\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 89}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=89}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0089}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6992, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (10.857,8.142) -- (10.676,8.168) -- (10.494,8.189) -- (10.313,8.207) -- (10.13,8.22) -- (9.948,8.228) -- (9.765,8.233) -- (9.582,8.233) -- (9.399,8.229) -- (9.217,8.221) -- (9.034,8.208) -- (8.852,8.191) -- (8.671,8.17) -- (8.49,8.144) -- (8.31,8.115);
\draw[line width=0.5pt] (10.857,8.142) -- (10.905,7.887) -- (10.947,7.632) -- (10.983,7.375) -- (11.013,7.118) -- (11.037,6.859) -- (11.055,6.601) -- (11.067,6.342) -- (11.073,6.083) -- (11.073,5.823) -- (11.067,5.564) -- (11.054,5.305) -- (11.036,5.047) -- (11.011,4.789) -- (10.98,4.532);
\draw[line width=0.5pt] (8.31,8.115) -- (8.069,8.088) -- (7.83,8.055) -- (7.591,8.017) -- (7.352,7.973) -- (7.115,7.924) -- (6.88,7.869) -- (6.645,7.808) -- (6.412,7.742) -- (6.181,7.671) -- (5.951,7.594) -- (5.723,7.512) -- (5.498,7.425) -- (5.274,7.332) -- (5.053,7.234);
\draw[line width=0.5pt] (8.31,8.115) -- (8.112,7.86) -- (7.908,7.61) -- (7.698,7.365) -- (7.482,7.125) -- (7.26,6.89) -- (7.033,6.66) -- (6.801,6.436) -- (6.564,6.217) -- (6.321,6.004) -- (6.074,5.796) -- (5.822,5.595) -- (5.565,5.399) -- (5.303,5.21) -- (5.038,5.027);
\draw[line width=0.5pt] (8.31,8.115) -- (8.46,7.831) -- (8.617,7.552) -- (8.78,7.276) -- (8.95,7.004) -- (9.126,6.736) -- (9.309,6.472) -- (9.497,6.213) -- (9.692,5.958) -- (9.893,5.708) -- (10.099,5.462) -- (10.311,5.222) -- (10.529,4.986) -- (10.752,4.756) -- (10.98,4.532);
\draw[line width=0.5pt] (8.31,8.115) -- (8.326,7.87) -- (8.337,7.626) -- (8.342,7.381) -- (8.341,7.136) -- (8.334,6.891) -- (8.322,6.646) -- (8.304,6.401) -- (8.28,6.157) -- (8.25,5.914) -- (8.215,5.672) -- (8.174,5.43) -- (8.127,5.19) -- (8.075,4.95) -- (8.017,4.712) -- (7.975,4.489) -- (7.939,4.265) -- (7.908,4.039) -- (7.882,3.813) -- (7.862,3.587) -- (7.847,3.36) -- (7.837,3.133) -- (7.833,2.905) -- (7.834,2.678) -- (7.84,2.45) -- (7.852,2.223) -- (7.869,1.996) -- (7.891,1.77) -- (7.919,1.545);
\draw[line width=0.5pt] (5.038,5.027) -- (4.774,5.038) -- (4.511,5.043) -- (4.247,5.042) -- (3.984,5.034) -- (3.72,5.021) -- (3.457,5.001) -- (3.195,4.975) -- (2.933,4.943) -- (2.672,4.904) -- (2.412,4.86) -- (2.153,4.809) -- (1.895,4.753) -- (1.639,4.69) -- (1.385,4.621);
\draw[line width=0.5pt] (5.038,5.027) -- (4.865,4.74) -- (4.685,4.456) -- (4.498,4.177) -- (4.305,3.903) -- (4.105,3.632) -- (3.899,3.367) -- (3.687,3.107) -- (3.468,2.851) -- (3.244,2.601) -- (3.014,2.356) -- (2.779,2.117) -- (2.538,1.883) -- (2.291,1.656) -- (2.039,1.434);
\draw[line width=0.5pt] (1.385,4.621) -- (1.396,4.388) -- (1.413,4.155) -- (1.436,3.923) -- (1.464,3.691) -- (1.497,3.46) -- (1.536,3.23) -- (1.581,3.001) -- (1.63,2.772) -- (1.685,2.545) -- (1.746,2.32) -- (1.811,2.096) -- (1.882,1.873) -- (1.958,1.653) -- (2.039,1.434);
\draw[line width=0.5pt] (10.98,4.532) -- (10.796,4.287) -- (10.606,4.046) -- (10.41,3.809) -- (10.209,3.578) -- (10.002,3.351) -- (9.79,3.129) -- (9.573,2.912) -- (9.35,2.7) -- (9.123,2.493) -- (8.891,2.292) -- (8.655,2.097) -- (8.414,1.907) -- (8.168,1.723) -- (7.919,1.545);
\draw[line width=0.5pt] (10.98,4.532) -- (10.974,4.302) -- (10.973,4.071) -- (10.978,3.841) -- (10.988,3.611) -- (11.004,3.381) -- (11.025,3.152) -- (11.051,2.923) -- (11.083,2.694) -- (11.12,2.467) -- (11.162,2.24) -- (11.21,2.015) -- (11.263,1.791) -- (11.321,1.568) -- (11.385,1.347);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.017,8.142) -- (10.995,8.222) -- (10.937,8.28) -- (10.857,8.302) -- (10.777,8.28) -- (10.718,8.222) -- (10.697,8.142) -- (10.718,8.062) -- (10.777,8.003) -- (10.857,7.982) -- (10.937,8.003) -- (10.995,8.062) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.47,8.115) -- (8.448,8.195) -- (8.39,8.253) -- (8.31,8.275) -- (8.23,8.253) -- (8.171,8.195) -- (8.15,8.115) -- (8.171,8.035) -- (8.23,7.976) -- (8.31,7.955) -- (8.39,7.976) -- (8.448,8.035) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.213,7.234) -- (5.192,7.314) -- (5.133,7.372) -- (5.053,7.394) -- (4.973,7.372) -- (4.914,7.314) -- (4.893,7.234) -- (4.914,7.154) -- (4.973,7.095) -- (5.053,7.074) -- (5.133,7.095) -- (5.192,7.154) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.198,5.027) -- (5.176,5.107) -- (5.118,5.166) -- (5.038,5.187) -- (4.958,5.166) -- (4.899,5.107) -- (4.878,5.027) -- (4.899,4.947) -- (4.958,4.888) -- (5.038,4.867) -- (5.118,4.888) -- (5.176,4.947) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.545,4.621) -- (1.524,4.701) -- (1.465,4.76) -- (1.385,4.781) -- (1.305,4.76) -- (1.246,4.701) -- (1.225,4.621) -- (1.246,4.541) -- (1.305,4.483) -- (1.385,4.461) -- (1.465,4.483) -- (1.524,4.541) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.14,4.532) -- (11.119,4.612) -- (11.06,4.67) -- (10.98,4.692) -- (10.9,4.67) -- (10.842,4.612) -- (10.82,4.532) -- (10.842,4.452) -- (10.9,4.393) -- (10.98,4.372) -- (11.06,4.393) -- (11.119,4.452) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.079,1.545) -- (8.057,1.625) -- (7.999,1.683) -- (7.919,1.705) -- (7.839,1.683) -- (7.78,1.625) -- (7.759,1.545) -- (7.78,1.465) -- (7.839,1.406) -- (7.919,1.385) -- (7.999,1.406) -- (8.057,1.465) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.199,1.434) -- (2.178,1.514) -- (2.119,1.572) -- (2.039,1.594) -- (1.959,1.572) -- (1.901,1.514) -- (1.879,1.434) -- (1.901,1.354) -- (1.959,1.295) -- (2.039,1.274) -- (2.119,1.295) -- (2.178,1.354) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.545,1.347) -- (11.524,1.427) -- (11.465,1.486) -- (11.385,1.507) -- (11.305,1.486) -- (11.246,1.427) -- (11.225,1.347) -- (11.246,1.267) -- (11.305,1.208) -- (11.385,1.187) -- (11.465,1.208) -- (11.524,1.267) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.925,7.913) -- (9.88,8.083) -- (9.755,8.208) -- (9.585,8.253) -- (9.415,8.208) -- (9.291,8.083) -- (9.245,7.913) -- (9.291,7.743) -- (9.415,7.619) -- (9.585,7.573) -- (9.755,7.619) -- (9.88,7.743) -- cycle;
\node at (9.585,7.913) {\scalebox{1.43}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.727,6.353) -- (11.682,6.523) -- (11.557,6.647) -- (11.387,6.693) -- (11.217,6.647) -- (11.093,6.523) -- (11.047,6.353) -- (11.093,6.183) -- (11.217,6.058) -- (11.387,6.013) -- (11.557,6.058) -- (11.682,6.183) -- cycle;
\node at (11.387,6.353) {\scalebox{1.43}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.069,7.5) -- (7.023,7.67) -- (6.899,7.794) -- (6.729,7.84) -- (6.559,7.794) -- (6.434,7.67) -- (6.389,7.5) -- (6.434,7.33) -- (6.559,7.205) -- (6.729,7.16) -- (6.899,7.205) -- (7.023,7.33) -- cycle;
\node at (6.729,7.5) {\scalebox{1.43}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.361,6.203) -- (7.315,6.373) -- (7.191,6.498) -- (7.021,6.543) -- (6.851,6.498) -- (6.726,6.373) -- (6.681,6.203) -- (6.726,6.033) -- (6.851,5.909) -- (7.021,5.863) -- (7.191,5.909) -- (7.315,6.033) -- cycle;
\node at (7.021,6.203) {\scalebox{1.43}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.094,6.404) -- (10.048,6.574) -- (9.924,6.699) -- (9.754,6.744) -- (9.584,6.699) -- (9.459,6.574) -- (9.414,6.404) -- (9.459,6.234) -- (9.584,6.11) -- (9.754,6.064) -- (9.924,6.11) -- (10.048,6.234) -- cycle;
\node at (9.754,6.404) {\scalebox{1.43}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.67,4.645) -- (8.624,4.815) -- (8.5,4.939) -- (8.33,4.985) -- (8.16,4.939) -- (8.035,4.815) -- (7.99,4.645) -- (8.035,4.475) -- (8.16,4.35) -- (8.33,4.305) -- (8.5,4.35) -- (8.624,4.475) -- cycle;
\node at (8.33,4.645) {\scalebox{1.43}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.57,4.657) -- (3.524,4.827) -- (3.4,4.951) -- (3.23,4.997) -- (3.06,4.951) -- (2.936,4.827) -- (2.89,4.657) -- (2.936,4.487) -- (3.06,4.362) -- (3.23,4.317) -- (3.4,4.362) -- (3.524,4.487) -- cycle;
\node at (3.23,4.657) {\scalebox{1.43}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.272,2.902) -- (4.227,3.072) -- (4.102,3.196) -- (3.932,3.242) -- (3.762,3.196) -- (3.638,3.072) -- (3.592,2.902) -- (3.638,2.732) -- (3.762,2.607) -- (3.932,2.562) -- (4.102,2.607) -- (4.227,2.732) -- cycle;
\node at (3.932,2.902) {\scalebox{1.43}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.234,3.065) -- (2.189,3.235) -- (2.064,3.359) -- (1.894,3.405) -- (1.724,3.359) -- (1.6,3.235) -- (1.554,3.065) -- (1.6,2.895) -- (1.724,2.77) -- (1.894,2.725) -- (2.064,2.77) -- (2.189,2.895) -- cycle;
\node at (1.894,3.065) {\scalebox{1.43}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.136,2.683) -- (10.091,2.853) -- (9.966,2.977) -- (9.796,3.023) -- (9.626,2.977) -- (9.502,2.853) -- (9.456,2.683) -- (9.502,2.513) -- (9.626,2.388) -- (9.796,2.343) -- (9.966,2.388) -- (10.091,2.513) -- cycle;
\node at (9.796,2.683) {\scalebox{1.43}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.709,2.963) -- (11.663,3.133) -- (11.539,3.257) -- (11.369,3.303) -- (11.199,3.257) -- (11.074,3.133) -- (11.029,2.963) -- (11.074,2.793) -- (11.199,2.669) -- (11.369,2.623) -- (11.539,2.669) -- (11.663,2.793) -- cycle;
\node at (11.369,2.963) {\scalebox{1.43}{\small 11}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (10.68,4.232) -- (11.28,4.232) -- (11.28,4.832) -- (10.68,4.832) -- cycle;
\node at (10.98,4.532) {\scalebox{1.43}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.879,5.736) -- (7.479,5.736) -- (7.479,6.336) -- (6.879,6.336) -- cycle;
\node at (7.179,6.036) {\scalebox{1.43}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.858,4.058) -- (2.458,4.058) -- (2.458,4.658) -- (1.858,4.658) -- cycle;
\node at (2.158,4.358) {\scalebox{1.43}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (12.35,6.439) -- (12.95,6.439) -- (12.95,7.039) -- (12.35,7.039) -- cycle;
\node at (12.65,6.739) {\scalebox{1.43}{\small d}};
\node at (11.317,8.556) {\scalebox{1.43}{\small A}};
\node at (8.531,8.694) {\scalebox{1.43}{\small B}};
\node at (4.679,7.728) {\scalebox{1.43}{\small C}};
\node at (4.428,5.139) {\scalebox{1.43}{\small D}};
\node at (0.765,4.616) {\scalebox{1.43}{\small E}};
\node at (11.6,4.511) {\scalebox{1.43}{\small F}};
\node at (8.095,0.95) {\scalebox{1.43}{\small G}};
\node at (1.52,1.095) {\scalebox{1.43}{\small H}};
\node at (11.879,0.973) {\scalebox{1.43}{\small I}};
\draw[line width=0.5pt] (12.685,7.192) -- (12.685,8.292);
\draw[line width=0.5pt] (12.454,7.907) -- (12.685,8.292) -- (12.916,7.907);
\draw[line width=0.5pt] (12.382,7.742) -- (12.987,7.742);
\node at (12.685,8.677) {\scalebox{1.43}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue des Lilas & ⑦ rue des Jardins & Ⓐ Place du Vieux-Puits & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue Neuve & ⑧ avenue de la Gare & Ⓑ Carrefour de la Mairie & \textbf{b} le marché couvert \\ \hline
③ impasse des Cerisiers & ⑨ quai aux Fleurs & Ⓒ Placette des Ormes & \textbf{c} la pharmacie \\ \hline
④ rue du Stade & ⑩ chemin du Lavoir & Ⓓ Rond-point des Vaches & \textbf{d} la salle des fêtes \\ \hline
⑤ rue du Puits & ⑪ impasse des Roses & Ⓔ Place des Tanneurs &  \\ \hline
⑥ boulevard du Parc &  & Ⓕ Rond-point de la Gare &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Place Sainte-Croix &  \\ \hline
 &  & Ⓗ Place de l'Église &  \\ \hline
 &  & Ⓘ Place aux Herbes &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6256, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (10.857,8.142) -- (10.676,8.168) -- (10.494,8.189) -- (10.313,8.207) -- (10.13,8.22) -- (9.948,8.228) -- (9.765,8.233) -- (9.582,8.233) -- (9.399,8.229) -- (9.217,8.221) -- (9.034,8.208) -- (8.852,8.191) -- (8.671,8.17) -- (8.49,8.144) -- (8.31,8.115);
\draw[line width=0.5pt] (10.857,8.142) -- (10.905,7.887) -- (10.947,7.632) -- (10.983,7.375) -- (11.013,7.118) -- (11.037,6.859) -- (11.055,6.601) -- (11.067,6.342) -- (11.073,6.083) -- (11.073,5.823) -- (11.067,5.564) -- (11.054,5.305) -- (11.036,5.047) -- (11.011,4.789) -- (10.98,4.532);
\draw[line width=0.5pt] (8.31,8.115) -- (8.069,8.088) -- (7.83,8.055) -- (7.591,8.017) -- (7.352,7.973) -- (7.115,7.924) -- (6.88,7.869) -- (6.645,7.808) -- (6.412,7.742) -- (6.181,7.671) -- (5.951,7.594) -- (5.723,7.512) -- (5.498,7.425) -- (5.274,7.332) -- (5.053,7.234);
\draw[line width=0.5pt] (8.31,8.115) -- (8.112,7.86) -- (7.908,7.61) -- (7.698,7.365) -- (7.482,7.125) -- (7.26,6.89) -- (7.033,6.66) -- (6.801,6.436) -- (6.564,6.217) -- (6.321,6.004) -- (6.074,5.796) -- (5.822,5.595) -- (5.565,5.399) -- (5.303,5.21) -- (5.038,5.027);
\draw[line width=0.5pt] (8.31,8.115) -- (8.46,7.831) -- (8.617,7.552) -- (8.78,7.276) -- (8.95,7.004) -- (9.126,6.736) -- (9.309,6.472) -- (9.497,6.213) -- (9.692,5.958) -- (9.893,5.708) -- (10.099,5.462) -- (10.311,5.222) -- (10.529,4.986) -- (10.752,4.756) -- (10.98,4.532);
\draw[line width=0.5pt] (8.31,8.115) -- (8.326,7.87) -- (8.337,7.626) -- (8.342,7.381) -- (8.341,7.136) -- (8.334,6.891) -- (8.322,6.646) -- (8.304,6.401) -- (8.28,6.157) -- (8.25,5.914) -- (8.215,5.672) -- (8.174,5.43) -- (8.127,5.19) -- (8.075,4.95) -- (8.017,4.712) -- (7.975,4.489) -- (7.939,4.265) -- (7.908,4.039) -- (7.882,3.813) -- (7.862,3.587) -- (7.847,3.36) -- (7.837,3.133) -- (7.833,2.905) -- (7.834,2.678) -- (7.84,2.45) -- (7.852,2.223) -- (7.869,1.996) -- (7.891,1.77) -- (7.919,1.545);
\draw[line width=0.5pt] (5.038,5.027) -- (4.774,5.038) -- (4.511,5.043) -- (4.247,5.042) -- (3.984,5.034) -- (3.72,5.021) -- (3.457,5.001) -- (3.195,4.975) -- (2.933,4.943) -- (2.672,4.904) -- (2.412,4.86) -- (2.153,4.809) -- (1.895,4.753) -- (1.639,4.69) -- (1.385,4.621);
\draw[line width=0.5pt] (5.038,5.027) -- (4.865,4.74) -- (4.685,4.456) -- (4.498,4.177) -- (4.305,3.903) -- (4.105,3.632) -- (3.899,3.367) -- (3.687,3.107) -- (3.468,2.851) -- (3.244,2.601) -- (3.014,2.356) -- (2.779,2.117) -- (2.538,1.883) -- (2.291,1.656) -- (2.039,1.434);
\draw[line width=0.5pt] (1.385,4.621) -- (1.396,4.388) -- (1.413,4.155) -- (1.436,3.923) -- (1.464,3.691) -- (1.497,3.46) -- (1.536,3.23) -- (1.581,3.001) -- (1.63,2.772) -- (1.685,2.545) -- (1.746,2.32) -- (1.811,2.096) -- (1.882,1.873) -- (1.958,1.653) -- (2.039,1.434);
\draw[line width=0.5pt] (10.98,4.532) -- (10.796,4.287) -- (10.606,4.046) -- (10.41,3.809) -- (10.209,3.578) -- (10.002,3.351) -- (9.79,3.129) -- (9.573,2.912) -- (9.35,2.7) -- (9.123,2.493) -- (8.891,2.292) -- (8.655,2.097) -- (8.414,1.907) -- (8.168,1.723) -- (7.919,1.545);
\draw[line width=0.5pt] (10.98,4.532) -- (10.974,4.302) -- (10.973,4.071) -- (10.978,3.841) -- (10.988,3.611) -- (11.004,3.381) -- (11.025,3.152) -- (11.051,2.923) -- (11.083,2.694) -- (11.12,2.467) -- (11.162,2.24) -- (11.21,2.015) -- (11.263,1.791) -- (11.321,1.568) -- (11.385,1.347);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.017,8.142) -- (10.995,8.222) -- (10.937,8.28) -- (10.857,8.302) -- (10.777,8.28) -- (10.718,8.222) -- (10.697,8.142) -- (10.718,8.062) -- (10.777,8.003) -- (10.857,7.982) -- (10.937,8.003) -- (10.995,8.062) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.47,8.115) -- (8.448,8.195) -- (8.39,8.253) -- (8.31,8.275) -- (8.23,8.253) -- (8.171,8.195) -- (8.15,8.115) -- (8.171,8.035) -- (8.23,7.976) -- (8.31,7.955) -- (8.39,7.976) -- (8.448,8.035) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.213,7.234) -- (5.192,7.314) -- (5.133,7.372) -- (5.053,7.394) -- (4.973,7.372) -- (4.914,7.314) -- (4.893,7.234) -- (4.914,7.154) -- (4.973,7.095) -- (5.053,7.074) -- (5.133,7.095) -- (5.192,7.154) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.198,5.027) -- (5.176,5.107) -- (5.118,5.166) -- (5.038,5.187) -- (4.958,5.166) -- (4.899,5.107) -- (4.878,5.027) -- (4.899,4.947) -- (4.958,4.888) -- (5.038,4.867) -- (5.118,4.888) -- (5.176,4.947) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.545,4.621) -- (1.524,4.701) -- (1.465,4.76) -- (1.385,4.781) -- (1.305,4.76) -- (1.246,4.701) -- (1.225,4.621) -- (1.246,4.541) -- (1.305,4.483) -- (1.385,4.461) -- (1.465,4.483) -- (1.524,4.541) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.14,4.532) -- (11.119,4.612) -- (11.06,4.67) -- (10.98,4.692) -- (10.9,4.67) -- (10.842,4.612) -- (10.82,4.532) -- (10.842,4.452) -- (10.9,4.393) -- (10.98,4.372) -- (11.06,4.393) -- (11.119,4.452) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.079,1.545) -- (8.057,1.625) -- (7.999,1.683) -- (7.919,1.705) -- (7.839,1.683) -- (7.78,1.625) -- (7.759,1.545) -- (7.78,1.465) -- (7.839,1.406) -- (7.919,1.385) -- (7.999,1.406) -- (8.057,1.465) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.199,1.434) -- (2.178,1.514) -- (2.119,1.572) -- (2.039,1.594) -- (1.959,1.572) -- (1.901,1.514) -- (1.879,1.434) -- (1.901,1.354) -- (1.959,1.295) -- (2.039,1.274) -- (2.119,1.295) -- (2.178,1.354) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.545,1.347) -- (11.524,1.427) -- (11.465,1.486) -- (11.385,1.507) -- (11.305,1.486) -- (11.246,1.427) -- (11.225,1.347) -- (11.246,1.267) -- (11.305,1.208) -- (11.385,1.187) -- (11.465,1.208) -- (11.524,1.267) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.925,7.913) -- (9.88,8.083) -- (9.755,8.208) -- (9.585,8.253) -- (9.415,8.208) -- (9.291,8.083) -- (9.245,7.913) -- (9.291,7.743) -- (9.415,7.619) -- (9.585,7.573) -- (9.755,7.619) -- (9.88,7.743) -- cycle;
\node at (9.585,7.913) {\scalebox{1.598}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.727,6.353) -- (11.682,6.523) -- (11.557,6.647) -- (11.387,6.693) -- (11.217,6.647) -- (11.093,6.523) -- (11.047,6.353) -- (11.093,6.183) -- (11.217,6.058) -- (11.387,6.013) -- (11.557,6.058) -- (11.682,6.183) -- cycle;
\node at (11.387,6.353) {\scalebox{1.598}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.069,7.5) -- (7.023,7.67) -- (6.899,7.794) -- (6.729,7.84) -- (6.559,7.794) -- (6.434,7.67) -- (6.389,7.5) -- (6.434,7.33) -- (6.559,7.205) -- (6.729,7.16) -- (6.899,7.205) -- (7.023,7.33) -- cycle;
\node at (6.729,7.5) {\scalebox{1.598}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.361,6.203) -- (7.315,6.373) -- (7.191,6.498) -- (7.021,6.543) -- (6.851,6.498) -- (6.726,6.373) -- (6.681,6.203) -- (6.726,6.033) -- (6.851,5.909) -- (7.021,5.863) -- (7.191,5.909) -- (7.315,6.033) -- cycle;
\node at (7.021,6.203) {\scalebox{1.598}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.094,6.404) -- (10.048,6.574) -- (9.924,6.699) -- (9.754,6.744) -- (9.584,6.699) -- (9.459,6.574) -- (9.414,6.404) -- (9.459,6.234) -- (9.584,6.11) -- (9.754,6.064) -- (9.924,6.11) -- (10.048,6.234) -- cycle;
\node at (9.754,6.404) {\scalebox{1.598}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.67,4.645) -- (8.624,4.815) -- (8.5,4.939) -- (8.33,4.985) -- (8.16,4.939) -- (8.035,4.815) -- (7.99,4.645) -- (8.035,4.475) -- (8.16,4.35) -- (8.33,4.305) -- (8.5,4.35) -- (8.624,4.475) -- cycle;
\node at (8.33,4.645) {\scalebox{1.598}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.57,4.657) -- (3.524,4.827) -- (3.4,4.951) -- (3.23,4.997) -- (3.06,4.951) -- (2.936,4.827) -- (2.89,4.657) -- (2.936,4.487) -- (3.06,4.362) -- (3.23,4.317) -- (3.4,4.362) -- (3.524,4.487) -- cycle;
\node at (3.23,4.657) {\scalebox{1.598}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.272,2.902) -- (4.227,3.072) -- (4.102,3.196) -- (3.932,3.242) -- (3.762,3.196) -- (3.638,3.072) -- (3.592,2.902) -- (3.638,2.732) -- (3.762,2.607) -- (3.932,2.562) -- (4.102,2.607) -- (4.227,2.732) -- cycle;
\node at (3.932,2.902) {\scalebox{1.598}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.234,3.065) -- (2.189,3.235) -- (2.064,3.359) -- (1.894,3.405) -- (1.724,3.359) -- (1.6,3.235) -- (1.554,3.065) -- (1.6,2.895) -- (1.724,2.77) -- (1.894,2.725) -- (2.064,2.77) -- (2.189,2.895) -- cycle;
\node at (1.894,3.065) {\scalebox{1.598}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.136,2.683) -- (10.091,2.853) -- (9.966,2.977) -- (9.796,3.023) -- (9.626,2.977) -- (9.502,2.853) -- (9.456,2.683) -- (9.502,2.513) -- (9.626,2.388) -- (9.796,2.343) -- (9.966,2.388) -- (10.091,2.513) -- cycle;
\node at (9.796,2.683) {\scalebox{1.598}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.709,2.963) -- (11.663,3.133) -- (11.539,3.257) -- (11.369,3.303) -- (11.199,3.257) -- (11.074,3.133) -- (11.029,2.963) -- (11.074,2.793) -- (11.199,2.669) -- (11.369,2.623) -- (11.539,2.669) -- (11.663,2.793) -- cycle;
\node at (11.369,2.963) {\scalebox{1.598}{\small 11}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (10.68,4.232) -- (11.28,4.232) -- (11.28,4.832) -- (10.68,4.832) -- cycle;
\node at (10.98,4.532) {\scalebox{1.598}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.879,5.736) -- (7.479,5.736) -- (7.479,6.336) -- (6.879,6.336) -- cycle;
\node at (7.179,6.036) {\scalebox{1.598}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.858,4.058) -- (2.458,4.058) -- (2.458,4.658) -- (1.858,4.658) -- cycle;
\node at (2.158,4.358) {\scalebox{1.598}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (12.35,6.439) -- (12.95,6.439) -- (12.95,7.039) -- (12.35,7.039) -- cycle;
\node at (12.65,6.739) {\scalebox{1.598}{\small d}};
\node at (11.317,8.556) {\scalebox{1.598}{\small A}};
\node at (8.531,8.694) {\scalebox{1.598}{\small B}};
\node at (4.679,7.728) {\scalebox{1.598}{\small C}};
\node at (4.428,5.139) {\scalebox{1.598}{\small D}};
\node at (0.765,4.616) {\scalebox{1.598}{\small E}};
\node at (11.6,4.511) {\scalebox{1.598}{\small F}};
\node at (8.095,0.95) {\scalebox{1.598}{\small G}};
\node at (1.52,1.095) {\scalebox{1.598}{\small H}};
\node at (11.879,0.973) {\scalebox{1.598}{\small I}};
\draw[line width=0.5pt] (12.685,7.192) -- (12.685,8.292);
\draw[line width=0.5pt] (12.454,7.907) -- (12.685,8.292) -- (12.916,7.907);
\draw[line width=0.5pt] (12.382,7.742) -- (12.987,7.742);
\node at (12.685,8.677) {\scalebox{1.598}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G & \cellcolor{blue!7}\bfseries H & \cellcolor{blue!7}\bfseries I \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 5 & 1 & 3 & 2 & 4 & 2 & 2 & 1 \\ \hline
Parité & pair & \textbf{impair} & \textbf{impair} & \textbf{impair} & pair & pair & pair & pair & \textbf{impair} \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 22 = 2 \(\times\) 11, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{B}, \textbf{C}, \textbf{D}, \textbf{I} — il y en a 4.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{F}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Le quartier compte \textbf{4 carrefours impairs} (B, C, D, I).}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Chacun d'eux exigerait d'être un départ ou une arrivée. Une tournée n'a qu'un départ et qu'une arrivée : au moins 2 d'entre eux resteraient sans solution.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non plus.} Où que l'on installe la poste, il reste 4 carrefours impairs, et une tournée n'en tolère que deux : un pour partir, un pour arriver.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}C'est la différence avec un quartier à deux carrefours impairs, où déplacer la poste suffisait. Ici, le problème ne vient pas du point de départ mais du plan lui-même.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Combien de rues en double, au minimum ?} Il faut apparier les carrefours impairs deux à deux, ce qui demande 1 passage(s) supplémentaire(s) au mieux pour une tournée ouverte, un de plus pour revenir à la poste. C'est le « problème du postier chinois », étudié bien après Euler.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À remarquer.} Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
