On peut courir deux lièvres à la fois, si, et seulement si, ils courent côte à côte.
Arithmétique
Ce sont les nombres que l'on peut compter sur ses doigts.
ex : 0 ; 1 ; 2 ...
Ce sont les entiers naturels et leurs opposés.
ex : ... ; -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ...
Ce sont les résultats des divisions de 2 nombres entiers relatifs.
Si la division tombe juste, on les appelle aussi " décimaux ".
ex : = 0,5
Certains rationnels sont négatifs.
ex :-2/3 = -0,66666...
ex : ,
a et k étant deux entiers naturels tel que k soit différent de 0. Lorsque a/k est un entier naturel, on dit que k est un diviseur de a. (c'est à dire quand le reste de la division euclidienne de a par k est zéro)
(On dit aussi que a est un multiple de k, ou encore que a est divisible par k)
Exemples : 18 = 2 x 9
2 est un diviseur de 18.
9 est un autre diviseur de 18.
Si deux entiers naturels a et b sont divisibles par un même entier naturel k, on dit que k est un diviseur commun de a et b.
Exemple :
36=12x3 et 24=12x2, donc 12 est un diviseur de 36 et 24.
36=8x4,5 et 24=8x3, donc 8 n'est pas un diviseur commun de 36 et 24 car il ne divise pas 36.
Remarque : 1 est un diviseur commun à tous les nombres.
si a et b désignent deux nombres entiers relatifs, on note PGCD(a ; b) le plus grand des diviseurs positifs communs à a et b.
Exemple :
La liste des diviseurs de 24 est :
{ 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12; 24}
La liste des diviseurs de 36 est :
{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 9 ;12 ; 18 ; 36.}
24 et 36 ont 6 diviseurs communs :
{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12.}
Le plus grand d'entre eux est 12, c'est le plus grand diviseur commun de 24 et 36. On note PGCD(24 ; 36) = PGCD(36 ;24) = 12.
Pour déterminer PGCD(295 ; 177), on effectue les soustractions successives :
Le plus grand diviseur commun est le dernier reste non nul dans la succession des différences de l'algorithme.
Pour déterminer PGCD(252 ; 360) :
Le plus grand diviseur commun est le dernier reste non nul dans la succession des divisions euclidiennes de l'algorithme d'Euclide.(ici 36)
On dit que deux nombres a et b sont premiers entre eux lorsque leur plus grand diviseur commun est égal à 1.
1) 10 et 7 sont premiers entre eux ; en effet :
les diviseurs positifs de 10 sont 1, 2, 5 et 10,
les diviseurs positifs de 7 sont 1 et 7,
donc PGCD(10 ; 7) = 1 et 10 et 7 sont premiers entre eux.
2) 221 et 69 sont premiers entre eux ; en effet, en appliquant l'algorithme d'Euclide,
donc PGCD(221 ; 69) = 1.
On dit qu'une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux.
Exemples : PGCD(10 ; 7) = 1 donc 10/7 est une fraction est irréductible.
Lorsque l'on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
Exemples :
On sait que PGCD(252 ; 360) = 36 donc : ....... = est une fraction irréductible.
Déterminer si deux entiers donnés sont premiers entre eux.
Savoir qu'une fraction est dite irréductible si son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux.
Simplifier une fraction donnée pour la rendre irréductible.
Cette partie d'arithmétique permet une première synthèse sur les nombres, intéressante tant du point de vue de l'histoire des mathématiques que pour la culture générale des élèves.
Depuis la classe de cinquième, les élèves ont pris l'habitude de simplifier les écritures fractionnaires : la factorisation du numérateur et du dénominateur se fait grâce aux critères de divisibilité et à la pratique du calcul mental. Reste à savoir si la fraction obtenue est irréductible ou non.
On remarque que la somme et la différence de 2 multiples d'un nombre entier sont eux-mêmes multiples de cet entier. On construit alors un algorithme, celui d'Euclide ou un autre, qui donnant le PGCD de 2 nombres entiers, permet de répondre à la question dans tous les cas.
Les activités proposées ne nécessitent donc pas le recours aux nombres premiers. Les tableurs et logiciels de calcul formel peuvent, sur ce sujet, être exploités avec profit.A côté des nombres rationnels, on rencontre au collège des nombres irrationnels comme pi et racine de 2 . On pourra éventuellement démontrer l'irrationalité de racine de 2 . Une telle étude peut également mise à profit pour bien distinguer le calcul exact et le calcul approché.
Ce logiciel aborde l'essentiel des notions de mathématiques de la classe de 3ème. Monoposte : 29,00 €
Cahier d'exercices iParcours MATHS 3e (éd. 2017)
Ce cahier propose un grand choix d'exercices, des mises en situation variées, des activités numériques, et des exercices d’algorithmique et de programmation... Le cahier : 5,40 €
Manuel iParcours Maths 3ème (Cycle 4)
Un manuel de cycle 4, conforme au programme 2016, pour la classe de 3ème. Le manuel : 14,95 €
Un manuel de mathématiques de l'association Sésamath pour les classes de 3e (édition 2012). Prix du produit : 11,80 €
Calculator permet le calcul détaillé du pgcd de deux entiers
Exemples de sources Python, pour le calcul du pgcd d'une liste de nombres entiers
Cette leçon au format word (.zip)
Cette leçon au format PDF (Adobe Acrobat Reader)
Cette leçon au format Open office
Lorsqu'il s'agit de représenter des objets en trois dimensions de manière précise, la perspective cavalière est une technique incontournable en géométrie. Inkscape, le logiciel de dessin vectoriel libre et open-source, se révèle être un allié exceptionnel pour créer des illustrations en perspective cavalière de manière simple et efficace.
La perspective cavalière est une technique de représentation graphique qui permet de dessiner des objets tridimensionnels sur une surface bidimensionnelle de manière réaliste. Elle est largement utilisée en ingénierie, en architecture et dans d'autres domaines où une représentation précise des objets en trois dimensions est essentielle.
Dans la perspective cavalière, les objets conservent leurs angles droits et parallèles dans les deux premières dimensions, tandis que la troisième dimension est représentée de manière inclinée. Cette approche donne une impression de profondeur et de réalisme sans sacrifier la simplicité de la représentation.
Inkscape, en tant que logiciel de dessin vectoriel, offre une gamme complète d'outils pour créer des illustrations en perspective cavalière. Voici quelques étapes simples pour commencer :
Ouvrez Inkscape et créez une nouvelle toile pour votre dessin. Allez dans "Fichier" > "Nouveau" et définissez les dimensions de votre toile en fonction de vos besoins.
Inkscape dispose d'un outil de perspective qui facilite la création d'objets en trois dimensions. Sélectionnez l'outil de perspective dans la barre latérale, puis cliquez et faites glisser pour définir la direction de la perspective.
Utilisez les outils de dessin disponibles pour créer vos objets en perspective cavalière. Inkscape permet de dessiner des lignes, des formes, et d'ajouter du texte, ce qui est idéal pour représenter des concepts géométriques complexes.
Inkscape offre également des options de personnalisation avancées. Vous pouvez ajuster les couleurs, ajouter des dégradés, et expérimenter avec les ombres pour donner à votre illustration un aspect professionnel.
Inkscape se révèle être un outil puissant pour représenter des objets en perspective cavalière en géométrie. Son interface conviviale et ses fonctionnalités avancées en font un choix idéal pour les professionnels et les amateurs cherchant à donner vie à leurs concepts géométriques.
Que vous soyez un étudiant en mathématiques cherchant à illustrer des concepts complexes ou un professionnel de l'architecture travaillant sur des plans détaillés, Inkscape peut vous accompagner dans la création d'illustrations en perspective cavalière avec facilité et précision.
N'hésitez pas à explorer les nombreuses fonctionnalités d'Inkscape pour découvrir tout son potentiel dans le domaine de la représentation graphique en géométrie.
lien vers l'article sur wouf blog