\documentclass[a4paper,11pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[a4paper,top=3.2cm,bottom=2cm,left=2cm,right=2cm]{geometry}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
\DeclareUnicodeCharacter{2460}{\textcircled{\scriptsize 1}}
\DeclareUnicodeCharacter{2461}{\textcircled{\scriptsize 2}}
\DeclareUnicodeCharacter{2462}{\textcircled{\scriptsize 3}}
\DeclareUnicodeCharacter{2463}{\textcircled{\scriptsize 4}}
\DeclareUnicodeCharacter{2464}{\textcircled{\scriptsize 5}}
\DeclareUnicodeCharacter{2465}{\textcircled{\scriptsize 6}}
\DeclareUnicodeCharacter{2466}{\textcircled{\scriptsize 7}}
\DeclareUnicodeCharacter{2467}{\textcircled{\scriptsize 8}}
\DeclareUnicodeCharacter{2468}{\textcircled{\scriptsize 9}}
\DeclareUnicodeCharacter{2469}{\textcircled{\scriptsize 10}}
\DeclareUnicodeCharacter{246A}{\textcircled{\scriptsize 11}}
\DeclareUnicodeCharacter{246B}{\textcircled{\scriptsize 12}}
\DeclareUnicodeCharacter{246C}{\textcircled{\scriptsize 13}}
\DeclareUnicodeCharacter{246D}{\textcircled{\scriptsize 14}}
\DeclareUnicodeCharacter{246E}{\textcircled{\scriptsize 15}}
\DeclareUnicodeCharacter{246F}{\textcircled{\scriptsize 16}}
\DeclareUnicodeCharacter{2470}{\textcircled{\scriptsize 17}}
\DeclareUnicodeCharacter{2471}{\textcircled{\scriptsize 18}}
\DeclareUnicodeCharacter{2472}{\textcircled{\scriptsize 19}}
\DeclareUnicodeCharacter{2473}{\textcircled{\scriptsize 20}}
\DeclareUnicodeCharacter{24B6}{\textcircled{\scriptsize A}}
\DeclareUnicodeCharacter{24B7}{\textcircled{\scriptsize B}}
\DeclareUnicodeCharacter{24B8}{\textcircled{\scriptsize C}}
\DeclareUnicodeCharacter{24B9}{\textcircled{\scriptsize D}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BA}{\textcircled{\scriptsize E}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BB}{\textcircled{\scriptsize F}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BC}{\textcircled{\scriptsize G}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BD}{\textcircled{\scriptsize H}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BE}{\textcircled{\scriptsize I}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BF}{\textcircled{\scriptsize J}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C0}{\textcircled{\scriptsize K}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C1}{\textcircled{\scriptsize L}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C2}{\textcircled{\scriptsize M}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C3}{\textcircled{\scriptsize N}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C4}{\textcircled{\scriptsize O}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C5}{\textcircled{\scriptsize P}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C6}{\textcircled{\scriptsize Q}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C7}{\textcircled{\scriptsize R}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C8}{\textcircled{\scriptsize S}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C9}{\textcircled{\scriptsize T}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CA}{\textcircled{\scriptsize U}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CB}{\textcircled{\scriptsize V}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CC}{\textcircled{\scriptsize W}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CD}{\textcircled{\scriptsize X}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CE}{\textcircled{\scriptsize Y}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CF}{\textcircled{\scriptsize Z}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D0}{\textcircled{\scriptsize a}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D1}{\textcircled{\scriptsize b}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D2}{\textcircled{\scriptsize c}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D3}{\textcircled{\scriptsize d}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D4}{\textcircled{\scriptsize e}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D5}{\textcircled{\scriptsize f}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D6}{\textcircled{\scriptsize g}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D7}{\textcircled{\scriptsize h}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D8}{\textcircled{\scriptsize i}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D9}{\textcircled{\scriptsize j}}

\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 84}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=84}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0084}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7187, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (1.192,11.277) -- (1.502,11.187) -- (1.814,11.104) -- (2.128,11.028) -- (2.444,10.96) -- (2.761,10.9) -- (3.08,10.846) -- (3.4,10.801) -- (3.721,10.763) -- (4.043,10.732) -- (4.365,10.709) -- (4.688,10.693) -- (5.011,10.686) -- (5.334,10.685) -- (5.657,10.693);
\draw[line width=0.5pt] (1.192,11.277) -- (1.33,10.951) -- (1.46,10.622) -- (1.582,10.29) -- (1.697,9.955) -- (1.804,9.618) -- (1.902,9.278) -- (1.993,8.935) -- (2.076,8.591) -- (2.15,8.245) -- (2.217,7.897) -- (2.275,7.548) -- (2.325,7.197) -- (2.366,6.846) -- (2.4,6.494);
\draw[line width=0.5pt] (1.192,11.277) -- (1.431,10.848) -- (1.68,10.424) -- (1.939,10.006) -- (2.208,9.595) -- (2.487,9.189) -- (2.775,8.791) -- (3.072,8.399) -- (3.379,8.014) -- (3.694,7.637) -- (4.018,7.267) -- (4.351,6.905) -- (4.692,6.551) -- (5.041,6.205) -- (5.398,5.868);
\draw[line width=0.5pt] (5.657,10.693) -- (6.0,10.718) -- (6.343,10.734) -- (6.687,10.743) -- (7.031,10.743) -- (7.375,10.735) -- (7.719,10.719) -- (8.062,10.696) -- (8.405,10.664) -- (8.747,10.624) -- (9.088,10.576) -- (9.427,10.52) -- (9.765,10.456) -- (10.102,10.384) -- (10.436,10.304);
\draw[line width=0.5pt] (5.657,10.693) -- (5.586,10.354) -- (5.523,10.013) -- (5.468,9.671) -- (5.421,9.327) -- (5.382,8.983) -- (5.351,8.637) -- (5.329,8.291) -- (5.314,7.945) -- (5.308,7.598) -- (5.31,7.251) -- (5.319,6.905) -- (5.338,6.558) -- (5.364,6.213) -- (5.398,5.868);
\draw[line width=0.5pt] (10.436,10.304) -- (10.128,9.935) -- (9.81,9.572) -- (9.485,9.218) -- (9.15,8.871) -- (8.808,8.532) -- (8.458,8.201) -- (8.1,7.878) -- (7.735,7.564) -- (7.362,7.259) -- (6.983,6.962) -- (6.596,6.675) -- (6.203,6.396) -- (5.804,6.127) -- (5.398,5.868);
\draw[line width=0.5pt] (2.4,6.494) -- (2.605,6.417) -- (2.813,6.345) -- (3.022,6.277) -- (3.233,6.215) -- (3.445,6.157) -- (3.658,6.105) -- (3.873,6.057) -- (4.089,6.015) -- (4.306,5.978) -- (4.523,5.946) -- (4.741,5.918) -- (4.96,5.897) -- (5.179,5.88) -- (5.398,5.868);
\draw[line width=0.5pt] (2.4,6.494) -- (2.378,6.125) -- (2.348,5.756) -- (2.31,5.388) -- (2.262,5.021) -- (2.206,4.655) -- (2.142,4.29) -- (2.068,3.927) -- (1.987,3.566) -- (1.897,3.207) -- (1.798,2.85) -- (1.691,2.495) -- (1.576,2.143) -- (1.453,1.795) -- (1.321,1.449);
\draw[line width=0.5pt] (5.398,5.868) -- (5.757,5.55) -- (6.123,5.24) -- (6.496,4.939) -- (6.876,4.647) -- (7.263,4.363) -- (7.657,4.089) -- (8.057,3.824) -- (8.464,3.569) -- (8.876,3.323) -- (9.293,3.087) -- (9.717,2.861) -- (10.145,2.644) -- (10.578,2.439) -- (11.015,2.243);
\draw[line width=0.5pt] (5.398,5.868) -- (5.158,5.51) -- (4.909,5.158) -- (4.651,4.812) -- (4.386,4.472) -- (4.112,4.138) -- (3.831,3.811) -- (3.542,3.49) -- (3.246,3.177) -- (2.942,2.87) -- (2.631,2.57) -- (2.314,2.278) -- (1.989,1.994) -- (1.658,1.717) -- (1.321,1.449);
\draw[line width=0.5pt] (11.015,2.243) -- (10.667,2.227) -- (10.319,2.202) -- (9.972,2.17) -- (9.625,2.128) -- (9.28,2.079) -- (8.936,2.022) -- (8.593,1.957) -- (8.251,1.883) -- (7.912,1.802) -- (7.575,1.713) -- (7.24,1.615) -- (6.907,1.51) -- (6.577,1.398) -- (6.25,1.277) -- (5.899,1.235) -- (5.546,1.202) -- (5.194,1.177) -- (4.84,1.16) -- (4.486,1.152) -- (4.132,1.151) -- (3.778,1.16) -- (3.425,1.176) -- (3.072,1.201) -- (2.719,1.234) -- (2.368,1.275) -- (2.017,1.325) -- (1.668,1.383) -- (1.321,1.449);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.352,11.277) -- (1.331,11.357) -- (1.272,11.415) -- (1.192,11.437) -- (1.112,11.415) -- (1.053,11.357) -- (1.032,11.277) -- (1.053,11.197) -- (1.112,11.138) -- (1.192,11.117) -- (1.272,11.138) -- (1.331,11.197) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.817,10.693) -- (5.795,10.773) -- (5.737,10.831) -- (5.657,10.853) -- (5.577,10.831) -- (5.518,10.773) -- (5.497,10.693) -- (5.518,10.613) -- (5.577,10.554) -- (5.657,10.533) -- (5.737,10.554) -- (5.795,10.613) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.596,10.304) -- (10.575,10.384) -- (10.516,10.443) -- (10.436,10.464) -- (10.356,10.443) -- (10.297,10.384) -- (10.276,10.304) -- (10.297,10.224) -- (10.356,10.165) -- (10.436,10.144) -- (10.516,10.165) -- (10.575,10.224) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.56,6.494) -- (2.538,6.574) -- (2.48,6.633) -- (2.4,6.654) -- (2.32,6.633) -- (2.261,6.574) -- (2.24,6.494) -- (2.261,6.414) -- (2.32,6.355) -- (2.4,6.334) -- (2.48,6.355) -- (2.538,6.414) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.558,5.868) -- (5.537,5.948) -- (5.478,6.007) -- (5.398,6.028) -- (5.318,6.007) -- (5.26,5.948) -- (5.238,5.868) -- (5.26,5.788) -- (5.318,5.73) -- (5.398,5.708) -- (5.478,5.73) -- (5.537,5.788) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.175,2.243) -- (11.154,2.323) -- (11.095,2.382) -- (11.015,2.403) -- (10.935,2.382) -- (10.877,2.323) -- (10.855,2.243) -- (10.877,2.163) -- (10.935,2.105) -- (11.015,2.083) -- (11.095,2.105) -- (11.154,2.163) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.481,1.449) -- (1.46,1.529) -- (1.401,1.587) -- (1.321,1.609) -- (1.241,1.587) -- (1.183,1.529) -- (1.161,1.449) -- (1.183,1.369) -- (1.241,1.31) -- (1.321,1.289) -- (1.401,1.31) -- (1.46,1.369) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.782,11.118) -- (3.736,11.288) -- (3.612,11.412) -- (3.442,11.458) -- (3.272,11.412) -- (3.147,11.288) -- (3.102,11.118) -- (3.147,10.948) -- (3.272,10.824) -- (3.442,10.778) -- (3.612,10.824) -- (3.736,10.948) -- cycle;
\node at (3.442,11.118) {\scalebox{1.391}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.643,9.014) -- (2.598,9.184) -- (2.473,9.308) -- (2.303,9.354) -- (2.133,9.308) -- (2.009,9.184) -- (1.963,9.014) -- (2.009,8.844) -- (2.133,8.719) -- (2.303,8.674) -- (2.473,8.719) -- (2.598,8.844) -- cycle;
\node at (2.303,9.014) {\scalebox{1.391}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.665,8.596) -- (3.619,8.766) -- (3.495,8.89) -- (3.325,8.936) -- (3.155,8.89) -- (3.03,8.766) -- (2.985,8.596) -- (3.03,8.426) -- (3.155,8.301) -- (3.325,8.256) -- (3.495,8.301) -- (3.619,8.426) -- cycle;
\node at (3.325,8.596) {\scalebox{1.391}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.428,11.015) -- (8.383,11.185) -- (8.258,11.309) -- (8.088,11.355) -- (7.918,11.309) -- (7.794,11.185) -- (7.748,11.015) -- (7.794,10.845) -- (7.918,10.72) -- (8.088,10.675) -- (8.258,10.72) -- (8.383,10.845) -- cycle;
\node at (8.088,11.015) {\scalebox{1.391}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.988,8.274) -- (5.943,8.444) -- (5.818,8.569) -- (5.648,8.614) -- (5.478,8.569) -- (5.354,8.444) -- (5.308,8.274) -- (5.354,8.104) -- (5.478,7.98) -- (5.648,7.934) -- (5.818,7.98) -- (5.943,8.104) -- cycle;
\node at (5.648,8.274) {\scalebox{1.391}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.652,7.638) -- (8.606,7.808) -- (8.482,7.933) -- (8.312,7.978) -- (8.142,7.933) -- (8.017,7.808) -- (7.972,7.638) -- (8.017,7.468) -- (8.142,7.344) -- (8.312,7.298) -- (8.482,7.344) -- (8.606,7.468) -- cycle;
\node at (8.312,7.638) {\scalebox{1.391}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.279,6.371) -- (4.233,6.541) -- (4.109,6.665) -- (3.939,6.711) -- (3.769,6.665) -- (3.644,6.541) -- (3.599,6.371) -- (3.644,6.201) -- (3.769,6.076) -- (3.939,6.031) -- (4.109,6.076) -- (4.233,6.201) -- cycle;
\node at (3.939,6.371) {\scalebox{1.391}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.721,3.86) -- (2.676,4.03) -- (2.551,4.155) -- (2.381,4.2) -- (2.211,4.155) -- (2.087,4.03) -- (2.041,3.86) -- (2.087,3.69) -- (2.211,3.566) -- (2.381,3.52) -- (2.551,3.566) -- (2.676,3.69) -- cycle;
\node at (2.381,3.86) {\scalebox{1.391}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.571,4.093) -- (8.525,4.263) -- (8.401,4.387) -- (8.231,4.433) -- (8.061,4.387) -- (7.936,4.263) -- (7.891,4.093) -- (7.936,3.923) -- (8.061,3.798) -- (8.231,3.753) -- (8.401,3.798) -- (8.525,3.923) -- cycle;
\node at (8.231,4.093) {\scalebox{1.391}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.117,3.273) -- (4.072,3.443) -- (3.947,3.568) -- (3.777,3.613) -- (3.607,3.568) -- (3.483,3.443) -- (3.437,3.273) -- (3.483,3.103) -- (3.607,2.979) -- (3.777,2.933) -- (3.947,2.979) -- (4.072,3.103) -- cycle;
\node at (3.777,3.273) {\scalebox{1.391}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.664,0.966) -- (6.619,1.136) -- (6.494,1.26) -- (6.324,1.306) -- (6.154,1.26) -- (6.03,1.136) -- (5.984,0.966) -- (6.03,0.796) -- (6.154,0.671) -- (6.324,0.626) -- (6.494,0.671) -- (6.619,0.796) -- cycle;
\node at (6.324,0.966) {\scalebox{1.391}{\small 11}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (5.098,5.568) -- (5.698,5.568) -- (5.698,6.168) -- (5.098,6.168) -- cycle;
\node at (5.398,5.868) {\scalebox{1.391}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (3.265,1.786) -- (3.865,1.786) -- (3.865,2.386) -- (3.265,2.386) -- cycle;
\node at (3.565,2.086) {\scalebox{1.391}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (2.744,12.06) -- (3.344,12.06) -- (3.344,12.66) -- (2.744,12.66) -- cycle;
\node at (3.044,12.36) {\scalebox{1.391}{\small c}};
\node at (0.765,11.726) {\scalebox{1.391}{\small A}};
\node at (5.707,11.311) {\scalebox{1.391}{\small B}};
\node at (10.952,10.648) {\scalebox{1.391}{\small C}};
\node at (1.786,6.409) {\scalebox{1.391}{\small D}};
\node at (5.43,5.249) {\scalebox{1.391}{\small E}};
\node at (11.494,1.85) {\scalebox{1.391}{\small F}};
\node at (0.953,0.95) {\scalebox{1.391}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (12.315,10.327) -- (12.315,11.427);
\draw[line width=0.5pt] (12.084,11.042) -- (12.315,11.427) -- (12.546,11.042);
\draw[line width=0.5pt] (12.013,10.877) -- (12.618,10.877);
\node at (12.315,11.812) {\scalebox{1.391}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue des Lilas & ⑦ allée des Tilleuls & Ⓐ Carrefour de la Mairie & \textbf{a} la poste \\ \hline
② passage du Marché & ⑧ rue du Four & Ⓑ Rond-point du Stade & \textbf{b} le stade \\ \hline
③ rue du Puits & ⑨ rue de la Poste & Ⓒ Place des Tanneurs & \textbf{c} la mairie \\ \hline
④ avenue de la Gare & ⑩ chemin Creux & Ⓓ Carrefour Saint-Roch &  \\ \hline
⑤ rue du Stade & ⑪ chemin du Lavoir & Ⓔ Carrefour des Tilleuls &  \\ \hline
⑥ quai aux Fleurs &  & Ⓕ Place de la Fontaine &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Rond-point du Pont &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6431, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (1.192,11.277) -- (1.502,11.187) -- (1.814,11.104) -- (2.128,11.028) -- (2.444,10.96) -- (2.761,10.9) -- (3.08,10.846) -- (3.4,10.801) -- (3.721,10.763) -- (4.043,10.732) -- (4.365,10.709) -- (4.688,10.693) -- (5.011,10.686) -- (5.334,10.685) -- (5.657,10.693);
\draw[line width=0.5pt] (1.192,11.277) -- (1.33,10.951) -- (1.46,10.622) -- (1.582,10.29) -- (1.697,9.955) -- (1.804,9.618) -- (1.902,9.278) -- (1.993,8.935) -- (2.076,8.591) -- (2.15,8.245) -- (2.217,7.897) -- (2.275,7.548) -- (2.325,7.197) -- (2.366,6.846) -- (2.4,6.494);
\draw[line width=0.5pt] (1.192,11.277) -- (1.431,10.848) -- (1.68,10.424) -- (1.939,10.006) -- (2.208,9.595) -- (2.487,9.189) -- (2.775,8.791) -- (3.072,8.399) -- (3.379,8.014) -- (3.694,7.637) -- (4.018,7.267) -- (4.351,6.905) -- (4.692,6.551) -- (5.041,6.205) -- (5.398,5.868);
\draw[line width=0.5pt] (5.657,10.693) -- (6.0,10.718) -- (6.343,10.734) -- (6.687,10.743) -- (7.031,10.743) -- (7.375,10.735) -- (7.719,10.719) -- (8.062,10.696) -- (8.405,10.664) -- (8.747,10.624) -- (9.088,10.576) -- (9.427,10.52) -- (9.765,10.456) -- (10.102,10.384) -- (10.436,10.304);
\draw[line width=0.5pt] (5.657,10.693) -- (5.586,10.354) -- (5.523,10.013) -- (5.468,9.671) -- (5.421,9.327) -- (5.382,8.983) -- (5.351,8.637) -- (5.329,8.291) -- (5.314,7.945) -- (5.308,7.598) -- (5.31,7.251) -- (5.319,6.905) -- (5.338,6.558) -- (5.364,6.213) -- (5.398,5.868);
\draw[line width=0.5pt] (10.436,10.304) -- (10.128,9.935) -- (9.81,9.572) -- (9.485,9.218) -- (9.15,8.871) -- (8.808,8.532) -- (8.458,8.201) -- (8.1,7.878) -- (7.735,7.564) -- (7.362,7.259) -- (6.983,6.962) -- (6.596,6.675) -- (6.203,6.396) -- (5.804,6.127) -- (5.398,5.868);
\draw[line width=0.5pt] (2.4,6.494) -- (2.605,6.417) -- (2.813,6.345) -- (3.022,6.277) -- (3.233,6.215) -- (3.445,6.157) -- (3.658,6.105) -- (3.873,6.057) -- (4.089,6.015) -- (4.306,5.978) -- (4.523,5.946) -- (4.741,5.918) -- (4.96,5.897) -- (5.179,5.88) -- (5.398,5.868);
\draw[line width=0.5pt] (2.4,6.494) -- (2.378,6.125) -- (2.348,5.756) -- (2.31,5.388) -- (2.262,5.021) -- (2.206,4.655) -- (2.142,4.29) -- (2.068,3.927) -- (1.987,3.566) -- (1.897,3.207) -- (1.798,2.85) -- (1.691,2.495) -- (1.576,2.143) -- (1.453,1.795) -- (1.321,1.449);
\draw[line width=0.5pt] (5.398,5.868) -- (5.757,5.55) -- (6.123,5.24) -- (6.496,4.939) -- (6.876,4.647) -- (7.263,4.363) -- (7.657,4.089) -- (8.057,3.824) -- (8.464,3.569) -- (8.876,3.323) -- (9.293,3.087) -- (9.717,2.861) -- (10.145,2.644) -- (10.578,2.439) -- (11.015,2.243);
\draw[line width=0.5pt] (5.398,5.868) -- (5.158,5.51) -- (4.909,5.158) -- (4.651,4.812) -- (4.386,4.472) -- (4.112,4.138) -- (3.831,3.811) -- (3.542,3.49) -- (3.246,3.177) -- (2.942,2.87) -- (2.631,2.57) -- (2.314,2.278) -- (1.989,1.994) -- (1.658,1.717) -- (1.321,1.449);
\draw[line width=0.5pt] (11.015,2.243) -- (10.667,2.227) -- (10.319,2.202) -- (9.972,2.17) -- (9.625,2.128) -- (9.28,2.079) -- (8.936,2.022) -- (8.593,1.957) -- (8.251,1.883) -- (7.912,1.802) -- (7.575,1.713) -- (7.24,1.615) -- (6.907,1.51) -- (6.577,1.398) -- (6.25,1.277) -- (5.899,1.235) -- (5.546,1.202) -- (5.194,1.177) -- (4.84,1.16) -- (4.486,1.152) -- (4.132,1.151) -- (3.778,1.16) -- (3.425,1.176) -- (3.072,1.201) -- (2.719,1.234) -- (2.368,1.275) -- (2.017,1.325) -- (1.668,1.383) -- (1.321,1.449);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.352,11.277) -- (1.331,11.357) -- (1.272,11.415) -- (1.192,11.437) -- (1.112,11.415) -- (1.053,11.357) -- (1.032,11.277) -- (1.053,11.197) -- (1.112,11.138) -- (1.192,11.117) -- (1.272,11.138) -- (1.331,11.197) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.817,10.693) -- (5.795,10.773) -- (5.737,10.831) -- (5.657,10.853) -- (5.577,10.831) -- (5.518,10.773) -- (5.497,10.693) -- (5.518,10.613) -- (5.577,10.554) -- (5.657,10.533) -- (5.737,10.554) -- (5.795,10.613) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.596,10.304) -- (10.575,10.384) -- (10.516,10.443) -- (10.436,10.464) -- (10.356,10.443) -- (10.297,10.384) -- (10.276,10.304) -- (10.297,10.224) -- (10.356,10.165) -- (10.436,10.144) -- (10.516,10.165) -- (10.575,10.224) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.56,6.494) -- (2.538,6.574) -- (2.48,6.633) -- (2.4,6.654) -- (2.32,6.633) -- (2.261,6.574) -- (2.24,6.494) -- (2.261,6.414) -- (2.32,6.355) -- (2.4,6.334) -- (2.48,6.355) -- (2.538,6.414) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.558,5.868) -- (5.537,5.948) -- (5.478,6.007) -- (5.398,6.028) -- (5.318,6.007) -- (5.26,5.948) -- (5.238,5.868) -- (5.26,5.788) -- (5.318,5.73) -- (5.398,5.708) -- (5.478,5.73) -- (5.537,5.788) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.175,2.243) -- (11.154,2.323) -- (11.095,2.382) -- (11.015,2.403) -- (10.935,2.382) -- (10.877,2.323) -- (10.855,2.243) -- (10.877,2.163) -- (10.935,2.105) -- (11.015,2.083) -- (11.095,2.105) -- (11.154,2.163) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.481,1.449) -- (1.46,1.529) -- (1.401,1.587) -- (1.321,1.609) -- (1.241,1.587) -- (1.183,1.529) -- (1.161,1.449) -- (1.183,1.369) -- (1.241,1.31) -- (1.321,1.289) -- (1.401,1.31) -- (1.46,1.369) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.782,11.118) -- (3.736,11.288) -- (3.612,11.412) -- (3.442,11.458) -- (3.272,11.412) -- (3.147,11.288) -- (3.102,11.118) -- (3.147,10.948) -- (3.272,10.824) -- (3.442,10.778) -- (3.612,10.824) -- (3.736,10.948) -- cycle;
\node at (3.442,11.118) {\scalebox{1.555}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.643,9.014) -- (2.598,9.184) -- (2.473,9.308) -- (2.303,9.354) -- (2.133,9.308) -- (2.009,9.184) -- (1.963,9.014) -- (2.009,8.844) -- (2.133,8.719) -- (2.303,8.674) -- (2.473,8.719) -- (2.598,8.844) -- cycle;
\node at (2.303,9.014) {\scalebox{1.555}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.665,8.596) -- (3.619,8.766) -- (3.495,8.89) -- (3.325,8.936) -- (3.155,8.89) -- (3.03,8.766) -- (2.985,8.596) -- (3.03,8.426) -- (3.155,8.301) -- (3.325,8.256) -- (3.495,8.301) -- (3.619,8.426) -- cycle;
\node at (3.325,8.596) {\scalebox{1.555}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.428,11.015) -- (8.383,11.185) -- (8.258,11.309) -- (8.088,11.355) -- (7.918,11.309) -- (7.794,11.185) -- (7.748,11.015) -- (7.794,10.845) -- (7.918,10.72) -- (8.088,10.675) -- (8.258,10.72) -- (8.383,10.845) -- cycle;
\node at (8.088,11.015) {\scalebox{1.555}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.988,8.274) -- (5.943,8.444) -- (5.818,8.569) -- (5.648,8.614) -- (5.478,8.569) -- (5.354,8.444) -- (5.308,8.274) -- (5.354,8.104) -- (5.478,7.98) -- (5.648,7.934) -- (5.818,7.98) -- (5.943,8.104) -- cycle;
\node at (5.648,8.274) {\scalebox{1.555}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.652,7.638) -- (8.606,7.808) -- (8.482,7.933) -- (8.312,7.978) -- (8.142,7.933) -- (8.017,7.808) -- (7.972,7.638) -- (8.017,7.468) -- (8.142,7.344) -- (8.312,7.298) -- (8.482,7.344) -- (8.606,7.468) -- cycle;
\node at (8.312,7.638) {\scalebox{1.555}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.279,6.371) -- (4.233,6.541) -- (4.109,6.665) -- (3.939,6.711) -- (3.769,6.665) -- (3.644,6.541) -- (3.599,6.371) -- (3.644,6.201) -- (3.769,6.076) -- (3.939,6.031) -- (4.109,6.076) -- (4.233,6.201) -- cycle;
\node at (3.939,6.371) {\scalebox{1.555}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.721,3.86) -- (2.676,4.03) -- (2.551,4.155) -- (2.381,4.2) -- (2.211,4.155) -- (2.087,4.03) -- (2.041,3.86) -- (2.087,3.69) -- (2.211,3.566) -- (2.381,3.52) -- (2.551,3.566) -- (2.676,3.69) -- cycle;
\node at (2.381,3.86) {\scalebox{1.555}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.571,4.093) -- (8.525,4.263) -- (8.401,4.387) -- (8.231,4.433) -- (8.061,4.387) -- (7.936,4.263) -- (7.891,4.093) -- (7.936,3.923) -- (8.061,3.798) -- (8.231,3.753) -- (8.401,3.798) -- (8.525,3.923) -- cycle;
\node at (8.231,4.093) {\scalebox{1.555}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.117,3.273) -- (4.072,3.443) -- (3.947,3.568) -- (3.777,3.613) -- (3.607,3.568) -- (3.483,3.443) -- (3.437,3.273) -- (3.483,3.103) -- (3.607,2.979) -- (3.777,2.933) -- (3.947,2.979) -- (4.072,3.103) -- cycle;
\node at (3.777,3.273) {\scalebox{1.555}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.664,0.966) -- (6.619,1.136) -- (6.494,1.26) -- (6.324,1.306) -- (6.154,1.26) -- (6.03,1.136) -- (5.984,0.966) -- (6.03,0.796) -- (6.154,0.671) -- (6.324,0.626) -- (6.494,0.671) -- (6.619,0.796) -- cycle;
\node at (6.324,0.966) {\scalebox{1.555}{\small 11}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (5.098,5.568) -- (5.698,5.568) -- (5.698,6.168) -- (5.098,6.168) -- cycle;
\node at (5.398,5.868) {\scalebox{1.555}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (3.265,1.786) -- (3.865,1.786) -- (3.865,2.386) -- (3.265,2.386) -- cycle;
\node at (3.565,2.086) {\scalebox{1.555}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (2.744,12.06) -- (3.344,12.06) -- (3.344,12.66) -- (2.744,12.66) -- cycle;
\node at (3.044,12.36) {\scalebox{1.555}{\small c}};
\node at (0.765,11.726) {\scalebox{1.555}{\small A}};
\node at (5.707,11.311) {\scalebox{1.555}{\small B}};
\node at (10.952,10.648) {\scalebox{1.555}{\small C}};
\node at (1.786,6.409) {\scalebox{1.555}{\small D}};
\node at (5.43,5.249) {\scalebox{1.555}{\small E}};
\node at (11.494,1.85) {\scalebox{1.555}{\small F}};
\node at (0.953,0.95) {\scalebox{1.555}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (12.315,10.327) -- (12.315,11.427);
\draw[line width=0.5pt] (12.084,11.042) -- (12.315,11.427) -- (12.546,11.042);
\draw[line width=0.5pt] (12.013,10.877) -- (12.618,10.877);
\node at (12.315,11.812) {\scalebox{1.555}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G \\ \hline
Nombre de rues & 3 & 3 & 2 & 3 & 6 & 2 & 3 \\ \hline
Parité & \textbf{impair} & \textbf{impair} & pair & \textbf{impair} & pair & pair & \textbf{impair} \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 22 = 2 \(\times\) 11, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{A}, \textbf{B}, \textbf{D}, \textbf{G} — il y en a 4.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{E}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Le quartier compte \textbf{4 carrefours impairs} (A, B, D, G).}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Chacun d'eux exigerait d'être un départ ou une arrivée. Une tournée n'a qu'un départ et qu'une arrivée : au moins 2 d'entre eux resteraient sans solution.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non plus.} Où que l'on installe la poste, il reste 4 carrefours impairs, et une tournée n'en tolère que deux : un pour partir, un pour arriver.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}C'est la différence avec un quartier à deux carrefours impairs, où déplacer la poste suffisait. Ici, le problème ne vient pas du point de départ mais du plan lui-même.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Combien de rues en double, au minimum ?} Il faut apparier les carrefours impairs deux à deux, ce qui demande 1 passage(s) supplémentaire(s) au mieux pour une tournée ouverte, un de plus pour revenir à la poste. C'est le « problème du postier chinois », étudié bien après Euler.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
