Cosinus dans le triangle rectangle (4e)

La richesse consiste bien plus dans l'usage qu'on en fait que dans la possession.

Aristote

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Le cosinus dans le triangle rectangle

Vocabulaire

Dans le triangle ABC rectangle en A, on choisit un angle aigu, par exemple \(\widehat{B}\). Par rapport à cet angle :

  • [AB] est le côté adjacent à \(\widehat{B}\) ;

  • [AC] est le côté opposé à \(\widehat{B}\) ;

  • [BC] est l’hypoténuse.

Figure : Cosinus ABC

Définition

Dans un triangle rectangle, le cosinus d’un angle aigu est le quotient de la longueur du côté adjacent à cet angle par la longueur de l’hypoténuse : \[\cos(\widehat{B}) = \dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} = \dfrac{AB}{BC}\]

Applications

Calculer l’hypoténuse

ABC rectangle en A, avec \(\widehat{B} = 40°\) et AB = 5 cm. On calcule BC :

cos(40°) = ABBCAB/BC = 5BC5/BC

BC = 5cos(40°)5/cos(40°) ≈ 6,5 cm

Calculer un côté adjacent

ABC rectangle en A, avec \(\widehat{B} = 40°\) et BC = 8 cm. On calcule AB :

cos(40°) = ABBCAB/BC = AB8AB/8

AB = 8 × cos(40°) ≈ 6,1 cm

Calculer un angle

ABC rectangle en A, avec AB = 4 cm et BC = 6 cm. On calcule \(\widehat{B}\) :

\(\cos(\widehat{B}) = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{4}{6} \approx 0{,}667\)

À la calculatrice (touche cos−1 ou Arccos) :

\(\widehat{B} \approx 48°\)

Officiel

CONTENUS

Triangle rectangle :

cosinus d'un angle

COMPETENCE

- Utiliser dans un triangle rectangle la relation entre le cosinus d'un angle aigu et les longueurs des côtés adjacents.

Utiliser la calculatrice pour déterminer une valeur approchée :

COMMENTAIRES

La propriété de proportionnalité des côtés de deux triangles déterminés par deux parallèles coupant deux sécantes permet de définir le cosinus comme un rapport de longueur. Les différentes connaissances relatives au triangle rectangle peuvent être synthétisées, en mettant en évidence que :

Les relations métriques dans le triangle rectangle, autres que celles mentionnées dans les compétences sont hors programme.

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Référence au programme : Programme de mathématiques du cycle 4 (arrêté du 9 novembre 2015 modifié), encore en vigueur en classe de quatrième ; le nouveau programme (arrêté du 18 février 2026) s'y appliquera à la rentrée 2027. Domaine : Espace et géométrie.

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