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Une fonction est un mécanisme, un procédé. On peut la voir comme une machine qui transforme un nombre — appelé antécédent — en un nombre — appelé image.
Imaginons la fonction qui, à un nombre entier, associe son suivant. Appelons-la \(\mathcal{S}\) (comme « Suivant »). L’image de 5 par \(\mathcal{S}\) est 6 :
\(\mathcal{S}(5) = 6 \qquad\text{ou}\qquad \mathcal{S} : 5 \mapsto 6\)
L’antécédent de 26 est 25.
Pour tous les entiers n, la fonction \(\mathcal{S}\) fonctionne de la même façon : elle ajoute 1. On écrit : \[\mathcal{S}(n) = n + 1 \qquad\text{ou}\qquad \mathcal{S} : n \mapsto n + 1\]
Quel que soit le nombre choisi, son image par \(\mathcal{S}\) est ce nombre augmenté de 1.
L’image d’un nombre est unique, mais un nombre peut avoir plusieurs antécédents.
La fonction f(x) = x2 a une image unique pour chaque antécédent, mais les nombres positifs ont deux antécédents :
4 = f(2) = 2 × 2
4 = f(−2) = (−2) × (−2)
On peut présenter des couples de nombres (antécédent ; image) dans un tableau de valeurs.
Voici un tableau de valeurs d’une fonction g :
| x | −3 | −1 | 2 | 4 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| g(x) | 6 | 1 | 6 | 3 | 2 | 5 |
1. Quelle est l’image de 4 ? 2. Quel est l’antécédent de 5 ? 3. Un nombre a pour image son opposé : lequel ? 4. Quel nombre a plusieurs antécédents ?
Correction.
L’image de 4 est 3 : g(4) = 3.
L’antécédent de 5 est 7 : 5 = g(7).
−1 a pour image 1, son opposé.
Le nombre 6 a deux antécédents : −3 et 2.
Une fonction peut associer plusieurs antécédents à une même image, mais chaque antécédent correspond à une seule image.
La représentation graphique d’une fonction f est l’ensemble des points de coordonnées (x ; f(x)). On peut la tracer à partir du tableau de valeurs.
Voici la représentation graphique d’une fonction f. Chaque point correspond à un couple (x ; f(x)).
1. Quelle est l’image de 1 ? 2. Quel est l’antécédent de 5 ? 3. Un nombre a pour image son opposé : lequel ? 4. Quel nombre a plusieurs antécédents ?
Correction.
L’image de 1 est 3 : f(1) = 3.
L’antécédent de 5 est 4 : 5 = f(4).
Le nombre 2 a pour image −2, son opposé.
Le nombre 1 a deux antécédents : −2 et 3.
Chaque point du graphique permet de lire une égalité du type y = f(x).
OFFICIEL
Comprendre qu’une fonction associe une image unique à chaque antécédent.
Lire une égalité fonctionnelle : f(5) = 6 signifie que l’image de 5 par la fonction f est 6.
Déterminer une image ou un antécédent à l’aide d’un tableau ou d’un graphique donné.
Identifier une situation où une image possède plusieurs antécédents visibles.
Passer d’un tableau de valeurs à une représentation graphique et inversement.
Utiliser une notation littérale simple : f(n) = n + 1, ou n → n + 1.
En classe de troisième, la notion de fonction est abordée pour la première fois de manière explicite, sans en donner de définition formelle.
L’objectif est de familiariser les élèves avec l’idée qu’une fonction modélise un lien entre deux grandeurs. On illustre cela par des exemples concrets, sans se limiter aux cas linéaires.
Les fonctions sont présentées à travers des représentations graphiques (ensemble de points), des tableaux de valeurs, ou des égalités fonctionnelles de type f(𝑥) = y.
On utilise des notations simples, sans généralisation excessive : f(n), g(4) = 7, etc. L’expression fonctionnelle peut être donnée ponctuellement (ex. : f(n) = n + 1) mais ne constitue pas l’objectif principal.
On insiste sur le vocabulaire précis : image, antécédent, et sur l’idée que chaque antécédent admet au plus une image, tandis qu’une image peut provenir de plusieurs antécédents.
Cette étape prépare les élèves aux fonctions plus générales étudiées au lycée, tout en évitant les confusions avec les fonctions linéaires et affines qui font l’objet d’une leçon à part.
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Référence au programme : Programme de mathématiques du cycle 4 (arrêté du 9 novembre 2015 modifié), encore en vigueur en classe de troisième ; le nouveau programme (arrêté du 18 février 2026) s'y appliquera à la rentrée 2028. Domaine : Organisation et gestion de données.
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