Proportionnalité

I. Définitions

A. Grandeur

Une grandeur est une caractéristique d'un objet qui se mesure ou se calcule, comme par exemple la masse, la longueur, l'aire, le volume, l'angle, la durée, la vitesse, le prix, le prix au kilo…

Elle est exprimée dans une unité, comme par exemple le dg, le cm, le km² ,le cm³, le degré , le km/h ou l'euro

B. Grandeurs proportionnelles

On dit que deux grandeurs sont proportionnelles lorsque les valeurs de l'une sont obtenues en multipliant les valeurs de l'autre par un même nombre non nul, appelé coefficient de proportionnalité.

Les quantités utilisées en cuisine sont très souvent proportionnelles au nombre de convives.

C. Tableau de proportionnalité.

Quand ces valeurs proportionnelles sont rangée dans un tableau on dit que c'est un tableau de proportionnalité.

On fait des crêpes ?

Vérifions qu'on passe des grandeurs de la première ligne en multipliant par 65

Compléter un tableau de proportionnalité.

A. Avec le coefficient de proportionnalité

Une fois qu'on a ce coefficient, le problème est facile (voir l'exemple ci dessus.)

Si on ne l'a pas mais qu'on a un "pont" entre les deux lignes, c'est à dire une colonne où on connaît les deux grandeurs alors un simple quotient nous le donne:

1302130/2 = 65

Exemple compléter ce tableau de proportionnalité

Solution :

727/2 = 3,5

Le coefficient de proportionnalié est 3,5 et le dernier nombre est 10 × 3,5 = 35.

B. Par passage à l'unité.

Reprenons notre exemple des crêpes : Sachant que pour deux personnes il faut 130g de farine il faut

1302130/2 = 65g pour une personne.

Il suffit de multiplier ensuite par le nombre de personnes désiré.

Remarque :

Le passage à l'unité nous donne aussi le coefficient de proportionnalité !

C. Par propriétés des tableaux de proportionnalité:

Dans un tableau de proportionnalité, on peut :

• Multiplier une colonne par un nombre.
• Diviser une colonne par un nombre non nul.
• Ajouter deux colonnes.
• Soustraire deux colonnes.

D'autres exemples en exercices et activités.

III. Représenter une situation

A. L'expression « en fonction de »

Quand une grandeur dépend d'une autre, on dit qu'on l'étudie en fonction de cette autre grandeur.

Des tomates sont vendues 3 € le kilogramme. Le prix à payer dépend de la masse achetée : on étudie donc le prix en fonction de la masse.

B. Le tableau de valeurs

On organise les valeurs dans un tableau de valeurs : la grandeur dont tout dépend (ici la masse) va sur la première ligne.

Ici, le prix s'obtient par la formule : prix = 3 × masse.

C. Du tableau au graphique

Chaque colonne du tableau donne un point : la masse se lit en abscisse, le prix en ordonnée. Le couple (2 ; 6) donne le point d'abscisse 2 et d'ordonnée 6. On place ainsi les quatre points dans un repère.

D. Reconnaître la proportionnalité sur un graphique

Une situation est une situation de proportionnalité lorsque les points sont alignés et que la droite qui les porte passe par l'origine du repère.

Sur le graphique précédent, les quatre points sont alignés avec l'origine : le prix est bien proportionnel à la masse. Le coefficient de proportionnalité, 3, se lit d'ailleurs sur le point d'abscisse 1.

E. Un contre-exemple

Un vélo se loue 5 € (frais de dossier), puis 2 € par heure.

Les points sont bien alignés… mais la droite ne passe pas par l'origine : ce n'est pas une situation de proportionnalité. Le tableau le confirme : 7 : 1 = 7 alors que 9 : 2 = 4,5 — il n'y a pas de coefficient de proportionnalité.

Attention, c'est le piège classique : des points alignés ne suffisent pas ! Il faut aussi que la droite passe par l'origine. Et si les points ne sont pas alignés du tout, la situation n'est pas proportionnelle non plus.

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