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Ce n'est pas parce que l'homme a soif d'amour qu'il doit se jeter sur la première gourde.
Pierre Desproges (sur mon T shirt!)
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Première partie
La cité idéale (1475), Piero della Francesca
La perspective est l’art de représenter les objets à trois dimensions sur une surface plane, en tenant compte des effets de l’éloignement et de la position dans l’espace par rapport à l’observateur. Pour l’artiste, certaines droites parallèles dans la réalité sont représentées par des droites sécantes.
En perspective cavalière, les parallèles de la réalité sont représentées par des droites parallèles :
Par convention, on représente les arêtes invisibles en pointillés. Ainsi la face au premier plan de ce cube est le carré ABCD.
Dessiner les 11 patrons d’un cube.
Un patron d’un solide est une figure plane composée de polygones (les faces) disposés de telle manière qu’en les pliant le long de leurs arêtes communes, on reconstitue le solide en trois dimensions sans que les faces ne se chevauchent.
On considère le pavé droit ABCDEFGH ci-dessous (figure non à l’échelle). Compléter le tableau (sans justification).
Correction.
| Objet | Nature |
|---|---|
| Triangle ABC | Rectangle |
| Angle \(\widehat{ABF}\) | Droit |
| Quadrilatère ABFE | Rectangle |
| Angle \(\widehat{ACG}\) | Droit |
| Quadrilatère ACGE | Rectangle |
ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle. On donne AE = 3 m ; AD = 4 m ; AB = 6 m.
1. a. Que dire des droites (AE) et (AB) ? b. Les droites (EH) et (AB) sont-elles sécantes ? 2. a. Calculer EG (valeur exacte). b. Dans EGC rectangle en G, calculer la diagonale [EC]. 3. a. Montrer que le volume vaut 72 m³. b. Montrer que l’aire totale vaut 108 m².
Correction.
1. a. ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle, ses arêtes sont perpendiculaires deux à deux, donc (AE) ⊥ (AB). b. Les droites (EH) et (AB) ne sont pas coplanaires : elles ne sont donc pas sécantes.
2. a. Dans EFG rectangle en F, d’après le théorème de Pythagore :
EG2 = EF2 + FG2 = 62 + 42 = 36 + 16 = 52
EG = √52 = 2√13 m
b. Dans EGC rectangle en G, d’après le théorème de Pythagore :
EC2 = EG2 + GC2 = 52 + 32 = 52 + 9 = 61
EC = √61 m
3. a.
V = 3 × 4 × 6 = 72 m3
b.
A = 2 × (3 × 4 + 3 × 6 + 4 × 6) = 2 × 54 = 108 m2
Les exercices classiques de l’espace ne sont que des exercices habituels : il s’agit de trouver le plan dans lequel on travaille !
Deuxième partie
On appelle prisme droit un solide dont la base est un polygone et dont les faces latérales sont des rectangles.
Le prisme droit à base triangulaire a 6 sommets, 9 arêtes et 5 faces. Le prisme droit à base rectangulaire (pavé droit) a 8 sommets, 12 arêtes et 6 faces.
Quand on coupe un prisme droit par un plan parallèle à la base, la section trouvée est identique à la base.
V = B × h où B désigne l’aire de la base et h la hauteur du prisme.
Quand on coupe un cylindre de révolution par un plan parallèle à la base, la section est un cercle de même rayon que la base.
Quand on coupe un cylindre de révolution par un plan perpendiculaire à la base, la section est un rectangle dont un côté est égal à la hauteur du cylindre.
\[V = B \times h = \pi r^{2} h\]
Les pyramides ont pour base des polygones, et leurs faces latérales sont des triangles.
Quand on coupe une pyramide par un plan parallèle à la base, la section est de même nature que la base.
Les pyramides régulières ont pour base des polygones réguliers (triangle équilatéral, carré…) et leurs faces latérales sont des triangles isocèles.
V = 131/3 × B × h
Quand on coupe un cône par un plan parallèle à la base, la section est un cercle de rayon inférieur à celui de la base.
Tracer le patron d’un cône de révolution dont la base est un cercle de 3 cm de rayon et de hauteur 4 cm. (Indice : la longueur de l’arc est égale à la circonférence du cercle de base.)
Correction.
On calcule d’abord R, le rayon de l’arc, avec le théorème de Pythagore :
R2 = r2 + h2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25
R = √25 = 5 cm
Puis l’angle \(\widehat{AOB}\), par proportionnalité (longueur / angle) :
| Longueur | Angle |
|---|---|
| \(2\pi R = 10\pi\) | 360° |
| \(2\pi r = 6\pi\) | \(\widehat{AOB}\) |
\(\widehat{AOB} = \dfrac{360 \times 6\pi}{10\pi} = 216°\)
Volume du cône de rayon r et de hauteur h : \[V = \dfrac{1}{3} \times B \times h = \dfrac{1}{3} \times \pi \times r^{2} \times h\]
Dans un plan, le cercle de centre O et de rayon r est constitué de tous les points à exactement r de O ; le disque de tous les points dont la distance à O est inférieure ou égale à r.
La sphère de centre O et de rayon r est constituée de tous les points de l’espace à exactement r de O ; la boule, de tous les points de l’espace dont la distance à O est inférieure ou égale à r.
M et N sont diamétralement opposés. On ne peut pas construire le patron d’une sphère. La section d’une sphère par un plan est un cercle : de rayon R si le plan passe par O, de rayon inférieur sinon.
Aire de la sphère : \[A = 4\pi R^{2}\] Volume de la boule : \[V = \dfrac{4}{3}\pi R^{3}\]
Instructions officielles
On mettra en évidence les grands cercles de la sphère, les couples de points diamétralement opposés. On examinera le cas particulier où le plan est tangent à la sphère. On fera le rapprochement avec les connaissances que les élèves ont déjà de la sphère terrestre, notamment pour les questions relatives aux méridiens et parallèles.
Des manipulations préalables ( sections de solides en polystyrène par exemple) permettent de conjecturer ou d'illustrer la nature des sections planes étudiées. Ce sera une occasion de faire des calculs de longueur et d'utiliser les propriétés rencontrées dans d'autres rubriques ou les années antérieures.
A propos de pyramides, les activités se limiteront à celles dont la hauteur est une arrête latérale et aux pyramides régulières qui permettent de retrouver les polygones étudiés par ailleurs.
Le travail avec un formulaire qui n'exclut pas la mémorisation, permettra le réinvestissement et l'entretien d'acquis des années précédentes : aire des surfaces et volumes, des solides étudiées dans ces classes.
Des activités de comparaison d'aires, d'une part, et de volume, d'autre part, seront autant d'occasions de manipulations de formules et de transformations d'expressions algébriques. Ce travail prend appui sur celui fait en géométrie dans l'espace.
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Cette page est développée en php avec l'éditeur de texte du projet GNOME. Elle se veut conforme aux instructions officielles de l'Éducation nationale.
Référence au programme : Programme de mathématiques du cycle 4 (arrêté du 9 novembre 2015 modifié), encore en vigueur en classe de troisième ; le nouveau programme (arrêté du 18 février 2026) s'y appliquera à la rentrée 2028. Domaine : Espace et géométrie.
lecon.body.tex : même texte et même plan que le PDF, la source LaTeX et le module TBI.N'hésitez pas à me contacter si vous detectez la moindre imperfection, ou si vous imaginez une amélioration potentielle !
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