site2wouf.fr : Autour de Thalès

J'ai essayé de passer ma vie à comprendre pourquoi la haute culture n'a pas pu enrayer la barbarie.

George Steiner

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💡 Principe, Objectifs et méthodes

📐 Principe des exercices

Ces exercices sur le théorème de Thalès sont conçus pour le Cycle 4 (4ème, 3ème) et couvrent les trois utilisations : calculer une longueur (théorème direct), démontrer que deux droites sont parallèles (réciproque), démontrer qu'elles ne le sont pas (contraposée). Chaque fiche propose 6 exercices variés avec deux configurations (triangle et papillon).

🔺 Structure des 6 exercices

  • 1-3. Configuration triangle : les trois exercices, dans un ordre tiré au hasard, proposent un calcul de longueurs (théorème direct), une réciproque (droites parallèles) et une contraposée (droites non parallèles)
  • 4-6. Configuration papillon : les mêmes trois types, à nouveau dans un ordre tiré au hasard

Chaque énoncé comporte une donnée inutile : le repérage des longueurs réellement utiles fait partie du travail.

Formule de Thalès :

Si (AB) // (CD), alors OA/OC = OB/OD = AB/CD
Réciproque : Si O, A, C alignés ET O, B, D alignés dans le même ordre, et si les deux rapports portés par les sécantes sont égaux (OA/OC = OB/OD), alors (AB) // (CD). Le troisième rapport AB/CD n'intervient pas dans cette réciproque.

🎯 Objectifs pédagogiques

  • → Identifier configuration : Triangle ou papillon
  • → Écrire rapports : OA/OC = OB/OD = AB/CD
  • → Calculer longueur : Produit en croix
  • → Réciproque : Vérifier si droites //
  • → Rédaction : Justifier rigoureusement
  • → Proportionnalité : Rapports égaux

💡 Méthodes détaillées

🔺 Configuration triangle

Situation : Points A, M, B alignés et A, N, C alignés

  • Identifier le sommet commun (point A)
  • Les droites (MN) et (BC) sont // ou à vérifier
  • Écrire : AM/AB = AN/AC = MN/BC

🦋 Configuration papillon

Situation : Points A, O, B alignés et C, O, D alignés

  • Identifier le point central (point O)
  • Les droites (AC) et (BD) sont // ou à vérifier
  • Écrire : OA/OB = OC/OD = AC/BD

📏 Calculer une longueur (Thalès direct)

On sait que les droites sont parallèles

  1. Identifier la configuration
  2. Écrire les trois rapports égaux
  3. Choisir les deux rapports contenant l'inconnue
  4. Faire un produit en croix
  5. Calculer et conclure

Exemple : A, M, B alignés, A, N, C alignés, (MN) // (BC), avec AM = 4 cm, AB = 10 cm, AC = 12,5 cm et BC = 15 cm. Calculer MN et AN.
D'après le théorème de Thalès : AM/AB = AN/AC = MN/BC
soit 4/10 = AN/12,5 = MN/15
Produit en croix sur 4/10 = MN/15 : MN = (15 × 4) / 10 = 6 cm
Produit en croix sur 4/10 = AN/12,5 : AN = (12,5 × 4) / 10 = 5 cm

✅ Réciproque de Thalès

Vérifier si deux droites sont parallèles

  1. Identifier la configuration
  2. VÉRIFIER que les points sont alignés dans le même ordre (ex: A, M, B et A, N, C)
  3. Calculer les deux rapports portés par les sécantes : AM/AB et AN/AC (jamais MN/BC !)
  4. Comparer les valeurs avec précision
  5. Si égaux ET même ordre : les droites sont // (réciproque de Thalès)
  6. Si différents : les droites ne sont PAS // (contraposée du théorème de Thalès)

Exemple : JD = 5,8 cm, JN = 11,02 cm, JT = 10,4 cm, JL = 19,76 cm
Vérification alignement : J, D, N alignés ET J, T, L alignés (même ordre ✓)
Les deux rapports portés par les sécantes sont JD/JN et JT/JL. On les compare par produits en croix, et non sur des valeurs arrondies :
5,8 × 19,76 = 114,608  et  11,02 × 10,4 = 114,608
Donc JD/JN = JT/JL, et les points sont alignés dans le même ordre → (DT) // (NL) par réciproque de Thalès.
Le rapport DT/NL n'est pas utilisé ici : il n'est connu qu'après cette conclusion.

💡 Astuce pro : Pour la réciproque, deux conditions OBLIGATOIRES : 1) Vérifier que les points sont alignés dans le même ordre (ex: A, M, B et A, N, C - pas A, B, M !). 2) Comparer les deux rapports portés par les sécantes : AM/AB et AN/AC. S'ils sont égaux, alors les droites sont parallèles (réciproque de Thalès), et le troisième rapport MN/BC leur devient automatiquement égal.
⚠️ L'erreur classique consiste à conclure à partir de MN/BC, par exemple depuis AM/AB = MN/BC : ce rapport est une conséquence du parallélisme, jamais une hypothèse. Contre-exemple : dans un repère, avec A(0 ; 0), B(8 ; 0), C(3 ; 3), M(4 ; 0) et N(2,5 ; 2,5), les points sont bien alignés dans le même ordre et AM/AB = MN/BC = 1/2 (car BC = √34 et MN = √34/2), pourtant AN/AC = 5/6 et les droites (MN) et (BC) ne sont pas parallèles.

🧮 Le théorème de Thalès

Le théorème de Thalès établit un lien entre parallélisme et proportionnalité. Il permet de calculer des longueurs dans des figures avec droites parallèles, et sa réciproque permet de vérifier si des droites sont parallèles. C'est un outil fondamental en géométrie pour les triangles emboîtés !

🖨 Support imprimable

Un lien de téléchargement au format PDF est proposé pour permettre le travail sur papier avec corrections détaillées.

📢 Valorisation et diffusion

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Activité n°
lundi 17 août 2026 (Aujourd'hui)

À vous de jouer !

Exercice 1

Layer 1 F N R B G

Dans la figure ci-dessus, les points N,B et R sont alignés, les points N,G et F sont alignés, et on sait que :

  • NB = 9,6 cm
  • NR = 61,44 cm
  • NG = 11,4 cm
  • NF = 72,96 cm
  • RF = 35,2 cm

Les droites (BG) et (RF) sont-elles parallèles ? Justifier.

Exercice 2

Layer 1 B C J M G

Dans la figure ci-dessus, les points C,M et J sont alignés, les points C,G et B sont alignés, et on sait que :

  • (MG) // (JB)
  • CM = 10,1 cm
  • CG = 11 cm
  • CB = 19,8 cm
  • JB = 9,18 cm

Calculer CJ et MG.

Exercice 3

Layer 1 F K M B H

Dans la figure ci-dessus, les points K,B et M sont alignés, les points K,H et F sont alignés, et on sait que :

  • KB = 12 cm
  • KH = 15,8 cm
  • KF = 25,28 cm
  • BH = 5,73 cm
  • MF = 9,12 cm

Les droites (BH) et (MF) sont-elles parallèles ? Justifier.

Exercice 4

Layer 1 N K C F B

Dans la figure ci-dessus, les points K,F et C sont alignés, les points K,B et N sont alignés, et on sait que :

  • (FB) // (CN)
  • KF = 3,5 cm
  • KC = 18,9 cm
  • KN = 22,14 cm
  • FB = 1,2 cm

Calculer KB et CN.

Exercice 5

Layer 1 L T K D H

Dans la figure ci-dessus, les points T,D et K sont alignés, les points T,H et L sont alignés, et on sait que :

  • TK = 63,72 cm
  • TH = 11,5 cm
  • TL = 67,85 cm
  • DH = 2,11 cm
  • KL = 12,39 cm

Les droites (DH) et (KL) sont-elles parallèles ? Justifier.

Exercice 6

Layer 1 S F L R J

Dans la figure ci-dessus, les points F,R et L sont alignés, les points F,J et S sont alignés, et on sait que :

  • FR = 11,2 cm
  • FL = 63,84 cm
  • FJ = 11,5 cm
  • FS = 65,55 cm
  • LS = 9,69 cm

Les droites (RJ) et (LS) sont-elles parallèles ? Justifier.

📄 Voir la correction de l'activité du jour

📐 Catalogue complet : 401 exercices Thalès

Explorez l'intégralité de notre collection d'exercices sur le théorème de Thalès pour le Cycle 4 (4ème, 3ème), structurés selon le calendrier de l'année civile. Chaque fiche propose 6 exercices complémentaires :

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400

📍 Vous consultez actuellement l'exercice n°229

📚 À propos de cette collection

Ces 401 exercices sur le théorème de Thalès sont conçus pour le Cycle 4 (4ème, 3ème) et couvrent toutes les utilisations. Chaque fiche propose 6 exercices variés couvrant les trois usages : calculer des longueurs avec le théorème direct (droites parallèles données), démontrer que deux droites sont parallèles avec la réciproque, et démontrer qu'elles ne le sont pas avec la contraposée.

Ces exercices développent particulièrement la reconnaissance des deux configurations (triangle et papillon), l'écriture des rapports égaux (AM/AB = AN/AC = MN/BC), le calcul par produit en croix, et l'utilisation de la réciproque pour prouver le parallélisme.

Chaque fiche est accompagnée d'une correction complète au format PDF.

💡 Formule de Thalès : Si (AB) // (CD), alors OA/OC = OB/OD = AB/CD. Les trois rapports sont égaux. On utilise deux rapports pour calculer une longueur inconnue (produit en croix). Cette égalité de rapports exprime la proportionnalité créée par les droites parallèles !

🎓 Utilisation pédagogique : Ces exercices sont parfaits pour introduire Thalès, en entraînement régulier, en révision avant évaluation, ou comme application du cours. Les 6 exercices par fiche permettent de travailler les deux configurations et les deux utilisations (direct et réciproque). Idéal pour automatiser la méthode !

🔺 Configuration triangle : Points A, M, B alignés et A, N, C alignés. Le sommet commun est A. Si (MN) // (BC), alors AM/AB = AN/AC = MN/BC. C'est la configuration classique avec un sommet et deux côtés qui "s'ouvrent". Attention à bien identifier le sommet commun !

✅ Réciproque de Thalès : Pour démontrer que deux droites sont parallèles, DEUX CONDITIONS OBLIGATOIRES : 1) Les points doivent être alignés dans le même ordre (ex: A, M, B et A, N, C - pas A, B, M !). 2) Comparer les deux rapports portés par les sécantes, et eux seuls : AM/AB et AN/AC. S'ils sont égaux ET dans le même ordre, alors (MN) // (BC) par réciproque de Thalès. ⚠️ Le rapport MN/BC ne s'utilise jamais dans la réciproque : c'est une conséquence du parallélisme, pas une hypothèse. On peut très bien avoir AM/AB = MN/BC avec des droites qui ne sont pas parallèles. Ce n'est qu'une fois le parallélisme démontré que le théorème direct donne MN/BC égal aux deux autres.

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