\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 90}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=90}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0090}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6918, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (2.042,8.894) -- (2.226,8.647) -- (2.415,8.405) -- (2.611,8.167) -- (2.812,7.934) -- (3.018,7.705) -- (3.23,7.482) -- (3.447,7.264) -- (3.669,7.05) -- (3.896,6.842) -- (4.128,6.64) -- (4.365,6.442) -- (4.606,6.251) -- (4.851,6.065) -- (5.101,5.886);
\draw[line width=0.5pt] (2.042,8.894) -- (2.073,8.702) -- (2.1,8.509) -- (2.123,8.316) -- (2.141,8.123) -- (2.154,7.928) -- (2.163,7.734) -- (2.167,7.54) -- (2.166,7.345) -- (2.161,7.151) -- (2.152,6.956) -- (2.138,6.762) -- (2.119,6.569) -- (2.096,6.376) -- (2.068,6.183) -- (1.97,5.902) -- (1.878,5.619) -- (1.793,5.333) -- (1.715,5.046) -- (1.644,4.756) -- (1.579,4.465) -- (1.522,4.173) -- (1.471,3.879) -- (1.427,3.584) -- (1.39,3.289) -- (1.36,2.992) -- (1.337,2.695) -- (1.321,2.398) -- (1.312,2.1);
\draw[line width=0.5pt] (8.686,8.535) -- (8.403,8.386) -- (8.124,8.231) -- (7.848,8.069) -- (7.576,7.901) -- (7.308,7.726) -- (7.044,7.545) -- (6.784,7.358) -- (6.529,7.165) -- (6.279,6.966) -- (6.033,6.761) -- (5.792,6.55) -- (5.556,6.334) -- (5.326,6.113) -- (5.101,5.886);
\draw[line width=0.5pt] (8.686,8.535) -- (8.639,8.294) -- (8.587,8.055) -- (8.528,7.817) -- (8.465,7.58) -- (8.395,7.344) -- (8.32,7.111) -- (8.24,6.879) -- (8.154,6.649) -- (8.063,6.421) -- (7.966,6.195) -- (7.864,5.972) -- (7.757,5.752) -- (7.645,5.534) -- (7.528,5.318);
\draw[line width=0.5pt] (11.312,5.962) -- (11.037,5.958) -- (10.762,5.947) -- (10.487,5.93) -- (10.213,5.906) -- (9.939,5.876) -- (9.666,5.839) -- (9.393,5.796) -- (9.122,5.747) -- (8.852,5.691) -- (8.584,5.629) -- (8.317,5.561) -- (8.052,5.486) -- (7.789,5.405) -- (7.528,5.318);
\draw[line width=0.5pt] (11.312,5.962) -- (11.318,5.687) -- (11.317,5.412) -- (11.309,5.137) -- (11.295,4.862) -- (11.274,4.588) -- (11.247,4.314) -- (11.214,4.041) -- (11.174,3.768) -- (11.128,3.497) -- (11.075,3.227) -- (11.016,2.958) -- (10.951,2.691) -- (10.879,2.425) -- (10.802,2.161);
\draw[line width=0.5pt] (5.101,5.886) -- (5.266,5.819) -- (5.434,5.756) -- (5.603,5.697) -- (5.773,5.642) -- (5.944,5.592) -- (6.117,5.545) -- (6.291,5.502) -- (6.465,5.463) -- (6.641,5.429) -- (6.817,5.398) -- (6.994,5.372) -- (7.172,5.35) -- (7.35,5.332) -- (7.528,5.318);
\draw[line width=0.5pt] (5.101,5.886) -- (4.874,5.576) -- (4.639,5.272) -- (4.398,4.973) -- (4.149,4.68) -- (3.894,4.393) -- (3.631,4.112) -- (3.363,3.837) -- (3.088,3.568) -- (2.806,3.306) -- (2.519,3.051) -- (2.226,2.802) -- (1.927,2.561) -- (1.622,2.327) -- (1.312,2.1);
\draw[line width=0.5pt] (7.528,5.318) -- (7.523,5.045) -- (7.525,4.771) -- (7.533,4.497) -- (7.548,4.224) -- (7.569,3.951) -- (7.597,3.678) -- (7.631,3.406) -- (7.671,3.135) -- (7.718,2.865) -- (7.771,2.597) -- (7.83,2.329) -- (7.896,2.064) -- (7.967,1.799) -- (8.045,1.537);
\draw[line width=0.5pt] (10.802,2.161) -- (10.613,2.087) -- (10.423,2.017) -- (10.231,1.952) -- (10.038,1.891) -- (9.843,1.834) -- (9.647,1.783) -- (9.449,1.736) -- (9.251,1.693) -- (9.052,1.655) -- (8.852,1.622) -- (8.651,1.594) -- (8.449,1.57) -- (8.248,1.551) -- (8.045,1.537);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.202,8.894) -- (2.181,8.974) -- (2.122,9.032) -- (2.042,9.054) -- (1.962,9.032) -- (1.903,8.974) -- (1.882,8.894) -- (1.903,8.814) -- (1.962,8.755) -- (2.042,8.734) -- (2.122,8.755) -- (2.181,8.814) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.846,8.535) -- (8.825,8.615) -- (8.766,8.673) -- (8.686,8.695) -- (8.606,8.673) -- (8.548,8.615) -- (8.526,8.535) -- (8.548,8.455) -- (8.606,8.396) -- (8.686,8.375) -- (8.766,8.396) -- (8.825,8.455) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.472,5.962) -- (11.451,6.042) -- (11.392,6.101) -- (11.312,6.122) -- (11.232,6.101) -- (11.174,6.042) -- (11.152,5.962) -- (11.174,5.882) -- (11.232,5.824) -- (11.312,5.802) -- (11.392,5.824) -- (11.451,5.882) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.261,5.886) -- (5.239,5.966) -- (5.181,6.024) -- (5.101,6.046) -- (5.021,6.024) -- (4.962,5.966) -- (4.941,5.886) -- (4.962,5.806) -- (5.021,5.747) -- (5.101,5.726) -- (5.181,5.747) -- (5.239,5.806) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.688,5.318) -- (7.666,5.398) -- (7.608,5.457) -- (7.528,5.478) -- (7.448,5.457) -- (7.389,5.398) -- (7.368,5.318) -- (7.389,5.238) -- (7.448,5.18) -- (7.528,5.158) -- (7.608,5.18) -- (7.666,5.238) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.962,2.161) -- (10.94,2.241) -- (10.882,2.3) -- (10.802,2.321) -- (10.722,2.3) -- (10.663,2.241) -- (10.642,2.161) -- (10.663,2.081) -- (10.722,2.023) -- (10.802,2.001) -- (10.882,2.023) -- (10.94,2.081) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.472,2.1) -- (1.451,2.18) -- (1.392,2.239) -- (1.312,2.26) -- (1.232,2.239) -- (1.174,2.18) -- (1.152,2.1) -- (1.174,2.02) -- (1.232,1.962) -- (1.312,1.94) -- (1.392,1.962) -- (1.451,2.02) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.205,1.537) -- (8.184,1.617) -- (8.125,1.676) -- (8.045,1.697) -- (7.965,1.676) -- (7.907,1.617) -- (7.885,1.537) -- (7.907,1.457) -- (7.965,1.399) -- (8.045,1.377) -- (8.125,1.399) -- (8.184,1.457) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.012,7.492) -- (3.966,7.662) -- (3.842,7.786) -- (3.672,7.832) -- (3.502,7.786) -- (3.377,7.662) -- (3.332,7.492) -- (3.377,7.322) -- (3.502,7.197) -- (3.672,7.152) -- (3.842,7.197) -- (3.966,7.322) -- cycle;
\node at (3.672,7.492) {\scalebox{1.446}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.717,6.101) -- (2.672,6.271) -- (2.547,6.396) -- (2.377,6.441) -- (2.207,6.396) -- (2.083,6.271) -- (2.037,6.101) -- (2.083,5.931) -- (2.207,5.807) -- (2.377,5.761) -- (2.547,5.807) -- (2.672,5.931) -- cycle;
\node at (2.377,6.101) {\scalebox{1.446}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.314,7.101) -- (7.269,7.271) -- (7.144,7.395) -- (6.974,7.441) -- (6.804,7.395) -- (6.68,7.271) -- (6.634,7.101) -- (6.68,6.931) -- (6.804,6.806) -- (6.974,6.761) -- (7.144,6.806) -- (7.269,6.931) -- cycle;
\node at (6.974,7.101) {\scalebox{1.446}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.881,6.77) -- (8.835,6.94) -- (8.711,7.065) -- (8.541,7.11) -- (8.371,7.065) -- (8.246,6.94) -- (8.201,6.77) -- (8.246,6.6) -- (8.371,6.476) -- (8.541,6.43) -- (8.711,6.476) -- (8.835,6.6) -- cycle;
\node at (8.541,6.77) {\scalebox{1.446}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.787,5.481) -- (9.742,5.651) -- (9.617,5.775) -- (9.447,5.821) -- (9.277,5.775) -- (9.153,5.651) -- (9.107,5.481) -- (9.153,5.311) -- (9.277,5.187) -- (9.447,5.141) -- (9.617,5.187) -- (9.742,5.311) -- cycle;
\node at (9.447,5.481) {\scalebox{1.446}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.871,3.998) -- (11.825,4.168) -- (11.701,4.293) -- (11.531,4.338) -- (11.361,4.293) -- (11.236,4.168) -- (11.191,3.998) -- (11.236,3.828) -- (11.361,3.704) -- (11.531,3.658) -- (11.701,3.704) -- (11.825,3.828) -- cycle;
\node at (11.531,3.998) {\scalebox{1.446}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.704,5.813) -- (6.658,5.983) -- (6.534,6.108) -- (6.364,6.153) -- (6.194,6.108) -- (6.069,5.983) -- (6.024,5.813) -- (6.069,5.643) -- (6.194,5.519) -- (6.364,5.473) -- (6.534,5.519) -- (6.658,5.643) -- cycle;
\node at (6.364,5.813) {\scalebox{1.446}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.929,3.61) -- (3.883,3.78) -- (3.759,3.905) -- (3.589,3.95) -- (3.419,3.905) -- (3.294,3.78) -- (3.249,3.61) -- (3.294,3.44) -- (3.419,3.316) -- (3.589,3.27) -- (3.759,3.316) -- (3.883,3.44) -- cycle;
\node at (3.589,3.61) {\scalebox{1.446}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.288,3.45) -- (8.242,3.62) -- (8.118,3.744) -- (7.948,3.79) -- (7.778,3.744) -- (7.653,3.62) -- (7.608,3.45) -- (7.653,3.28) -- (7.778,3.155) -- (7.948,3.11) -- (8.118,3.155) -- (8.242,3.28) -- cycle;
\node at (7.948,3.45) {\scalebox{1.446}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.86,1.423) -- (9.814,1.593) -- (9.69,1.718) -- (9.52,1.763) -- (9.35,1.718) -- (9.226,1.593) -- (9.18,1.423) -- (9.226,1.253) -- (9.35,1.129) -- (9.52,1.083) -- (9.69,1.129) -- (9.814,1.253) -- cycle;
\node at (9.52,1.423) {\scalebox{1.446}{\small 10}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (7.228,5.018) -- (7.828,5.018) -- (7.828,5.618) -- (7.228,5.618) -- cycle;
\node at (7.528,5.318) {\scalebox{1.446}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (12.533,3.431) -- (13.133,3.431) -- (13.133,4.031) -- (12.533,4.031) -- cycle;
\node at (12.833,3.731) {\scalebox{1.446}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.7,8.074) -- (3.3,8.074) -- (3.3,8.674) -- (2.7,8.674) -- cycle;
\node at (3.0,8.374) {\scalebox{1.446}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (8.584,2.34) -- (9.184,2.34) -- (9.184,2.94) -- (8.584,2.94) -- cycle;
\node at (8.884,2.64) {\scalebox{1.446}{\small d}};
\node at (1.558,9.281) {\scalebox{1.446}{\small A}};
\node at (8.975,9.084) {\scalebox{1.446}{\small B}};
\node at (11.92,6.087) {\scalebox{1.446}{\small C}};
\node at (4.541,6.153) {\scalebox{1.446}{\small D}};
\node at (8.104,5.548) {\scalebox{1.446}{\small E}};
\node at (11.302,1.795) {\scalebox{1.446}{\small F}};
\node at (0.765,1.809) {\scalebox{1.446}{\small G}};
\node at (8.245,0.95) {\scalebox{1.446}{\small H}};
\draw[line width=0.5pt] (12.612,7.944) -- (12.612,9.044);
\draw[line width=0.5pt] (12.381,8.659) -- (12.612,9.044) -- (12.843,8.659);
\draw[line width=0.5pt] (12.31,8.494) -- (12.915,8.494);
\node at (12.612,9.429) {\scalebox{1.446}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① quai aux Fleurs & ⑥ chemin du Lavoir & Ⓐ Place du Marché & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue des Écoles & ⑦ chemin des Vignes & Ⓑ Place de l'Église & \textbf{b} la bibliothèque \\ \hline
③ rue du Four & ⑧ rue du Puits & Ⓒ Place des Tanneurs & \textbf{c} le lavoir \\ \hline
④ sentier des Prés & ⑨ rue du Moulin & Ⓓ Carrefour Saint-Roch & \textbf{d} le cimetière \\ \hline
⑤ rue Basse & ⑩ rue du Pont & Ⓔ Carrefour des Quatre-Chemins &  \\ \hline
 &  & Ⓕ Place de la Fontaine &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Place Sainte-Croix &  \\ \hline
 &  & Ⓗ Place du Vieux-Puits &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6189, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (2.042,8.894) -- (2.226,8.647) -- (2.415,8.405) -- (2.611,8.167) -- (2.812,7.934) -- (3.018,7.705) -- (3.23,7.482) -- (3.447,7.264) -- (3.669,7.05) -- (3.896,6.842) -- (4.128,6.64) -- (4.365,6.442) -- (4.606,6.251) -- (4.851,6.065) -- (5.101,5.886);
\draw[line width=0.5pt] (2.042,8.894) -- (2.073,8.702) -- (2.1,8.509) -- (2.123,8.316) -- (2.141,8.123) -- (2.154,7.928) -- (2.163,7.734) -- (2.167,7.54) -- (2.166,7.345) -- (2.161,7.151) -- (2.152,6.956) -- (2.138,6.762) -- (2.119,6.569) -- (2.096,6.376) -- (2.068,6.183) -- (1.97,5.902) -- (1.878,5.619) -- (1.793,5.333) -- (1.715,5.046) -- (1.644,4.756) -- (1.579,4.465) -- (1.522,4.173) -- (1.471,3.879) -- (1.427,3.584) -- (1.39,3.289) -- (1.36,2.992) -- (1.337,2.695) -- (1.321,2.398) -- (1.312,2.1);
\draw[line width=0.5pt] (8.686,8.535) -- (8.403,8.386) -- (8.124,8.231) -- (7.848,8.069) -- (7.576,7.901) -- (7.308,7.726) -- (7.044,7.545) -- (6.784,7.358) -- (6.529,7.165) -- (6.279,6.966) -- (6.033,6.761) -- (5.792,6.55) -- (5.556,6.334) -- (5.326,6.113) -- (5.101,5.886);
\draw[line width=0.5pt] (8.686,8.535) -- (8.639,8.294) -- (8.587,8.055) -- (8.528,7.817) -- (8.465,7.58) -- (8.395,7.344) -- (8.32,7.111) -- (8.24,6.879) -- (8.154,6.649) -- (8.063,6.421) -- (7.966,6.195) -- (7.864,5.972) -- (7.757,5.752) -- (7.645,5.534) -- (7.528,5.318);
\draw[line width=0.5pt] (11.312,5.962) -- (11.037,5.958) -- (10.762,5.947) -- (10.487,5.93) -- (10.213,5.906) -- (9.939,5.876) -- (9.666,5.839) -- (9.393,5.796) -- (9.122,5.747) -- (8.852,5.691) -- (8.584,5.629) -- (8.317,5.561) -- (8.052,5.486) -- (7.789,5.405) -- (7.528,5.318);
\draw[line width=0.5pt] (11.312,5.962) -- (11.318,5.687) -- (11.317,5.412) -- (11.309,5.137) -- (11.295,4.862) -- (11.274,4.588) -- (11.247,4.314) -- (11.214,4.041) -- (11.174,3.768) -- (11.128,3.497) -- (11.075,3.227) -- (11.016,2.958) -- (10.951,2.691) -- (10.879,2.425) -- (10.802,2.161);
\draw[line width=0.5pt] (5.101,5.886) -- (5.266,5.819) -- (5.434,5.756) -- (5.603,5.697) -- (5.773,5.642) -- (5.944,5.592) -- (6.117,5.545) -- (6.291,5.502) -- (6.465,5.463) -- (6.641,5.429) -- (6.817,5.398) -- (6.994,5.372) -- (7.172,5.35) -- (7.35,5.332) -- (7.528,5.318);
\draw[line width=0.5pt] (5.101,5.886) -- (4.874,5.576) -- (4.639,5.272) -- (4.398,4.973) -- (4.149,4.68) -- (3.894,4.393) -- (3.631,4.112) -- (3.363,3.837) -- (3.088,3.568) -- (2.806,3.306) -- (2.519,3.051) -- (2.226,2.802) -- (1.927,2.561) -- (1.622,2.327) -- (1.312,2.1);
\draw[line width=0.5pt] (7.528,5.318) -- (7.523,5.045) -- (7.525,4.771) -- (7.533,4.497) -- (7.548,4.224) -- (7.569,3.951) -- (7.597,3.678) -- (7.631,3.406) -- (7.671,3.135) -- (7.718,2.865) -- (7.771,2.597) -- (7.83,2.329) -- (7.896,2.064) -- (7.967,1.799) -- (8.045,1.537);
\draw[line width=0.5pt] (10.802,2.161) -- (10.613,2.087) -- (10.423,2.017) -- (10.231,1.952) -- (10.038,1.891) -- (9.843,1.834) -- (9.647,1.783) -- (9.449,1.736) -- (9.251,1.693) -- (9.052,1.655) -- (8.852,1.622) -- (8.651,1.594) -- (8.449,1.57) -- (8.248,1.551) -- (8.045,1.537);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.202,8.894) -- (2.181,8.974) -- (2.122,9.032) -- (2.042,9.054) -- (1.962,9.032) -- (1.903,8.974) -- (1.882,8.894) -- (1.903,8.814) -- (1.962,8.755) -- (2.042,8.734) -- (2.122,8.755) -- (2.181,8.814) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.846,8.535) -- (8.825,8.615) -- (8.766,8.673) -- (8.686,8.695) -- (8.606,8.673) -- (8.548,8.615) -- (8.526,8.535) -- (8.548,8.455) -- (8.606,8.396) -- (8.686,8.375) -- (8.766,8.396) -- (8.825,8.455) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.472,5.962) -- (11.451,6.042) -- (11.392,6.101) -- (11.312,6.122) -- (11.232,6.101) -- (11.174,6.042) -- (11.152,5.962) -- (11.174,5.882) -- (11.232,5.824) -- (11.312,5.802) -- (11.392,5.824) -- (11.451,5.882) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.261,5.886) -- (5.239,5.966) -- (5.181,6.024) -- (5.101,6.046) -- (5.021,6.024) -- (4.962,5.966) -- (4.941,5.886) -- (4.962,5.806) -- (5.021,5.747) -- (5.101,5.726) -- (5.181,5.747) -- (5.239,5.806) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.688,5.318) -- (7.666,5.398) -- (7.608,5.457) -- (7.528,5.478) -- (7.448,5.457) -- (7.389,5.398) -- (7.368,5.318) -- (7.389,5.238) -- (7.448,5.18) -- (7.528,5.158) -- (7.608,5.18) -- (7.666,5.238) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.962,2.161) -- (10.94,2.241) -- (10.882,2.3) -- (10.802,2.321) -- (10.722,2.3) -- (10.663,2.241) -- (10.642,2.161) -- (10.663,2.081) -- (10.722,2.023) -- (10.802,2.001) -- (10.882,2.023) -- (10.94,2.081) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.472,2.1) -- (1.451,2.18) -- (1.392,2.239) -- (1.312,2.26) -- (1.232,2.239) -- (1.174,2.18) -- (1.152,2.1) -- (1.174,2.02) -- (1.232,1.962) -- (1.312,1.94) -- (1.392,1.962) -- (1.451,2.02) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.205,1.537) -- (8.184,1.617) -- (8.125,1.676) -- (8.045,1.697) -- (7.965,1.676) -- (7.907,1.617) -- (7.885,1.537) -- (7.907,1.457) -- (7.965,1.399) -- (8.045,1.377) -- (8.125,1.399) -- (8.184,1.457) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.012,7.492) -- (3.966,7.662) -- (3.842,7.786) -- (3.672,7.832) -- (3.502,7.786) -- (3.377,7.662) -- (3.332,7.492) -- (3.377,7.322) -- (3.502,7.197) -- (3.672,7.152) -- (3.842,7.197) -- (3.966,7.322) -- cycle;
\node at (3.672,7.492) {\scalebox{1.616}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.717,6.101) -- (2.672,6.271) -- (2.547,6.396) -- (2.377,6.441) -- (2.207,6.396) -- (2.083,6.271) -- (2.037,6.101) -- (2.083,5.931) -- (2.207,5.807) -- (2.377,5.761) -- (2.547,5.807) -- (2.672,5.931) -- cycle;
\node at (2.377,6.101) {\scalebox{1.616}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.314,7.101) -- (7.269,7.271) -- (7.144,7.395) -- (6.974,7.441) -- (6.804,7.395) -- (6.68,7.271) -- (6.634,7.101) -- (6.68,6.931) -- (6.804,6.806) -- (6.974,6.761) -- (7.144,6.806) -- (7.269,6.931) -- cycle;
\node at (6.974,7.101) {\scalebox{1.616}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.881,6.77) -- (8.835,6.94) -- (8.711,7.065) -- (8.541,7.11) -- (8.371,7.065) -- (8.246,6.94) -- (8.201,6.77) -- (8.246,6.6) -- (8.371,6.476) -- (8.541,6.43) -- (8.711,6.476) -- (8.835,6.6) -- cycle;
\node at (8.541,6.77) {\scalebox{1.616}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.787,5.481) -- (9.742,5.651) -- (9.617,5.775) -- (9.447,5.821) -- (9.277,5.775) -- (9.153,5.651) -- (9.107,5.481) -- (9.153,5.311) -- (9.277,5.187) -- (9.447,5.141) -- (9.617,5.187) -- (9.742,5.311) -- cycle;
\node at (9.447,5.481) {\scalebox{1.616}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.871,3.998) -- (11.825,4.168) -- (11.701,4.293) -- (11.531,4.338) -- (11.361,4.293) -- (11.236,4.168) -- (11.191,3.998) -- (11.236,3.828) -- (11.361,3.704) -- (11.531,3.658) -- (11.701,3.704) -- (11.825,3.828) -- cycle;
\node at (11.531,3.998) {\scalebox{1.616}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.704,5.813) -- (6.658,5.983) -- (6.534,6.108) -- (6.364,6.153) -- (6.194,6.108) -- (6.069,5.983) -- (6.024,5.813) -- (6.069,5.643) -- (6.194,5.519) -- (6.364,5.473) -- (6.534,5.519) -- (6.658,5.643) -- cycle;
\node at (6.364,5.813) {\scalebox{1.616}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.929,3.61) -- (3.883,3.78) -- (3.759,3.905) -- (3.589,3.95) -- (3.419,3.905) -- (3.294,3.78) -- (3.249,3.61) -- (3.294,3.44) -- (3.419,3.316) -- (3.589,3.27) -- (3.759,3.316) -- (3.883,3.44) -- cycle;
\node at (3.589,3.61) {\scalebox{1.616}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.288,3.45) -- (8.242,3.62) -- (8.118,3.744) -- (7.948,3.79) -- (7.778,3.744) -- (7.653,3.62) -- (7.608,3.45) -- (7.653,3.28) -- (7.778,3.155) -- (7.948,3.11) -- (8.118,3.155) -- (8.242,3.28) -- cycle;
\node at (7.948,3.45) {\scalebox{1.616}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.86,1.423) -- (9.814,1.593) -- (9.69,1.718) -- (9.52,1.763) -- (9.35,1.718) -- (9.226,1.593) -- (9.18,1.423) -- (9.226,1.253) -- (9.35,1.129) -- (9.52,1.083) -- (9.69,1.129) -- (9.814,1.253) -- cycle;
\node at (9.52,1.423) {\scalebox{1.616}{\small 10}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (7.228,5.018) -- (7.828,5.018) -- (7.828,5.618) -- (7.228,5.618) -- cycle;
\node at (7.528,5.318) {\scalebox{1.616}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (12.533,3.431) -- (13.133,3.431) -- (13.133,4.031) -- (12.533,4.031) -- cycle;
\node at (12.833,3.731) {\scalebox{1.616}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.7,8.074) -- (3.3,8.074) -- (3.3,8.674) -- (2.7,8.674) -- cycle;
\node at (3.0,8.374) {\scalebox{1.616}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (8.584,2.34) -- (9.184,2.34) -- (9.184,2.94) -- (8.584,2.94) -- cycle;
\node at (8.884,2.64) {\scalebox{1.616}{\small d}};
\node at (1.558,9.281) {\scalebox{1.616}{\small A}};
\node at (8.975,9.084) {\scalebox{1.616}{\small B}};
\node at (11.92,6.087) {\scalebox{1.616}{\small C}};
\node at (4.541,6.153) {\scalebox{1.616}{\small D}};
\node at (8.104,5.548) {\scalebox{1.616}{\small E}};
\node at (11.302,1.795) {\scalebox{1.616}{\small F}};
\node at (0.765,1.809) {\scalebox{1.616}{\small G}};
\node at (8.245,0.95) {\scalebox{1.616}{\small H}};
\draw[line width=0.5pt] (12.612,7.944) -- (12.612,9.044);
\draw[line width=0.5pt] (12.381,8.659) -- (12.612,9.044) -- (12.843,8.659);
\draw[line width=0.5pt] (12.31,8.494) -- (12.915,8.494);
\node at (12.612,9.429) {\scalebox{1.616}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G & \cellcolor{blue!7}\bfseries H \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 2 & 2 & 4 & 4 & 2 & 2 & 2 \\ \hline
Parité & pair & pair & pair & pair & pair & pair & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 20 = 2 \(\times\) 10, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Aucun} carrefour n'a un nombre impair de rues : ils sont tous pairs.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{E}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui.} Aucun carrefour n'est impair : chacun peut être traversé de part en part. Le facteur revient même à la poste sans l'avoir cherché.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Voici une tournée possible — ce n'est pas la seule :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Carrefour des Quatre-Chemins \textbf{(E)}, prend le \textbf{sentier des Prés ④} vers le nord et atteint Place de l'Église \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Four ③}, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour Saint-Roch \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{quai aux Fleurs ①}, vers le nord-ouest, jusqu'à Place du Marché \textbf{(A)}.
  \item Il prend dans la \textbf{rue des Écoles ②}, vers le sud, jusqu'à Place Sainte-Croix \textbf{(G)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Puits ⑧}, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour Saint-Roch \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{chemin des Vignes ⑦}, vers l'est, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins \textbf{(E)}.
  \item Il continue tout droit dans la \textbf{rue Basse ⑤}, vers l'est, jusqu'à Place des Tanneurs \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{chemin du Lavoir ⑥}, vers le sud, jusqu'à Place de la Fontaine \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue du Pont ⑩}, vers l'ouest, jusqu'à Place du Vieux-Puits \textbf{(H)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue du Moulin ⑨}, vers le nord, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins \textbf{(E)}.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries La question ne se pose pas : la tournée est possible au départ de la poste, et elle le resterait où qu'on installe celle-ci — aucun carrefour n'est impair.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
