site2wouf.fr : Le calcul littéral en quatrième

Les idiotes ne sont jamais aussi idiotes qu'on croit.
Les idiots, si.

Marcel Achard (sur mon T shirt!)

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Écritures littérales

I Généralités

A Qu'est-ce que c'est ?

Étymologiquement, une expression littérale est une expression qui contient une ou plusieurs lettres.

B A quoi cela sert-il ?

1 À décrire une règle de calcul:

k(a+b)=ka+kb (vu en 5ème)

2 A retenir une "formule"

Plutôt que retenir que l'aire d'un rectangle est le produit de la longueur par la largeur, on peut retenir: A=L × l

3 Résoudre un problème en désignant une inconnue

Paul a 6 billes de plus que pierre, soit le triple. Combien Pierre a-t-il de billes?

Soit n le nombre de billes de Pierre, il s'agit de résoudre l'équation:

n+6=3n

soit: 6=2n et n=3

Pierre a donc 3 billes (et Pierre en a 9)

4 A exprimer une valeur "variable", exprimer "en fonction de"

ABCD est un carré de 4 cm de côté, E un point du segment [AB].

On pose AE= x

Exprimer l'aire du rectangle EBCF en fonction de x

fig1

On a :
EB = FC=4-x
d' où l'aire du rectangle EBCF:
a = 4(4-x)=16-4x

II Développements

La distributivité

La formule :

k(a+b)=ka + kb

nous montre la méthode pour développer un produit qu'il soit littéral ou non:

La distributivité double

une nouvelle formule à connaître :

(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd

démonstration:

(a+b)(c+d)=(a+b)c + (a+b)d (en utilisant une fois la distributivité simple)

(a+b)(c+d)=ac + bc +ad +bd (en l'utilisant deux fois)

Exemples typiques

A Exemple 1

Développez l'expression E=(2+3x)+(3-2x)

E=1×(2+3x)+1×(3-2x)

E=1×2+1×3x+1×3+1×(-2x)

E=2+3x+3-2x

E=x+5

Propriété:

On peut enlever des parenthèses si elles sont précédées du signe +

On aurait donc pu écrire de suite:

E = 2 + 3x + 3 - 2x etc..

B Exemple 2

Développez l'expression E=(2+3x)-(3-2x)

E=1×(2+3x)-1×(3-2x)

E=1×2+1×3x+(-1)×3+(-1)×(-2x)

E=2+3x-3+2x

E=5x-1

Propriété:

On peut enlever des parenthèses si elles sont précédées du signe - si on change tous les signes à l'intérieur de cette parenthèse

On aurait donc pu écrire de suite:

E = 2 + 3x - 3 + 2x

etc..

Instructions officielles

Contenu

Compétences

Exemples d'activité, commentaires

A cette occasion, le test d'une égalité par substitution de valeurs numériques aux lettres prend tout son intérêt. Le travail proposé s'articule autour de trois axes:

La transformation d'une expression littérale s'appuie nécessairement sur la reconnaissance de sa structure (somme, produit) et l'identification des termes ou des facteurs qui y figurent.

L'attention de l'élève sera attirée sur les formes réduites visées du type

ax + b ou ax2 + bx + c.

Les situations proposées doivent exclure tout type de virtuosité et répondre à chaque fois à un objectif précis (résolution d'une équation, gestion d'un calcul numérique, établissement d'un résultat général). En particulier, les expressions à plusieurs variables introduites a priori sont évitées.

Les activités de développement prolongent celles qui sont pratiquées en classe de cinquième à partir de l'utilisation de l'identité
k(a + b) = ka + kb.

Le développement de certaines expressions du type
(a + b) (c + d)
peut conduire à des simplifications d'écriture ou de calcul, mais les identités remarquables ne sont pas au programme.

L'objectif reste de développer pas à pas l'expression puis de réduire l'expression obtenue.

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