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Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve.
Euclide de Mégare (Nouveau design!)
Une fonction est un mécanisme, un procédé. On peut la voir comme une machine, une usine qui transformerai un nombre, appelé antécédent en un nombre appelé image.
Imaginons la fonction qui à un nombre entier associerai son suivant. Appelons 𝒮 cette fonction (comme Suivant)
L'image de 5 par la fonction 𝒮 est 6.
On note 𝒮 (5) = 6
Ou 𝒮 : 5 → 6
L'antécédent de 26 est 25
Pour tous les entiers n, la fonction 𝒮 fonctionne de la même façon : elle ajoute 1.
On écrit alors :
𝒮(n) = n + 1
Ou encore :
𝒮 : n → n + 1
Cela signifie que quel que soit le nombre choisi, l’image par la fonction 𝒮 est ce nombre augmenté de 1.
On a unicité de l'image (L'image d'un nombre est unique) mais un nombre peut avoir plusieurs antécédents
La célèbre fonction f(𝑥) = 𝑥² a une image unique pour chaque antécédents :
f(𝑥) = 3 × 3 = 9 mais les nombres positifs ont deux antécédents :
On peut présenter des couples de nombres (antécédent ; image) dans un tableau de valeur
Voici un tableau de valeurs d’une fonction g :
| 𝑥 | g( 𝑥 ) |
|---|---|
| -3 | 6 |
| -1 | 1 |
| 2 | 6 |
| 4 | 3 |
| 6 | 2 |
| 7 | 5 |
g( 4 ) = 3
5 = g( 7 )
Une fonction peut associer plusieurs antécédents à une même image, mais chaque antécédent correspond à une seule image.
La représentation graphique d'une fonction f est constitué de l'ensemble des points de coordonnées (𝑥 ; f(𝑥)). On peut se servir pour tracer ce graphique du tableau de valeur.
Voici la représentation graphique d’une fonction f. Chaque point correspond à un couple (𝑥 ; f(𝑥)).
f(1) = 3
5 = f(4)
Chaque point du graphique permet de lire une égalité du type
y = f(𝑥)
OFFICIEL
Comprendre qu’une fonction associe une image unique à chaque antécédent.
Lire une égalité fonctionnelle : f(5) = 6 signifie que l’image de 5 par la fonction f est 6.
Déterminer une image ou un antécédent à l’aide d’un tableau ou d’un graphique donné.
Identifier une situation où une image possède plusieurs antécédents visibles.
Passer d’un tableau de valeurs à une représentation graphique et inversement.
Utiliser une notation littérale simple : f(n) = n + 1, ou n → n + 1.
En classe de troisième, la notion de fonction est abordée pour la première fois de manière explicite, sans en donner de définition formelle.
L’objectif est de familiariser les élèves avec l’idée qu’une fonction modélise un lien entre deux grandeurs. On illustre cela par des exemples concrets, sans se limiter aux cas linéaires.
Les fonctions sont présentées à travers des représentations graphiques (ensemble de points), des tableaux de valeurs, ou des égalités fonctionnelles de type f(𝑥) = y.
On utilise des notations simples, sans généralisation excessive : f(n), g(4) = 7, etc. L’expression fonctionnelle peut être donnée ponctuellement (ex. : f(n) = n + 1) mais ne constitue pas l’objectif principal.
On insiste sur le vocabulaire précis : image, antécédent, et sur l’idée que chaque antécédent admet au plus une image, tandis qu’une image peut provenir de plusieurs antécédents.
Cette étape prépare les élèves aux fonctions plus générales étudiées au lycée, tout en évitant les confusions avec les fonctions linéaires et affines qui font l’objet d’une leçon à part.
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