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Ce n'est pas pour s'amuser qu'il joue aux échecs : il célèbre un culte.
Vladimir Nabokov
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Ces deux opérations ont été étudiées en 5e. En bref :
deux relatifs de même signe : on ajoute les distances à zéro et on garde le signe commun ;
deux relatifs de signes différents : on soustrait les distances à zéro et on garde le signe du terme le plus éloigné de zéro ;
soustraire, c’est ajouter l’opposé : a − b = a + (−b).
La multiplication est l’opération qui permet de calculer le produit de deux nombres. Ces nombres sont les facteurs du produit.
Le produit de deux nombres relatifs a pour distance à zéro le produit des distances à zéro. Son signe est donné par la règle des signes :
deux facteurs de même signe : le produit est positif ;
deux facteurs de signes différents : le produit est négatif.
| × | + | − |
|---|---|---|
| + | + | − |
| − | − | + |
(−4) × (−2) = +8
(+4) × (+2) = +8
(+4) × (−2) = −8
(−4) × (+2) = −8
Multiplier un nombre par (−1) revient à prendre son opposé : (−1) × 5 = −5 et (−6) × (−1) = +6.
On peut le justifier avec des règles déjà connues. Comme 2 + (−2) = 0, multiplions par (−3) :
(−3) × (2 + (−2)) = (−3) × 0 = 0
(−3) × 2 + (−3) × (−2) = 0
−6 + (−3) × (−2) = 0
Pour que la somme soit nulle, il faut donc (−3) × (−2) = +6 : le produit de deux nombres négatifs est bien positif.
Le signe d’un produit de plusieurs facteurs dépend de la parité du nombre de facteurs négatifs :
un nombre pair de facteurs négatifs : produit positif ;
un nombre impair de facteurs négatifs : produit négatif.
(−2) × (−5) × (−3) = −30 (3 facteurs négatifs : impair)
(−2) × (−5) × (+3) = +30 (2 facteurs négatifs : pair)
La division est l’opération qui permet de calculer le quotient de deux nombres.
Le quotient de deux nombres relatifs a pour distance à zéro le quotient des distances à zéro. Pour le signe, la règle est la même que pour le produit.
(−12) ÷ (−4) = +3
(+12) ÷ (−4) = −3
(−12) ÷ (+4) = −3
On applique les priorités habituelles (parenthèses, puis multiplications et divisions, puis additions et soustractions), en soignant les signes.
(−3) × (−4) + (−5) × 2 = (+12) + (−10) = +2
Opérations (+, -, x,:) sur les nombres relatifs en écriture décimale ou fractionnaire (non nécessairement simplifiée).
Sur des exemples numériques, écrire en utilisant correctement des parenthèses, des programmes de calcul portant sur des sommes ou des produits de nombres relatifs. Organiser et effectuer à la main ou à la calculatrice les séquences de calcul correspondantes.
Toute étude théorique des propriétés des opérations est exclue.
Les élèves ont la pratique de l'utilisation de la multiplication des nombres positifs en écriture décimale ou fractionnaire. En s'appuyant sur ces connaissances, les opérations seront étendues au cas des nombres relatifs. Les justifications pourront être limitées à l'observation de l'extension de tables de multiplication ou à la généralisation de règles provenant de l'addition de nombres (par exemple 3x (-2) = -2-2-2 = -6), en admettant les résultats dans les autres cas.
À la suite du travail commencé en 5 e avec des nombres décimaux positifs, les élèves seront entraînés aux mêmes types de calculs avec des nombres relatifs. Ils seront ainsi progressivement familiarisés à l'usage des priorités opératoires intervenant dans les conventions usuelles d'écritures ainsi qu'à la gestion d'un programme de calcul utilisant des parenthèses.
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