\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 85}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=85}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0085}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6916, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (11.309,8.146) -- (11.038,8.158) -- (10.766,8.164) -- (10.495,8.163) -- (10.223,8.156) -- (9.952,8.142) -- (9.681,8.122) -- (9.411,8.096) -- (9.141,8.063) -- (8.872,8.024) -- (8.604,7.979) -- (8.337,7.927) -- (8.072,7.87) -- (7.808,7.806) -- (7.546,7.735);
\draw[line width=0.5pt] (11.309,8.146) -- (11.317,7.87) -- (11.319,7.593) -- (11.314,7.317) -- (11.303,7.04) -- (11.285,6.764) -- (11.26,6.488) -- (11.23,6.213) -- (11.192,5.939) -- (11.149,5.666) -- (11.098,5.394) -- (11.042,5.123) -- (10.979,4.854) -- (10.91,4.586) -- (10.835,4.32);
\draw[line width=0.5pt] (5.189,7.905) -- (5.354,7.867) -- (5.52,7.833) -- (5.687,7.803) -- (5.855,7.777) -- (6.023,7.755) -- (6.192,7.737) -- (6.361,7.723) -- (6.53,7.713) -- (6.699,7.706) -- (6.869,7.704) -- (7.038,7.706) -- (7.208,7.712) -- (7.377,7.722) -- (7.546,7.735);
\draw[line width=0.5pt] (5.189,7.905) -- (5.236,7.653) -- (5.277,7.4) -- (5.311,7.146) -- (5.34,6.892) -- (5.363,6.637) -- (5.379,6.381) -- (5.39,6.125) -- (5.395,5.868) -- (5.393,5.612) -- (5.386,5.356) -- (5.373,5.1) -- (5.353,4.845) -- (5.328,4.59) -- (5.296,4.336);
\draw[line width=0.5pt] (7.546,7.735) -- (7.349,7.519) -- (7.158,7.298) -- (6.972,7.073) -- (6.791,6.843) -- (6.615,6.609) -- (6.445,6.37) -- (6.281,6.128) -- (6.122,5.882) -- (5.97,5.633) -- (5.823,5.38) -- (5.682,5.123) -- (5.547,4.864) -- (5.419,4.601) -- (5.296,4.336);
\draw[line width=0.5pt] (7.546,7.735) -- (7.585,7.483) -- (7.618,7.229) -- (7.645,6.975) -- (7.666,6.72) -- (7.681,6.464) -- (7.69,6.209) -- (7.693,5.953) -- (7.69,5.697) -- (7.681,5.441) -- (7.666,5.185) -- (7.645,4.93) -- (7.618,4.676) -- (7.585,4.423) -- (7.546,4.17) -- (7.522,4.04) -- (7.502,3.909) -- (7.484,3.778) -- (7.469,3.646) -- (7.458,3.515) -- (7.45,3.382) -- (7.444,3.25) -- (7.442,3.118) -- (7.443,2.985) -- (7.447,2.853) -- (7.454,2.721) -- (7.465,2.589) -- (7.478,2.457) -- (7.495,2.326);
\draw[line width=0.5pt] (5.296,4.336) -- (4.986,4.199) -- (4.679,4.054) -- (4.375,3.903) -- (4.075,3.744) -- (3.778,3.578) -- (3.486,3.405) -- (3.198,3.225) -- (2.913,3.039) -- (2.634,2.846) -- (2.359,2.647) -- (2.089,2.441) -- (1.824,2.229) -- (1.564,2.01) -- (1.309,1.786);
\draw[line width=0.5pt] (5.296,4.336) -- (5.302,4.13) -- (5.303,3.925) -- (5.299,3.719) -- (5.29,3.514) -- (5.276,3.309) -- (5.258,3.104) -- (5.235,2.899) -- (5.207,2.696) -- (5.174,2.493) -- (5.136,2.291) -- (5.094,2.089) -- (5.047,1.889) -- (4.995,1.69) -- (4.938,1.493);
\draw[line width=0.5pt] (10.835,4.32) -- (10.576,4.215) -- (10.32,4.105) -- (10.067,3.988) -- (9.816,3.865) -- (9.568,3.736) -- (9.324,3.601) -- (9.082,3.461) -- (8.844,3.315) -- (8.61,3.163) -- (8.379,3.007) -- (8.152,2.844) -- (7.928,2.677) -- (7.709,2.504) -- (7.495,2.326);
\draw[line width=0.5pt] (1.309,1.786) -- (1.569,1.805) -- (1.83,1.818) -- (2.091,1.824) -- (2.353,1.825) -- (2.614,1.819) -- (2.875,1.807) -- (3.136,1.789) -- (3.396,1.765) -- (3.656,1.735) -- (3.914,1.699) -- (4.172,1.656) -- (4.429,1.608) -- (4.684,1.553) -- (4.938,1.493);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.469,8.146) -- (11.448,8.226) -- (11.389,8.284) -- (11.309,8.306) -- (11.229,8.284) -- (11.17,8.226) -- (11.149,8.146) -- (11.17,8.066) -- (11.229,8.007) -- (11.309,7.986) -- (11.389,8.007) -- (11.448,8.066) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.349,7.905) -- (5.328,7.985) -- (5.269,8.043) -- (5.189,8.065) -- (5.109,8.043) -- (5.051,7.985) -- (5.029,7.905) -- (5.051,7.825) -- (5.109,7.766) -- (5.189,7.745) -- (5.269,7.766) -- (5.328,7.825) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.706,7.735) -- (7.684,7.815) -- (7.626,7.874) -- (7.546,7.895) -- (7.466,7.874) -- (7.407,7.815) -- (7.386,7.735) -- (7.407,7.655) -- (7.466,7.597) -- (7.546,7.575) -- (7.626,7.597) -- (7.684,7.655) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.456,4.336) -- (5.435,4.416) -- (5.376,4.474) -- (5.296,4.496) -- (5.216,4.474) -- (5.158,4.416) -- (5.136,4.336) -- (5.158,4.256) -- (5.216,4.197) -- (5.296,4.176) -- (5.376,4.197) -- (5.435,4.256) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.995,4.32) -- (10.973,4.4) -- (10.915,4.459) -- (10.835,4.48) -- (10.755,4.459) -- (10.696,4.4) -- (10.675,4.32) -- (10.696,4.24) -- (10.755,4.182) -- (10.835,4.16) -- (10.915,4.182) -- (10.973,4.24) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.655,2.326) -- (7.633,2.406) -- (7.575,2.465) -- (7.495,2.486) -- (7.415,2.465) -- (7.356,2.406) -- (7.335,2.326) -- (7.356,2.246) -- (7.415,2.187) -- (7.495,2.166) -- (7.575,2.187) -- (7.633,2.246) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.469,1.786) -- (1.448,1.866) -- (1.389,1.925) -- (1.309,1.946) -- (1.229,1.925) -- (1.17,1.866) -- (1.149,1.786) -- (1.17,1.706) -- (1.229,1.648) -- (1.309,1.626) -- (1.389,1.648) -- (1.448,1.706) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.098,1.493) -- (5.077,1.573) -- (5.018,1.631) -- (4.938,1.653) -- (4.858,1.631) -- (4.8,1.573) -- (4.778,1.493) -- (4.8,1.413) -- (4.858,1.354) -- (4.938,1.333) -- (5.018,1.354) -- (5.077,1.413) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.785,7.778) -- (9.74,7.948) -- (9.615,8.072) -- (9.445,8.118) -- (9.275,8.072) -- (9.151,7.948) -- (9.105,7.778) -- (9.151,7.608) -- (9.275,7.483) -- (9.445,7.438) -- (9.615,7.483) -- (9.74,7.608) -- cycle;
\node at (9.445,7.778) {\scalebox{1.446}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.887,6.174) -- (11.842,6.344) -- (11.717,6.469) -- (11.547,6.514) -- (11.377,6.469) -- (11.253,6.344) -- (11.207,6.174) -- (11.253,6.004) -- (11.377,5.88) -- (11.547,5.834) -- (11.717,5.88) -- (11.842,6.004) -- cycle;
\node at (11.547,6.174) {\scalebox{1.446}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.724,8.042) -- (6.678,8.212) -- (6.554,8.336) -- (6.384,8.382) -- (6.214,8.336) -- (6.089,8.212) -- (6.044,8.042) -- (6.089,7.872) -- (6.214,7.748) -- (6.384,7.702) -- (6.554,7.748) -- (6.678,7.872) -- cycle;
\node at (6.384,8.042) {\scalebox{1.446}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.05,6.134) -- (6.004,6.304) -- (5.88,6.429) -- (5.71,6.474) -- (5.54,6.429) -- (5.415,6.304) -- (5.37,6.134) -- (5.415,5.964) -- (5.54,5.84) -- (5.71,5.794) -- (5.88,5.84) -- (6.004,5.964) -- cycle;
\node at (5.71,6.134) {\scalebox{1.446}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.888,5.952) -- (6.842,6.122) -- (6.718,6.246) -- (6.548,6.292) -- (6.378,6.246) -- (6.253,6.122) -- (6.208,5.952) -- (6.253,5.782) -- (6.378,5.657) -- (6.548,5.612) -- (6.718,5.657) -- (6.842,5.782) -- cycle;
\node at (6.548,5.952) {\scalebox{1.446}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.202,4.118) -- (8.156,4.288) -- (8.032,4.412) -- (7.862,4.458) -- (7.692,4.412) -- (7.567,4.288) -- (7.522,4.118) -- (7.567,3.948) -- (7.692,3.824) -- (7.862,3.778) -- (8.032,3.824) -- (8.156,3.948) -- cycle;
\node at (7.862,4.118) {\scalebox{1.446}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.71,2.956) -- (3.664,3.126) -- (3.54,3.25) -- (3.37,3.296) -- (3.2,3.25) -- (3.075,3.126) -- (3.03,2.956) -- (3.075,2.786) -- (3.2,2.661) -- (3.37,2.616) -- (3.54,2.661) -- (3.664,2.786) -- cycle;
\node at (3.37,2.956) {\scalebox{1.446}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.892,2.86) -- (5.847,3.03) -- (5.722,3.154) -- (5.552,3.2) -- (5.382,3.154) -- (5.258,3.03) -- (5.212,2.86) -- (5.258,2.69) -- (5.382,2.565) -- (5.552,2.52) -- (5.722,2.565) -- (5.847,2.69) -- cycle;
\node at (5.552,2.86) {\scalebox{1.446}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.586,3.186) -- (9.541,3.356) -- (9.416,3.481) -- (9.246,3.526) -- (9.076,3.481) -- (8.952,3.356) -- (8.906,3.186) -- (8.952,3.016) -- (9.076,2.892) -- (9.246,2.846) -- (9.416,2.892) -- (9.541,3.016) -- cycle;
\node at (9.246,3.186) {\scalebox{1.446}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.502,2.108) -- (3.456,2.278) -- (3.332,2.403) -- (3.162,2.448) -- (2.992,2.403) -- (2.867,2.278) -- (2.822,2.108) -- (2.867,1.938) -- (2.992,1.814) -- (3.162,1.768) -- (3.332,1.814) -- (3.456,1.938) -- cycle;
\node at (3.162,2.108) {\scalebox{1.446}{\small 10}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (7.246,7.435) -- (7.846,7.435) -- (7.846,8.035) -- (7.246,8.035) -- cycle;
\node at (7.546,7.735) {\scalebox{1.446}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (1.745,1.572) -- (2.345,1.572) -- (2.345,2.172) -- (1.745,2.172) -- cycle;
\node at (2.045,1.872) {\scalebox{1.446}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.09,6.794) -- (5.69,6.794) -- (5.69,7.394) -- (5.09,7.394) -- cycle;
\node at (5.39,7.094) {\scalebox{1.446}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (12.536,6.138) -- (13.136,6.138) -- (13.136,6.738) -- (12.536,6.738) -- cycle;
\node at (12.836,6.438) {\scalebox{1.446}{\small d}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (2.88,2.037) -- (3.48,2.037) -- (3.48,2.637) -- (2.88,2.637) -- cycle;
\node at (3.18,2.337) {\scalebox{1.446}{\small e}};
\node at (11.807,8.515) {\scalebox{1.446}{\small A}};
\node at (4.915,8.461) {\scalebox{1.446}{\small B}};
\node at (7.708,8.334) {\scalebox{1.446}{\small C}};
\node at (4.701,4.162) {\scalebox{1.446}{\small D}};
\node at (11.451,4.255) {\scalebox{1.446}{\small E}};
\node at (7.679,1.734) {\scalebox{1.446}{\small F}};
\node at (0.765,1.489) {\scalebox{1.446}{\small G}};
\node at (4.639,0.95) {\scalebox{1.446}{\small H}};
\draw[line width=0.5pt] (12.609,7.196) -- (12.609,8.296);
\draw[line width=0.5pt] (12.378,7.911) -- (12.609,8.296) -- (12.84,7.911);
\draw[line width=0.5pt] (12.306,7.746) -- (12.911,7.746);
\node at (12.609,8.681) {\scalebox{1.446}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue de la Mairie & ⑥ rue du Stade & Ⓐ Place de la Fontaine & \textbf{a} la poste \\ \hline
② passage du Marché & ⑦ chemin du Lavoir & Ⓑ Placette des Ormes & \textbf{b} la salle des fêtes \\ \hline
③ chemin des Vignes & ⑧ rue du Pont & Ⓒ Carrefour Saint-Roch & \textbf{c} le marché couvert \\ \hline
④ chemin Creux & ⑨ rue du Moulin & Ⓓ Carrefour des Quatre-Chemins & \textbf{d} la gendarmerie \\ \hline
⑤ sentier des Prés & ⑩ chemin de Ronde & Ⓔ Place aux Herbes & \textbf{e} le stade \\ \hline
 &  & Ⓕ Place du Marché &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Place de l'Église &  \\ \hline
 &  & Ⓗ Coin du Lavoir &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6188, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (11.309,8.146) -- (11.038,8.158) -- (10.766,8.164) -- (10.495,8.163) -- (10.223,8.156) -- (9.952,8.142) -- (9.681,8.122) -- (9.411,8.096) -- (9.141,8.063) -- (8.872,8.024) -- (8.604,7.979) -- (8.337,7.927) -- (8.072,7.87) -- (7.808,7.806) -- (7.546,7.735);
\draw[line width=0.5pt] (11.309,8.146) -- (11.317,7.87) -- (11.319,7.593) -- (11.314,7.317) -- (11.303,7.04) -- (11.285,6.764) -- (11.26,6.488) -- (11.23,6.213) -- (11.192,5.939) -- (11.149,5.666) -- (11.098,5.394) -- (11.042,5.123) -- (10.979,4.854) -- (10.91,4.586) -- (10.835,4.32);
\draw[line width=0.5pt] (5.189,7.905) -- (5.354,7.867) -- (5.52,7.833) -- (5.687,7.803) -- (5.855,7.777) -- (6.023,7.755) -- (6.192,7.737) -- (6.361,7.723) -- (6.53,7.713) -- (6.699,7.706) -- (6.869,7.704) -- (7.038,7.706) -- (7.208,7.712) -- (7.377,7.722) -- (7.546,7.735);
\draw[line width=0.5pt] (5.189,7.905) -- (5.236,7.653) -- (5.277,7.4) -- (5.311,7.146) -- (5.34,6.892) -- (5.363,6.637) -- (5.379,6.381) -- (5.39,6.125) -- (5.395,5.868) -- (5.393,5.612) -- (5.386,5.356) -- (5.373,5.1) -- (5.353,4.845) -- (5.328,4.59) -- (5.296,4.336);
\draw[line width=0.5pt] (7.546,7.735) -- (7.349,7.519) -- (7.158,7.298) -- (6.972,7.073) -- (6.791,6.843) -- (6.615,6.609) -- (6.445,6.37) -- (6.281,6.128) -- (6.122,5.882) -- (5.97,5.633) -- (5.823,5.38) -- (5.682,5.123) -- (5.547,4.864) -- (5.419,4.601) -- (5.296,4.336);
\draw[line width=0.5pt] (7.546,7.735) -- (7.585,7.483) -- (7.618,7.229) -- (7.645,6.975) -- (7.666,6.72) -- (7.681,6.464) -- (7.69,6.209) -- (7.693,5.953) -- (7.69,5.697) -- (7.681,5.441) -- (7.666,5.185) -- (7.645,4.93) -- (7.618,4.676) -- (7.585,4.423) -- (7.546,4.17) -- (7.522,4.04) -- (7.502,3.909) -- (7.484,3.778) -- (7.469,3.646) -- (7.458,3.515) -- (7.45,3.382) -- (7.444,3.25) -- (7.442,3.118) -- (7.443,2.985) -- (7.447,2.853) -- (7.454,2.721) -- (7.465,2.589) -- (7.478,2.457) -- (7.495,2.326);
\draw[line width=0.5pt] (5.296,4.336) -- (4.986,4.199) -- (4.679,4.054) -- (4.375,3.903) -- (4.075,3.744) -- (3.778,3.578) -- (3.486,3.405) -- (3.198,3.225) -- (2.913,3.039) -- (2.634,2.846) -- (2.359,2.647) -- (2.089,2.441) -- (1.824,2.229) -- (1.564,2.01) -- (1.309,1.786);
\draw[line width=0.5pt] (5.296,4.336) -- (5.302,4.13) -- (5.303,3.925) -- (5.299,3.719) -- (5.29,3.514) -- (5.276,3.309) -- (5.258,3.104) -- (5.235,2.899) -- (5.207,2.696) -- (5.174,2.493) -- (5.136,2.291) -- (5.094,2.089) -- (5.047,1.889) -- (4.995,1.69) -- (4.938,1.493);
\draw[line width=0.5pt] (10.835,4.32) -- (10.576,4.215) -- (10.32,4.105) -- (10.067,3.988) -- (9.816,3.865) -- (9.568,3.736) -- (9.324,3.601) -- (9.082,3.461) -- (8.844,3.315) -- (8.61,3.163) -- (8.379,3.007) -- (8.152,2.844) -- (7.928,2.677) -- (7.709,2.504) -- (7.495,2.326);
\draw[line width=0.5pt] (1.309,1.786) -- (1.569,1.805) -- (1.83,1.818) -- (2.091,1.824) -- (2.353,1.825) -- (2.614,1.819) -- (2.875,1.807) -- (3.136,1.789) -- (3.396,1.765) -- (3.656,1.735) -- (3.914,1.699) -- (4.172,1.656) -- (4.429,1.608) -- (4.684,1.553) -- (4.938,1.493);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.469,8.146) -- (11.448,8.226) -- (11.389,8.284) -- (11.309,8.306) -- (11.229,8.284) -- (11.17,8.226) -- (11.149,8.146) -- (11.17,8.066) -- (11.229,8.007) -- (11.309,7.986) -- (11.389,8.007) -- (11.448,8.066) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.349,7.905) -- (5.328,7.985) -- (5.269,8.043) -- (5.189,8.065) -- (5.109,8.043) -- (5.051,7.985) -- (5.029,7.905) -- (5.051,7.825) -- (5.109,7.766) -- (5.189,7.745) -- (5.269,7.766) -- (5.328,7.825) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.706,7.735) -- (7.684,7.815) -- (7.626,7.874) -- (7.546,7.895) -- (7.466,7.874) -- (7.407,7.815) -- (7.386,7.735) -- (7.407,7.655) -- (7.466,7.597) -- (7.546,7.575) -- (7.626,7.597) -- (7.684,7.655) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.456,4.336) -- (5.435,4.416) -- (5.376,4.474) -- (5.296,4.496) -- (5.216,4.474) -- (5.158,4.416) -- (5.136,4.336) -- (5.158,4.256) -- (5.216,4.197) -- (5.296,4.176) -- (5.376,4.197) -- (5.435,4.256) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.995,4.32) -- (10.973,4.4) -- (10.915,4.459) -- (10.835,4.48) -- (10.755,4.459) -- (10.696,4.4) -- (10.675,4.32) -- (10.696,4.24) -- (10.755,4.182) -- (10.835,4.16) -- (10.915,4.182) -- (10.973,4.24) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.655,2.326) -- (7.633,2.406) -- (7.575,2.465) -- (7.495,2.486) -- (7.415,2.465) -- (7.356,2.406) -- (7.335,2.326) -- (7.356,2.246) -- (7.415,2.187) -- (7.495,2.166) -- (7.575,2.187) -- (7.633,2.246) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.469,1.786) -- (1.448,1.866) -- (1.389,1.925) -- (1.309,1.946) -- (1.229,1.925) -- (1.17,1.866) -- (1.149,1.786) -- (1.17,1.706) -- (1.229,1.648) -- (1.309,1.626) -- (1.389,1.648) -- (1.448,1.706) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.098,1.493) -- (5.077,1.573) -- (5.018,1.631) -- (4.938,1.653) -- (4.858,1.631) -- (4.8,1.573) -- (4.778,1.493) -- (4.8,1.413) -- (4.858,1.354) -- (4.938,1.333) -- (5.018,1.354) -- (5.077,1.413) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.785,7.778) -- (9.74,7.948) -- (9.615,8.072) -- (9.445,8.118) -- (9.275,8.072) -- (9.151,7.948) -- (9.105,7.778) -- (9.151,7.608) -- (9.275,7.483) -- (9.445,7.438) -- (9.615,7.483) -- (9.74,7.608) -- cycle;
\node at (9.445,7.778) {\scalebox{1.616}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.887,6.174) -- (11.842,6.344) -- (11.717,6.469) -- (11.547,6.514) -- (11.377,6.469) -- (11.253,6.344) -- (11.207,6.174) -- (11.253,6.004) -- (11.377,5.88) -- (11.547,5.834) -- (11.717,5.88) -- (11.842,6.004) -- cycle;
\node at (11.547,6.174) {\scalebox{1.616}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.724,8.042) -- (6.678,8.212) -- (6.554,8.336) -- (6.384,8.382) -- (6.214,8.336) -- (6.089,8.212) -- (6.044,8.042) -- (6.089,7.872) -- (6.214,7.748) -- (6.384,7.702) -- (6.554,7.748) -- (6.678,7.872) -- cycle;
\node at (6.384,8.042) {\scalebox{1.616}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.05,6.134) -- (6.004,6.304) -- (5.88,6.429) -- (5.71,6.474) -- (5.54,6.429) -- (5.415,6.304) -- (5.37,6.134) -- (5.415,5.964) -- (5.54,5.84) -- (5.71,5.794) -- (5.88,5.84) -- (6.004,5.964) -- cycle;
\node at (5.71,6.134) {\scalebox{1.616}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.888,5.952) -- (6.842,6.122) -- (6.718,6.246) -- (6.548,6.292) -- (6.378,6.246) -- (6.253,6.122) -- (6.208,5.952) -- (6.253,5.782) -- (6.378,5.657) -- (6.548,5.612) -- (6.718,5.657) -- (6.842,5.782) -- cycle;
\node at (6.548,5.952) {\scalebox{1.616}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.202,4.118) -- (8.156,4.288) -- (8.032,4.412) -- (7.862,4.458) -- (7.692,4.412) -- (7.567,4.288) -- (7.522,4.118) -- (7.567,3.948) -- (7.692,3.824) -- (7.862,3.778) -- (8.032,3.824) -- (8.156,3.948) -- cycle;
\node at (7.862,4.118) {\scalebox{1.616}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.71,2.956) -- (3.664,3.126) -- (3.54,3.25) -- (3.37,3.296) -- (3.2,3.25) -- (3.075,3.126) -- (3.03,2.956) -- (3.075,2.786) -- (3.2,2.661) -- (3.37,2.616) -- (3.54,2.661) -- (3.664,2.786) -- cycle;
\node at (3.37,2.956) {\scalebox{1.616}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.892,2.86) -- (5.847,3.03) -- (5.722,3.154) -- (5.552,3.2) -- (5.382,3.154) -- (5.258,3.03) -- (5.212,2.86) -- (5.258,2.69) -- (5.382,2.565) -- (5.552,2.52) -- (5.722,2.565) -- (5.847,2.69) -- cycle;
\node at (5.552,2.86) {\scalebox{1.616}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.586,3.186) -- (9.541,3.356) -- (9.416,3.481) -- (9.246,3.526) -- (9.076,3.481) -- (8.952,3.356) -- (8.906,3.186) -- (8.952,3.016) -- (9.076,2.892) -- (9.246,2.846) -- (9.416,2.892) -- (9.541,3.016) -- cycle;
\node at (9.246,3.186) {\scalebox{1.616}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.502,2.108) -- (3.456,2.278) -- (3.332,2.403) -- (3.162,2.448) -- (2.992,2.403) -- (2.867,2.278) -- (2.822,2.108) -- (2.867,1.938) -- (2.992,1.814) -- (3.162,1.768) -- (3.332,1.814) -- (3.456,1.938) -- cycle;
\node at (3.162,2.108) {\scalebox{1.616}{\small 10}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (7.246,7.435) -- (7.846,7.435) -- (7.846,8.035) -- (7.246,8.035) -- cycle;
\node at (7.546,7.735) {\scalebox{1.616}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (1.745,1.572) -- (2.345,1.572) -- (2.345,2.172) -- (1.745,2.172) -- cycle;
\node at (2.045,1.872) {\scalebox{1.616}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.09,6.794) -- (5.69,6.794) -- (5.69,7.394) -- (5.09,7.394) -- cycle;
\node at (5.39,7.094) {\scalebox{1.616}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (12.536,6.138) -- (13.136,6.138) -- (13.136,6.738) -- (12.536,6.738) -- cycle;
\node at (12.836,6.438) {\scalebox{1.616}{\small d}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (2.88,2.037) -- (3.48,2.037) -- (3.48,2.637) -- (2.88,2.637) -- cycle;
\node at (3.18,2.337) {\scalebox{1.616}{\small e}};
\node at (11.807,8.515) {\scalebox{1.616}{\small A}};
\node at (4.915,8.461) {\scalebox{1.616}{\small B}};
\node at (7.708,8.334) {\scalebox{1.616}{\small C}};
\node at (4.701,4.162) {\scalebox{1.616}{\small D}};
\node at (11.451,4.255) {\scalebox{1.616}{\small E}};
\node at (7.679,1.734) {\scalebox{1.616}{\small F}};
\node at (0.765,1.489) {\scalebox{1.616}{\small G}};
\node at (4.639,0.95) {\scalebox{1.616}{\small H}};
\draw[line width=0.5pt] (12.609,7.196) -- (12.609,8.296);
\draw[line width=0.5pt] (12.378,7.911) -- (12.609,8.296) -- (12.84,7.911);
\draw[line width=0.5pt] (12.306,7.746) -- (12.911,7.746);
\node at (12.609,8.681) {\scalebox{1.616}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G & \cellcolor{blue!7}\bfseries H \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 2 & 4 & 4 & 2 & 2 & 2 & 2 \\ \hline
Parité & pair & pair & pair & pair & pair & pair & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 20 = 2 \(\times\) 10, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Aucun} carrefour n'a un nombre impair de rues : ils sont tous pairs.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{C}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui.} Aucun carrefour n'est impair : chacun peut être traversé de part en part. Le facteur revient même à la poste sans l'avoir cherché.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Voici une tournée possible — ce n'est pas la seule :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Carrefour Saint-Roch \textbf{(C)}, prend la \textbf{rue de la Mairie ①} vers l'est et atteint Place de la Fontaine \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{passage du Marché ②}, vers le sud, jusqu'à Place aux Herbes \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue du Moulin ⑨}, vers le sud-ouest, jusqu'à Place du Marché \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue du Stade ⑥}, vers le nord, jusqu'à Carrefour Saint-Roch \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{chemin des Vignes ③}, vers l'ouest, jusqu'à Placette des Ormes \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{chemin Creux ④}, vers le sud, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{chemin du Lavoir ⑦}, vers le sud-ouest, jusqu'à Place de l'Église \textbf{(G)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{chemin de Ronde ⑩}, vers l'est, jusqu'à Coin du Lavoir \textbf{(H)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Pont ⑧}, vers le nord, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins \textbf{(D)}.
  \item Il continue tout droit dans le \textbf{sentier des Prés ⑤}, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour Saint-Roch \textbf{(C)}.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries La question ne se pose pas : la tournée est possible au départ de la poste, et elle le resterait où qu'on installe celle-ci — aucun carrefour n'est impair.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
