Le théorème de Pythagore

I- Comment calculer la longueur d'un côté dans un triangle rectangle ?

A Définition

Dans un triangle rectangle, on appelle hypoténuse le plus grand côté. C'est aussi le côté opposé à l'angle droit.

B Théorème de Pythagore

Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des côtés de l'angle droit.

Dans le triangle ABC rectangle en A : BC²= AB² + AC²

C Exemples :

1. Soit RFA un triangle rectangle en F, RF=3 cm et FA=4 cm.

Calculer RA.

Dans le triangle RFA rectangle en F, d'après le théorème de Pythagore :

RA²=RF²+FA² donc

RA²=3²+4²= 9+16= 25

d'où RA=5 cm

2. Dans le triangle PIF rectangle en I, PI=4 cm et PF=7 cm.

Calculer IF.

Dans le triangle PFI rectangle en I, d'après le théorème de Pythagore :

PF²= PI² + IF² donc 72 = 42 + IF² donc IF²= 49 - 16 = 33

d'où IF = 5,7 cm

II- Comment démontrer qu'un triangle est rectangle ?

A Réciproque du théorème de Pythagore :

Si dans un triangle le carré d'un côté est égal à la somme des carrés des autres côtés alors ce triangle est rectangle.

C'est à dire :

Dans le triangle AZE si AZ² = ZE² + AE²

alors AZE est un triangle rectangle en E (AZ est l'hypoténuse)

B. Exemple :

Soit HTJ tel que HT=12 cm, HJ=13 cm, JT=5cm.

Quelle la nature de ce triangle ?

donc HJ² = HT² + JT²

D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle HTJ est rectangle en T

III- Comment démontrer qu'un triangle n'est pas rectangle ?

A Exemple :

Soit ERT tel que ER=5 cm, RT=4cm, TE=6cm.

Le triangle est-il rectangle ?

Donc TE² ER² + RT² Le triangle ERT n'est pas rectangle.

B Remarque :

Si le triangle ERT était rectangle alors l'égalité TE² = ER² + RT² serait vraie d'après le théorème direct de Pythagore.