\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 94}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=94}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0094}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7041, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (8.655,7.712) -- (8.839,7.665) -- (9.024,7.622) -- (9.21,7.584) -- (9.397,7.55) -- (9.585,7.521) -- (9.773,7.496) -- (9.962,7.475) -- (10.151,7.459) -- (10.34,7.448) -- (10.53,7.44) -- (10.72,7.438) -- (10.91,7.44) -- (11.1,7.446) -- (11.289,7.456);
\draw[line width=0.5pt] (8.655,7.712) -- (8.42,7.459) -- (8.18,7.212) -- (7.933,6.971) -- (7.68,6.735) -- (7.423,6.506) -- (7.159,6.282) -- (6.891,6.065) -- (6.617,5.854) -- (6.339,5.65) -- (6.056,5.452) -- (5.768,5.261) -- (5.476,5.077) -- (5.18,4.9) -- (4.88,4.73);
\draw[line width=0.5pt] (1.314,7.571) -- (1.345,7.385) -- (1.38,7.199) -- (1.42,7.015) -- (1.464,6.831) -- (1.512,6.649) -- (1.564,6.468) -- (1.621,6.288) -- (1.682,6.109) -- (1.747,5.932) -- (1.817,5.756) -- (1.89,5.583) -- (1.967,5.411) -- (2.049,5.241) -- (2.134,5.072);
\draw[line width=0.5pt] (1.314,7.571) -- (1.598,7.408) -- (1.878,7.239) -- (2.154,7.064) -- (2.426,6.882) -- (2.693,6.693) -- (2.956,6.498) -- (3.214,6.297) -- (3.468,6.09) -- (3.717,5.878) -- (3.96,5.659) -- (4.198,5.435) -- (4.431,5.205) -- (4.659,4.97) -- (4.88,4.73);
\draw[line width=0.5pt] (11.289,7.456) -- (11.263,7.28) -- (11.242,7.102) -- (11.225,6.924) -- (11.212,6.746) -- (11.204,6.567) -- (11.199,6.388) -- (11.199,6.209) -- (11.203,6.03) -- (11.211,5.852) -- (11.223,5.673) -- (11.24,5.495) -- (11.26,5.317) -- (11.285,5.14) -- (11.314,4.964) -- (11.293,4.758) -- (11.267,4.552) -- (11.237,4.346) -- (11.201,4.142) -- (11.161,3.938) -- (11.116,3.735) -- (11.066,3.534) -- (11.011,3.333) -- (10.952,3.134) -- (10.888,2.936) -- (10.819,2.74) -- (10.746,2.546) -- (10.668,2.354) -- (10.586,2.163);
\draw[line width=0.5pt] (7.465,5.143) -- (7.286,5.086) -- (7.106,5.032) -- (6.925,4.983) -- (6.742,4.938) -- (6.559,4.898) -- (6.375,4.862) -- (6.19,4.83) -- (6.004,4.802) -- (5.817,4.779) -- (5.63,4.76) -- (5.443,4.746) -- (5.255,4.736) -- (5.068,4.731) -- (4.88,4.73);
\draw[line width=0.5pt] (7.465,5.143) -- (7.505,4.882) -- (7.552,4.622) -- (7.605,4.363) -- (7.664,4.105) -- (7.729,3.849) -- (7.8,3.594) -- (7.877,3.341) -- (7.96,3.09) -- (8.049,2.841) -- (8.144,2.594) -- (8.245,2.349) -- (8.351,2.107) -- (8.463,1.867) -- (8.58,1.631);
\draw[line width=0.5pt] (2.134,5.072) -- (2.333,5.078) -- (2.531,5.079) -- (2.73,5.076) -- (2.928,5.067) -- (3.126,5.054) -- (3.324,5.037) -- (3.521,5.014) -- (3.718,4.987) -- (3.914,4.956) -- (4.11,4.92) -- (4.304,4.879) -- (4.497,4.834) -- (4.689,4.784) -- (4.88,4.73);
\draw[line width=0.5pt] (4.88,4.73) -- (5.108,4.47) -- (5.343,4.215) -- (5.583,3.966) -- (5.83,3.722) -- (6.082,3.485) -- (6.339,3.253) -- (6.602,3.027) -- (6.87,2.808) -- (7.144,2.595) -- (7.422,2.389) -- (7.705,2.189) -- (7.992,1.996) -- (8.284,1.81) -- (8.58,1.631);
\draw[line width=0.5pt] (8.58,1.631) -- (8.323,1.581) -- (8.066,1.538) -- (7.807,1.501) -- (7.547,1.471) -- (7.287,1.446) -- (7.026,1.427) -- (6.765,1.415) -- (6.503,1.409) -- (6.242,1.408) -- (5.981,1.414) -- (5.719,1.426) -- (5.459,1.445) -- (5.198,1.469) -- (4.939,1.5);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.815,7.712) -- (8.794,7.792) -- (8.735,7.85) -- (8.655,7.872) -- (8.575,7.85) -- (8.517,7.792) -- (8.495,7.712) -- (8.517,7.632) -- (8.575,7.573) -- (8.655,7.552) -- (8.735,7.573) -- (8.794,7.632) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.474,7.571) -- (1.453,7.651) -- (1.394,7.709) -- (1.314,7.731) -- (1.234,7.709) -- (1.176,7.651) -- (1.154,7.571) -- (1.176,7.491) -- (1.234,7.432) -- (1.314,7.411) -- (1.394,7.432) -- (1.453,7.491) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.449,7.456) -- (11.428,7.536) -- (11.369,7.595) -- (11.289,7.616) -- (11.209,7.595) -- (11.15,7.536) -- (11.129,7.456) -- (11.15,7.376) -- (11.209,7.318) -- (11.289,7.296) -- (11.369,7.318) -- (11.428,7.376) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.625,5.143) -- (7.603,5.223) -- (7.545,5.282) -- (7.465,5.303) -- (7.385,5.282) -- (7.326,5.223) -- (7.305,5.143) -- (7.326,5.063) -- (7.385,5.005) -- (7.465,4.983) -- (7.545,5.005) -- (7.603,5.063) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.294,5.072) -- (2.273,5.152) -- (2.214,5.211) -- (2.134,5.232) -- (2.054,5.211) -- (1.996,5.152) -- (1.974,5.072) -- (1.996,4.992) -- (2.054,4.934) -- (2.134,4.912) -- (2.214,4.934) -- (2.273,4.992) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.04,4.73) -- (5.019,4.81) -- (4.96,4.868) -- (4.88,4.89) -- (4.8,4.868) -- (4.742,4.81) -- (4.72,4.73) -- (4.742,4.65) -- (4.8,4.591) -- (4.88,4.57) -- (4.96,4.591) -- (5.019,4.65) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.746,2.163) -- (10.725,2.243) -- (10.666,2.302) -- (10.586,2.323) -- (10.506,2.302) -- (10.448,2.243) -- (10.426,2.163) -- (10.448,2.083) -- (10.506,2.025) -- (10.586,2.003) -- (10.666,2.025) -- (10.725,2.083) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.74,1.631) -- (8.719,1.711) -- (8.66,1.769) -- (8.58,1.791) -- (8.5,1.769) -- (8.441,1.711) -- (8.42,1.631) -- (8.441,1.551) -- (8.5,1.492) -- (8.58,1.471) -- (8.66,1.492) -- (8.719,1.551) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.099,1.5) -- (5.078,1.58) -- (5.019,1.638) -- (4.939,1.66) -- (4.859,1.638) -- (4.8,1.58) -- (4.779,1.5) -- (4.8,1.42) -- (4.859,1.361) -- (4.939,1.34) -- (5.019,1.361) -- (5.078,1.42) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.333,7.794) -- (10.287,7.964) -- (10.163,8.088) -- (9.993,8.134) -- (9.823,8.088) -- (9.698,7.964) -- (9.653,7.794) -- (9.698,7.624) -- (9.823,7.5) -- (9.993,7.454) -- (10.163,7.5) -- (10.287,7.624) -- cycle;
\node at (9.993,7.794) {\scalebox{1.42}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.032,6.316) -- (6.987,6.486) -- (6.862,6.61) -- (6.692,6.656) -- (6.522,6.61) -- (6.398,6.486) -- (6.352,6.316) -- (6.398,6.146) -- (6.522,6.022) -- (6.692,5.976) -- (6.862,6.022) -- (6.987,6.146) -- cycle;
\node at (6.692,6.316) {\scalebox{1.42}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.265,6.388) -- (2.22,6.558) -- (2.095,6.682) -- (1.925,6.728) -- (1.755,6.682) -- (1.631,6.558) -- (1.585,6.388) -- (1.631,6.218) -- (1.755,6.093) -- (1.925,6.048) -- (2.095,6.093) -- (2.22,6.218) -- cycle;
\node at (1.925,6.388) {\scalebox{1.42}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.754,6.548) -- (3.708,6.718) -- (3.584,6.842) -- (3.414,6.888) -- (3.244,6.842) -- (3.119,6.718) -- (3.074,6.548) -- (3.119,6.378) -- (3.244,6.253) -- (3.414,6.208) -- (3.584,6.253) -- (3.708,6.378) -- cycle;
\node at (3.414,6.548) {\scalebox{1.42}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.974,4.971) -- (11.929,5.141) -- (11.804,5.265) -- (11.634,5.311) -- (11.464,5.265) -- (11.34,5.141) -- (11.294,4.971) -- (11.34,4.801) -- (11.464,4.676) -- (11.634,4.631) -- (11.804,4.676) -- (11.929,4.801) -- cycle;
\node at (11.634,4.971) {\scalebox{1.42}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.58,4.514) -- (6.535,4.684) -- (6.41,4.808) -- (6.24,4.854) -- (6.07,4.808) -- (5.946,4.684) -- (5.9,4.514) -- (5.946,4.344) -- (6.07,4.219) -- (6.24,4.174) -- (6.41,4.219) -- (6.535,4.344) -- cycle;
\node at (6.24,4.514) {\scalebox{1.42}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.522,3.438) -- (8.477,3.608) -- (8.352,3.732) -- (8.182,3.778) -- (8.012,3.732) -- (7.888,3.608) -- (7.842,3.438) -- (7.888,3.268) -- (8.012,3.143) -- (8.182,3.098) -- (8.352,3.143) -- (8.477,3.268) -- cycle;
\node at (8.182,3.438) {\scalebox{1.42}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.901,5.332) -- (3.855,5.502) -- (3.731,5.626) -- (3.561,5.672) -- (3.391,5.626) -- (3.267,5.502) -- (3.221,5.332) -- (3.267,5.162) -- (3.391,5.037) -- (3.561,4.992) -- (3.731,5.037) -- (3.855,5.162) -- cycle;
\node at (3.561,5.332) {\scalebox{1.42}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.148,3.273) -- (7.102,3.443) -- (6.978,3.567) -- (6.808,3.613) -- (6.638,3.567) -- (6.513,3.443) -- (6.468,3.273) -- (6.513,3.103) -- (6.638,2.978) -- (6.808,2.933) -- (6.978,2.978) -- (7.102,3.103) -- cycle;
\node at (6.808,3.273) {\scalebox{1.42}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.116,1.095) -- (7.071,1.265) -- (6.946,1.39) -- (6.776,1.435) -- (6.606,1.39) -- (6.482,1.265) -- (6.436,1.095) -- (6.482,0.925) -- (6.606,0.801) -- (6.776,0.755) -- (6.946,0.801) -- (7.071,0.925) -- cycle;
\node at (6.776,1.095) {\scalebox{1.42}{\small 10}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (4.639,1.2) -- (5.239,1.2) -- (5.239,1.8) -- (4.639,1.8) -- cycle;
\node at (4.939,1.5) {\scalebox{1.42}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (0.813,6.544) -- (1.413,6.544) -- (1.413,7.144) -- (0.813,7.144) -- cycle;
\node at (1.113,6.844) {\scalebox{1.42}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (2.327,7.015) -- (2.927,7.015) -- (2.927,7.615) -- (2.327,7.615) -- cycle;
\node at (2.627,7.315) {\scalebox{1.42}{\small c}};
\filldraw[fill=blue!12, draw=black, line width=0.5pt] (3.29,5.26) -- (3.89,5.26) -- (3.89,5.86) -- (3.29,5.86) -- cycle;
\node at (3.59,5.56) {\scalebox{1.42}{\small d}};
\node at (9.005,8.224) {\scalebox{1.42}{\small A}};
\node at (0.765,7.858) {\scalebox{1.42}{\small B}};
\node at (11.826,7.767) {\scalebox{1.42}{\small C}};
\node at (8.03,5.398) {\scalebox{1.42}{\small D}};
\node at (1.516,5.113) {\scalebox{1.42}{\small E}};
\node at (4.26,4.714) {\scalebox{1.42}{\small F}};
\node at (11.103,1.82) {\scalebox{1.42}{\small G}};
\node at (8.904,1.102) {\scalebox{1.42}{\small H}};
\node at (4.652,0.95) {\scalebox{1.42}{\small I}};
\draw[line width=0.5pt] (12.589,6.762) -- (12.589,7.862);
\draw[line width=0.5pt] (12.358,7.477) -- (12.589,7.862) -- (12.82,7.477);
\draw[line width=0.5pt] (12.286,7.312) -- (12.891,7.312);
\node at (12.589,8.247) {\scalebox{1.42}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue des Écoles & ⑥ rue Basse & Ⓐ Placette des Ormes & \textbf{a} la poste \\ \hline
② chemin Creux & ⑦ rue des Jardins & Ⓑ Place de la Fontaine & \textbf{b} le gymnase \\ \hline
③ rue du Four & ⑧ rue Neuve & Ⓒ Coin du Lavoir & \textbf{c} la mairie \\ \hline
④ passage du Marché & ⑨ rue de l'Église & Ⓓ Place de l'Église & \textbf{d} l'école \\ \hline
⑤ impasse du Puits & ⑩ impasse des Cerisiers & Ⓔ Place aux Herbes &  \\ \hline
 &  & Ⓕ Carrefour de l'Hôpital &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Place du Marché &  \\ \hline
 &  & Ⓗ Rond-point du Stade &  \\ \hline
 &  & Ⓘ Place des Tanneurs &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.63, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (8.655,7.712) -- (8.839,7.665) -- (9.024,7.622) -- (9.21,7.584) -- (9.397,7.55) -- (9.585,7.521) -- (9.773,7.496) -- (9.962,7.475) -- (10.151,7.459) -- (10.34,7.448) -- (10.53,7.44) -- (10.72,7.438) -- (10.91,7.44) -- (11.1,7.446) -- (11.289,7.456);
\draw[line width=0.5pt] (8.655,7.712) -- (8.42,7.459) -- (8.18,7.212) -- (7.933,6.971) -- (7.68,6.735) -- (7.423,6.506) -- (7.159,6.282) -- (6.891,6.065) -- (6.617,5.854) -- (6.339,5.65) -- (6.056,5.452) -- (5.768,5.261) -- (5.476,5.077) -- (5.18,4.9) -- (4.88,4.73);
\draw[line width=0.5pt] (1.314,7.571) -- (1.345,7.385) -- (1.38,7.199) -- (1.42,7.015) -- (1.464,6.831) -- (1.512,6.649) -- (1.564,6.468) -- (1.621,6.288) -- (1.682,6.109) -- (1.747,5.932) -- (1.817,5.756) -- (1.89,5.583) -- (1.967,5.411) -- (2.049,5.241) -- (2.134,5.072);
\draw[line width=0.5pt] (1.314,7.571) -- (1.598,7.408) -- (1.878,7.239) -- (2.154,7.064) -- (2.426,6.882) -- (2.693,6.693) -- (2.956,6.498) -- (3.214,6.297) -- (3.468,6.09) -- (3.717,5.878) -- (3.96,5.659) -- (4.198,5.435) -- (4.431,5.205) -- (4.659,4.97) -- (4.88,4.73);
\draw[line width=0.5pt] (11.289,7.456) -- (11.263,7.28) -- (11.242,7.102) -- (11.225,6.924) -- (11.212,6.746) -- (11.204,6.567) -- (11.199,6.388) -- (11.199,6.209) -- (11.203,6.03) -- (11.211,5.852) -- (11.223,5.673) -- (11.24,5.495) -- (11.26,5.317) -- (11.285,5.14) -- (11.314,4.964) -- (11.293,4.758) -- (11.267,4.552) -- (11.237,4.346) -- (11.201,4.142) -- (11.161,3.938) -- (11.116,3.735) -- (11.066,3.534) -- (11.011,3.333) -- (10.952,3.134) -- (10.888,2.936) -- (10.819,2.74) -- (10.746,2.546) -- (10.668,2.354) -- (10.586,2.163);
\draw[line width=0.5pt] (7.465,5.143) -- (7.286,5.086) -- (7.106,5.032) -- (6.925,4.983) -- (6.742,4.938) -- (6.559,4.898) -- (6.375,4.862) -- (6.19,4.83) -- (6.004,4.802) -- (5.817,4.779) -- (5.63,4.76) -- (5.443,4.746) -- (5.255,4.736) -- (5.068,4.731) -- (4.88,4.73);
\draw[line width=0.5pt] (7.465,5.143) -- (7.505,4.882) -- (7.552,4.622) -- (7.605,4.363) -- (7.664,4.105) -- (7.729,3.849) -- (7.8,3.594) -- (7.877,3.341) -- (7.96,3.09) -- (8.049,2.841) -- (8.144,2.594) -- (8.245,2.349) -- (8.351,2.107) -- (8.463,1.867) -- (8.58,1.631);
\draw[line width=0.5pt] (2.134,5.072) -- (2.333,5.078) -- (2.531,5.079) -- (2.73,5.076) -- (2.928,5.067) -- (3.126,5.054) -- (3.324,5.037) -- (3.521,5.014) -- (3.718,4.987) -- (3.914,4.956) -- (4.11,4.92) -- (4.304,4.879) -- (4.497,4.834) -- (4.689,4.784) -- (4.88,4.73);
\draw[line width=0.5pt] (4.88,4.73) -- (5.108,4.47) -- (5.343,4.215) -- (5.583,3.966) -- (5.83,3.722) -- (6.082,3.485) -- (6.339,3.253) -- (6.602,3.027) -- (6.87,2.808) -- (7.144,2.595) -- (7.422,2.389) -- (7.705,2.189) -- (7.992,1.996) -- (8.284,1.81) -- (8.58,1.631);
\draw[line width=0.5pt] (8.58,1.631) -- (8.323,1.581) -- (8.066,1.538) -- (7.807,1.501) -- (7.547,1.471) -- (7.287,1.446) -- (7.026,1.427) -- (6.765,1.415) -- (6.503,1.409) -- (6.242,1.408) -- (5.981,1.414) -- (5.719,1.426) -- (5.459,1.445) -- (5.198,1.469) -- (4.939,1.5);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.815,7.712) -- (8.794,7.792) -- (8.735,7.85) -- (8.655,7.872) -- (8.575,7.85) -- (8.517,7.792) -- (8.495,7.712) -- (8.517,7.632) -- (8.575,7.573) -- (8.655,7.552) -- (8.735,7.573) -- (8.794,7.632) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.474,7.571) -- (1.453,7.651) -- (1.394,7.709) -- (1.314,7.731) -- (1.234,7.709) -- (1.176,7.651) -- (1.154,7.571) -- (1.176,7.491) -- (1.234,7.432) -- (1.314,7.411) -- (1.394,7.432) -- (1.453,7.491) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.449,7.456) -- (11.428,7.536) -- (11.369,7.595) -- (11.289,7.616) -- (11.209,7.595) -- (11.15,7.536) -- (11.129,7.456) -- (11.15,7.376) -- (11.209,7.318) -- (11.289,7.296) -- (11.369,7.318) -- (11.428,7.376) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.625,5.143) -- (7.603,5.223) -- (7.545,5.282) -- (7.465,5.303) -- (7.385,5.282) -- (7.326,5.223) -- (7.305,5.143) -- (7.326,5.063) -- (7.385,5.005) -- (7.465,4.983) -- (7.545,5.005) -- (7.603,5.063) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.294,5.072) -- (2.273,5.152) -- (2.214,5.211) -- (2.134,5.232) -- (2.054,5.211) -- (1.996,5.152) -- (1.974,5.072) -- (1.996,4.992) -- (2.054,4.934) -- (2.134,4.912) -- (2.214,4.934) -- (2.273,4.992) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.04,4.73) -- (5.019,4.81) -- (4.96,4.868) -- (4.88,4.89) -- (4.8,4.868) -- (4.742,4.81) -- (4.72,4.73) -- (4.742,4.65) -- (4.8,4.591) -- (4.88,4.57) -- (4.96,4.591) -- (5.019,4.65) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.746,2.163) -- (10.725,2.243) -- (10.666,2.302) -- (10.586,2.323) -- (10.506,2.302) -- (10.448,2.243) -- (10.426,2.163) -- (10.448,2.083) -- (10.506,2.025) -- (10.586,2.003) -- (10.666,2.025) -- (10.725,2.083) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.74,1.631) -- (8.719,1.711) -- (8.66,1.769) -- (8.58,1.791) -- (8.5,1.769) -- (8.441,1.711) -- (8.42,1.631) -- (8.441,1.551) -- (8.5,1.492) -- (8.58,1.471) -- (8.66,1.492) -- (8.719,1.551) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.099,1.5) -- (5.078,1.58) -- (5.019,1.638) -- (4.939,1.66) -- (4.859,1.638) -- (4.8,1.58) -- (4.779,1.5) -- (4.8,1.42) -- (4.859,1.361) -- (4.939,1.34) -- (5.019,1.361) -- (5.078,1.42) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.333,7.794) -- (10.287,7.964) -- (10.163,8.088) -- (9.993,8.134) -- (9.823,8.088) -- (9.698,7.964) -- (9.653,7.794) -- (9.698,7.624) -- (9.823,7.5) -- (9.993,7.454) -- (10.163,7.5) -- (10.287,7.624) -- cycle;
\node at (9.993,7.794) {\scalebox{1.587}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.032,6.316) -- (6.987,6.486) -- (6.862,6.61) -- (6.692,6.656) -- (6.522,6.61) -- (6.398,6.486) -- (6.352,6.316) -- (6.398,6.146) -- (6.522,6.022) -- (6.692,5.976) -- (6.862,6.022) -- (6.987,6.146) -- cycle;
\node at (6.692,6.316) {\scalebox{1.587}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.265,6.388) -- (2.22,6.558) -- (2.095,6.682) -- (1.925,6.728) -- (1.755,6.682) -- (1.631,6.558) -- (1.585,6.388) -- (1.631,6.218) -- (1.755,6.093) -- (1.925,6.048) -- (2.095,6.093) -- (2.22,6.218) -- cycle;
\node at (1.925,6.388) {\scalebox{1.587}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.754,6.548) -- (3.708,6.718) -- (3.584,6.842) -- (3.414,6.888) -- (3.244,6.842) -- (3.119,6.718) -- (3.074,6.548) -- (3.119,6.378) -- (3.244,6.253) -- (3.414,6.208) -- (3.584,6.253) -- (3.708,6.378) -- cycle;
\node at (3.414,6.548) {\scalebox{1.587}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.974,4.971) -- (11.929,5.141) -- (11.804,5.265) -- (11.634,5.311) -- (11.464,5.265) -- (11.34,5.141) -- (11.294,4.971) -- (11.34,4.801) -- (11.464,4.676) -- (11.634,4.631) -- (11.804,4.676) -- (11.929,4.801) -- cycle;
\node at (11.634,4.971) {\scalebox{1.587}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.58,4.514) -- (6.535,4.684) -- (6.41,4.808) -- (6.24,4.854) -- (6.07,4.808) -- (5.946,4.684) -- (5.9,4.514) -- (5.946,4.344) -- (6.07,4.219) -- (6.24,4.174) -- (6.41,4.219) -- (6.535,4.344) -- cycle;
\node at (6.24,4.514) {\scalebox{1.587}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.522,3.438) -- (8.477,3.608) -- (8.352,3.732) -- (8.182,3.778) -- (8.012,3.732) -- (7.888,3.608) -- (7.842,3.438) -- (7.888,3.268) -- (8.012,3.143) -- (8.182,3.098) -- (8.352,3.143) -- (8.477,3.268) -- cycle;
\node at (8.182,3.438) {\scalebox{1.587}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.901,5.332) -- (3.855,5.502) -- (3.731,5.626) -- (3.561,5.672) -- (3.391,5.626) -- (3.267,5.502) -- (3.221,5.332) -- (3.267,5.162) -- (3.391,5.037) -- (3.561,4.992) -- (3.731,5.037) -- (3.855,5.162) -- cycle;
\node at (3.561,5.332) {\scalebox{1.587}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.148,3.273) -- (7.102,3.443) -- (6.978,3.567) -- (6.808,3.613) -- (6.638,3.567) -- (6.513,3.443) -- (6.468,3.273) -- (6.513,3.103) -- (6.638,2.978) -- (6.808,2.933) -- (6.978,2.978) -- (7.102,3.103) -- cycle;
\node at (6.808,3.273) {\scalebox{1.587}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.116,1.095) -- (7.071,1.265) -- (6.946,1.39) -- (6.776,1.435) -- (6.606,1.39) -- (6.482,1.265) -- (6.436,1.095) -- (6.482,0.925) -- (6.606,0.801) -- (6.776,0.755) -- (6.946,0.801) -- (7.071,0.925) -- cycle;
\node at (6.776,1.095) {\scalebox{1.587}{\small 10}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (4.639,1.2) -- (5.239,1.2) -- (5.239,1.8) -- (4.639,1.8) -- cycle;
\node at (4.939,1.5) {\scalebox{1.587}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (0.813,6.544) -- (1.413,6.544) -- (1.413,7.144) -- (0.813,7.144) -- cycle;
\node at (1.113,6.844) {\scalebox{1.587}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (2.327,7.015) -- (2.927,7.015) -- (2.927,7.615) -- (2.327,7.615) -- cycle;
\node at (2.627,7.315) {\scalebox{1.587}{\small c}};
\filldraw[fill=blue!12, draw=black, line width=0.5pt] (3.29,5.26) -- (3.89,5.26) -- (3.89,5.86) -- (3.29,5.86) -- cycle;
\node at (3.59,5.56) {\scalebox{1.587}{\small d}};
\node at (9.005,8.224) {\scalebox{1.587}{\small A}};
\node at (0.765,7.858) {\scalebox{1.587}{\small B}};
\node at (11.826,7.767) {\scalebox{1.587}{\small C}};
\node at (8.03,5.398) {\scalebox{1.587}{\small D}};
\node at (1.516,5.113) {\scalebox{1.587}{\small E}};
\node at (4.26,4.714) {\scalebox{1.587}{\small F}};
\node at (11.103,1.82) {\scalebox{1.587}{\small G}};
\node at (8.904,1.102) {\scalebox{1.587}{\small H}};
\node at (4.652,0.95) {\scalebox{1.587}{\small I}};
\draw[line width=0.5pt] (12.589,6.762) -- (12.589,7.862);
\draw[line width=0.5pt] (12.358,7.477) -- (12.589,7.862) -- (12.82,7.477);
\draw[line width=0.5pt] (12.286,7.312) -- (12.891,7.312);
\node at (12.589,8.247) {\scalebox{1.587}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G & \cellcolor{blue!7}\bfseries H & \cellcolor{blue!7}\bfseries I \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 & 5 & 1 & 3 & 1 \\ \hline
Parité & pair & pair & pair & pair & pair & \textbf{impair} & \textbf{impair} & \textbf{impair} & \textbf{impair} \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 20 = 2 \(\times\) 10, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{F}, \textbf{G}, \textbf{H}, \textbf{I} — il y en a 4.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{I}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Le quartier compte \textbf{4 carrefours impairs} (F, G, H, I).}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Chacun d'eux exigerait d'être un départ ou une arrivée. Une tournée n'a qu'un départ et qu'une arrivée : au moins 2 d'entre eux resteraient sans solution.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non plus.} Où que l'on installe la poste, il reste 4 carrefours impairs, et une tournée n'en tolère que deux : un pour partir, un pour arriver.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}C'est la différence avec un quartier à deux carrefours impairs, où déplacer la poste suffisait. Ici, le problème ne vient pas du point de départ mais du plan lui-même.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Combien de rues en double, au minimum ?} Il faut apparier les carrefours impairs deux à deux, ce qui demande 1 passage(s) supplémentaire(s) au mieux pour une tournée ouverte, un de plus pour revenir à la poste. C'est le « problème du postier chinois », étudié bien après Euler.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À remarquer.} Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
