\documentclass[a4paper,11pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[a4paper,top=3.2cm,bottom=2cm,left=2cm,right=2cm]{geometry}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}

\newcommand{\titre}{Le damier mutilé}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 201}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/pavage.php?x=201}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} PAVA0201}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small On a retiré quelques cases d'un damier. Peut-on recouvrir tout le reste avec des dominos, sans chevauchement ni débordement ? Quand c'est possible, il suffit de le montrer. Quand ça ne l'est pas, il faut le prouver — et c'est là que le problème devient intéressant.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Le damier mutilé}}
\noindent On part d'un damier de \textbf{6 cases sur 6}. On en retire \textbf{4 cases} — celles dessinées en pointillés ci-dessous.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.875, line join=round, line cap=round]
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (0.6,0.6) -- (1.6,0.6) -- (1.6,1.6) -- (0.6,1.6) -- cycle;
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (0.6,2.6) -- (1.6,2.6) -- (1.6,3.6) -- (0.6,3.6) -- cycle;
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (0.6,3.6) -- (1.6,3.6) -- (1.6,4.6) -- (0.6,4.6) -- cycle;
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (0.6,4.6) -- (1.6,4.6) -- (1.6,5.6) -- (0.6,5.6) -- cycle;
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (0.6,5.6) -- (1.6,5.6) -- (1.6,6.6) -- (0.6,6.6) -- cycle;
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (1.6,0.6) -- (2.6,0.6) -- (2.6,1.6) -- (1.6,1.6) -- cycle;
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (1.6,1.6) -- (2.6,1.6) -- (2.6,2.6) -- (1.6,2.6) -- cycle;
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (1.6,2.6) -- (2.6,2.6) -- (2.6,3.6) -- (1.6,3.6) -- cycle;
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (1.6,3.6) -- (2.6,3.6) -- (2.6,4.6) -- (1.6,4.6) -- cycle;
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (1.6,4.6) -- (2.6,4.6) -- (2.6,5.6) -- (1.6,5.6) -- cycle;
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (1.6,5.6) -- (2.6,5.6) -- (2.6,6.6) -- (1.6,6.6) -- cycle;
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (2.6,0.6) -- (3.6,0.6) -- (3.6,1.6) -- (2.6,1.6) -- cycle;
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (2.6,1.6) -- (3.6,1.6) -- (3.6,2.6) -- (2.6,2.6) -- cycle;
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (2.6,2.6) -- (3.6,2.6) -- (3.6,3.6) -- (2.6,3.6) -- cycle;
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (2.6,3.6) -- (3.6,3.6) -- (3.6,4.6) -- (2.6,4.6) -- cycle;
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (2.6,4.6) -- (3.6,4.6) -- (3.6,5.6) -- (2.6,5.6) -- cycle;
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (2.6,5.6) -- (3.6,5.6) -- (3.6,6.6) -- (2.6,6.6) -- cycle;
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (3.6,1.6) -- (4.6,1.6) -- (4.6,2.6) -- (3.6,2.6) -- cycle;
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (3.6,3.6) -- (4.6,3.6) -- (4.6,4.6) -- (3.6,4.6) -- cycle;
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (3.6,4.6) -- (4.6,4.6) -- (4.6,5.6) -- (3.6,5.6) -- cycle;
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (3.6,5.6) -- (4.6,5.6) -- (4.6,6.6) -- (3.6,6.6) -- cycle;
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (4.6,0.6) -- (5.6,0.6) -- (5.6,1.6) -- (4.6,1.6) -- cycle;
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (4.6,2.6) -- (5.6,2.6) -- (5.6,3.6) -- (4.6,3.6) -- cycle;
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (4.6,3.6) -- (5.6,3.6) -- (5.6,4.6) -- (4.6,4.6) -- cycle;
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (4.6,4.6) -- (5.6,4.6) -- (5.6,5.6) -- (4.6,5.6) -- cycle;
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (4.6,5.6) -- (5.6,5.6) -- (5.6,6.6) -- (4.6,6.6) -- cycle;
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (5.6,0.6) -- (6.6,0.6) -- (6.6,1.6) -- (5.6,1.6) -- cycle;
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (5.6,1.6) -- (6.6,1.6) -- (6.6,2.6) -- (5.6,2.6) -- cycle;
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (5.6,2.6) -- (6.6,2.6) -- (6.6,3.6) -- (5.6,3.6) -- cycle;
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (5.6,3.6) -- (6.6,3.6) -- (6.6,4.6) -- (5.6,4.6) -- cycle;
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (5.6,4.6) -- (6.6,4.6) -- (6.6,5.6) -- (5.6,5.6) -- cycle;
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (5.6,5.6) -- (6.6,5.6) -- (6.6,6.6) -- (5.6,6.6) -- cycle;
\draw[line width=0.5pt, dashed] (0.6,1.6) -- (1.6,1.6) -- (1.6,2.6) -- (0.6,2.6) -- (0.6,1.6);
\draw[line width=0.5pt, dashed] (3.6,0.6) -- (4.6,0.6) -- (4.6,1.6) -- (3.6,1.6) -- (3.6,0.6);
\draw[line width=0.5pt, dashed] (3.6,2.6) -- (4.6,2.6) -- (4.6,3.6) -- (3.6,3.6) -- (3.6,2.6);
\draw[line width=0.5pt, dashed] (4.6,1.6) -- (5.6,1.6) -- (5.6,2.6) -- (4.6,2.6) -- (4.6,1.6);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent On dispose de \textbf{dominos} : chaque domino recouvre exactement \textbf{deux cases voisines}, côte à côte ou l'une au-dessus de l'autre. On veut recouvrir \textbf{toute} la partie grise, sans chevauchement, sans débordement, et sans laisser de case libre.\par\addvspace{0.35em}
\noindent Les trois questions se suivent : la première se règle par un simple comptage, la dernière demande une véritable preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item \textbf{Combien de dominos} faudrait-il exactement ? Que se passe-t-il si ce nombre n'est pas entier ?
  \item On colorie le damier comme un vrai échiquier, en alternant deux couleurs. \textbf{Combien reste-t-il de cases de chaque couleur ?} Que recouvre un domino, en termes de couleurs ?
  \item \textbf{Le recouvrement est-il possible ?} Si oui, en proposer un. Si non, le \textbf{démontrer}.
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Le damier mutilé — Correction}}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{L'idée maîtresse.} Montrer qu'un pavage existe est facile : il suffit d'en exhiber un. Montrer qu'il n'en existe \textbf{aucun} est d'une autre nature — on ne peut pas essayer toutes les dispositions. Il faut trouver une \textbf{quantité qui ne change jamais} quand on pose un domino, et constater qu'elle interdit la situation voulue.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{1.} Le damier complet compte 6 \(\times\) 6 = 36 cases, dont on retire 4 : il en reste \textbf{32}.\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}Nombre de dominos nécessaires : \(\dfrac{32}{2}\) = 16\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Il faudrait exactement \textbf{16 dominos} — le compte tombe juste, rien ne s'oppose encore au pavage.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.} Colorions le damier :\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.875, line join=round, line cap=round]
\filldraw[fill=black!38, draw=black, line width=0.5pt] (0.6,0.6) -- (1.6,0.6) -- (1.6,1.6) -- (0.6,1.6) -- cycle;
\filldraw[fill=black!38, draw=black, line width=0.5pt] (0.6,2.6) -- (1.6,2.6) -- (1.6,3.6) -- (0.6,3.6) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (0.6,3.6) -- (1.6,3.6) -- (1.6,4.6) -- (0.6,4.6) -- cycle;
\filldraw[fill=black!38, draw=black, line width=0.5pt] (0.6,4.6) -- (1.6,4.6) -- (1.6,5.6) -- (0.6,5.6) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (0.6,5.6) -- (1.6,5.6) -- (1.6,6.6) -- (0.6,6.6) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (1.6,0.6) -- (2.6,0.6) -- (2.6,1.6) -- (1.6,1.6) -- cycle;
\filldraw[fill=black!38, draw=black, line width=0.5pt] (1.6,1.6) -- (2.6,1.6) -- (2.6,2.6) -- (1.6,2.6) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (1.6,2.6) -- (2.6,2.6) -- (2.6,3.6) -- (1.6,3.6) -- cycle;
\filldraw[fill=black!38, draw=black, line width=0.5pt] (1.6,3.6) -- (2.6,3.6) -- (2.6,4.6) -- (1.6,4.6) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (1.6,4.6) -- (2.6,4.6) -- (2.6,5.6) -- (1.6,5.6) -- cycle;
\filldraw[fill=black!38, draw=black, line width=0.5pt] (1.6,5.6) -- (2.6,5.6) -- (2.6,6.6) -- (1.6,6.6) -- cycle;
\filldraw[fill=black!38, draw=black, line width=0.5pt] (2.6,0.6) -- (3.6,0.6) -- (3.6,1.6) -- (2.6,1.6) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.6,1.6) -- (3.6,1.6) -- (3.6,2.6) -- (2.6,2.6) -- cycle;
\filldraw[fill=black!38, draw=black, line width=0.5pt] (2.6,2.6) -- (3.6,2.6) -- (3.6,3.6) -- (2.6,3.6) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.6,3.6) -- (3.6,3.6) -- (3.6,4.6) -- (2.6,4.6) -- cycle;
\filldraw[fill=black!38, draw=black, line width=0.5pt] (2.6,4.6) -- (3.6,4.6) -- (3.6,5.6) -- (2.6,5.6) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.6,5.6) -- (3.6,5.6) -- (3.6,6.6) -- (2.6,6.6) -- cycle;
\filldraw[fill=black!38, draw=black, line width=0.5pt] (3.6,1.6) -- (4.6,1.6) -- (4.6,2.6) -- (3.6,2.6) -- cycle;
\filldraw[fill=black!38, draw=black, line width=0.5pt] (3.6,3.6) -- (4.6,3.6) -- (4.6,4.6) -- (3.6,4.6) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.6,4.6) -- (4.6,4.6) -- (4.6,5.6) -- (3.6,5.6) -- cycle;
\filldraw[fill=black!38, draw=black, line width=0.5pt] (3.6,5.6) -- (4.6,5.6) -- (4.6,6.6) -- (3.6,6.6) -- cycle;
\filldraw[fill=black!38, draw=black, line width=0.5pt] (4.6,0.6) -- (5.6,0.6) -- (5.6,1.6) -- (4.6,1.6) -- cycle;
\filldraw[fill=black!38, draw=black, line width=0.5pt] (4.6,2.6) -- (5.6,2.6) -- (5.6,3.6) -- (4.6,3.6) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.6,3.6) -- (5.6,3.6) -- (5.6,4.6) -- (4.6,4.6) -- cycle;
\filldraw[fill=black!38, draw=black, line width=0.5pt] (4.6,4.6) -- (5.6,4.6) -- (5.6,5.6) -- (4.6,5.6) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.6,5.6) -- (5.6,5.6) -- (5.6,6.6) -- (4.6,6.6) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.6,0.6) -- (6.6,0.6) -- (6.6,1.6) -- (5.6,1.6) -- cycle;
\filldraw[fill=black!38, draw=black, line width=0.5pt] (5.6,1.6) -- (6.6,1.6) -- (6.6,2.6) -- (5.6,2.6) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.6,2.6) -- (6.6,2.6) -- (6.6,3.6) -- (5.6,3.6) -- cycle;
\filldraw[fill=black!38, draw=black, line width=0.5pt] (5.6,3.6) -- (6.6,3.6) -- (6.6,4.6) -- (5.6,4.6) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.6,4.6) -- (6.6,4.6) -- (6.6,5.6) -- (5.6,5.6) -- cycle;
\filldraw[fill=black!38, draw=black, line width=0.5pt] (5.6,5.6) -- (6.6,5.6) -- (6.6,6.6) -- (5.6,6.6) -- cycle;
\draw[line width=0.5pt, dashed] (0.6,1.6) -- (1.6,1.6) -- (1.6,2.6) -- (0.6,2.6) -- (0.6,1.6);
\draw[line width=0.5pt, dashed] (3.6,0.6) -- (4.6,0.6) -- (4.6,1.6) -- (3.6,1.6) -- (3.6,0.6);
\draw[line width=0.5pt, dashed] (3.6,2.6) -- (4.6,2.6) -- (4.6,3.6) -- (3.6,3.6) -- (3.6,2.6);
\draw[line width=0.5pt, dashed] (4.6,1.6) -- (5.6,1.6) -- (5.6,2.6) -- (4.6,2.6) -- (4.6,1.6);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Le damier colorié comme un échiquier.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Il reste \textbf{18 cases sombres} et \textbf{14 cases claires}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Ce que fait un domino.} Deux cases voisines n'ont jamais la même couleur sur un damier. Donc \textbf{tout domino couvre exactement une case sombre et une case claire} — c'est vrai quelle que soit sa position, horizontale ou verticale. C'est l'invariant cherché.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Impossible.} Il faudrait 16 dominos, et ces 16 dominos couvriraient 16 cases sombres et 16 cases claires — donc \textbf{autant des deux couleurs}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Or il reste 18 sombres et 14 claires : un écart de 4. Le recouvrement est \textbf{impossible}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{C'est tout l'intérêt du coloriage.} Le simple comptage des cases ne disait rien : le nombre était pair. C'est l'invariant de couleur qui tranche, sans essayer une seule disposition.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À retenir.} Pour prouver qu'une construction est impossible, on cherche une quantité que chaque étape laisse inchangée — ici, l'écart entre le nombre de cases sombres et claires, qu'un domino ne modifie jamais. Ce raisonnement par invariant sert bien au-delà des dominos.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
