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J'ai bonne conscience : je roule dans une voiture allemande mais mon tailleur est juif.
Jean Yanne
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Un tableau est un tableau de proportionnalité si les nombres de la deuxième ligne s’obtiennent en multipliant ceux de la première par un même nombre, appelé coefficient de proportionnalité.
Pour un carré, le périmètre est proportionnel au côté (coefficient 4) :
| Côté (cm) | 1 | 2 | 3 | 5 |
|---|---|---|---|---|
| Périmètre (cm) | 4 | 8 | 12 | 20 |
Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux. On s’en sert pour calculer une quatrième valeur (« quatrième proportionnelle »).
Exemple. 3 stylos identiques coûtent 4,50 €. Combien coûtent 5 stylos ?
| Nombre de stylos | 3 | 5 |
|---|---|---|
| Prix (€) | 4,50 | x |
Par le produit en croix, 3 × x = 5 × 4,50, donc :
x = 5 × 4,5035 × 4,50/3 = 22,50322,50/3 = 7,50
5 stylos coûtent 7,50 €.
Prendre t % d’un nombre, c’est le multiplier par t100t/100.
Exemple. 15 % de 240 :
1510015/100 × 240 = 0,15 × 240 = 36
Augmenter de t % revient à multiplier par le coefficient multiplicateur (1 + t100t/100) ; réduire de t %, par (1 − t100t/100).
En effet, augmenter x de 15 % donne x + 0,15x = 1,15x.
Ainsi : augmenter de 15 % revient à multiplier par 1,15 ; réduire de 20 %, à multiplier par 0,80.
Exemple. Un article à 240 € augmente de 15 % :
240 × 1,15 = 276 €
La vitesse moyenne est le quotient de la distance parcourue par la durée du trajet : v = dtd/t.
Distance et durée sont proportionnelles quand la vitesse est constante.
Exemple. Une voiture parcourt 120 km en 2 h :
v = 1202120/2 = 60 km/h
Utiliser, dans le plan muni d'un repère, la caractérisation de la proportionnalité sous la forme d'alignement de points avec l'origine.
Utiliser l'égalité d = vt pour des calculs de distance parcourue, de vitesse et de temps. Changer d'unités de vitesse (mètre par seconde et kilomètre par heure).
Mettre en oeuvre la proportionnalité dans des situations simples utilisant à la fois des pourcentages et des quantités ou des effectifs.
On fera travailler les élèves à la fois sur des exemples et des contre-exemples de situations de proportionnalité.
Les situations où interviennent des vitesses moyennes constituent des exemples riches où le traitement mathématique s'avère particulièrement pertinent, comme l'étude de la vitesse moyenne d'un trajet sur un parcours de 60 km, où l'aller se parcourt à 20 km. h-1 et le retour à 30 km. h-1. Les compétences exigibles se réduisent aux vitesses mais d'autres situations de changements d'unités méritent d'être envisagées: problèmes de change monétaire, consommation de carburant d'un véhicule en litres pour 100 kilomètres ou en kilomètres parcourus par litre.
En liaison avec d'autres disciplines (géographie,...), la notion d'indice pourra être présentée comme un cas particulier du coefficient de proportionnalité, donnant lieu à illustrations et calculs mais en aucun cas à des développements théoriques.
Des situations issues de la vie courante ou des autres disciplines demandent de mettre en oeuvre à la fois un coefficient de proportionnalité, sous forme de pourcentage ou d'indice, et des quantités ou des effectifs. Par exemple, connaissant le pourcentage d'un caractère dans deux groupes d'effectifs différents,déterminer le pourcentage obtenu après réunion des deux groupes.
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