Équations et problèmes (4e)

Les bons crus font les bonnes cuites.

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Équations

Vocabulaire

Égalité

Une égalité est une expression contenant le signe « = ». Ce qui est à gauche est le premier membre, ce qui est à droite le deuxième membre.

Dans 5 + 3 = 8, le premier membre est 5 + 3 et le deuxième est 8.

Équation

Une équation est une égalité dans laquelle au moins une lettre représente une valeur inconnue. Résoudre l’équation, c’est trouver toutes les valeurs de l’inconnue qui rendent l’égalité vraie.

3 + 2x = 7 est une équation du premier degré à une inconnue.

Règle sur l’addition

Une égalité ne change pas si on ajoute (ou si on soustrait) un même nombre à ses deux membres.

On s’en sert pour isoler le terme « en x ». Par exemple, en soustrayant 3 :

3 + 2x = 7

3 + 2x − 3 = 7 − 3

2x = 4

On dit aussi qu’on transpose le 3 : un terme qui passe de l’autre côté du « = » change en son opposé (3 → −3).

Règle sur la multiplication

Une égalité ne change pas si on multiplie (ou si on divise) ses deux membres par un même nombre non nul.

On divise alors par le coefficient de x :

2x = 4

2x22x/2 = 424/2

x = 2

Résolution complète

Reprenons l’équation 3 + 2x = 7 du début.

3 + 2x = 7

2x = 7 − 3 = 4

x = 424/2 = 2

La solution est x = 2. Vérification : 3 + 2 × 2 = 3 + 4 = 7.

Résoudre un problème

De nombreux problèmes se résolvent par une mise en équation. Il faut faire apparaître clairement les étapes :

  1. le choix de l’inconnue ;

  2. la mise en équation ;

  3. la résolution ;

  4. la conclusion (interprétation) ;

  5. la vérification (recommandée).

Un exemple

Je pense à un nombre, je le multiplie par 3 puis j’ajoute 4 : j’obtiens 19. Quel est ce nombre ?

Inconnue : on note x le nombre cherché.

Mise en équation :

3x + 4 = 19

Résolution :

3x = 19 − 4 = 15

x = 15315/3 = 5

Conclusion : le nombre cherché est 5. Vérification : 3 × 5 + 4 = 15 + 4 = 19.

CONTENU

Résolution de problèmes conduisant à des équations du premier degré à une inconnue.

COMPÉTENCES EXIGIBLES

Mettre en équation et résoudre un problème conduisant à une équation du premier degré à une inconnue.

COMMENTAIRES

Les problèmes issus d'autres parties du programme conduisent à l'introduction d'équations et à leur résolution.

On dégagera chaque fois sur des problèmes particuliers les différentes étapes du travail :

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