\documentclass[a4paper,11pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[a4paper,top=3.2cm,bottom=2cm,left=2cm,right=2cm]{geometry}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
\DeclareUnicodeCharacter{2460}{\textcircled{\scriptsize 1}}
\DeclareUnicodeCharacter{2461}{\textcircled{\scriptsize 2}}
\DeclareUnicodeCharacter{2462}{\textcircled{\scriptsize 3}}
\DeclareUnicodeCharacter{2463}{\textcircled{\scriptsize 4}}
\DeclareUnicodeCharacter{2464}{\textcircled{\scriptsize 5}}
\DeclareUnicodeCharacter{2465}{\textcircled{\scriptsize 6}}
\DeclareUnicodeCharacter{2466}{\textcircled{\scriptsize 7}}
\DeclareUnicodeCharacter{2467}{\textcircled{\scriptsize 8}}
\DeclareUnicodeCharacter{2468}{\textcircled{\scriptsize 9}}
\DeclareUnicodeCharacter{2469}{\textcircled{\scriptsize 10}}
\DeclareUnicodeCharacter{246A}{\textcircled{\scriptsize 11}}
\DeclareUnicodeCharacter{246B}{\textcircled{\scriptsize 12}}
\DeclareUnicodeCharacter{246C}{\textcircled{\scriptsize 13}}
\DeclareUnicodeCharacter{246D}{\textcircled{\scriptsize 14}}
\DeclareUnicodeCharacter{246E}{\textcircled{\scriptsize 15}}
\DeclareUnicodeCharacter{246F}{\textcircled{\scriptsize 16}}
\DeclareUnicodeCharacter{2470}{\textcircled{\scriptsize 17}}
\DeclareUnicodeCharacter{2471}{\textcircled{\scriptsize 18}}
\DeclareUnicodeCharacter{2472}{\textcircled{\scriptsize 19}}
\DeclareUnicodeCharacter{2473}{\textcircled{\scriptsize 20}}
\DeclareUnicodeCharacter{24B6}{\textcircled{\scriptsize A}}
\DeclareUnicodeCharacter{24B7}{\textcircled{\scriptsize B}}
\DeclareUnicodeCharacter{24B8}{\textcircled{\scriptsize C}}
\DeclareUnicodeCharacter{24B9}{\textcircled{\scriptsize D}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BA}{\textcircled{\scriptsize E}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BB}{\textcircled{\scriptsize F}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BC}{\textcircled{\scriptsize G}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BD}{\textcircled{\scriptsize H}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BE}{\textcircled{\scriptsize I}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BF}{\textcircled{\scriptsize J}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C0}{\textcircled{\scriptsize K}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C1}{\textcircled{\scriptsize L}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C2}{\textcircled{\scriptsize M}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C3}{\textcircled{\scriptsize N}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C4}{\textcircled{\scriptsize O}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C5}{\textcircled{\scriptsize P}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C6}{\textcircled{\scriptsize Q}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C7}{\textcircled{\scriptsize R}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C8}{\textcircled{\scriptsize S}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C9}{\textcircled{\scriptsize T}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CA}{\textcircled{\scriptsize U}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CB}{\textcircled{\scriptsize V}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CC}{\textcircled{\scriptsize W}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CD}{\textcircled{\scriptsize X}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CE}{\textcircled{\scriptsize Y}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CF}{\textcircled{\scriptsize Z}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D0}{\textcircled{\scriptsize a}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D1}{\textcircled{\scriptsize b}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D2}{\textcircled{\scriptsize c}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D3}{\textcircled{\scriptsize d}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D4}{\textcircled{\scriptsize e}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D5}{\textcircled{\scriptsize f}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D6}{\textcircled{\scriptsize g}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D7}{\textcircled{\scriptsize h}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D8}{\textcircled{\scriptsize i}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D9}{\textcircled{\scriptsize j}}

\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 83}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=83}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0083}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.715, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (5.528,10.818) -- (5.916,10.721) -- (6.307,10.633) -- (6.699,10.554) -- (7.093,10.484) -- (7.489,10.424) -- (7.886,10.372) -- (8.285,10.331) -- (8.684,10.298) -- (9.084,10.275) -- (9.484,10.261) -- (9.885,10.257) -- (10.285,10.262) -- (10.685,10.277) -- (11.084,10.301);
\draw[line width=0.5pt] (5.528,10.818) -- (5.635,10.541) -- (5.735,10.26) -- (5.828,9.977) -- (5.915,9.692) -- (5.995,9.405) -- (6.069,9.116) -- (6.135,8.825) -- (6.195,8.533) -- (6.247,8.24) -- (6.293,7.946) -- (6.332,7.65) -- (6.364,7.354) -- (6.389,7.057) -- (6.407,6.76);
\draw[line width=0.5pt] (11.084,10.301) -- (10.714,10.101) -- (10.349,9.893) -- (9.988,9.675) -- (9.633,9.45) -- (9.283,9.216) -- (8.938,8.974) -- (8.6,8.723) -- (8.267,8.465) -- (7.94,8.199) -- (7.62,7.926) -- (7.306,7.645) -- (7.0,7.357) -- (6.7,7.062) -- (6.407,6.76);
\draw[line width=0.5pt] (11.084,10.301) -- (11.132,10.085) -- (11.175,9.868) -- (11.212,9.649) -- (11.244,9.43) -- (11.272,9.21) -- (11.294,8.99) -- (11.31,8.769) -- (11.322,8.548) -- (11.328,8.326) -- (11.33,8.105) -- (11.326,7.883) -- (11.317,7.662) -- (11.302,7.441) -- (11.282,7.221) -- (11.122,6.907) -- (10.969,6.589) -- (10.824,6.268) -- (10.686,5.943) -- (10.556,5.615) -- (10.434,5.284) -- (10.319,4.95) -- (10.212,4.614) -- (10.113,4.275) -- (10.023,3.934) -- (9.94,3.591) -- (9.865,3.246) -- (9.799,2.9) -- (9.741,2.552);
\draw[line width=0.5pt] (6.407,6.76) -- (6.082,6.787) -- (5.756,6.807) -- (5.43,6.818) -- (5.104,6.822) -- (4.777,6.819) -- (4.451,6.808) -- (4.125,6.789) -- (3.799,6.762) -- (3.474,6.728) -- (3.15,6.686) -- (2.828,6.636) -- (2.506,6.579) -- (2.186,6.515) -- (1.868,6.443);
\draw[line width=0.5pt] (6.407,6.76) -- (6.088,6.419) -- (5.761,6.085) -- (5.426,5.759) -- (5.083,5.44) -- (4.733,5.13) -- (4.375,4.829) -- (4.011,4.535) -- (3.64,4.25) -- (3.262,3.975) -- (2.878,3.708) -- (2.488,3.45) -- (2.091,3.201) -- (1.69,2.962) -- (1.282,2.733);
\draw[line width=0.5pt] (6.407,6.76) -- (6.597,6.425) -- (6.795,6.095) -- (7.001,5.77) -- (7.215,5.449) -- (7.436,5.134) -- (7.664,4.823) -- (7.9,4.518) -- (8.143,4.219) -- (8.393,3.926) -- (8.649,3.638) -- (8.913,3.357) -- (9.182,3.082) -- (9.458,2.814) -- (9.741,2.552);
\draw[line width=0.5pt] (6.407,6.76) -- (6.468,6.393) -- (6.521,6.024) -- (6.564,5.654) -- (6.599,5.283) -- (6.626,4.911) -- (6.643,4.539) -- (6.652,4.166) -- (6.652,3.793) -- (6.643,3.421) -- (6.626,3.048) -- (6.6,2.677) -- (6.565,2.306) -- (6.521,1.936) -- (6.469,1.567);
\draw[line width=0.5pt] (1.282,2.733) -- (1.637,2.594) -- (1.995,2.463) -- (2.356,2.34) -- (2.72,2.226) -- (3.087,2.121) -- (3.456,2.024) -- (3.827,1.936) -- (4.201,1.857) -- (4.576,1.786) -- (4.952,1.725) -- (5.33,1.672) -- (5.709,1.628) -- (6.088,1.593) -- (6.469,1.567);
\draw[line width=0.5pt] (9.741,2.552) -- (9.519,2.446) -- (9.296,2.346) -- (9.07,2.251) -- (8.842,2.161) -- (8.611,2.077) -- (8.379,1.998) -- (8.145,1.925) -- (7.909,1.857) -- (7.672,1.794) -- (7.434,1.738) -- (7.194,1.686) -- (6.953,1.641) -- (6.711,1.601) -- (6.469,1.567);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.688,10.818) -- (5.667,10.898) -- (5.608,10.957) -- (5.528,10.978) -- (5.448,10.957) -- (5.39,10.898) -- (5.368,10.818) -- (5.39,10.738) -- (5.448,10.68) -- (5.528,10.658) -- (5.608,10.68) -- (5.667,10.738) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.244,10.301) -- (11.223,10.381) -- (11.164,10.439) -- (11.084,10.461) -- (11.004,10.439) -- (10.946,10.381) -- (10.924,10.301) -- (10.946,10.221) -- (11.004,10.162) -- (11.084,10.141) -- (11.164,10.162) -- (11.223,10.221) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.567,6.76) -- (6.546,6.84) -- (6.487,6.899) -- (6.407,6.92) -- (6.327,6.899) -- (6.268,6.84) -- (6.247,6.76) -- (6.268,6.68) -- (6.327,6.621) -- (6.407,6.6) -- (6.487,6.621) -- (6.546,6.68) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.028,6.443) -- (2.007,6.523) -- (1.948,6.581) -- (1.868,6.603) -- (1.788,6.581) -- (1.73,6.523) -- (1.708,6.443) -- (1.73,6.363) -- (1.788,6.304) -- (1.868,6.283) -- (1.948,6.304) -- (2.007,6.363) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.442,2.733) -- (1.421,2.813) -- (1.362,2.872) -- (1.282,2.893) -- (1.202,2.872) -- (1.144,2.813) -- (1.122,2.733) -- (1.144,2.653) -- (1.202,2.595) -- (1.282,2.573) -- (1.362,2.595) -- (1.421,2.653) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.901,2.552) -- (9.879,2.632) -- (9.821,2.691) -- (9.741,2.712) -- (9.661,2.691) -- (9.602,2.632) -- (9.581,2.552) -- (9.602,2.472) -- (9.661,2.413) -- (9.741,2.392) -- (9.821,2.413) -- (9.879,2.472) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.629,1.567) -- (6.607,1.647) -- (6.549,1.706) -- (6.469,1.727) -- (6.389,1.706) -- (6.33,1.647) -- (6.309,1.567) -- (6.33,1.487) -- (6.389,1.429) -- (6.469,1.407) -- (6.549,1.429) -- (6.607,1.487) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.655,10.649) -- (8.609,10.819) -- (8.485,10.944) -- (8.315,10.989) -- (8.145,10.944) -- (8.02,10.819) -- (7.975,10.649) -- (8.02,10.479) -- (8.145,10.355) -- (8.315,10.309) -- (8.485,10.355) -- (8.609,10.479) -- cycle;
\node at (8.315,10.649) {\scalebox{1.399}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.788,8.893) -- (6.742,9.063) -- (6.618,9.188) -- (6.448,9.233) -- (6.278,9.188) -- (6.153,9.063) -- (6.108,8.893) -- (6.153,8.723) -- (6.278,8.599) -- (6.448,8.553) -- (6.618,8.599) -- (6.742,8.723) -- cycle;
\node at (6.448,8.893) {\scalebox{1.399}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.133,8.468) -- (9.087,8.638) -- (8.963,8.763) -- (8.793,8.808) -- (8.623,8.763) -- (8.498,8.638) -- (8.453,8.468) -- (8.498,8.298) -- (8.623,8.174) -- (8.793,8.128) -- (8.963,8.174) -- (9.087,8.298) -- cycle;
\node at (8.793,8.468) {\scalebox{1.399}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.926,7.119) -- (11.88,7.289) -- (11.756,7.413) -- (11.586,7.459) -- (11.416,7.413) -- (11.291,7.289) -- (11.246,7.119) -- (11.291,6.949) -- (11.416,6.824) -- (11.586,6.779) -- (11.756,6.824) -- (11.88,6.949) -- cycle;
\node at (11.586,7.119) {\scalebox{1.399}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.487,6.469) -- (4.441,6.639) -- (4.317,6.764) -- (4.147,6.809) -- (3.977,6.764) -- (3.852,6.639) -- (3.807,6.469) -- (3.852,6.299) -- (3.977,6.175) -- (4.147,6.129) -- (4.317,6.175) -- (4.441,6.299) -- cycle;
\node at (4.147,6.469) {\scalebox{1.399}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.549,4.284) -- (4.503,4.454) -- (4.379,4.578) -- (4.209,4.624) -- (4.039,4.578) -- (3.914,4.454) -- (3.869,4.284) -- (3.914,4.114) -- (4.039,3.989) -- (4.209,3.944) -- (4.379,3.989) -- (4.503,4.114) -- cycle;
\node at (4.209,4.284) {\scalebox{1.399}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.491,4.717) -- (8.445,4.887) -- (8.321,5.012) -- (8.151,5.057) -- (7.981,5.012) -- (7.857,4.887) -- (7.811,4.717) -- (7.857,4.547) -- (7.981,4.423) -- (8.151,4.377) -- (8.321,4.423) -- (8.445,4.547) -- cycle;
\node at (8.151,4.717) {\scalebox{1.399}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.312,4.17) -- (7.266,4.34) -- (7.142,4.464) -- (6.972,4.51) -- (6.802,4.464) -- (6.677,4.34) -- (6.632,4.17) -- (6.677,4.0) -- (6.802,3.875) -- (6.972,3.83) -- (7.142,3.875) -- (7.266,4.0) -- cycle;
\node at (6.972,4.17) {\scalebox{1.399}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.238,2.248) -- (4.192,2.418) -- (4.068,2.543) -- (3.898,2.588) -- (3.728,2.543) -- (3.603,2.418) -- (3.558,2.248) -- (3.603,2.078) -- (3.728,1.954) -- (3.898,1.908) -- (4.068,1.954) -- (4.192,2.078) -- cycle;
\node at (3.898,2.248) {\scalebox{1.399}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.577,1.618) -- (8.532,1.788) -- (8.407,1.913) -- (8.237,1.958) -- (8.067,1.913) -- (7.943,1.788) -- (7.897,1.618) -- (7.943,1.448) -- (8.067,1.324) -- (8.237,1.278) -- (8.407,1.324) -- (8.532,1.448) -- cycle;
\node at (8.237,1.618) {\scalebox{1.399}{\small 10}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (10.784,10.001) -- (11.384,10.001) -- (11.384,10.601) -- (10.784,10.601) -- cycle;
\node at (11.084,10.301) {\scalebox{1.399}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.29,3.008) -- (3.89,3.008) -- (3.89,3.608) -- (3.29,3.608) -- cycle;
\node at (3.59,3.308) {\scalebox{1.399}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (8.493,11.579) -- (9.093,11.579) -- (9.093,12.179) -- (8.493,12.179) -- cycle;
\node at (8.793,11.879) {\scalebox{1.399}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (9.476,8.69) -- (10.076,8.69) -- (10.076,9.29) -- (9.476,9.29) -- cycle;
\node at (9.776,8.99) {\scalebox{1.399}{\small d}};
\node at (5.463,11.435) {\scalebox{1.399}{\small A}};
\node at (11.55,10.71) {\scalebox{1.399}{\small B}};
\node at (6.638,7.335) {\scalebox{1.399}{\small C}};
\node at (1.254,6.525) {\scalebox{1.399}{\small D}};
\node at (0.765,2.392) {\scalebox{1.399}{\small E}};
\node at (10.201,2.136) {\scalebox{1.399}{\small F}};
\node at (6.528,0.95) {\scalebox{1.399}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (12.384,9.868) -- (12.384,10.968);
\draw[line width=0.5pt] (12.153,10.583) -- (12.384,10.968) -- (12.615,10.583);
\draw[line width=0.5pt] (12.082,10.418) -- (12.687,10.418);
\node at (12.384,11.353) {\scalebox{1.399}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue de la Poste & ⑥ rue Neuve & Ⓐ Place aux Herbes & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue Haute & ⑦ chemin Creux & Ⓑ Carrefour des Tilleuls & \textbf{b} la pharmacie \\ \hline
③ rue des Écoles & ⑧ avenue de la Gare & Ⓒ Carrefour Saint-Roch & \textbf{c} la salle des fêtes \\ \hline
④ sentier des Prés & ⑨ rue de l'Église & Ⓓ Place du Vieux-Puits & \textbf{d} le gymnase \\ \hline
⑤ impasse du Vieux-Four & ⑩ chemin des Vignes & Ⓔ Place du Marché &  \\ \hline
 &  & Ⓕ Rond-point de la Poste &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Rond-point du Pont &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6397, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (5.528,10.818) -- (5.916,10.721) -- (6.307,10.633) -- (6.699,10.554) -- (7.093,10.484) -- (7.489,10.424) -- (7.886,10.372) -- (8.285,10.331) -- (8.684,10.298) -- (9.084,10.275) -- (9.484,10.261) -- (9.885,10.257) -- (10.285,10.262) -- (10.685,10.277) -- (11.084,10.301);
\draw[line width=0.5pt] (5.528,10.818) -- (5.635,10.541) -- (5.735,10.26) -- (5.828,9.977) -- (5.915,9.692) -- (5.995,9.405) -- (6.069,9.116) -- (6.135,8.825) -- (6.195,8.533) -- (6.247,8.24) -- (6.293,7.946) -- (6.332,7.65) -- (6.364,7.354) -- (6.389,7.057) -- (6.407,6.76);
\draw[line width=0.5pt] (11.084,10.301) -- (10.714,10.101) -- (10.349,9.893) -- (9.988,9.675) -- (9.633,9.45) -- (9.283,9.216) -- (8.938,8.974) -- (8.6,8.723) -- (8.267,8.465) -- (7.94,8.199) -- (7.62,7.926) -- (7.306,7.645) -- (7.0,7.357) -- (6.7,7.062) -- (6.407,6.76);
\draw[line width=0.5pt] (11.084,10.301) -- (11.132,10.085) -- (11.175,9.868) -- (11.212,9.649) -- (11.244,9.43) -- (11.272,9.21) -- (11.294,8.99) -- (11.31,8.769) -- (11.322,8.548) -- (11.328,8.326) -- (11.33,8.105) -- (11.326,7.883) -- (11.317,7.662) -- (11.302,7.441) -- (11.282,7.221) -- (11.122,6.907) -- (10.969,6.589) -- (10.824,6.268) -- (10.686,5.943) -- (10.556,5.615) -- (10.434,5.284) -- (10.319,4.95) -- (10.212,4.614) -- (10.113,4.275) -- (10.023,3.934) -- (9.94,3.591) -- (9.865,3.246) -- (9.799,2.9) -- (9.741,2.552);
\draw[line width=0.5pt] (6.407,6.76) -- (6.082,6.787) -- (5.756,6.807) -- (5.43,6.818) -- (5.104,6.822) -- (4.777,6.819) -- (4.451,6.808) -- (4.125,6.789) -- (3.799,6.762) -- (3.474,6.728) -- (3.15,6.686) -- (2.828,6.636) -- (2.506,6.579) -- (2.186,6.515) -- (1.868,6.443);
\draw[line width=0.5pt] (6.407,6.76) -- (6.088,6.419) -- (5.761,6.085) -- (5.426,5.759) -- (5.083,5.44) -- (4.733,5.13) -- (4.375,4.829) -- (4.011,4.535) -- (3.64,4.25) -- (3.262,3.975) -- (2.878,3.708) -- (2.488,3.45) -- (2.091,3.201) -- (1.69,2.962) -- (1.282,2.733);
\draw[line width=0.5pt] (6.407,6.76) -- (6.597,6.425) -- (6.795,6.095) -- (7.001,5.77) -- (7.215,5.449) -- (7.436,5.134) -- (7.664,4.823) -- (7.9,4.518) -- (8.143,4.219) -- (8.393,3.926) -- (8.649,3.638) -- (8.913,3.357) -- (9.182,3.082) -- (9.458,2.814) -- (9.741,2.552);
\draw[line width=0.5pt] (6.407,6.76) -- (6.468,6.393) -- (6.521,6.024) -- (6.564,5.654) -- (6.599,5.283) -- (6.626,4.911) -- (6.643,4.539) -- (6.652,4.166) -- (6.652,3.793) -- (6.643,3.421) -- (6.626,3.048) -- (6.6,2.677) -- (6.565,2.306) -- (6.521,1.936) -- (6.469,1.567);
\draw[line width=0.5pt] (1.282,2.733) -- (1.637,2.594) -- (1.995,2.463) -- (2.356,2.34) -- (2.72,2.226) -- (3.087,2.121) -- (3.456,2.024) -- (3.827,1.936) -- (4.201,1.857) -- (4.576,1.786) -- (4.952,1.725) -- (5.33,1.672) -- (5.709,1.628) -- (6.088,1.593) -- (6.469,1.567);
\draw[line width=0.5pt] (9.741,2.552) -- (9.519,2.446) -- (9.296,2.346) -- (9.07,2.251) -- (8.842,2.161) -- (8.611,2.077) -- (8.379,1.998) -- (8.145,1.925) -- (7.909,1.857) -- (7.672,1.794) -- (7.434,1.738) -- (7.194,1.686) -- (6.953,1.641) -- (6.711,1.601) -- (6.469,1.567);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.688,10.818) -- (5.667,10.898) -- (5.608,10.957) -- (5.528,10.978) -- (5.448,10.957) -- (5.39,10.898) -- (5.368,10.818) -- (5.39,10.738) -- (5.448,10.68) -- (5.528,10.658) -- (5.608,10.68) -- (5.667,10.738) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.244,10.301) -- (11.223,10.381) -- (11.164,10.439) -- (11.084,10.461) -- (11.004,10.439) -- (10.946,10.381) -- (10.924,10.301) -- (10.946,10.221) -- (11.004,10.162) -- (11.084,10.141) -- (11.164,10.162) -- (11.223,10.221) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.567,6.76) -- (6.546,6.84) -- (6.487,6.899) -- (6.407,6.92) -- (6.327,6.899) -- (6.268,6.84) -- (6.247,6.76) -- (6.268,6.68) -- (6.327,6.621) -- (6.407,6.6) -- (6.487,6.621) -- (6.546,6.68) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.028,6.443) -- (2.007,6.523) -- (1.948,6.581) -- (1.868,6.603) -- (1.788,6.581) -- (1.73,6.523) -- (1.708,6.443) -- (1.73,6.363) -- (1.788,6.304) -- (1.868,6.283) -- (1.948,6.304) -- (2.007,6.363) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.442,2.733) -- (1.421,2.813) -- (1.362,2.872) -- (1.282,2.893) -- (1.202,2.872) -- (1.144,2.813) -- (1.122,2.733) -- (1.144,2.653) -- (1.202,2.595) -- (1.282,2.573) -- (1.362,2.595) -- (1.421,2.653) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.901,2.552) -- (9.879,2.632) -- (9.821,2.691) -- (9.741,2.712) -- (9.661,2.691) -- (9.602,2.632) -- (9.581,2.552) -- (9.602,2.472) -- (9.661,2.413) -- (9.741,2.392) -- (9.821,2.413) -- (9.879,2.472) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.629,1.567) -- (6.607,1.647) -- (6.549,1.706) -- (6.469,1.727) -- (6.389,1.706) -- (6.33,1.647) -- (6.309,1.567) -- (6.33,1.487) -- (6.389,1.429) -- (6.469,1.407) -- (6.549,1.429) -- (6.607,1.487) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.655,10.649) -- (8.609,10.819) -- (8.485,10.944) -- (8.315,10.989) -- (8.145,10.944) -- (8.02,10.819) -- (7.975,10.649) -- (8.02,10.479) -- (8.145,10.355) -- (8.315,10.309) -- (8.485,10.355) -- (8.609,10.479) -- cycle;
\node at (8.315,10.649) {\scalebox{1.563}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.788,8.893) -- (6.742,9.063) -- (6.618,9.188) -- (6.448,9.233) -- (6.278,9.188) -- (6.153,9.063) -- (6.108,8.893) -- (6.153,8.723) -- (6.278,8.599) -- (6.448,8.553) -- (6.618,8.599) -- (6.742,8.723) -- cycle;
\node at (6.448,8.893) {\scalebox{1.563}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.133,8.468) -- (9.087,8.638) -- (8.963,8.763) -- (8.793,8.808) -- (8.623,8.763) -- (8.498,8.638) -- (8.453,8.468) -- (8.498,8.298) -- (8.623,8.174) -- (8.793,8.128) -- (8.963,8.174) -- (9.087,8.298) -- cycle;
\node at (8.793,8.468) {\scalebox{1.563}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.926,7.119) -- (11.88,7.289) -- (11.756,7.413) -- (11.586,7.459) -- (11.416,7.413) -- (11.291,7.289) -- (11.246,7.119) -- (11.291,6.949) -- (11.416,6.824) -- (11.586,6.779) -- (11.756,6.824) -- (11.88,6.949) -- cycle;
\node at (11.586,7.119) {\scalebox{1.563}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.487,6.469) -- (4.441,6.639) -- (4.317,6.764) -- (4.147,6.809) -- (3.977,6.764) -- (3.852,6.639) -- (3.807,6.469) -- (3.852,6.299) -- (3.977,6.175) -- (4.147,6.129) -- (4.317,6.175) -- (4.441,6.299) -- cycle;
\node at (4.147,6.469) {\scalebox{1.563}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.549,4.284) -- (4.503,4.454) -- (4.379,4.578) -- (4.209,4.624) -- (4.039,4.578) -- (3.914,4.454) -- (3.869,4.284) -- (3.914,4.114) -- (4.039,3.989) -- (4.209,3.944) -- (4.379,3.989) -- (4.503,4.114) -- cycle;
\node at (4.209,4.284) {\scalebox{1.563}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.491,4.717) -- (8.445,4.887) -- (8.321,5.012) -- (8.151,5.057) -- (7.981,5.012) -- (7.857,4.887) -- (7.811,4.717) -- (7.857,4.547) -- (7.981,4.423) -- (8.151,4.377) -- (8.321,4.423) -- (8.445,4.547) -- cycle;
\node at (8.151,4.717) {\scalebox{1.563}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.312,4.17) -- (7.266,4.34) -- (7.142,4.464) -- (6.972,4.51) -- (6.802,4.464) -- (6.677,4.34) -- (6.632,4.17) -- (6.677,4.0) -- (6.802,3.875) -- (6.972,3.83) -- (7.142,3.875) -- (7.266,4.0) -- cycle;
\node at (6.972,4.17) {\scalebox{1.563}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.238,2.248) -- (4.192,2.418) -- (4.068,2.543) -- (3.898,2.588) -- (3.728,2.543) -- (3.603,2.418) -- (3.558,2.248) -- (3.603,2.078) -- (3.728,1.954) -- (3.898,1.908) -- (4.068,1.954) -- (4.192,2.078) -- cycle;
\node at (3.898,2.248) {\scalebox{1.563}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.577,1.618) -- (8.532,1.788) -- (8.407,1.913) -- (8.237,1.958) -- (8.067,1.913) -- (7.943,1.788) -- (7.897,1.618) -- (7.943,1.448) -- (8.067,1.324) -- (8.237,1.278) -- (8.407,1.324) -- (8.532,1.448) -- cycle;
\node at (8.237,1.618) {\scalebox{1.563}{\small 10}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (10.784,10.001) -- (11.384,10.001) -- (11.384,10.601) -- (10.784,10.601) -- cycle;
\node at (11.084,10.301) {\scalebox{1.563}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.29,3.008) -- (3.89,3.008) -- (3.89,3.608) -- (3.29,3.608) -- cycle;
\node at (3.59,3.308) {\scalebox{1.563}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (8.493,11.579) -- (9.093,11.579) -- (9.093,12.179) -- (8.493,12.179) -- cycle;
\node at (8.793,11.879) {\scalebox{1.563}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (9.476,8.69) -- (10.076,8.69) -- (10.076,9.29) -- (9.476,9.29) -- cycle;
\node at (9.776,8.99) {\scalebox{1.563}{\small d}};
\node at (5.463,11.435) {\scalebox{1.563}{\small A}};
\node at (11.55,10.71) {\scalebox{1.563}{\small B}};
\node at (6.638,7.335) {\scalebox{1.563}{\small C}};
\node at (1.254,6.525) {\scalebox{1.563}{\small D}};
\node at (0.765,2.392) {\scalebox{1.563}{\small E}};
\node at (10.201,2.136) {\scalebox{1.563}{\small F}};
\node at (6.528,0.95) {\scalebox{1.563}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (12.384,9.868) -- (12.384,10.968);
\draw[line width=0.5pt] (12.153,10.583) -- (12.384,10.968) -- (12.615,10.583);
\draw[line width=0.5pt] (12.082,10.418) -- (12.687,10.418);
\node at (12.384,11.353) {\scalebox{1.563}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 3 & 6 & 1 & 2 & 3 & 3 \\ \hline
Parité & pair & \textbf{impair} & pair & \textbf{impair} & pair & \textbf{impair} & \textbf{impair} \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 20 = 2 \(\times\) 10, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{B}, \textbf{D}, \textbf{F}, \textbf{G} — il y en a 4.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{B}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Le quartier compte \textbf{4 carrefours impairs} (B, D, F, G).}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Chacun d'eux exigerait d'être un départ ou une arrivée. Une tournée n'a qu'un départ et qu'une arrivée : au moins 2 d'entre eux resteraient sans solution.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non plus.} Où que l'on installe la poste, il reste 4 carrefours impairs, et une tournée n'en tolère que deux : un pour partir, un pour arriver.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}C'est la différence avec un quartier à deux carrefours impairs, où déplacer la poste suffisait. Ici, le problème ne vient pas du point de départ mais du plan lui-même.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Combien de rues en double, au minimum ?} Il faut apparier les carrefours impairs deux à deux, ce qui demande 1 passage(s) supplémentaire(s) au mieux pour une tournée ouverte, un de plus pour revenir à la poste. C'est le « problème du postier chinois », étudié bien après Euler.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À remarquer.} Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
