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Calculer une longueur dans un triangle rectangle

Définition

Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le plus grand côté ; c’est le côté opposé à l’angle droit.

Théorème de Pythagore

Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Dans le triangle ABC rectangle en A : BC² = AB² + AC²

Exemples

1. RFA est rectangle en F, avec RF = 3 cm et FA = 4 cm. Calculons RA (l’hypoténuse). D’après le théorème de Pythagore :

RA² = RF² + FA²

RA² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25

RA = √25 = 5 cm

2. PIF est rectangle en I, avec PI = 4 cm et PF = 7 cm (PF est l’hypoténuse). Calculons IF :

PF² = PI² + IF²

IF² = 7² − 4² = 49 − 16 = 33

IF = √33 ≈ 5,7 cm

Démontrer qu’un triangle est rectangle

Réciproque du théorème de Pythagore

Si, dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle (et le plus grand côté est l’hypoténuse).

Exemple

HTJ tel que HT = 12 cm, HJ = 13 cm, JT = 5 cm. Quelle est sa nature ? On compare le carré du plus grand côté (HJ) à la somme des carrés des deux autres :

HJ² = 13² = 169

HT² + JT² = 12² + 5² = 144 + 25 = 169

Comme HJ² = HT² + JT², d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle HTJ est rectangle en T.

Démontrer qu’un triangle n’est pas rectangle

ERT tel que ER = 5 cm, RT = 4 cm, TE = 6 cm. Est-il rectangle ? Le plus grand côté est TE :

TE² = 6² = 36

ER² + RT² = 5² + 4² = 25 + 16 = 41

Comme TE² ≠ ER² + RT², le triangle ERT n’est pas rectangle.

S’il l’était, l’égalité TE² = ER² + RT² serait vraie d’après le théorème direct de Pythagore.

Compétences exigibles :

Caractériser le triangle rectangle :

par son inscription dans un demi-cercle
par la propriété de Pythagore et sa réciproque.

Calculer la longueur d'un côté d'un triangle rectangle à partir de celles des deux autres.

En donner, s'il y a lieu, une valeur approchée, en faisant éventuellement usage de la touche racine d'une calculatrice.

Trouver à l'aide de la calculatrice une valeur approchée de la racine carrée d'un nombre positif.

Commentaires :

On poursuit le travail sur la caractérisation des figures en veillant à toujours la formuler à l'aide d'énoncés séparés.

Les relations métriques dans le triangle rectangle, autres que celles mentionnées dans les compétences exigibles, ne sont pas au programme.Le théorème de Pythagore fournit l'occasion de calculer des racines carrées de nombres positifs dans des cas qui relèvent d'une situation où le nombre calculé a une signification que l'élève peut identifier.

On peut aussi rattacher le calcul d'une racine carrée à des problèmes où interviennent l'aire d'un carré et la mesure de son côté.

Liens

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