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Ce n'est pas parce que l'homme a soif d'amour qu'il doit se jeter sur la première gourde.
Pierre Desproges (sur mon T shirt!)
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Une expression littérale est une expression qui contient une ou plusieurs lettres.
Par exemple la distributivité, vue en 5e : k(a+b) = ka + kb.
Plutôt que « l’aire d’un rectangle est le produit de la longueur par la largeur », on retient A = L × l.
Paul a 6 billes de plus que Pierre, et il en a le triple. Combien Pierre en a-t-il ? On note n le nombre de billes de Pierre et on résout :
n + 6 = 3n
6 = 2n
n = 3
Pierre a donc 3 billes (et Paul en a 9).
ABCD est un carré de 4 cm de côté, E un point de [AB] avec AE = x. Exprimons l’aire du rectangle EBCF en fonction de x.
Comme EB = FC = 4 − x :
aire = 4(4 − x) = 16 − 4x
Pour tous les nombres k, a et b : k(a + b) = ka + kb k(a − b) = ka − kb
10(5 + 3) = 50 + 30
2(8 − x) = 16 − 2x
On peut supprimer des parenthèses précédées d’un « + » sans rien changer ; précédées d’un « − », on change tous les signes à l’intérieur.
Exemple 1. E = (2 + 3x) + (3 − 2x).
E = 2 + 3x + 3 − 2x = x + 5
Exemple 2. E = (2 + 3x) − (3 − 2x).
E = 2 + 3x − 3 + 2x = 5x − 1
Pour tous les nombres a, b, c et d : (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Démonstration (en appliquant deux fois la distributivité simple) :
(a + b)(c + d) = (a + b)c + (a + b)d = ac + bc + ad + bd
Exemple.
(x + 2)(x + 3) = x2 + 3x + 2x + 6 = x2 + 5x + 6
Factoriser, c’est l’opération inverse de développer : transformer une somme en un produit, en mettant en évidence un facteur commun.
Pour tous les nombres k, a et b : ka + kb = k(a + b).
7x + 7 × 3 = 7(x + 3)
5x2 + 10x = 5x(x + 2)
Le facteur commun peut être une parenthèse.
(x + 1) × 4 + (x + 1) × 2 = (x + 1)(4 + 2) = 6(x + 1)
A cette occasion, le test d'une égalité par substitution de valeurs numériques aux lettres prend tout son intérêt. Le travail proposé s'articule autour de trois axes:
La transformation d'une expression littérale s'appuie nécessairement sur la reconnaissance de sa structure (somme, produit) et l'identification des termes ou des facteurs qui y figurent.
L'attention de l'élève sera attirée sur les formes réduites visées du type
ax + b ou ax2 + bx + c.Les situations proposées doivent exclure tout type de virtuosité et répondre à chaque fois à un objectif précis (résolution d'une équation, gestion d'un calcul numérique, établissement d'un résultat général). En particulier, les expressions à plusieurs variables introduites a priori sont évitées.
Les activités de développement prolongent celles qui sont pratiquées en classe de cinquième à partir de l'utilisation de l'identité
k(a + b) = ka + kb.
Le développement de certaines expressions du type
(a + b) (c + d)
peut conduire à des simplifications d'écriture ou de calcul, mais les identités remarquables ne
sont pas au programme.
L'objectif reste de développer pas à pas l'expression puis de réduire l'expression obtenue.
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