\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 92}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=92}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0092}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6946, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (2.184,7.657) -- (2.357,7.606) -- (2.531,7.559) -- (2.706,7.517) -- (2.882,7.478) -- (3.059,7.444) -- (3.236,7.414) -- (3.415,7.388) -- (3.594,7.366) -- (3.773,7.348) -- (3.953,7.335) -- (4.133,7.326) -- (4.313,7.321) -- (4.493,7.32) -- (4.673,7.324) -- (4.897,7.335) -- (5.122,7.342) -- (5.347,7.343) -- (5.572,7.339) -- (5.797,7.329) -- (6.021,7.315) -- (6.245,7.295) -- (6.469,7.269) -- (6.692,7.239) -- (6.914,7.203) -- (7.135,7.162) -- (7.355,7.116) -- (7.574,7.065) -- (7.792,7.008) -- (8.033,6.95) -- (8.276,6.897) -- (8.52,6.85) -- (8.766,6.809) -- (9.012,6.773) -- (9.259,6.744) -- (9.507,6.72) -- (9.755,6.702) -- (10.003,6.689) -- (10.252,6.683) -- (10.501,6.683) -- (10.749,6.688) -- (10.998,6.699) -- (11.246,6.716);
\draw[line width=0.5pt] (2.184,7.657) -- (2.432,7.386) -- (2.674,7.109) -- (2.909,6.826) -- (3.138,6.537) -- (3.36,6.244) -- (3.575,5.945) -- (3.783,5.641) -- (3.983,5.332) -- (4.176,5.019) -- (4.362,4.701) -- (4.541,4.379) -- (4.711,4.053) -- (4.874,3.723) -- (5.029,3.39);
\draw[line width=0.5pt] (11.246,6.716) -- (11.217,6.499) -- (11.193,6.281) -- (11.175,6.062) -- (11.161,5.843) -- (11.153,5.624) -- (11.15,5.404) -- (11.152,5.185) -- (11.16,4.965) -- (11.172,4.746) -- (11.19,4.528) -- (11.213,4.309) -- (11.24,4.092) -- (11.273,3.875) -- (11.311,3.659);
\draw[line width=0.5pt] (11.311,3.659) -- (11.051,3.651) -- (10.79,3.65) -- (10.53,3.654) -- (10.269,3.665) -- (10.009,3.682) -- (9.749,3.705) -- (9.49,3.734) -- (9.232,3.769) -- (8.974,3.81) -- (8.718,3.857) -- (8.462,3.91) -- (8.208,3.969) -- (7.956,4.035) -- (7.705,4.106) -- (7.508,4.084) -- (7.311,4.058) -- (7.115,4.027) -- (6.919,3.992) -- (6.724,3.952) -- (6.53,3.907) -- (6.338,3.858) -- (6.146,3.804) -- (5.956,3.746) -- (5.767,3.684) -- (5.58,3.617) -- (5.395,3.545) -- (5.211,3.47) -- (5.029,3.39);
\draw[line width=0.5pt] (11.311,3.659) -- (11.066,3.548) -- (10.824,3.432) -- (10.585,3.309) -- (10.348,3.182) -- (10.114,3.048) -- (9.884,2.909) -- (9.656,2.765) -- (9.433,2.615) -- (9.213,2.46) -- (8.996,2.3) -- (8.784,2.135) -- (8.575,1.965) -- (8.371,1.791) -- (8.17,1.611);
\draw[line width=0.5pt] (5.029,3.39) -- (5.271,3.298) -- (5.511,3.201) -- (5.749,3.097) -- (5.984,2.989) -- (6.216,2.875) -- (6.446,2.755) -- (6.673,2.63) -- (6.897,2.5) -- (7.118,2.364) -- (7.335,2.224) -- (7.55,2.078) -- (7.76,1.927) -- (7.967,1.772) -- (8.17,1.611);
\draw[line width=0.5pt] (5.029,3.39) -- (4.742,3.278) -- (4.458,3.16) -- (4.176,3.035) -- (3.898,2.903) -- (3.623,2.765) -- (3.35,2.621) -- (3.082,2.47) -- (2.817,2.312) -- (2.555,2.149) -- (2.298,1.98) -- (2.045,1.804) -- (1.796,1.623) -- (1.551,1.436) -- (1.311,1.243);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.344,7.657) -- (2.322,7.737) -- (2.264,7.796) -- (2.184,7.817) -- (2.104,7.796) -- (2.045,7.737) -- (2.024,7.657) -- (2.045,7.577) -- (2.104,7.518) -- (2.184,7.497) -- (2.264,7.518) -- (2.322,7.577) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.406,6.716) -- (11.384,6.796) -- (11.326,6.855) -- (11.246,6.876) -- (11.166,6.855) -- (11.107,6.796) -- (11.086,6.716) -- (11.107,6.636) -- (11.166,6.578) -- (11.246,6.556) -- (11.326,6.578) -- (11.384,6.636) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.471,3.659) -- (11.45,3.739) -- (11.391,3.798) -- (11.311,3.819) -- (11.231,3.798) -- (11.173,3.739) -- (11.151,3.659) -- (11.173,3.579) -- (11.231,3.52) -- (11.311,3.499) -- (11.391,3.52) -- (11.45,3.579) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.189,3.39) -- (5.168,3.47) -- (5.109,3.528) -- (5.029,3.55) -- (4.949,3.528) -- (4.891,3.47) -- (4.869,3.39) -- (4.891,3.31) -- (4.949,3.251) -- (5.029,3.23) -- (5.109,3.251) -- (5.168,3.31) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.33,1.611) -- (8.309,1.691) -- (8.25,1.75) -- (8.17,1.771) -- (8.09,1.75) -- (8.032,1.691) -- (8.01,1.611) -- (8.032,1.531) -- (8.09,1.473) -- (8.17,1.451) -- (8.25,1.473) -- (8.309,1.531) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.471,1.243) -- (1.45,1.323) -- (1.391,1.381) -- (1.311,1.403) -- (1.231,1.381) -- (1.173,1.323) -- (1.151,1.243) -- (1.173,1.163) -- (1.231,1.104) -- (1.311,1.083) -- (1.391,1.104) -- (1.45,1.163) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.617,7.613) -- (6.572,7.783) -- (6.447,7.907) -- (6.277,7.953) -- (6.107,7.907) -- (5.983,7.783) -- (5.937,7.613) -- (5.983,7.443) -- (6.107,7.319) -- (6.277,7.273) -- (6.447,7.319) -- (6.572,7.443) -- cycle;
\node at (6.277,7.613) {\scalebox{1.44}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.389,5.818) -- (4.343,5.988) -- (4.219,6.113) -- (4.049,6.158) -- (3.879,6.113) -- (3.754,5.988) -- (3.709,5.818) -- (3.754,5.648) -- (3.879,5.524) -- (4.049,5.478) -- (4.219,5.524) -- (4.343,5.648) -- cycle;
\node at (4.049,5.818) {\scalebox{1.44}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.812,5.192) -- (11.767,5.362) -- (11.642,5.486) -- (11.472,5.532) -- (11.302,5.486) -- (11.178,5.362) -- (11.132,5.192) -- (11.178,5.022) -- (11.302,4.897) -- (11.472,4.852) -- (11.642,4.897) -- (11.767,5.022) -- cycle;
\node at (11.472,5.192) {\scalebox{1.44}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.01,3.788) -- (7.965,3.958) -- (7.84,4.082) -- (7.67,4.128) -- (7.5,4.082) -- (7.376,3.958) -- (7.33,3.788) -- (7.376,3.618) -- (7.5,3.493) -- (7.67,3.448) -- (7.84,3.493) -- (7.965,3.618) -- cycle;
\node at (7.67,3.788) {\scalebox{1.44}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.171,2.497) -- (10.126,2.667) -- (10.001,2.791) -- (9.831,2.837) -- (9.661,2.791) -- (9.537,2.667) -- (9.491,2.497) -- (9.537,2.327) -- (9.661,2.202) -- (9.831,2.157) -- (10.001,2.202) -- (10.126,2.327) -- cycle;
\node at (9.831,2.497) {\scalebox{1.44}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.171,2.908) -- (7.125,3.078) -- (7.001,3.203) -- (6.831,3.248) -- (6.661,3.203) -- (6.536,3.078) -- (6.491,2.908) -- (6.536,2.738) -- (6.661,2.614) -- (6.831,2.568) -- (7.001,2.614) -- (7.125,2.738) -- cycle;
\node at (6.831,2.908) {\scalebox{1.44}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.582,2.192) -- (3.536,2.362) -- (3.412,2.487) -- (3.242,2.532) -- (3.072,2.487) -- (2.947,2.362) -- (2.902,2.192) -- (2.947,2.022) -- (3.072,1.898) -- (3.242,1.852) -- (3.412,1.898) -- (3.536,2.022) -- cycle;
\node at (3.242,2.192) {\scalebox{1.44}{\small 7}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (11.011,3.359) -- (11.611,3.359) -- (11.611,3.959) -- (11.011,3.959) -- cycle;
\node at (11.311,3.659) {\scalebox{1.44}{\small a}};
\filldraw[fill=blue!12, draw=black, line width=0.5pt] (8.351,2.815) -- (8.951,2.815) -- (8.951,3.415) -- (8.351,3.415) -- cycle;
\node at (8.651,3.115) {\scalebox{1.44}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (12.476,5.136) -- (13.076,5.136) -- (13.076,5.736) -- (12.476,5.736) -- cycle;
\node at (12.776,5.436) {\scalebox{1.44}{\small c}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.078,1.798) -- (7.678,1.798) -- (7.678,2.398) -- (7.078,2.398) -- cycle;
\node at (7.378,2.098) {\scalebox{1.44}{\small d}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (10.637,1.504) -- (11.237,1.504) -- (11.237,2.104) -- (10.637,2.104) -- cycle;
\node at (10.937,1.804) {\scalebox{1.44}{\small e}};
\node at (1.706,8.053) {\scalebox{1.44}{\small A}};
\node at (11.785,7.022) {\scalebox{1.44}{\small B}};
\node at (11.929,3.609) {\scalebox{1.44}{\small C}};
\node at (4.46,3.143) {\scalebox{1.44}{\small D}};
\node at (8.515,1.096) {\scalebox{1.44}{\small E}};
\node at (0.765,0.95) {\scalebox{1.44}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.611,6.707) -- (12.611,7.807);
\draw[line width=0.5pt] (12.38,7.422) -- (12.611,7.807) -- (12.842,7.422);
\draw[line width=0.5pt] (12.309,7.257) -- (12.914,7.257);
\node at (12.611,8.192) {\scalebox{1.44}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① boulevard du Parc & ⑤ passage du Marché & Ⓐ Place du Marché & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue de l'Église & ⑥ rue du Moulin & Ⓑ Place Sainte-Croix & \textbf{b} l'école \\ \hline
③ venelle du Chat & ⑦ impasse des Roses & Ⓒ Rond-point de la Gare & \textbf{c} la mairie \\ \hline
④ rue du Puits &  & Ⓓ Rond-point du Pont & \textbf{d} la pharmacie \\ \hline
 &  & Ⓔ Placette des Ormes & \textbf{e} le stade \\ \hline
 &  & Ⓕ Place du Vieux-Puits &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6215, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (2.184,7.657) -- (2.357,7.606) -- (2.531,7.559) -- (2.706,7.517) -- (2.882,7.478) -- (3.059,7.444) -- (3.236,7.414) -- (3.415,7.388) -- (3.594,7.366) -- (3.773,7.348) -- (3.953,7.335) -- (4.133,7.326) -- (4.313,7.321) -- (4.493,7.32) -- (4.673,7.324) -- (4.897,7.335) -- (5.122,7.342) -- (5.347,7.343) -- (5.572,7.339) -- (5.797,7.329) -- (6.021,7.315) -- (6.245,7.295) -- (6.469,7.269) -- (6.692,7.239) -- (6.914,7.203) -- (7.135,7.162) -- (7.355,7.116) -- (7.574,7.065) -- (7.792,7.008) -- (8.033,6.95) -- (8.276,6.897) -- (8.52,6.85) -- (8.766,6.809) -- (9.012,6.773) -- (9.259,6.744) -- (9.507,6.72) -- (9.755,6.702) -- (10.003,6.689) -- (10.252,6.683) -- (10.501,6.683) -- (10.749,6.688) -- (10.998,6.699) -- (11.246,6.716);
\draw[line width=0.5pt] (2.184,7.657) -- (2.432,7.386) -- (2.674,7.109) -- (2.909,6.826) -- (3.138,6.537) -- (3.36,6.244) -- (3.575,5.945) -- (3.783,5.641) -- (3.983,5.332) -- (4.176,5.019) -- (4.362,4.701) -- (4.541,4.379) -- (4.711,4.053) -- (4.874,3.723) -- (5.029,3.39);
\draw[line width=0.5pt] (11.246,6.716) -- (11.217,6.499) -- (11.193,6.281) -- (11.175,6.062) -- (11.161,5.843) -- (11.153,5.624) -- (11.15,5.404) -- (11.152,5.185) -- (11.16,4.965) -- (11.172,4.746) -- (11.19,4.528) -- (11.213,4.309) -- (11.24,4.092) -- (11.273,3.875) -- (11.311,3.659);
\draw[line width=0.5pt] (11.311,3.659) -- (11.051,3.651) -- (10.79,3.65) -- (10.53,3.654) -- (10.269,3.665) -- (10.009,3.682) -- (9.749,3.705) -- (9.49,3.734) -- (9.232,3.769) -- (8.974,3.81) -- (8.718,3.857) -- (8.462,3.91) -- (8.208,3.969) -- (7.956,4.035) -- (7.705,4.106) -- (7.508,4.084) -- (7.311,4.058) -- (7.115,4.027) -- (6.919,3.992) -- (6.724,3.952) -- (6.53,3.907) -- (6.338,3.858) -- (6.146,3.804) -- (5.956,3.746) -- (5.767,3.684) -- (5.58,3.617) -- (5.395,3.545) -- (5.211,3.47) -- (5.029,3.39);
\draw[line width=0.5pt] (11.311,3.659) -- (11.066,3.548) -- (10.824,3.432) -- (10.585,3.309) -- (10.348,3.182) -- (10.114,3.048) -- (9.884,2.909) -- (9.656,2.765) -- (9.433,2.615) -- (9.213,2.46) -- (8.996,2.3) -- (8.784,2.135) -- (8.575,1.965) -- (8.371,1.791) -- (8.17,1.611);
\draw[line width=0.5pt] (5.029,3.39) -- (5.271,3.298) -- (5.511,3.201) -- (5.749,3.097) -- (5.984,2.989) -- (6.216,2.875) -- (6.446,2.755) -- (6.673,2.63) -- (6.897,2.5) -- (7.118,2.364) -- (7.335,2.224) -- (7.55,2.078) -- (7.76,1.927) -- (7.967,1.772) -- (8.17,1.611);
\draw[line width=0.5pt] (5.029,3.39) -- (4.742,3.278) -- (4.458,3.16) -- (4.176,3.035) -- (3.898,2.903) -- (3.623,2.765) -- (3.35,2.621) -- (3.082,2.47) -- (2.817,2.312) -- (2.555,2.149) -- (2.298,1.98) -- (2.045,1.804) -- (1.796,1.623) -- (1.551,1.436) -- (1.311,1.243);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.344,7.657) -- (2.322,7.737) -- (2.264,7.796) -- (2.184,7.817) -- (2.104,7.796) -- (2.045,7.737) -- (2.024,7.657) -- (2.045,7.577) -- (2.104,7.518) -- (2.184,7.497) -- (2.264,7.518) -- (2.322,7.577) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.406,6.716) -- (11.384,6.796) -- (11.326,6.855) -- (11.246,6.876) -- (11.166,6.855) -- (11.107,6.796) -- (11.086,6.716) -- (11.107,6.636) -- (11.166,6.578) -- (11.246,6.556) -- (11.326,6.578) -- (11.384,6.636) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.471,3.659) -- (11.45,3.739) -- (11.391,3.798) -- (11.311,3.819) -- (11.231,3.798) -- (11.173,3.739) -- (11.151,3.659) -- (11.173,3.579) -- (11.231,3.52) -- (11.311,3.499) -- (11.391,3.52) -- (11.45,3.579) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.189,3.39) -- (5.168,3.47) -- (5.109,3.528) -- (5.029,3.55) -- (4.949,3.528) -- (4.891,3.47) -- (4.869,3.39) -- (4.891,3.31) -- (4.949,3.251) -- (5.029,3.23) -- (5.109,3.251) -- (5.168,3.31) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.33,1.611) -- (8.309,1.691) -- (8.25,1.75) -- (8.17,1.771) -- (8.09,1.75) -- (8.032,1.691) -- (8.01,1.611) -- (8.032,1.531) -- (8.09,1.473) -- (8.17,1.451) -- (8.25,1.473) -- (8.309,1.531) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.471,1.243) -- (1.45,1.323) -- (1.391,1.381) -- (1.311,1.403) -- (1.231,1.381) -- (1.173,1.323) -- (1.151,1.243) -- (1.173,1.163) -- (1.231,1.104) -- (1.311,1.083) -- (1.391,1.104) -- (1.45,1.163) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.617,7.613) -- (6.572,7.783) -- (6.447,7.907) -- (6.277,7.953) -- (6.107,7.907) -- (5.983,7.783) -- (5.937,7.613) -- (5.983,7.443) -- (6.107,7.319) -- (6.277,7.273) -- (6.447,7.319) -- (6.572,7.443) -- cycle;
\node at (6.277,7.613) {\scalebox{1.609}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.389,5.818) -- (4.343,5.988) -- (4.219,6.113) -- (4.049,6.158) -- (3.879,6.113) -- (3.754,5.988) -- (3.709,5.818) -- (3.754,5.648) -- (3.879,5.524) -- (4.049,5.478) -- (4.219,5.524) -- (4.343,5.648) -- cycle;
\node at (4.049,5.818) {\scalebox{1.609}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.812,5.192) -- (11.767,5.362) -- (11.642,5.486) -- (11.472,5.532) -- (11.302,5.486) -- (11.178,5.362) -- (11.132,5.192) -- (11.178,5.022) -- (11.302,4.897) -- (11.472,4.852) -- (11.642,4.897) -- (11.767,5.022) -- cycle;
\node at (11.472,5.192) {\scalebox{1.609}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.01,3.788) -- (7.965,3.958) -- (7.84,4.082) -- (7.67,4.128) -- (7.5,4.082) -- (7.376,3.958) -- (7.33,3.788) -- (7.376,3.618) -- (7.5,3.493) -- (7.67,3.448) -- (7.84,3.493) -- (7.965,3.618) -- cycle;
\node at (7.67,3.788) {\scalebox{1.609}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.171,2.497) -- (10.126,2.667) -- (10.001,2.791) -- (9.831,2.837) -- (9.661,2.791) -- (9.537,2.667) -- (9.491,2.497) -- (9.537,2.327) -- (9.661,2.202) -- (9.831,2.157) -- (10.001,2.202) -- (10.126,2.327) -- cycle;
\node at (9.831,2.497) {\scalebox{1.609}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.171,2.908) -- (7.125,3.078) -- (7.001,3.203) -- (6.831,3.248) -- (6.661,3.203) -- (6.536,3.078) -- (6.491,2.908) -- (6.536,2.738) -- (6.661,2.614) -- (6.831,2.568) -- (7.001,2.614) -- (7.125,2.738) -- cycle;
\node at (6.831,2.908) {\scalebox{1.609}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.582,2.192) -- (3.536,2.362) -- (3.412,2.487) -- (3.242,2.532) -- (3.072,2.487) -- (2.947,2.362) -- (2.902,2.192) -- (2.947,2.022) -- (3.072,1.898) -- (3.242,1.852) -- (3.412,1.898) -- (3.536,2.022) -- cycle;
\node at (3.242,2.192) {\scalebox{1.609}{\small 7}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (11.011,3.359) -- (11.611,3.359) -- (11.611,3.959) -- (11.011,3.959) -- cycle;
\node at (11.311,3.659) {\scalebox{1.609}{\small a}};
\filldraw[fill=blue!12, draw=black, line width=0.5pt] (8.351,2.815) -- (8.951,2.815) -- (8.951,3.415) -- (8.351,3.415) -- cycle;
\node at (8.651,3.115) {\scalebox{1.609}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (12.476,5.136) -- (13.076,5.136) -- (13.076,5.736) -- (12.476,5.736) -- cycle;
\node at (12.776,5.436) {\scalebox{1.609}{\small c}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.078,1.798) -- (7.678,1.798) -- (7.678,2.398) -- (7.078,2.398) -- cycle;
\node at (7.378,2.098) {\scalebox{1.609}{\small d}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (10.637,1.504) -- (11.237,1.504) -- (11.237,2.104) -- (10.637,2.104) -- cycle;
\node at (10.937,1.804) {\scalebox{1.609}{\small e}};
\node at (1.706,8.053) {\scalebox{1.609}{\small A}};
\node at (11.785,7.022) {\scalebox{1.609}{\small B}};
\node at (11.929,3.609) {\scalebox{1.609}{\small C}};
\node at (4.46,3.143) {\scalebox{1.609}{\small D}};
\node at (8.515,1.096) {\scalebox{1.609}{\small E}};
\node at (0.765,0.95) {\scalebox{1.609}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.611,6.707) -- (12.611,7.807);
\draw[line width=0.5pt] (12.38,7.422) -- (12.611,7.807) -- (12.842,7.422);
\draw[line width=0.5pt] (12.309,7.257) -- (12.914,7.257);
\node at (12.611,8.192) {\scalebox{1.609}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 2 & 3 & 4 & 2 & 1 \\ \hline
Parité & pair & pair & \textbf{impair} & pair & pair & \textbf{impair} \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 14 = 2 \(\times\) 7, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{C}, \textbf{F} — il y en a 2.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{C}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui.} Deux carrefours sont impairs, \textbf{C} et \textbf{F}, et la poste est justement sur l'un des deux (\textbf{C}). Il part donc de la poste et \textbf{termine en F}, l'autre carrefour impair.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Voici une tournée possible :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Rond-point de la Gare \textbf{(C)}, prend la \textbf{venelle du Chat ③} vers le nord et atteint Place Sainte-Croix \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{boulevard du Parc ①}, vers l'ouest, jusqu'à Place du Marché \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue de l'Église ②}, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point du Pont \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Puits ④}, vers l'est, jusqu'à Rond-point de la Gare \textbf{(C)}.
  \item Il prend dans le \textbf{passage du Marché ⑤}, vers le sud-ouest, jusqu'à Placette des Ormes \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue du Moulin ⑥}, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point du Pont \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à gauche dans l'\textbf{impasse des Roses ⑦}, vers le sud-ouest, jusqu'à Place du Vieux-Puits \textbf{(F)}.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries C'était déjà possible. Notons seulement que la poste devait être en \textbf{C} ou en \textbf{F} : ailleurs, la tournée n'aurait pas pu commencer.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À remarquer.} Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
