\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 91}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=91}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0091}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7016, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (8.707,8.791) -- (8.422,8.83) -- (8.136,8.863) -- (7.849,8.888) -- (7.562,8.907) -- (7.274,8.919) -- (6.986,8.925) -- (6.698,8.923) -- (6.41,8.915) -- (6.122,8.9) -- (5.835,8.878) -- (5.549,8.85) -- (5.263,8.815) -- (4.978,8.773) -- (4.695,8.724);
\draw[line width=0.5pt] (8.707,8.791) -- (8.908,8.511) -- (9.102,8.227) -- (9.29,7.938) -- (9.471,7.645) -- (9.645,7.347) -- (9.812,7.046) -- (9.972,6.74) -- (10.125,6.431) -- (10.27,6.118) -- (10.408,5.803) -- (10.538,5.484) -- (10.661,5.162) -- (10.777,4.837) -- (10.884,4.51);
\draw[line width=0.5pt] (4.695,8.724) -- (4.634,8.471) -- (4.579,8.217) -- (4.53,7.961) -- (4.486,7.705) -- (4.449,7.447) -- (4.419,7.188) -- (4.394,6.929) -- (4.375,6.669) -- (4.362,6.409) -- (4.356,6.149) -- (4.355,5.889) -- (4.361,5.628) -- (4.373,5.368) -- (4.391,5.109);
\draw[line width=0.5pt] (4.391,5.109) -- (4.194,5.038) -- (3.995,4.971) -- (3.795,4.909) -- (3.594,4.852) -- (3.391,4.8) -- (3.186,4.752) -- (2.981,4.709) -- (2.775,4.671) -- (2.568,4.638) -- (2.36,4.61) -- (2.152,4.587) -- (1.943,4.568) -- (1.734,4.555) -- (1.525,4.546);
\draw[line width=0.5pt] (4.391,5.109) -- (4.661,5.028) -- (4.934,4.953) -- (5.208,4.884) -- (5.484,4.822) -- (5.761,4.767) -- (6.04,4.718) -- (6.319,4.675) -- (6.6,4.64) -- (6.881,4.61) -- (7.163,4.588) -- (7.445,4.572) -- (7.728,4.562) -- (8.01,4.56) -- (8.293,4.564) -- (8.477,4.588) -- (8.662,4.609) -- (8.847,4.624) -- (9.033,4.636) -- (9.219,4.643) -- (9.405,4.645) -- (9.591,4.644) -- (9.777,4.638) -- (9.962,4.627) -- (10.148,4.612) -- (10.333,4.593) -- (10.517,4.57) -- (10.701,4.542) -- (10.884,4.51);
\draw[line width=0.5pt] (4.391,5.109) -- (4.433,4.93) -- (4.47,4.749) -- (4.503,4.568) -- (4.532,4.386) -- (4.557,4.203) -- (4.577,4.02) -- (4.594,3.836) -- (4.605,3.652) -- (4.613,3.468) -- (4.616,3.284) -- (4.615,3.1) -- (4.609,2.915) -- (4.599,2.731) -- (4.585,2.548);
\draw[line width=0.5pt] (4.391,5.109) -- (4.146,4.957) -- (3.904,4.798) -- (3.667,4.634) -- (3.433,4.465) -- (3.203,4.29) -- (2.978,4.11) -- (2.756,3.924) -- (2.539,3.733) -- (2.327,3.537) -- (2.119,3.337) -- (1.916,3.131) -- (1.718,2.921) -- (1.526,2.706) -- (1.338,2.487);
\draw[line width=0.5pt] (4.391,5.109) -- (4.671,4.89) -- (4.946,4.664) -- (5.215,4.432) -- (5.479,4.193) -- (5.737,3.948) -- (5.99,3.697) -- (6.236,3.441) -- (6.477,3.178) -- (6.711,2.91) -- (6.939,2.637) -- (7.16,2.358) -- (7.375,2.075) -- (7.582,1.786) -- (7.783,1.493);
\draw[line width=0.5pt] (1.525,4.546) -- (1.489,4.402) -- (1.457,4.258) -- (1.428,4.112) -- (1.402,3.966) -- (1.38,3.819) -- (1.362,3.672) -- (1.347,3.524) -- (1.335,3.376) -- (1.327,3.228) -- (1.322,3.08) -- (1.321,2.932) -- (1.323,2.783) -- (1.329,2.635) -- (1.338,2.487);
\draw[line width=0.5pt] (10.884,4.51) -- (10.943,4.341) -- (10.998,4.17) -- (11.049,3.998) -- (11.096,3.825) -- (11.139,3.65) -- (11.178,3.475) -- (11.212,3.299) -- (11.243,3.122) -- (11.269,2.945) -- (11.291,2.767) -- (11.309,2.588) -- (11.323,2.409) -- (11.333,2.23) -- (11.338,2.051);
\draw[line width=0.5pt] (10.884,4.51) -- (10.631,4.33) -- (10.383,4.144) -- (10.139,3.952) -- (9.899,3.755) -- (9.664,3.552) -- (9.434,3.343) -- (9.209,3.129) -- (8.989,2.91) -- (8.774,2.686) -- (8.565,2.457) -- (8.361,2.223) -- (8.163,1.984) -- (7.97,1.741) -- (7.783,1.493);
\draw[line width=0.5pt] (4.585,2.548) -- (4.823,2.508) -- (5.06,2.463) -- (5.296,2.412) -- (5.531,2.355) -- (5.765,2.293) -- (5.997,2.225) -- (6.228,2.152) -- (6.456,2.074) -- (6.683,1.99) -- (6.908,1.901) -- (7.13,1.807) -- (7.35,1.707) -- (7.568,1.603) -- (7.783,1.493);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.867,8.791) -- (8.845,8.871) -- (8.787,8.93) -- (8.707,8.951) -- (8.627,8.93) -- (8.568,8.871) -- (8.547,8.791) -- (8.568,8.711) -- (8.627,8.652) -- (8.707,8.631) -- (8.787,8.652) -- (8.845,8.711) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.855,8.724) -- (4.833,8.804) -- (4.775,8.863) -- (4.695,8.884) -- (4.615,8.863) -- (4.556,8.804) -- (4.535,8.724) -- (4.556,8.644) -- (4.615,8.586) -- (4.695,8.564) -- (4.775,8.586) -- (4.833,8.644) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.551,5.109) -- (4.529,5.189) -- (4.471,5.247) -- (4.391,5.269) -- (4.311,5.247) -- (4.252,5.189) -- (4.231,5.109) -- (4.252,5.029) -- (4.311,4.97) -- (4.391,4.949) -- (4.471,4.97) -- (4.529,5.029) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.685,4.546) -- (1.664,4.626) -- (1.605,4.685) -- (1.525,4.706) -- (1.445,4.685) -- (1.387,4.626) -- (1.365,4.546) -- (1.387,4.466) -- (1.445,4.408) -- (1.525,4.386) -- (1.605,4.408) -- (1.664,4.466) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.044,4.51) -- (11.023,4.59) -- (10.964,4.648) -- (10.884,4.67) -- (10.804,4.648) -- (10.745,4.59) -- (10.724,4.51) -- (10.745,4.43) -- (10.804,4.371) -- (10.884,4.35) -- (10.964,4.371) -- (11.023,4.43) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.745,2.548) -- (4.723,2.628) -- (4.665,2.686) -- (4.585,2.708) -- (4.505,2.686) -- (4.446,2.628) -- (4.425,2.548) -- (4.446,2.468) -- (4.505,2.409) -- (4.585,2.388) -- (4.665,2.409) -- (4.723,2.468) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.498,2.487) -- (1.476,2.567) -- (1.418,2.626) -- (1.338,2.647) -- (1.258,2.626) -- (1.199,2.567) -- (1.178,2.487) -- (1.199,2.407) -- (1.258,2.349) -- (1.338,2.327) -- (1.418,2.349) -- (1.476,2.407) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.498,2.051) -- (11.476,2.131) -- (11.418,2.19) -- (11.338,2.211) -- (11.258,2.19) -- (11.199,2.131) -- (11.178,2.051) -- (11.199,1.971) -- (11.258,1.913) -- (11.338,1.891) -- (11.418,1.913) -- (11.476,1.971) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.943,1.493) -- (7.922,1.573) -- (7.863,1.631) -- (7.783,1.653) -- (7.703,1.631) -- (7.645,1.573) -- (7.623,1.493) -- (7.645,1.413) -- (7.703,1.354) -- (7.783,1.333) -- (7.863,1.354) -- (7.922,1.413) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.043,8.603) -- (6.998,8.773) -- (6.873,8.898) -- (6.703,8.943) -- (6.533,8.898) -- (6.409,8.773) -- (6.363,8.603) -- (6.409,8.433) -- (6.533,8.309) -- (6.703,8.263) -- (6.873,8.309) -- (6.998,8.433) -- cycle;
\node at (6.703,8.603) {\scalebox{1.425}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.597,6.885) -- (10.552,7.055) -- (10.427,7.18) -- (10.257,7.225) -- (10.087,7.18) -- (9.963,7.055) -- (9.917,6.885) -- (9.963,6.715) -- (10.087,6.591) -- (10.257,6.545) -- (10.427,6.591) -- (10.552,6.715) -- cycle;
\node at (10.257,6.885) {\scalebox{1.425}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.053,6.902) -- (5.007,7.072) -- (4.883,7.197) -- (4.713,7.242) -- (4.543,7.197) -- (4.418,7.072) -- (4.373,6.902) -- (4.418,6.732) -- (4.543,6.608) -- (4.713,6.562) -- (4.883,6.608) -- (5.007,6.732) -- cycle;
\node at (4.713,6.902) {\scalebox{1.425}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.383,4.395) -- (3.337,4.565) -- (3.213,4.69) -- (3.043,4.735) -- (2.873,4.69) -- (2.748,4.565) -- (2.703,4.395) -- (2.748,4.225) -- (2.873,4.101) -- (3.043,4.055) -- (3.213,4.101) -- (3.337,4.225) -- cycle;
\node at (3.043,4.395) {\scalebox{1.425}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.613,4.883) -- (8.568,5.053) -- (8.443,5.178) -- (8.273,5.223) -- (8.103,5.178) -- (7.979,5.053) -- (7.933,4.883) -- (7.979,4.713) -- (8.103,4.589) -- (8.273,4.543) -- (8.443,4.589) -- (8.568,4.713) -- cycle;
\node at (8.273,4.883) {\scalebox{1.425}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.253,3.861) -- (5.207,4.031) -- (5.083,4.155) -- (4.913,4.201) -- (4.743,4.155) -- (4.618,4.031) -- (4.573,3.861) -- (4.618,3.691) -- (4.743,3.566) -- (4.913,3.521) -- (5.083,3.566) -- (5.207,3.691) -- cycle;
\node at (4.913,3.861) {\scalebox{1.425}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.887,3.305) -- (2.841,3.475) -- (2.717,3.599) -- (2.547,3.645) -- (2.377,3.599) -- (2.252,3.475) -- (2.207,3.305) -- (2.252,3.135) -- (2.377,3.01) -- (2.547,2.965) -- (2.717,3.01) -- (2.841,3.135) -- cycle;
\node at (2.547,3.305) {\scalebox{1.425}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.81,3.66) -- (6.764,3.83) -- (6.64,3.954) -- (6.47,4.0) -- (6.3,3.954) -- (6.175,3.83) -- (6.13,3.66) -- (6.175,3.49) -- (6.3,3.365) -- (6.47,3.32) -- (6.64,3.365) -- (6.764,3.49) -- cycle;
\node at (6.47,3.66) {\scalebox{1.425}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.005,3.495) -- (1.96,3.665) -- (1.835,3.79) -- (1.665,3.835) -- (1.495,3.79) -- (1.371,3.665) -- (1.325,3.495) -- (1.371,3.325) -- (1.495,3.201) -- (1.665,3.155) -- (1.835,3.201) -- (1.96,3.325) -- cycle;
\node at (1.665,3.495) {\scalebox{1.425}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.867,3.357) -- (11.821,3.527) -- (11.697,3.652) -- (11.527,3.697) -- (11.357,3.652) -- (11.233,3.527) -- (11.187,3.357) -- (11.233,3.187) -- (11.357,3.063) -- (11.527,3.017) -- (11.697,3.063) -- (11.821,3.187) -- cycle;
\node at (11.527,3.357) {\scalebox{1.425}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.772,2.9) -- (9.727,3.07) -- (9.602,3.194) -- (9.432,3.24) -- (9.262,3.194) -- (9.138,3.07) -- (9.092,2.9) -- (9.138,2.73) -- (9.262,2.605) -- (9.432,2.56) -- (9.602,2.605) -- (9.727,2.73) -- cycle;
\node at (9.432,2.9) {\scalebox{1.425}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.668,2.456) -- (6.622,2.626) -- (6.498,2.751) -- (6.328,2.796) -- (6.158,2.751) -- (6.033,2.626) -- (5.988,2.456) -- (6.033,2.286) -- (6.158,2.162) -- (6.328,2.116) -- (6.498,2.162) -- (6.622,2.286) -- cycle;
\node at (6.328,2.456) {\scalebox{1.425}{\small 12}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (4.091,4.809) -- (4.691,4.809) -- (4.691,5.409) -- (4.091,5.409) -- cycle;
\node at (4.391,5.109) {\scalebox{1.425}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (2.815,3.207) -- (3.415,3.207) -- (3.415,3.807) -- (2.815,3.807) -- cycle;
\node at (3.115,3.507) {\scalebox{1.425}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.003,2.641) -- (7.603,2.641) -- (7.603,3.241) -- (7.003,3.241) -- cycle;
\node at (7.303,2.941) {\scalebox{1.425}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (6.258,1.286) -- (6.858,1.286) -- (6.858,1.886) -- (6.258,1.886) -- cycle;
\node at (6.558,1.586) {\scalebox{1.425}{\small d}};
\filldraw[fill=blue!12, draw=black, line width=0.5pt] (6.566,9.162) -- (7.166,9.162) -- (7.166,9.762) -- (6.566,9.762) -- cycle;
\node at (6.866,9.462) {\scalebox{1.425}{\small e}};
\node at (9.024,9.324) {\scalebox{1.425}{\small A}};
\node at (4.495,9.311) {\scalebox{1.425}{\small B}};
\node at (3.808,5.321) {\scalebox{1.425}{\small C}};
\node at (0.905,4.556) {\scalebox{1.425}{\small D}};
\node at (11.504,4.515) {\scalebox{1.425}{\small E}};
\node at (4.196,2.065) {\scalebox{1.425}{\small F}};
\node at (0.765,2.25) {\scalebox{1.425}{\small G}};
\node at (11.9,1.789) {\scalebox{1.425}{\small H}};
\node at (8.083,0.95) {\scalebox{1.425}{\small I}};
\draw[line width=0.5pt] (12.638,7.841) -- (12.638,8.941);
\draw[line width=0.5pt] (12.407,8.556) -- (12.638,8.941) -- (12.869,8.556);
\draw[line width=0.5pt] (12.335,8.391) -- (12.94,8.391);
\node at (12.638,9.326) {\scalebox{1.425}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue des Écoles & ⑦ allée des Tilleuls & Ⓐ Placette des Ormes & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue des Jardins & ⑧ rue Neuve & Ⓑ Place Sainte-Croix & \textbf{b} la mairie \\ \hline
③ allée des Peupliers & ⑨ sentier des Prés & Ⓒ Rond-point de la Poste & \textbf{c} la boulangerie \\ \hline
④ rue des Lilas & ⑩ impasse Sainte-Anne & Ⓓ Fontaine Notre-Dame & \textbf{d} le gymnase \\ \hline
⑤ rue du Four & ⑪ venelle du Chat & Ⓔ Carrefour des Quatre-Chemins & \textbf{e} l'école \\ \hline
⑥ rue du Moulin & ⑫ rue du Puits & Ⓕ Place de la Fontaine &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Place des Tanneurs &  \\ \hline
 &  & Ⓗ Coin du Lavoir &  \\ \hline
 &  & Ⓘ Carrefour du Lavoir &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6278, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (8.707,8.791) -- (8.422,8.83) -- (8.136,8.863) -- (7.849,8.888) -- (7.562,8.907) -- (7.274,8.919) -- (6.986,8.925) -- (6.698,8.923) -- (6.41,8.915) -- (6.122,8.9) -- (5.835,8.878) -- (5.549,8.85) -- (5.263,8.815) -- (4.978,8.773) -- (4.695,8.724);
\draw[line width=0.5pt] (8.707,8.791) -- (8.908,8.511) -- (9.102,8.227) -- (9.29,7.938) -- (9.471,7.645) -- (9.645,7.347) -- (9.812,7.046) -- (9.972,6.74) -- (10.125,6.431) -- (10.27,6.118) -- (10.408,5.803) -- (10.538,5.484) -- (10.661,5.162) -- (10.777,4.837) -- (10.884,4.51);
\draw[line width=0.5pt] (4.695,8.724) -- (4.634,8.471) -- (4.579,8.217) -- (4.53,7.961) -- (4.486,7.705) -- (4.449,7.447) -- (4.419,7.188) -- (4.394,6.929) -- (4.375,6.669) -- (4.362,6.409) -- (4.356,6.149) -- (4.355,5.889) -- (4.361,5.628) -- (4.373,5.368) -- (4.391,5.109);
\draw[line width=0.5pt] (4.391,5.109) -- (4.194,5.038) -- (3.995,4.971) -- (3.795,4.909) -- (3.594,4.852) -- (3.391,4.8) -- (3.186,4.752) -- (2.981,4.709) -- (2.775,4.671) -- (2.568,4.638) -- (2.36,4.61) -- (2.152,4.587) -- (1.943,4.568) -- (1.734,4.555) -- (1.525,4.546);
\draw[line width=0.5pt] (4.391,5.109) -- (4.661,5.028) -- (4.934,4.953) -- (5.208,4.884) -- (5.484,4.822) -- (5.761,4.767) -- (6.04,4.718) -- (6.319,4.675) -- (6.6,4.64) -- (6.881,4.61) -- (7.163,4.588) -- (7.445,4.572) -- (7.728,4.562) -- (8.01,4.56) -- (8.293,4.564) -- (8.477,4.588) -- (8.662,4.609) -- (8.847,4.624) -- (9.033,4.636) -- (9.219,4.643) -- (9.405,4.645) -- (9.591,4.644) -- (9.777,4.638) -- (9.962,4.627) -- (10.148,4.612) -- (10.333,4.593) -- (10.517,4.57) -- (10.701,4.542) -- (10.884,4.51);
\draw[line width=0.5pt] (4.391,5.109) -- (4.433,4.93) -- (4.47,4.749) -- (4.503,4.568) -- (4.532,4.386) -- (4.557,4.203) -- (4.577,4.02) -- (4.594,3.836) -- (4.605,3.652) -- (4.613,3.468) -- (4.616,3.284) -- (4.615,3.1) -- (4.609,2.915) -- (4.599,2.731) -- (4.585,2.548);
\draw[line width=0.5pt] (4.391,5.109) -- (4.146,4.957) -- (3.904,4.798) -- (3.667,4.634) -- (3.433,4.465) -- (3.203,4.29) -- (2.978,4.11) -- (2.756,3.924) -- (2.539,3.733) -- (2.327,3.537) -- (2.119,3.337) -- (1.916,3.131) -- (1.718,2.921) -- (1.526,2.706) -- (1.338,2.487);
\draw[line width=0.5pt] (4.391,5.109) -- (4.671,4.89) -- (4.946,4.664) -- (5.215,4.432) -- (5.479,4.193) -- (5.737,3.948) -- (5.99,3.697) -- (6.236,3.441) -- (6.477,3.178) -- (6.711,2.91) -- (6.939,2.637) -- (7.16,2.358) -- (7.375,2.075) -- (7.582,1.786) -- (7.783,1.493);
\draw[line width=0.5pt] (1.525,4.546) -- (1.489,4.402) -- (1.457,4.258) -- (1.428,4.112) -- (1.402,3.966) -- (1.38,3.819) -- (1.362,3.672) -- (1.347,3.524) -- (1.335,3.376) -- (1.327,3.228) -- (1.322,3.08) -- (1.321,2.932) -- (1.323,2.783) -- (1.329,2.635) -- (1.338,2.487);
\draw[line width=0.5pt] (10.884,4.51) -- (10.943,4.341) -- (10.998,4.17) -- (11.049,3.998) -- (11.096,3.825) -- (11.139,3.65) -- (11.178,3.475) -- (11.212,3.299) -- (11.243,3.122) -- (11.269,2.945) -- (11.291,2.767) -- (11.309,2.588) -- (11.323,2.409) -- (11.333,2.23) -- (11.338,2.051);
\draw[line width=0.5pt] (10.884,4.51) -- (10.631,4.33) -- (10.383,4.144) -- (10.139,3.952) -- (9.899,3.755) -- (9.664,3.552) -- (9.434,3.343) -- (9.209,3.129) -- (8.989,2.91) -- (8.774,2.686) -- (8.565,2.457) -- (8.361,2.223) -- (8.163,1.984) -- (7.97,1.741) -- (7.783,1.493);
\draw[line width=0.5pt] (4.585,2.548) -- (4.823,2.508) -- (5.06,2.463) -- (5.296,2.412) -- (5.531,2.355) -- (5.765,2.293) -- (5.997,2.225) -- (6.228,2.152) -- (6.456,2.074) -- (6.683,1.99) -- (6.908,1.901) -- (7.13,1.807) -- (7.35,1.707) -- (7.568,1.603) -- (7.783,1.493);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.867,8.791) -- (8.845,8.871) -- (8.787,8.93) -- (8.707,8.951) -- (8.627,8.93) -- (8.568,8.871) -- (8.547,8.791) -- (8.568,8.711) -- (8.627,8.652) -- (8.707,8.631) -- (8.787,8.652) -- (8.845,8.711) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.855,8.724) -- (4.833,8.804) -- (4.775,8.863) -- (4.695,8.884) -- (4.615,8.863) -- (4.556,8.804) -- (4.535,8.724) -- (4.556,8.644) -- (4.615,8.586) -- (4.695,8.564) -- (4.775,8.586) -- (4.833,8.644) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.551,5.109) -- (4.529,5.189) -- (4.471,5.247) -- (4.391,5.269) -- (4.311,5.247) -- (4.252,5.189) -- (4.231,5.109) -- (4.252,5.029) -- (4.311,4.97) -- (4.391,4.949) -- (4.471,4.97) -- (4.529,5.029) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.685,4.546) -- (1.664,4.626) -- (1.605,4.685) -- (1.525,4.706) -- (1.445,4.685) -- (1.387,4.626) -- (1.365,4.546) -- (1.387,4.466) -- (1.445,4.408) -- (1.525,4.386) -- (1.605,4.408) -- (1.664,4.466) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.044,4.51) -- (11.023,4.59) -- (10.964,4.648) -- (10.884,4.67) -- (10.804,4.648) -- (10.745,4.59) -- (10.724,4.51) -- (10.745,4.43) -- (10.804,4.371) -- (10.884,4.35) -- (10.964,4.371) -- (11.023,4.43) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.745,2.548) -- (4.723,2.628) -- (4.665,2.686) -- (4.585,2.708) -- (4.505,2.686) -- (4.446,2.628) -- (4.425,2.548) -- (4.446,2.468) -- (4.505,2.409) -- (4.585,2.388) -- (4.665,2.409) -- (4.723,2.468) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.498,2.487) -- (1.476,2.567) -- (1.418,2.626) -- (1.338,2.647) -- (1.258,2.626) -- (1.199,2.567) -- (1.178,2.487) -- (1.199,2.407) -- (1.258,2.349) -- (1.338,2.327) -- (1.418,2.349) -- (1.476,2.407) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.498,2.051) -- (11.476,2.131) -- (11.418,2.19) -- (11.338,2.211) -- (11.258,2.19) -- (11.199,2.131) -- (11.178,2.051) -- (11.199,1.971) -- (11.258,1.913) -- (11.338,1.891) -- (11.418,1.913) -- (11.476,1.971) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.943,1.493) -- (7.922,1.573) -- (7.863,1.631) -- (7.783,1.653) -- (7.703,1.631) -- (7.645,1.573) -- (7.623,1.493) -- (7.645,1.413) -- (7.703,1.354) -- (7.783,1.333) -- (7.863,1.354) -- (7.922,1.413) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.043,8.603) -- (6.998,8.773) -- (6.873,8.898) -- (6.703,8.943) -- (6.533,8.898) -- (6.409,8.773) -- (6.363,8.603) -- (6.409,8.433) -- (6.533,8.309) -- (6.703,8.263) -- (6.873,8.309) -- (6.998,8.433) -- cycle;
\node at (6.703,8.603) {\scalebox{1.593}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.597,6.885) -- (10.552,7.055) -- (10.427,7.18) -- (10.257,7.225) -- (10.087,7.18) -- (9.963,7.055) -- (9.917,6.885) -- (9.963,6.715) -- (10.087,6.591) -- (10.257,6.545) -- (10.427,6.591) -- (10.552,6.715) -- cycle;
\node at (10.257,6.885) {\scalebox{1.593}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.053,6.902) -- (5.007,7.072) -- (4.883,7.197) -- (4.713,7.242) -- (4.543,7.197) -- (4.418,7.072) -- (4.373,6.902) -- (4.418,6.732) -- (4.543,6.608) -- (4.713,6.562) -- (4.883,6.608) -- (5.007,6.732) -- cycle;
\node at (4.713,6.902) {\scalebox{1.593}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.383,4.395) -- (3.337,4.565) -- (3.213,4.69) -- (3.043,4.735) -- (2.873,4.69) -- (2.748,4.565) -- (2.703,4.395) -- (2.748,4.225) -- (2.873,4.101) -- (3.043,4.055) -- (3.213,4.101) -- (3.337,4.225) -- cycle;
\node at (3.043,4.395) {\scalebox{1.593}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.613,4.883) -- (8.568,5.053) -- (8.443,5.178) -- (8.273,5.223) -- (8.103,5.178) -- (7.979,5.053) -- (7.933,4.883) -- (7.979,4.713) -- (8.103,4.589) -- (8.273,4.543) -- (8.443,4.589) -- (8.568,4.713) -- cycle;
\node at (8.273,4.883) {\scalebox{1.593}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.253,3.861) -- (5.207,4.031) -- (5.083,4.155) -- (4.913,4.201) -- (4.743,4.155) -- (4.618,4.031) -- (4.573,3.861) -- (4.618,3.691) -- (4.743,3.566) -- (4.913,3.521) -- (5.083,3.566) -- (5.207,3.691) -- cycle;
\node at (4.913,3.861) {\scalebox{1.593}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.887,3.305) -- (2.841,3.475) -- (2.717,3.599) -- (2.547,3.645) -- (2.377,3.599) -- (2.252,3.475) -- (2.207,3.305) -- (2.252,3.135) -- (2.377,3.01) -- (2.547,2.965) -- (2.717,3.01) -- (2.841,3.135) -- cycle;
\node at (2.547,3.305) {\scalebox{1.593}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.81,3.66) -- (6.764,3.83) -- (6.64,3.954) -- (6.47,4.0) -- (6.3,3.954) -- (6.175,3.83) -- (6.13,3.66) -- (6.175,3.49) -- (6.3,3.365) -- (6.47,3.32) -- (6.64,3.365) -- (6.764,3.49) -- cycle;
\node at (6.47,3.66) {\scalebox{1.593}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.005,3.495) -- (1.96,3.665) -- (1.835,3.79) -- (1.665,3.835) -- (1.495,3.79) -- (1.371,3.665) -- (1.325,3.495) -- (1.371,3.325) -- (1.495,3.201) -- (1.665,3.155) -- (1.835,3.201) -- (1.96,3.325) -- cycle;
\node at (1.665,3.495) {\scalebox{1.593}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.867,3.357) -- (11.821,3.527) -- (11.697,3.652) -- (11.527,3.697) -- (11.357,3.652) -- (11.233,3.527) -- (11.187,3.357) -- (11.233,3.187) -- (11.357,3.063) -- (11.527,3.017) -- (11.697,3.063) -- (11.821,3.187) -- cycle;
\node at (11.527,3.357) {\scalebox{1.593}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.772,2.9) -- (9.727,3.07) -- (9.602,3.194) -- (9.432,3.24) -- (9.262,3.194) -- (9.138,3.07) -- (9.092,2.9) -- (9.138,2.73) -- (9.262,2.605) -- (9.432,2.56) -- (9.602,2.605) -- (9.727,2.73) -- cycle;
\node at (9.432,2.9) {\scalebox{1.593}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.668,2.456) -- (6.622,2.626) -- (6.498,2.751) -- (6.328,2.796) -- (6.158,2.751) -- (6.033,2.626) -- (5.988,2.456) -- (6.033,2.286) -- (6.158,2.162) -- (6.328,2.116) -- (6.498,2.162) -- (6.622,2.286) -- cycle;
\node at (6.328,2.456) {\scalebox{1.593}{\small 12}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (4.091,4.809) -- (4.691,4.809) -- (4.691,5.409) -- (4.091,5.409) -- cycle;
\node at (4.391,5.109) {\scalebox{1.593}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (2.815,3.207) -- (3.415,3.207) -- (3.415,3.807) -- (2.815,3.807) -- cycle;
\node at (3.115,3.507) {\scalebox{1.593}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.003,2.641) -- (7.603,2.641) -- (7.603,3.241) -- (7.003,3.241) -- cycle;
\node at (7.303,2.941) {\scalebox{1.593}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (6.258,1.286) -- (6.858,1.286) -- (6.858,1.886) -- (6.258,1.886) -- cycle;
\node at (6.558,1.586) {\scalebox{1.593}{\small d}};
\filldraw[fill=blue!12, draw=black, line width=0.5pt] (6.566,9.162) -- (7.166,9.162) -- (7.166,9.762) -- (6.566,9.762) -- cycle;
\node at (6.866,9.462) {\scalebox{1.593}{\small e}};
\node at (9.024,9.324) {\scalebox{1.593}{\small A}};
\node at (4.495,9.311) {\scalebox{1.593}{\small B}};
\node at (3.808,5.321) {\scalebox{1.593}{\small C}};
\node at (0.905,4.556) {\scalebox{1.593}{\small D}};
\node at (11.504,4.515) {\scalebox{1.593}{\small E}};
\node at (4.196,2.065) {\scalebox{1.593}{\small F}};
\node at (0.765,2.25) {\scalebox{1.593}{\small G}};
\node at (11.9,1.789) {\scalebox{1.593}{\small H}};
\node at (8.083,0.95) {\scalebox{1.593}{\small I}};
\draw[line width=0.5pt] (12.638,7.841) -- (12.638,8.941);
\draw[line width=0.5pt] (12.407,8.556) -- (12.638,8.941) -- (12.869,8.556);
\draw[line width=0.5pt] (12.335,8.391) -- (12.94,8.391);
\node at (12.638,9.326) {\scalebox{1.593}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G & \cellcolor{blue!7}\bfseries H & \cellcolor{blue!7}\bfseries I \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 2 & 6 & 2 & 4 & 2 & 2 & 1 & 3 \\ \hline
Parité & pair & pair & pair & pair & pair & pair & pair & \textbf{impair} & \textbf{impair} \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 24 = 2 \(\times\) 12, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{H}, \textbf{I} — il y en a 2.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{C}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Deux carrefours sont impairs, \textbf{H} et \textbf{I} : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Or la poste est en \textbf{C}, où aboutit un nombre \textbf{pair} de rues. Ce carrefour ne peut être que traversé, jamais servir de départ.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui, une tournée existe} — mais elle va de \textbf{H} à \textbf{I}. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il \textbf{ne reviendrait pas} à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Ce parcours, en partant de H :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Coin du Lavoir \textbf{(H)}, prend l'\textbf{impasse Sainte-Anne ⑩} vers le nord et atteint Carrefour des Quatre-Chemins \textbf{(E)}.
  \item Il continue tout droit dans la \textbf{rue des Jardins ②}, vers le nord-ouest, jusqu'à Placette des Ormes \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue des Écoles ①}, vers l'ouest, jusqu'à Place Sainte-Croix \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à gauche dans l'\textbf{allée des Peupliers ③}, vers le sud, jusqu'à Rond-point de la Poste \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue des Lilas ④}, vers l'ouest, jusqu'à Fontaine Notre-Dame \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{sentier des Prés ⑨}, vers le sud, jusqu'à Place des Tanneurs \textbf{(G)}.
  \item Il tourne à gauche dans l'\textbf{allée des Tilleuls ⑦}, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point de la Poste \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue du Four ⑤}, vers l'est, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{venelle du Chat ⑪}, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour du Lavoir \textbf{(I)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue Neuve ⑧}, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point de la Poste \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Moulin ⑥}, vers le sud, jusqu'à Place de la Fontaine \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Puits ⑫}, vers l'est, jusqu'à Carrefour du Lavoir \textbf{(I)}.
\end{enumerate}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À remarquer.} Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
