\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 87}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=87}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0087}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7058, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (1.258,8.802) -- (1.467,8.544) -- (1.682,8.29) -- (1.903,8.041) -- (2.13,7.798) -- (2.362,7.56) -- (2.601,7.327) -- (2.844,7.1) -- (3.093,6.879) -- (3.347,6.664) -- (3.606,6.455) -- (3.869,6.252) -- (4.138,6.055) -- (4.411,5.865) -- (4.688,5.681);
\draw[line width=0.5pt] (8.644,8.702) -- (8.856,8.55) -- (9.065,8.394) -- (9.269,8.232) -- (9.47,8.066) -- (9.667,7.895) -- (9.86,7.72) -- (10.049,7.54) -- (10.234,7.355) -- (10.414,7.167) -- (10.59,6.974) -- (10.761,6.777) -- (10.927,6.576) -- (11.089,6.372) -- (11.245,6.163);
\draw[line width=0.5pt] (8.644,8.702) -- (8.331,8.531) -- (8.021,8.353) -- (7.716,8.167) -- (7.415,7.975) -- (7.119,7.775) -- (6.828,7.568) -- (6.541,7.355) -- (6.26,7.135) -- (5.984,6.908) -- (5.713,6.675) -- (5.448,6.436) -- (5.188,6.19) -- (4.935,5.939) -- (4.688,5.681);
\draw[line width=0.5pt] (11.245,6.163) -- (11.049,6.063) -- (10.85,5.967) -- (10.65,5.876) -- (10.447,5.789) -- (10.241,5.707) -- (10.035,5.631) -- (9.826,5.559) -- (9.616,5.492) -- (9.404,5.429) -- (9.191,5.372) -- (8.976,5.32) -- (8.761,5.273) -- (8.544,5.231) -- (8.327,5.195) -- (8.074,5.269) -- (7.82,5.337) -- (7.564,5.4) -- (7.306,5.456) -- (7.048,5.506) -- (6.788,5.55) -- (6.527,5.588) -- (6.266,5.62) -- (6.003,5.646) -- (5.741,5.665) -- (5.478,5.679) -- (5.214,5.686) -- (4.951,5.687) -- (4.688,5.681);
\draw[line width=0.5pt] (11.245,6.163) -- (10.966,5.967) -- (10.691,5.764) -- (10.421,5.554) -- (10.155,5.338) -- (9.895,5.115) -- (9.641,4.887) -- (9.391,4.653) -- (9.148,4.413) -- (8.909,4.167) -- (8.677,3.916) -- (8.451,3.659) -- (8.231,3.397) -- (8.017,3.13) -- (7.81,2.859);
\draw[line width=0.5pt] (11.245,6.163) -- (11.297,5.834) -- (11.341,5.503) -- (11.377,5.171) -- (11.406,4.838) -- (11.426,4.504) -- (11.439,4.171) -- (11.444,3.837) -- (11.441,3.502) -- (11.43,3.168) -- (11.411,2.835) -- (11.384,2.502) -- (11.35,2.17) -- (11.308,1.839) -- (11.258,1.509);
\draw[line width=0.5pt] (4.688,5.681) -- (4.878,5.447) -- (5.074,5.218) -- (5.275,4.993) -- (5.482,4.772) -- (5.694,4.557) -- (5.911,4.346) -- (6.132,4.141) -- (6.359,3.941) -- (6.59,3.747) -- (6.826,3.558) -- (7.066,3.374) -- (7.31,3.196) -- (7.558,3.024) -- (7.81,2.859);
\draw[line width=0.5pt] (4.688,5.681) -- (4.72,5.462) -- (4.748,5.243) -- (4.77,5.022) -- (4.787,4.801) -- (4.799,4.58) -- (4.806,4.358) -- (4.807,4.136) -- (4.803,3.914) -- (4.794,3.693) -- (4.78,3.472) -- (4.761,3.251) -- (4.736,3.031) -- (4.706,2.811) -- (4.672,2.592);
\draw[line width=0.5pt] (4.688,5.681) -- (4.473,5.469) -- (4.262,5.252) -- (4.057,5.029) -- (3.857,4.802) -- (3.663,4.57) -- (3.474,4.334) -- (3.291,4.093) -- (3.113,3.848) -- (2.941,3.599) -- (2.775,3.346) -- (2.615,3.089) -- (2.462,2.828) -- (2.314,2.564) -- (2.173,2.297);
\draw[line width=0.5pt] (7.81,2.859) -- (7.591,2.805) -- (7.37,2.757) -- (7.148,2.715) -- (6.925,2.677) -- (6.701,2.645) -- (6.477,2.618) -- (6.252,2.596) -- (6.026,2.579) -- (5.8,2.568) -- (5.574,2.562) -- (5.348,2.562) -- (5.123,2.567) -- (4.897,2.577) -- (4.672,2.592);
\draw[line width=0.5pt] (7.81,2.859) -- (8.04,2.725) -- (8.272,2.597) -- (8.508,2.475) -- (8.747,2.358) -- (8.988,2.247) -- (9.232,2.141) -- (9.478,2.041) -- (9.727,1.947) -- (9.978,1.859) -- (10.23,1.777) -- (10.485,1.701) -- (10.741,1.631) -- (10.999,1.567) -- (11.258,1.509);
\draw[line width=0.5pt] (4.672,2.592) -- (4.498,2.544) -- (4.323,2.5) -- (4.147,2.46) -- (3.97,2.424) -- (3.792,2.392) -- (3.613,2.365) -- (3.434,2.342) -- (3.255,2.323) -- (3.075,2.308) -- (2.895,2.297) -- (2.714,2.291) -- (2.534,2.289) -- (2.353,2.291) -- (2.173,2.297);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.418,8.802) -- (1.396,8.882) -- (1.338,8.941) -- (1.258,8.962) -- (1.178,8.941) -- (1.119,8.882) -- (1.098,8.802) -- (1.119,8.722) -- (1.178,8.664) -- (1.258,8.642) -- (1.338,8.664) -- (1.396,8.722) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.804,8.702) -- (8.782,8.782) -- (8.724,8.84) -- (8.644,8.862) -- (8.564,8.84) -- (8.505,8.782) -- (8.484,8.702) -- (8.505,8.622) -- (8.564,8.563) -- (8.644,8.542) -- (8.724,8.563) -- (8.782,8.622) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.405,6.163) -- (11.384,6.243) -- (11.325,6.302) -- (11.245,6.323) -- (11.165,6.302) -- (11.107,6.243) -- (11.085,6.163) -- (11.107,6.083) -- (11.165,6.025) -- (11.245,6.003) -- (11.325,6.025) -- (11.384,6.083) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.848,5.681) -- (4.826,5.761) -- (4.768,5.82) -- (4.688,5.841) -- (4.608,5.82) -- (4.549,5.761) -- (4.528,5.681) -- (4.549,5.601) -- (4.608,5.543) -- (4.688,5.521) -- (4.768,5.543) -- (4.826,5.601) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.97,2.859) -- (7.949,2.939) -- (7.89,2.997) -- (7.81,3.019) -- (7.73,2.997) -- (7.671,2.939) -- (7.65,2.859) -- (7.671,2.779) -- (7.73,2.72) -- (7.81,2.699) -- (7.89,2.72) -- (7.949,2.779) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.832,2.592) -- (4.81,2.672) -- (4.752,2.731) -- (4.672,2.752) -- (4.592,2.731) -- (4.533,2.672) -- (4.512,2.592) -- (4.533,2.512) -- (4.592,2.454) -- (4.672,2.432) -- (4.752,2.454) -- (4.81,2.512) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.333,2.297) -- (2.311,2.377) -- (2.253,2.436) -- (2.173,2.457) -- (2.093,2.436) -- (2.034,2.377) -- (2.013,2.297) -- (2.034,2.217) -- (2.093,2.159) -- (2.173,2.137) -- (2.253,2.159) -- (2.311,2.217) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.418,1.509) -- (11.396,1.589) -- (11.338,1.647) -- (11.258,1.669) -- (11.178,1.647) -- (11.119,1.589) -- (11.098,1.509) -- (11.119,1.429) -- (11.178,1.37) -- (11.258,1.349) -- (11.338,1.37) -- (11.396,1.429) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.399,7.337) -- (3.354,7.507) -- (3.229,7.631) -- (3.059,7.677) -- (2.889,7.631) -- (2.765,7.507) -- (2.719,7.337) -- (2.765,7.167) -- (2.889,7.043) -- (3.059,6.997) -- (3.229,7.043) -- (3.354,7.167) -- cycle;
\node at (3.059,7.337) {\scalebox{1.417}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.613,7.769) -- (10.567,7.939) -- (10.443,8.063) -- (10.273,8.109) -- (10.103,8.063) -- (9.978,7.939) -- (9.933,7.769) -- (9.978,7.599) -- (10.103,7.474) -- (10.273,7.429) -- (10.443,7.474) -- (10.567,7.599) -- cycle;
\node at (10.273,7.769) {\scalebox{1.417}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.075,7.1) -- (7.03,7.27) -- (6.905,7.395) -- (6.735,7.44) -- (6.565,7.395) -- (6.441,7.27) -- (6.395,7.1) -- (6.441,6.93) -- (6.565,6.806) -- (6.735,6.76) -- (6.905,6.806) -- (7.03,6.93) -- cycle;
\node at (6.735,7.1) {\scalebox{1.417}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.641,4.876) -- (8.595,5.046) -- (8.471,5.17) -- (8.301,5.216) -- (8.131,5.17) -- (8.007,5.046) -- (7.961,4.876) -- (8.007,4.706) -- (8.131,4.581) -- (8.301,4.536) -- (8.471,4.581) -- (8.595,4.706) -- cycle;
\node at (8.301,4.876) {\scalebox{1.417}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.953,4.422) -- (9.908,4.592) -- (9.783,4.717) -- (9.613,4.762) -- (9.443,4.717) -- (9.319,4.592) -- (9.273,4.422) -- (9.319,4.252) -- (9.443,4.128) -- (9.613,4.082) -- (9.783,4.128) -- (9.908,4.252) -- cycle;
\node at (9.613,4.422) {\scalebox{1.417}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (12.104,3.837) -- (12.058,4.007) -- (11.934,4.132) -- (11.764,4.177) -- (11.594,4.132) -- (11.469,4.007) -- (11.424,3.837) -- (11.469,3.667) -- (11.594,3.543) -- (11.764,3.497) -- (11.934,3.543) -- (12.058,3.667) -- cycle;
\node at (11.764,3.837) {\scalebox{1.417}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.687,4.379) -- (6.642,4.549) -- (6.517,4.673) -- (6.347,4.719) -- (6.177,4.673) -- (6.053,4.549) -- (6.007,4.379) -- (6.053,4.209) -- (6.177,4.084) -- (6.347,4.039) -- (6.517,4.084) -- (6.642,4.209) -- cycle;
\node at (6.347,4.379) {\scalebox{1.417}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.467,4.135) -- (5.422,4.305) -- (5.297,4.429) -- (5.127,4.475) -- (4.957,4.429) -- (4.833,4.305) -- (4.787,4.135) -- (4.833,3.965) -- (4.957,3.84) -- (5.127,3.795) -- (5.297,3.84) -- (5.422,3.965) -- cycle;
\node at (5.127,4.135) {\scalebox{1.417}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.888,3.902) -- (3.842,4.072) -- (3.718,4.197) -- (3.548,4.242) -- (3.378,4.197) -- (3.253,4.072) -- (3.208,3.902) -- (3.253,3.732) -- (3.378,3.608) -- (3.548,3.562) -- (3.718,3.608) -- (3.842,3.732) -- cycle;
\node at (3.548,3.902) {\scalebox{1.417}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.619,2.277) -- (6.573,2.447) -- (6.449,2.572) -- (6.279,2.617) -- (6.109,2.572) -- (5.984,2.447) -- (5.939,2.277) -- (5.984,2.107) -- (6.109,1.983) -- (6.279,1.937) -- (6.449,1.983) -- (6.573,2.107) -- cycle;
\node at (6.279,2.277) {\scalebox{1.417}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.935,2.339) -- (9.889,2.509) -- (9.765,2.634) -- (9.595,2.679) -- (9.425,2.634) -- (9.3,2.509) -- (9.255,2.339) -- (9.3,2.169) -- (9.425,2.045) -- (9.595,1.999) -- (9.765,2.045) -- (9.889,2.169) -- cycle;
\node at (9.595,2.339) {\scalebox{1.417}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.812,2.024) -- (3.766,2.194) -- (3.642,2.318) -- (3.472,2.364) -- (3.302,2.318) -- (3.177,2.194) -- (3.132,2.024) -- (3.177,1.854) -- (3.302,1.729) -- (3.472,1.684) -- (3.642,1.729) -- (3.766,1.854) -- cycle;
\node at (3.472,2.024) {\scalebox{1.417}{\small 12}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (4.388,5.381) -- (4.988,5.381) -- (4.988,5.981) -- (4.388,5.981) -- cycle;
\node at (4.688,5.681) {\scalebox{1.417}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (10.999,8.312) -- (11.599,8.312) -- (11.599,8.912) -- (10.999,8.912) -- cycle;
\node at (11.299,8.612) {\scalebox{1.417}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (5.931,0.65) -- (6.531,0.65) -- (6.531,1.25) -- (5.931,1.25) -- cycle;
\node at (6.231,0.95) {\scalebox{1.417}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (6.785,7.697) -- (7.385,7.697) -- (7.385,8.297) -- (6.785,8.297) -- cycle;
\node at (7.085,7.997) {\scalebox{1.417}{\small d}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (2.065,7.907) -- (2.665,7.907) -- (2.665,8.507) -- (2.065,8.507) -- cycle;
\node at (2.365,8.207) {\scalebox{1.417}{\small e}};
\node at (0.765,9.178) {\scalebox{1.417}{\small A}};
\node at (8.947,9.242) {\scalebox{1.417}{\small B}};
\node at (11.842,6.331) {\scalebox{1.417}{\small C}};
\node at (4.129,5.95) {\scalebox{1.417}{\small D}};
\node at (8.159,2.346) {\scalebox{1.417}{\small E}};
\node at (4.283,2.109) {\scalebox{1.417}{\small F}};
\node at (1.639,1.983) {\scalebox{1.417}{\small G}};
\node at (11.768,1.156) {\scalebox{1.417}{\small H}};
\draw[line width=0.5pt] (12.558,7.852) -- (12.558,8.952);
\draw[line width=0.5pt] (12.327,8.567) -- (12.558,8.952) -- (12.789,8.567);
\draw[line width=0.5pt] (12.255,8.402) -- (12.86,8.402);
\node at (12.558,9.337) {\scalebox{1.417}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① impasse du Puits & ⑦ chemin du Lavoir & Ⓐ Place des Tanneurs & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue du Stade & ⑧ boulevard du Parc & Ⓑ Place du Marché & \textbf{b} l'église \\ \hline
③ rue Verte & ⑨ allée des Tilleuls & Ⓒ Rond-point de la Gare & \textbf{c} le cimetière \\ \hline
④ chemin Creux & ⑩ rue du Four & Ⓓ Carrefour des Tilleuls & \textbf{d} le stade \\ \hline
⑤ quai aux Fleurs & ⑪ rue des Lilas & Ⓔ Rond-point de la Poste & \textbf{e} la salle des fêtes \\ \hline
⑥ sentier des Prés & ⑫ rue des Jardins & Ⓕ Carrefour du Moulin &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Place de la Fontaine &  \\ \hline
 &  & Ⓗ Place aux Herbes &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6315, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (1.258,8.802) -- (1.467,8.544) -- (1.682,8.29) -- (1.903,8.041) -- (2.13,7.798) -- (2.362,7.56) -- (2.601,7.327) -- (2.844,7.1) -- (3.093,6.879) -- (3.347,6.664) -- (3.606,6.455) -- (3.869,6.252) -- (4.138,6.055) -- (4.411,5.865) -- (4.688,5.681);
\draw[line width=0.5pt] (8.644,8.702) -- (8.856,8.55) -- (9.065,8.394) -- (9.269,8.232) -- (9.47,8.066) -- (9.667,7.895) -- (9.86,7.72) -- (10.049,7.54) -- (10.234,7.355) -- (10.414,7.167) -- (10.59,6.974) -- (10.761,6.777) -- (10.927,6.576) -- (11.089,6.372) -- (11.245,6.163);
\draw[line width=0.5pt] (8.644,8.702) -- (8.331,8.531) -- (8.021,8.353) -- (7.716,8.167) -- (7.415,7.975) -- (7.119,7.775) -- (6.828,7.568) -- (6.541,7.355) -- (6.26,7.135) -- (5.984,6.908) -- (5.713,6.675) -- (5.448,6.436) -- (5.188,6.19) -- (4.935,5.939) -- (4.688,5.681);
\draw[line width=0.5pt] (11.245,6.163) -- (11.049,6.063) -- (10.85,5.967) -- (10.65,5.876) -- (10.447,5.789) -- (10.241,5.707) -- (10.035,5.631) -- (9.826,5.559) -- (9.616,5.492) -- (9.404,5.429) -- (9.191,5.372) -- (8.976,5.32) -- (8.761,5.273) -- (8.544,5.231) -- (8.327,5.195) -- (8.074,5.269) -- (7.82,5.337) -- (7.564,5.4) -- (7.306,5.456) -- (7.048,5.506) -- (6.788,5.55) -- (6.527,5.588) -- (6.266,5.62) -- (6.003,5.646) -- (5.741,5.665) -- (5.478,5.679) -- (5.214,5.686) -- (4.951,5.687) -- (4.688,5.681);
\draw[line width=0.5pt] (11.245,6.163) -- (10.966,5.967) -- (10.691,5.764) -- (10.421,5.554) -- (10.155,5.338) -- (9.895,5.115) -- (9.641,4.887) -- (9.391,4.653) -- (9.148,4.413) -- (8.909,4.167) -- (8.677,3.916) -- (8.451,3.659) -- (8.231,3.397) -- (8.017,3.13) -- (7.81,2.859);
\draw[line width=0.5pt] (11.245,6.163) -- (11.297,5.834) -- (11.341,5.503) -- (11.377,5.171) -- (11.406,4.838) -- (11.426,4.504) -- (11.439,4.171) -- (11.444,3.837) -- (11.441,3.502) -- (11.43,3.168) -- (11.411,2.835) -- (11.384,2.502) -- (11.35,2.17) -- (11.308,1.839) -- (11.258,1.509);
\draw[line width=0.5pt] (4.688,5.681) -- (4.878,5.447) -- (5.074,5.218) -- (5.275,4.993) -- (5.482,4.772) -- (5.694,4.557) -- (5.911,4.346) -- (6.132,4.141) -- (6.359,3.941) -- (6.59,3.747) -- (6.826,3.558) -- (7.066,3.374) -- (7.31,3.196) -- (7.558,3.024) -- (7.81,2.859);
\draw[line width=0.5pt] (4.688,5.681) -- (4.72,5.462) -- (4.748,5.243) -- (4.77,5.022) -- (4.787,4.801) -- (4.799,4.58) -- (4.806,4.358) -- (4.807,4.136) -- (4.803,3.914) -- (4.794,3.693) -- (4.78,3.472) -- (4.761,3.251) -- (4.736,3.031) -- (4.706,2.811) -- (4.672,2.592);
\draw[line width=0.5pt] (4.688,5.681) -- (4.473,5.469) -- (4.262,5.252) -- (4.057,5.029) -- (3.857,4.802) -- (3.663,4.57) -- (3.474,4.334) -- (3.291,4.093) -- (3.113,3.848) -- (2.941,3.599) -- (2.775,3.346) -- (2.615,3.089) -- (2.462,2.828) -- (2.314,2.564) -- (2.173,2.297);
\draw[line width=0.5pt] (7.81,2.859) -- (7.591,2.805) -- (7.37,2.757) -- (7.148,2.715) -- (6.925,2.677) -- (6.701,2.645) -- (6.477,2.618) -- (6.252,2.596) -- (6.026,2.579) -- (5.8,2.568) -- (5.574,2.562) -- (5.348,2.562) -- (5.123,2.567) -- (4.897,2.577) -- (4.672,2.592);
\draw[line width=0.5pt] (7.81,2.859) -- (8.04,2.725) -- (8.272,2.597) -- (8.508,2.475) -- (8.747,2.358) -- (8.988,2.247) -- (9.232,2.141) -- (9.478,2.041) -- (9.727,1.947) -- (9.978,1.859) -- (10.23,1.777) -- (10.485,1.701) -- (10.741,1.631) -- (10.999,1.567) -- (11.258,1.509);
\draw[line width=0.5pt] (4.672,2.592) -- (4.498,2.544) -- (4.323,2.5) -- (4.147,2.46) -- (3.97,2.424) -- (3.792,2.392) -- (3.613,2.365) -- (3.434,2.342) -- (3.255,2.323) -- (3.075,2.308) -- (2.895,2.297) -- (2.714,2.291) -- (2.534,2.289) -- (2.353,2.291) -- (2.173,2.297);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.418,8.802) -- (1.396,8.882) -- (1.338,8.941) -- (1.258,8.962) -- (1.178,8.941) -- (1.119,8.882) -- (1.098,8.802) -- (1.119,8.722) -- (1.178,8.664) -- (1.258,8.642) -- (1.338,8.664) -- (1.396,8.722) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.804,8.702) -- (8.782,8.782) -- (8.724,8.84) -- (8.644,8.862) -- (8.564,8.84) -- (8.505,8.782) -- (8.484,8.702) -- (8.505,8.622) -- (8.564,8.563) -- (8.644,8.542) -- (8.724,8.563) -- (8.782,8.622) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.405,6.163) -- (11.384,6.243) -- (11.325,6.302) -- (11.245,6.323) -- (11.165,6.302) -- (11.107,6.243) -- (11.085,6.163) -- (11.107,6.083) -- (11.165,6.025) -- (11.245,6.003) -- (11.325,6.025) -- (11.384,6.083) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.848,5.681) -- (4.826,5.761) -- (4.768,5.82) -- (4.688,5.841) -- (4.608,5.82) -- (4.549,5.761) -- (4.528,5.681) -- (4.549,5.601) -- (4.608,5.543) -- (4.688,5.521) -- (4.768,5.543) -- (4.826,5.601) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.97,2.859) -- (7.949,2.939) -- (7.89,2.997) -- (7.81,3.019) -- (7.73,2.997) -- (7.671,2.939) -- (7.65,2.859) -- (7.671,2.779) -- (7.73,2.72) -- (7.81,2.699) -- (7.89,2.72) -- (7.949,2.779) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.832,2.592) -- (4.81,2.672) -- (4.752,2.731) -- (4.672,2.752) -- (4.592,2.731) -- (4.533,2.672) -- (4.512,2.592) -- (4.533,2.512) -- (4.592,2.454) -- (4.672,2.432) -- (4.752,2.454) -- (4.81,2.512) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.333,2.297) -- (2.311,2.377) -- (2.253,2.436) -- (2.173,2.457) -- (2.093,2.436) -- (2.034,2.377) -- (2.013,2.297) -- (2.034,2.217) -- (2.093,2.159) -- (2.173,2.137) -- (2.253,2.159) -- (2.311,2.217) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.418,1.509) -- (11.396,1.589) -- (11.338,1.647) -- (11.258,1.669) -- (11.178,1.647) -- (11.119,1.589) -- (11.098,1.509) -- (11.119,1.429) -- (11.178,1.37) -- (11.258,1.349) -- (11.338,1.37) -- (11.396,1.429) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.399,7.337) -- (3.354,7.507) -- (3.229,7.631) -- (3.059,7.677) -- (2.889,7.631) -- (2.765,7.507) -- (2.719,7.337) -- (2.765,7.167) -- (2.889,7.043) -- (3.059,6.997) -- (3.229,7.043) -- (3.354,7.167) -- cycle;
\node at (3.059,7.337) {\scalebox{1.584}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.613,7.769) -- (10.567,7.939) -- (10.443,8.063) -- (10.273,8.109) -- (10.103,8.063) -- (9.978,7.939) -- (9.933,7.769) -- (9.978,7.599) -- (10.103,7.474) -- (10.273,7.429) -- (10.443,7.474) -- (10.567,7.599) -- cycle;
\node at (10.273,7.769) {\scalebox{1.584}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.075,7.1) -- (7.03,7.27) -- (6.905,7.395) -- (6.735,7.44) -- (6.565,7.395) -- (6.441,7.27) -- (6.395,7.1) -- (6.441,6.93) -- (6.565,6.806) -- (6.735,6.76) -- (6.905,6.806) -- (7.03,6.93) -- cycle;
\node at (6.735,7.1) {\scalebox{1.584}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.641,4.876) -- (8.595,5.046) -- (8.471,5.17) -- (8.301,5.216) -- (8.131,5.17) -- (8.007,5.046) -- (7.961,4.876) -- (8.007,4.706) -- (8.131,4.581) -- (8.301,4.536) -- (8.471,4.581) -- (8.595,4.706) -- cycle;
\node at (8.301,4.876) {\scalebox{1.584}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.953,4.422) -- (9.908,4.592) -- (9.783,4.717) -- (9.613,4.762) -- (9.443,4.717) -- (9.319,4.592) -- (9.273,4.422) -- (9.319,4.252) -- (9.443,4.128) -- (9.613,4.082) -- (9.783,4.128) -- (9.908,4.252) -- cycle;
\node at (9.613,4.422) {\scalebox{1.584}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (12.104,3.837) -- (12.058,4.007) -- (11.934,4.132) -- (11.764,4.177) -- (11.594,4.132) -- (11.469,4.007) -- (11.424,3.837) -- (11.469,3.667) -- (11.594,3.543) -- (11.764,3.497) -- (11.934,3.543) -- (12.058,3.667) -- cycle;
\node at (11.764,3.837) {\scalebox{1.584}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.687,4.379) -- (6.642,4.549) -- (6.517,4.673) -- (6.347,4.719) -- (6.177,4.673) -- (6.053,4.549) -- (6.007,4.379) -- (6.053,4.209) -- (6.177,4.084) -- (6.347,4.039) -- (6.517,4.084) -- (6.642,4.209) -- cycle;
\node at (6.347,4.379) {\scalebox{1.584}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.467,4.135) -- (5.422,4.305) -- (5.297,4.429) -- (5.127,4.475) -- (4.957,4.429) -- (4.833,4.305) -- (4.787,4.135) -- (4.833,3.965) -- (4.957,3.84) -- (5.127,3.795) -- (5.297,3.84) -- (5.422,3.965) -- cycle;
\node at (5.127,4.135) {\scalebox{1.584}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.888,3.902) -- (3.842,4.072) -- (3.718,4.197) -- (3.548,4.242) -- (3.378,4.197) -- (3.253,4.072) -- (3.208,3.902) -- (3.253,3.732) -- (3.378,3.608) -- (3.548,3.562) -- (3.718,3.608) -- (3.842,3.732) -- cycle;
\node at (3.548,3.902) {\scalebox{1.584}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.619,2.277) -- (6.573,2.447) -- (6.449,2.572) -- (6.279,2.617) -- (6.109,2.572) -- (5.984,2.447) -- (5.939,2.277) -- (5.984,2.107) -- (6.109,1.983) -- (6.279,1.937) -- (6.449,1.983) -- (6.573,2.107) -- cycle;
\node at (6.279,2.277) {\scalebox{1.584}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.935,2.339) -- (9.889,2.509) -- (9.765,2.634) -- (9.595,2.679) -- (9.425,2.634) -- (9.3,2.509) -- (9.255,2.339) -- (9.3,2.169) -- (9.425,2.045) -- (9.595,1.999) -- (9.765,2.045) -- (9.889,2.169) -- cycle;
\node at (9.595,2.339) {\scalebox{1.584}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.812,2.024) -- (3.766,2.194) -- (3.642,2.318) -- (3.472,2.364) -- (3.302,2.318) -- (3.177,2.194) -- (3.132,2.024) -- (3.177,1.854) -- (3.302,1.729) -- (3.472,1.684) -- (3.642,1.729) -- (3.766,1.854) -- cycle;
\node at (3.472,2.024) {\scalebox{1.584}{\small 12}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (4.388,5.381) -- (4.988,5.381) -- (4.988,5.981) -- (4.388,5.981) -- cycle;
\node at (4.688,5.681) {\scalebox{1.584}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (10.999,8.312) -- (11.599,8.312) -- (11.599,8.912) -- (10.999,8.912) -- cycle;
\node at (11.299,8.612) {\scalebox{1.584}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (5.931,0.65) -- (6.531,0.65) -- (6.531,1.25) -- (5.931,1.25) -- cycle;
\node at (6.231,0.95) {\scalebox{1.584}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (6.785,7.697) -- (7.385,7.697) -- (7.385,8.297) -- (6.785,8.297) -- cycle;
\node at (7.085,7.997) {\scalebox{1.584}{\small d}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (2.065,7.907) -- (2.665,7.907) -- (2.665,8.507) -- (2.065,8.507) -- cycle;
\node at (2.365,8.207) {\scalebox{1.584}{\small e}};
\node at (0.765,9.178) {\scalebox{1.584}{\small A}};
\node at (8.947,9.242) {\scalebox{1.584}{\small B}};
\node at (11.842,6.331) {\scalebox{1.584}{\small C}};
\node at (4.129,5.95) {\scalebox{1.584}{\small D}};
\node at (8.159,2.346) {\scalebox{1.584}{\small E}};
\node at (4.283,2.109) {\scalebox{1.584}{\small F}};
\node at (1.639,1.983) {\scalebox{1.584}{\small G}};
\node at (11.768,1.156) {\scalebox{1.584}{\small H}};
\draw[line width=0.5pt] (12.558,7.852) -- (12.558,8.952);
\draw[line width=0.5pt] (12.327,8.567) -- (12.558,8.952) -- (12.789,8.567);
\draw[line width=0.5pt] (12.255,8.402) -- (12.86,8.402);
\node at (12.558,9.337) {\scalebox{1.584}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G & \cellcolor{blue!7}\bfseries H \\ \hline
Nombre de rues & 1 & 2 & 4 & 6 & 4 & 3 & 2 & 2 \\ \hline
Parité & \textbf{impair} & pair & pair & pair & pair & \textbf{impair} & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 24 = 2 \(\times\) 12, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{A}, \textbf{F} — il y en a 2.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{D}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Deux carrefours sont impairs, \textbf{A} et \textbf{F} : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Or la poste est en \textbf{D}, où aboutit un nombre \textbf{pair} de rues. Ce carrefour ne peut être que traversé, jamais servir de départ.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui, une tournée existe} — mais elle va de \textbf{A} à \textbf{F}. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il \textbf{ne reviendrait pas} à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Ce parcours, en partant de A :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Place des Tanneurs \textbf{(A)}, prend l'\textbf{impasse du Puits ①} vers le sud-est et atteint Carrefour des Tilleuls \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue Verte ③}, vers le nord-est, jusqu'à Place du Marché \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue du Stade ②}, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point de la Gare \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{chemin Creux ④}, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour des Tilleuls \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{chemin du Lavoir ⑦}, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point de la Poste \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{quai aux Fleurs ⑤}, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point de la Gare \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{sentier des Prés ⑥}, vers le sud, jusqu'à Place aux Herbes \textbf{(H)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue des Lilas ⑪}, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point de la Poste \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Four ⑩}, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour du Moulin \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{boulevard du Parc ⑧}, vers le nord, jusqu'à Carrefour des Tilleuls \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à gauche dans l'\textbf{allée des Tilleuls ⑨}, vers le sud-ouest, jusqu'à Place de la Fontaine \textbf{(G)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue des Jardins ⑫}, vers l'est, jusqu'à Carrefour du Moulin \textbf{(F)}.
\end{enumerate}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À remarquer.} Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
