Triangles et angles

I. Angles et activité

A. Les différents types d'angles

	Angle nul	Angle aigu	Angle droit	Angle obtus	Angle plat
Figure :
Mesure :	0°	Entre 0° et 90°	90°	Entre 90° et 180°	180°
Remarques :	A, O et B sont alignés	Plus petit qu'un "droit"	(OA) et (OB) sont perpendiculaires	Plus grand qu'un "droit"	A, O et B sont alignés Et O est entre A et B

Tableau en vectoriel (zoomer sans déformation)

B. Activité

Tracer un triangle dans le cahier d'exercices tel que deux de ses angles soient obtus.

Bilan.

Et oui, c'est impossible. Pourquoi ?

Débat

II. La somme des angles d'un triangle

A Propriété.

La somme des angles d'un triangle est égale à 180°.

$$\widehat A +\widehat B +\widehat C = 180° $$

(Démonstration plus tard dans la progression, après avoir vu la symétrie centrale)

B. Conséquence.

Il est donc évident que l'activité proposée avant était vouée à l'échec ! Un triangle avec deux angles obtus n'existe pas ! La somme de leurs mesures serait déjà supérieure à 180°!

III. Exemples de calcul d'angles dans quelques triangles :

A. Dans un triangle quelconque

A. Dans un triangle quelconque, si on connaît deux angles, on peut en déduire le troisième :

Dans le schéma ci-dessus (les mesures d'angles ne sont pas respectées) la somme des angles est 180°

$$\widehat A +\widehat B +\widehat C = 180° $$ $$41° +68° +\widehat C = 180° $$ $$109°+\widehat C = 180° $$ $$\widehat C = 180° - 109° $$ $$\boxed {\widehat C = 71°} $$

B. Dans un triangle rectangle.

1. Exercice classique

ABC est un triangle rectangle en A tel que \( \widehat {ABC} = 54° \). Après avoir fait un schéma, calculer \( \widehat {BCA} \).

2. Correction :

Dans le schéma ci-dessus (les mesures d'angles ne sont pas respectées) la somme des angles est 180°

$$\widehat A +\widehat B +\widehat C = 180° $$ $$90° +54° +\widehat C = 180° $$ $$144°+\widehat C = 180° $$ $$\widehat C = 180° - 144° $$ $$\boxed {\widehat C = 36°} $$

3. Remarque

a. Définition

On appelle angles complémentaires deux angles dont la somme est 90°.

b. propriété

Dans un triangle rectangle les angles aigus sont complémentaires.

c. Méthode alternative

$$\widehat B +\widehat C = 90°$$ $$54° +\widehat C = 90°$$ $$\widehat C = 90° - 54° $$ $$\boxed {\widehat C = 36°} $$

C. Dans un triangle isocèle

1. Un peu de vocabulaire.

On appelle triangle isocèle un triangle qui a deux côtés égaux. Le point A est l'intersection de ces deux côtés égaux : c'est le sommet principal.. Les angles des deux autres sommets sont appelés angles de base.

Dans un triangle isocèle les angles de base sont égaux.

$$\widehat {ABC} = \widehat {ACB} $$

2. Quand on connaît l'un des angles de base...

Dans le triangle DEF isocèle en D, les angles de base sont égaux :

$$\boxed {\widehat {DEF} = \widehat {DFE} = 65°} $$

La somme des angles est 180°

$$\widehat {DEF} + \widehat {DFE} + \widehat{EDF} = 180°$$ $$65° + 65° +\widehat{EDF} = 180°$$ $$130° +\widehat{EDF} = 180°$$ $$\widehat{EDF} = 180° - 130°$$ $$\boxed {\widehat{EDF} = 50°}$$

3. Quand on connaît l'angle du sommet principal

Dans le triangle JKL isocèle en J la somme des angle est 180°:

$$\widehat {KJL} + \widehat {JLK} + \widehat{LKJ} = 180°$$

Les angles de bases sont égaux :

$$ \widehat {JLK} = \widehat{LKJ} $$

D'où :

$$\widehat {KJL} + 2 \times \widehat {JLK} = 180°$$ $$48° + 2 \times \widehat {JLK} = 180°$$ $$ 2 \times \widehat {JLK} = 180° - 48° $$ $$ 2 \times \widehat {JLK} = 132° $$ $$ \boxed{ \widehat {JLK} = \widehat{LKJ} = \dfrac{132}{2} = 66 ° }$$

D. Le triangle rectangle isocèle.

Dans le triangle RTS rectangle et isocèle en R, les angles de base sont égaux et complémentaires :

$$ \widehat {RTS} =\widehat {RST} $$ $$ \widehat {RTS} +\widehat {RST} = 90° $$ $$ \boxed {\widehat {RTS} =\widehat {RST} = \dfrac{90°}{2} = 45°} $$

E. Le triangle équilatéral

Les trois angles du triangle équilatéral XYZ sont égaux et leur somme est 180° , d'où :

$$ \boxed {\widehat {ZXY} =\widehat {XYZ} =\widehat {YZX }= \dfrac{180°}{3} = 60°} $$

OFFICIEL :

L’élève connaît et utilise :

• le codage des figures;
• les caractérisations angulaires du parallélisme (angles alternes internes, angles correspondants) ;
• la somme des angles d’un triangle;
• l’inégalité triangulaire;
• une définition et une propriété caractéristique du parallélogramme.

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Liens

• Questions flash : somme des angles d'un triangle
• Les fiches de Tonton Cédric : G12 Angles d'un triangle

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