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L'humour est la politesse du désespoir.
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La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu.
La médiatrice est un axe de symétrie du segment. Un point appartient à la médiatrice de [AB] si, et seulement si, il est équidistant de A et de B.
On trace deux arcs de cercle de même rayon centrés en A et en B : ils se coupent en deux points de la médiatrice.
Les trois médiatrices d’un triangle sont concourantes ; leur point de concours est le centre du cercle circonscrit au triangle.
La bissectrice d’un angle est la droite qui partage cet angle en deux angles égaux ; c’est son axe de symétrie.
Un point appartient à la bissectrice d’un angle si, et seulement si, il est équidistant des deux côtés de l’angle.
Les trois bissectrices (intérieures) d’un triangle sont concourantes ; leur point de concours est le centre du cercle inscrit au triangle.
La hauteur issue d’un sommet est la droite passant par ce sommet et perpendiculaire au côté opposé.
Les trois hauteurs sont concourantes en un point appelé orthocentre.
La médiane issue d’un sommet est la droite passant par ce sommet et le milieu du côté opposé.
Les trois médianes sont concourantes en un point appelé centre de gravité du triangle.
Dans un triangle, la droite qui passe par les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté, et le segment qui joint ces milieux a pour longueur la moitié du troisième côté.
Réciproquement, la droite passant par le milieu d’un côté et parallèle à un deuxième côté coupe le troisième côté en son milieu.
En classe de quatrième, la représentation d'objets géométriques usuels du plan et de l'espace, le calcul de grandeurs attachées à ces objets demeurent des objectifs majeurs. S'y ajoutent de nouvelles caractérisations pour certains d'entre eux (triangle rectangle, cercle, bissectrice).
Dans le plan, les travaux portent sur les figures usuelles déjà étudiées (triangle, cercle, quadrilatères particuliers), pour lesquelles il est indispensable de continuer à faire fonctionner les résultats mis en place.
L'étude plus approfondie du triangle rectangle et d'une nouvelle configuration (celle de triangles déterminés par deux droites parallèles coupant deux sécantes) permet d'aborder quelques aspects numériques fondamentaux de la géométrie du plan.
Certaines propriétés géométriques d'un agrandissement ou d'une réduction d'une figure sont également étudiées. L'effet sur les aires et les volumes n'est abordé qu’en classe de troisième.
Les activités de découverte, d'élaboration et de rédaction d'une démonstration sont de natures différentes et doivent faire l'objet d'une différenciation explicite. Le travail sur la caractérisation des figures usuelles est poursuivi, en veillant à toujours la formuler à l'aide d'énoncés séparés.
Dans l'espace, les travaux sur les solides étudiés exploitent largement les résultats de géométrie plane.
Connaître et utiliser les théorèmes suivants relatifs aux milieux de deux côtés d'un triangle :
Ces théorèmes peuvent être démontrés en utilisant la symétrie centrale et les propriétés caractéristiques du parallélogramme ou les aires.
Cette caractérisation permet de démontrer que les trois bissectrices d'un triangle sont concourantes et justifie la construction du cercle inscrit. L'analogie est faite avec le résultat concernant les médiatrices des trois côtés du triangle vu en classe de cinquième.
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