,6.997) -- (8.804,7.077) -- (8.746,7.136) -- (8.666,7.157) -- (8.586,7.136) -- (8.527,7.077) -- (8.506,6.997) -- (8.527,6.917) -- (8.586,6.859) -- (8.666,6.837) -- (8.746,6.859) -- (8.804,6.917) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.747,6.468) -- (5.725,6.548) -- (5.667,6.606) -- (5.587,6.628) -- (5.507,6.606) -- (5.448,6.548) -- (5.427,6.468) -- (5.448,6.388) -- (5.507,6.329) -- (5.587,6.308) -- (5.667,6.329) -- (5.725,6.388) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.41,3.201) -- (4.389,3.281) -- (4.33,3.339) -- (4.25,3.361) -- (4.17,3.339) -- (4.112,3.281) -- (4.09,3.201) -- (4.112,3.121) -- (4.17,3.062) -- (4.25,3.041) -- (4.33,3.062) -- (4.389,3.121) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.95,1.854) -- (9.929,1.934) -- (9.87,1.993) -- (9.79,2.014) -- (9.71,1.993) -- (9.652,1.934) -- (9.63,1.854) -- (9.652,1.774) -- (9.71,1.716) -- (9.79,1.694) -- (9.87,1.716) -- (9.929,1.774) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.359,1.392) -- (1.338,1.472) -- (1.279,1.531) -- (1.199,1.552) -- (1.119,1.531) -- (1.061,1.472) -- (1.039,1.392) -- (1.061,1.312) -- (1.119,1.254) -- (1.199,1.232) -- (1.279,1.254) -- (1.338,1.312) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.5,11.078) -- (5.455,11.248) -- (5.33,11.372) -- (5.16,11.418) -- (4.99,11.372) -- (4.866,11.248) -- (4.82,11.078) -- (4.866,10.908) -- (4.99,10.783) -- (5.16,10.738) -- (5.33,10.783) -- (5.455,10.908) -- cycle;
\node at (5.16,11.078) {\scalebox{1.262}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.126,8.485) -- (8.081,8.655) -- (7.956,8.779) -- (7.786,8.825) -- (7.616,8.779) -- (7.492,8.655) -- (7.446,8.485) -- (7.492,8.315) -- (7.616,8.19) -- (7.786,8.145) -- (7.956,8.19) -- (8.081,8.315) -- cycle;
\node at (7.786,8.485) {\scalebox{1.262}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.952,8.758) -- (3.906,8.928) -- (3.782,9.052) -- (3.612,9.098) -- (3.442,9.052) -- (3.317,8.928) -- (3.272,8.758) -- (3.317,8.588) -- (3.442,8.463) -- (3.612,8.418) -- (3.782,8.463) -- (3.906,8.588) -- cycle;
\node at (3.612,8.758) {\scalebox{1.262}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.542,6.29) -- (7.497,6.46) -- (7.372,6.585) -- (7.202,6.63) -- (7.032,6.585) -- (6.908,6.46) -- (6.862,6.29) -- (6.908,6.12) -- (7.032,5.996) -- (7.202,5.95) -- (7.372,5.996) -- (7.497,6.12) -- cycle;
\node at (7.202,6.29) {\scalebox{1.262}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.669,4.448) -- (9.623,4.618) -- (9.499,4.742) -- (9.329,4.788) -- (9.159,4.742) -- (9.034,4.618) -- (8.989,4.448) -- (9.034,4.278) -- (9.159,4.153) -- (9.329,4.108) -- (9.499,4.153) -- (9.623,4.278) -- cycle;
\node at (9.329,4.448) {\scalebox{1.262}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.689,4.658) -- (5.644,4.828) -- (5.519,4.952) -- (5.349,4.998) -- (5.179,4.952) -- (5.055,4.828) -- (5.009,4.658) -- (5.055,4.488) -- (5.179,4.363) -- (5.349,4.318) -- (5.519,4.363) -- (5.644,4.488) -- cycle;
\node at (5.349,4.658) {\scalebox{1.262}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.075,4.203) -- (8.029,4.373) -- (7.905,4.498) -- (7.735,4.543) -- (7.565,4.498) -- (7.44,4.373) -- (7.395,4.203) -- (7.44,4.033) -- (7.565,3.909) -- (7.735,3.863) -- (7.905,3.909) -- (8.029,4.033) -- cycle;
\node at (7.735,4.203) {\scalebox{1.262}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.7,3.958) -- (3.655,4.128) -- (3.53,4.253) -- (3.36,4.298) -- (3.19,4.253) -- (3.066,4.128) -- (3.02,3.958) -- (3.066,3.788) -- (3.19,3.664) -- (3.36,3.618) -- (3.53,3.664) -- (3.655,3.788) -- cycle;
\node at (3.36,3.958) {\scalebox{1.262}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.38,2.61) -- (7.335,2.78) -- (7.21,2.904) -- (7.04,2.95) -- (6.87,2.904) -- (6.746,2.78) -- (6.7,2.61) -- (6.746,2.44) -- (6.87,2.316) -- (7.04,2.27) -- (7.21,2.316) -- (7.335,2.44) -- cycle;
\node at (7.04,2.61) {\scalebox{1.262}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (5.287,6.168) -- (5.887,6.168) -- (5.887,6.768) -- (5.287,6.768) -- cycle;
\node at (5.587,6.468) {\scalebox{1.262}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (7.229,1.523) -- (7.829,1.523) -- (7.829,2.123) -- (7.229,2.123) -- cycle;
\node at (7.529,1.823) {\scalebox{1.262}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (8.431,8.843) -- (9.031,8.843) -- (9.031,9.443) -- (8.431,9.443) -- cycle;
\node at (8.731,9.143) {\scalebox{1.262}{\small c}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.482,3.394) -- (9.082,3.394) -- (9.082,3.994) -- (8.482,3.994) -- cycle;
\node at (8.782,3.694) {\scalebox{1.262}{\small d}};
\node at (9.421,11.693) {\scalebox{1.262}{\small A}};
\node at (1.131,11.426) {\scalebox{1.262}{\small B}};
\node at (9.253,7.196) {\scalebox{1.262}{\small C}};
\node at (5.403,7.06) {\scalebox{1.262}{\small D}};
\node at (3.961,2.652) {\scalebox{1.262}{\small E}};
\node at (10.224,1.411) {\scalebox{1.262}{\small F}};
\node at (0.765,0.95) {\scalebox{1.262}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (11.09,10.223) -- (11.09,11.323);
\draw[line width=0.5pt] (10.859,10.938) -- (11.09,11.323) -- (11.321,10.938);
\draw[line width=0.5pt] (10.788,10.773) -- (11.393,10.773);
\node at (11.09,11.708) {\scalebox{1.262}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① avenue de la Gare & ⑥ rue du Moulin & Ⓐ Place aux Herbes & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue Basse & ⑦ allée des Peupliers & Ⓑ Place de la Fontaine & \textbf{b} la gendarmerie \\ \hline
③ chemin du Lavoir & ⑧ impasse du Puits & Ⓒ Place du Marché & \textbf{c} l'église \\ \hline
④ rue des Écoles & ⑨ rue du Puits & Ⓓ Carrefour du Moulin & \textbf{d} la boulangerie \\ \hline
⑤ rue Verte &  & Ⓔ Placette des Ormes &  \\ \hline
 &  & Ⓕ Carrefour des Quatre-Chemins &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Place de l'Église &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7087, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (9.084,11.173) -- (8.804,11.232) -- (8.523,11.284) -- (8.241,11.33) -- (7.957,11.369) -- (7.673,11.402) -- (7.388,11.428) -- (7.102,11.447) -- (6.816,11.459) -- (6.53,11.465) -- (6.244,11.464) -- (5.958,11.456) -- (5.672,11.442) -- (5.387,11.42) -- (5.102,11.392) -- (4.854,11.322) -- (4.604,11.258) -- (4.353,11.2) -- (4.1,11.147) -- (3.846,11.101) -- (3.591,11.06) -- (3.335,11.026) -- (3.079,10.997) -- (2.822,10.975) -- (2.564,10.958) -- (2.306,10.948) -- (2.048,10.944) -- (1.79,10.946) -- (1.532,10.954);
\draw[line width=0.5pt] (9.084,11.173) -- (8.888,10.801) -- (8.682,10.434) -- (8.469,10.072) -- (8.246,9.715) -- (8.015,9.363) -- (7.776,9.016) -- (7.529,8.676) -- (7.274,8.341) -- (7.012,8.012) -- (6.741,7.69) -- (6.464,7.374) -- (6.178,7.065) -- (5.886,6.763) -- (5.587,6.468);
\draw[line width=0.5pt] (1.532,10.954) -- (1.771,10.591) -- (2.017,10.235) -- (2.273,9.884) -- (2.536,9.539) -- (2.808,9.201) -- (3.087,8.869) -- (3.375,8.543) -- (3.669,8.225) -- (3.971,7.913) -- (4.281,7.609) -- (4.597,7.312) -- (4.921,7.023) -- (5.25,6.741) -- (5.587,6.468);
\draw[line width=0.5pt] (8.666,6.997) -- (8.453,6.926) -- (8.239,6.86) -- (8.024,6.799) -- (7.807,6.743) -- (7.588,6.692) -- (7.369,6.646) -- (7.148,6.605) -- (6.927,6.57) -- (6.705,6.54) -- (6.482,6.515) -- (6.258,6.495) -- (6.035,6.481) -- (5.811,6.471) -- (5.587,6.468);
\draw[line width=0.5pt] (8.666,6.997) -- (8.689,6.621) -- (8.722,6.244) -- (8.763,5.869) -- (8.813,5.495) -- (8.872,5.121) -- (8.94,4.75) -- (9.016,4.38) -- (9.101,4.011) -- (9.195,3.645) -- (9.297,3.282) -- (9.408,2.92) -- (9.527,2.562) -- (9.655,2.207) -- (9.79,1.854);
\draw[line width=0.5pt] (5.587,6.468) -- (5.528,6.221) -- (5.463,5.977) -- (5.392,5.734) -- (5.316,5.492) -- (5.234,5.252) -- (5.146,5.015) -- (5.053,4.779) -- (4.955,4.546) -- (4.851,4.315) -- (4.741,4.086) -- (4.626,3.86) -- (4.506,3.637) -- (4.381,3.418) -- (4.25,3.201);
\draw[line width=0.5pt] (5.587,6.468) -- (5.834,6.095) -- (6.09,5.728) -- (6.355,5.367) -- (6.629,5.012) -- (6.911,4.664) -- (7.201,4.322) -- (7.498,3.988) -- (7.804,3.66) -- (8.117,3.34) -- (8.438,3.027) -- (8.766,2.722) -- (9.1,2.425) -- (9.442,2.135) -- (9.79,1.854);
\draw[line width=0.5pt] (5.587,6.468) -- (5.331,6.06) -- (5.066,5.658) -- (4.792,5.263) -- (4.508,4.874) -- (4.215,4.492) -- (3.913,4.117) -- (3.602,3.749) -- (3.283,3.388) -- (2.956,3.035) -- (2.62,2.69) -- (2.276,2.353) -- (1.925,2.024) -- (1.566,1.704) -- (1.199,1.392);
\draw[line width=0.5pt] (4.25,3.201) -- (4.628,3.045) -- (5.01,2.898) -- (5.395,2.76) -- (5.783,2.631) -- (6.174,2.511) -- (6.568,2.4) -- (6.965,2.299) -- (7.364,2.207) -- (7.764,2.124) -- (8.167,2.051) -- (8.571,1.988) -- (8.977,1.934) -- (9.383,1.889) -- (9.79,1.854);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.244,11.173) -- (9.222,11.253) -- (9.164,11.311) -- (9.084,11.333) -- (9.004,11.311) -- (8.945,11.253) -- (8.924,11.173) -- (8.945,11.093) -- (9.004,11.034) -- (9.084,11.013) -- (9.164,11.034) -- (9.222,11.093) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.692,10.954) -- (1.671,11.034) -- (1.612,11.092) -- (1.532,11.114) -- (1.452,11.092) -- (1.394,11.034) -- (1.372,10.954) -- (1.394,10.874) -- (1.452,10.815) -- (1.532,10.794) -- (1.612,10.815) -- (1.671,10.874) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.826,6.997) -- (8.804,7.077) -- (8.746,7.136) -- (8.666,7.157) -- (8.586,7.136) -- (8.527,7.077) -- (8.506,6.997) -- (8.527,6.917) -- (8.586,6.859) -- (8.666,6.837) -- (8.746,6.859) -- (8.804,6.917) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.747,6.468) -- (5.725,6.548) -- (5.667,6.606) -- (5.587,6.628) -- (5.507,6.606) -- (5.448,6.548) -- (5.427,6.468) -- (5.448,6.388) -- (5.507,6.329) -- (5.587,6.308) -- (5.667,6.329) -- (5.725,6.388) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.41,3.201) -- (4.389,3.281) -- (4.33,3.339) -- (4.25,3.361) -- (4.17,3.339) -- (4.112,3.281) -- (4.09,3.201) -- (4.112,3.121) -- (4.17,3.062) -- (4.25,3.041) -- (4.33,3.062) -- (4.389,3.121) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.95,1.854) -- (9.929,1.934) -- (9.87,1.993) -- (9.79,2.014) -- (9.71,1.993) -- (9.652,1.934) -- (9.63,1.854) -- (9.652,1.774) -- (9.71,1.716) -- (9.79,1.694) -- (9.87,1.716) -- (9.929,1.774) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.359,1.392) -- (1.338,1.472) -- (1.279,1.531) -- (1.199,1.552) -- (1.119,1.531) -- (1.061,1.472) -- (1.039,1.392) -- (1.061,1.312) -- (1.119,1.254) -- (1.199,1.232) -- (1.279,1.254) -- (1.338,1.312) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.5,11.078) -- (5.455,11.248) -- (5.33,11.372) -- (5.16,11.418) -- (4.99,11.372) -- (4.866,11.248) -- (4.82,11.078) -- (4.866,10.908) -- (4.99,10.783) -- (5.16,10.738) -- (5.33,10.783) -- (5.455,10.908) -- cycle;
\node at (5.16,11.078) {\scalebox{1.411}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.126,8.485) -- (8.081,8.655) -- (7.956,8.779) -- (7.786,8.825) -- (7.616,8.779) -- (7.492,8.655) -- (7.446,8.485) -- (7.492,8.315) -- (7.616,8.19) -- (7.786,8.145) -- (7.956,8.19) -- (8.081,8.315) -- cycle;
\node at (7.786,8.485) {\scalebox{1.411}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.952,8.758) -- (3.906,8.928) -- (3.782,9.052) -- (3.612,9.098) -- (3.442,9.052) -- (3.317,8.928) -- (3.272,8.758) -- (3.317,8.588) -- (3.442,8.463) -- (3.612,8.418) -- (3.782,8.463) -- (3.906,8.588) -- cycle;
\node at (3.612,8.758) {\scalebox{1.411}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.542,6.29) -- (7.497,6.46) -- (7.372,6.585) -- (7.202,6.63) -- (7.032,6.585) -- (6.908,6.46) -- (6.862,6.29) -- (6.908,6.12) -- (7.032,5.996) -- (7.202,5.95) -- (7.372,5.996) -- (7.497,6.12) -- cycle;
\node at (7.202,6.29) {\scalebox{1.411}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.669,4.448) -- (9.623,4.618) -- (9.499,4.742) -- (9.329,4.788) -- (9.159,4.742) -- (9.034,4.618) -- (8.989,4.448) -- (9.034,4.278) -- (9.159,4.153) -- (9.329,4.108) -- (9.499,4.153) -- (9.623,4.278) -- cycle;
\node at (9.329,4.448) {\scalebox{1.411}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.689,4.658) -- (5.644,4.828) -- (5.519,4.952) -- (5.349,4.998) -- (5.179,4.952) -- (5.055,4.828) -- (5.009,4.658) -- (5.055,4.488) -- (5.179,4.363) -- (5.349,4.318) -- (5.519,4.363) -- (5.644,4.488) -- cycle;
\node at (5.349,4.658) {\scalebox{1.411}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.075,4.203) -- (8.029,4.373) -- (7.905,4.498) -- (7.735,4.543) -- (7.565,4.498) -- (7.44,4.373) -- (7.395,4.203) -- (7.44,4.033) -- (7.565,3.909) -- (7.735,3.863) -- (7.905,3.909) -- (8.029,4.033) -- cycle;
\node at (7.735,4.203) {\scalebox{1.411}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.7,3.958) -- (3.655,4.128) -- (3.53,4.253) -- (3.36,4.298) -- (3.19,4.253) -- (3.066,4.128) -- (3.02,3.958) -- (3.066,3.788) -- (3.19,3.664) -- (3.36,3.618) -- (3.53,3.664) -- (3.655,3.788) -- cycle;
\node at (3.36,3.958) {\scalebox{1.411}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.38,2.61) -- (7.335,2.78) -- (7.21,2.904) -- (7.04,2.95) -- (6.87,2.904) -- (6.746,2.78) -- (6.7,2.61) -- (6.746,2.44) -- (6.87,2.316) -- (7.04,2.27) -- (7.21,2.316) -- (7.335,2.44) -- cycle;
\node at (7.04,2.61) {\scalebox{1.411}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (5.287,6.168) -- (5.887,6.168) -- (5.887,6.768) -- (5.287,6.768) -- cycle;
\node at (5.587,6.468) {\scalebox{1.411}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (7.229,1.523) -- (7.829,1.523) -- (7.829,2.123) -- (7.229,2.123) -- cycle;
\node at (7.529,1.823) {\scalebox{1.411}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (8.431,8.843) -- (9.031,8.843) -- (9.031,9.443) -- (8.431,9.443) -- cycle;
\node at (8.731,9.143) {\scalebox{1.411}{\small c}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.482,3.394) -- (9.082,3.394) -- (9.082,3.994) -- (8.482,3.994) -- cycle;
\node at (8.782,3.694) {\scalebox{1.411}{\small d}};
\node at (9.421,11.693) {\scalebox{1.411}{\small A}};
\node at (1.131,11.426) {\scalebox{1.411}{\small B}};
\node at (9.253,7.196) {\scalebox{1.411}{\small C}};
\node at (5.403,7.06) {\scalebox{1.411}{\small D}};
\node at (3.961,2.652) {\scalebox{1.411}{\small E}};
\node at (10.224,1.411) {\scalebox{1.411}{\small F}};
\node at (0.765,0.95) {\scalebox{1.411}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (11.09,10.223) -- (11.09,11.323);
\draw[line width=0.5pt] (10.859,10.938) -- (11.09,11.323) -- (11.321,10.938);
\draw[line width=0.5pt] (10.788,10.773) -- (11.393,10.773);
\node at (11.09,11.708) {\scalebox{1.411}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 2 & 2 & 6 & 2 & 3 & 1 \\ \hline
Parité & pair & pair & pair & pair & pair & \textbf{impair} & \textbf{impair} \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 18 = 2 \(\times\) 9, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{F}, \textbf{G} — il y en a 2.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{D}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Deux carrefours sont impairs, \textbf{F} et \textbf{G} : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Or la poste est en \textbf{D}, où aboutit un nombre \textbf{pair} de rues. Ce carrefour ne peut être que traversé, jamais servir de départ.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui, une tournée existe} — mais elle va de \textbf{F} à \textbf{G}. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il \textbf{ne reviendrait pas} à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Ce parcours, en partant de F :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Carrefour des Quatre-Chemins \textbf{(F)}, prend la \textbf{rue Verte ⑤} vers le nord et atteint Place du Marché \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue des Écoles ④}, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour du Moulin \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue Basse ②}, vers le nord-est, jusqu'à Place aux Herbes \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à gauche dans l'\textbf{avenue de la Gare ①}, vers l'ouest, jusqu'à Place de la Fontaine \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{chemin du Lavoir ③}, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour du Moulin \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue du Moulin ⑥}, vers le sud, jusqu'à Placette des Ormes \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Puits ⑨}, vers l'est, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à gauche dans l'\textbf{allée des Peupliers ⑦}, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour du Moulin \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à gauche dans l'\textbf{impasse du Puits ⑧}, vers le sud-ouest, jusqu'à Place de l'Église \textbf{(G)}.
\end{enumerate}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À remarquer.} Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
