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Le chemin le plus court d'un point à un autre est la ligne droite, à condition que les deux points soient bien en face l'un de l'autre.
Pierre Dac (Nouveau design!)
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Dans le triangle ABC, M est un point de [AB] et N un point de [AC]. Si les droites (MN) et (BC) sont parallèles, alors les longueurs des côtés sont proportionnelles : AMABAM/AB = ANACAN/AC = MNBCMN/BC
Ces égalités permettent de calculer une longueur manquante.
Dans le triangle ABC, M appartient à [AB], N à [AC], et (MN) // (BC). On donne AM = 2, AB = 3 et AN = 4 (en cm). Calculons AC.
D’après le théorème de Thalès :
AMABAM/AB = ANACAN/AC
232/3 = 4AC4/AC
Par le produit en croix, 2 × AC = 3 × 4, donc :
AC = 3 × 423 × 4/2 = 12212/2 = 6 cm
On rédige toujours en trois temps : on cite la configuration (points et parallélisme), on écrit les quotients égaux, puis on résout (souvent par un produit en croix).
Triangles déterminés par deux droites parallèles coupant deux sécantes.
Dans un triangle ABC, si M est un point du côté [AB], N un point du côté [AC] et si [MN] est parallèle à [BC], alors :
L'égalité des trois rapports sera admise après d'éventuelles études dans des cas particuliers. Elle s'étend bien sûr au cas où M et N appartiennent respectivement aux demi-droites [AB) et [AC), mais on n'examinera pas le cas où les demi-droites [AM) et [AB), de même que les demi-droites [AN) et [AC), sont opposées.
Le théorème de Thalès dans toute sa généralité ainsi que sa réciproque seront étudiés en classe de 3e.
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Exemples : PYTH0123, PMDE161842, SOMP0042.