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Il faut que genèse se passe.
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| \(\widehat{AOB}\) | Nul | Aigu | Droit | Obtus | Plat |
|---|---|---|---|---|---|
| Figure |  |
 |
 |
 |
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| Mesure | 0° | entre 0° et 90° | 90° | entre 90° et 180° | 180° |
| Remarque | A, O, B alignés | plus petit qu’un droit | (OA) ⊥ (OB) | plus grand qu’un droit | A, O, B alignés, O entre A et B |
Quand deux droites (d) et (d') sont coupées par une troisième droite \((\Delta)\), appelée sécante, il se forme des angles qui vont nous renseigner sur le parallélisme de (d) et (d').
Deux angles alternes-internes sont situés entre les deux droites (« internes ») et de part et d’autre de la sécante (« alternes »).
Sur la figure, \(\widehat{1}\) et \(\widehat{2}\) sont alternes-internes.
Deux angles correspondants sont situés du même côté de la sécante, l’un entre les deux droites, l’autre à l’extérieur : ils occupent la même position en A et en B.
Sur la figure, \(\widehat{3}\) et \(\widehat{4}\) sont correspondants.
1. Si deux droites sont parallèles, alors les angles alternes-internes formés avec une sécante ont la même mesure. Il en va de même pour les angles correspondants.
2. Réciproque : si deux angles alternes-internes (ou deux angles correspondants) ont la même mesure, alors les deux droites sont parallèles.
La propriété 1 sert à calculer un angle quand on sait que les droites sont parallèles. La réciproque sert à démontrer que deux droites sont parallèles quand on connaît les angles.
Sur la figure, (d) et (d') sont parallèles. Calculer x.
Les droites (d) et (d') sont parallèles, et les angles de 62° et x sont alternes-internes (entre les deux droites, de part et d’autre de la sécante). D’après la propriété 1, ils ont donc la même mesure :
x = 62°
Trace, dans ton cahier d’exercices, un triangle tel que deux de ses angles soient obtus.
C’est impossible ! Pourquoi ? (À débattre.)
La somme des angles d’un triangle est égale à 180° : \[\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180°\]
Traçons la droite (d), parallèle à (BC) et passant par A.
La droite (AB) est une sécante aux deux droites parallèles (d) et (BC) : l’angle \(\widehat{B}\) du triangle et l’angle qu’il reporte en A (en bleu) sont alternes-internes, donc ils ont la même mesure.
De la même façon, (AC) est une sécante aux deux parallèles : l’angle \(\widehat{C}\) et l’angle qu’il reporte en A (en rouge) sont alternes-internes, donc ils ont la même mesure.
Or, en A, ces trois angles (bleu, noir, rouge) forment un angle plat : leur somme vaut 180°. Comme le bleu vaut \(\widehat{B}\) et le rouge \(\widehat{C}\) :
\(\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180°\)
C’est la propriété des angles alternes-internes (partie I.B) qui permet de « remonter » les deux angles de base en A, là où ils se recollent en un angle plat.
L’activité précédente était donc vouée à l’échec : un triangle avec deux angles obtus n’existe pas, car la somme de leurs mesures dépasserait déjà 180°.
Si on connaît deux angles, on en déduit le troisième.
(Les mesures d’angles ne sont pas respectées sur le schéma.) \[\begin{aligned} \widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} &= 180° \\ 41° + 68° + \widehat{C} &= 180° \\ 109° + \widehat{C} &= 180° \\ \widehat{C} &= 180° - 109° = 71° \end{aligned}\]
ABC est un triangle rectangle en A tel que \(\widehat{ABC} = 54°\). Après un schéma, calculer \(\widehat{BCA}\).
\[\begin{aligned} \widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} &= 180° \\ 90° + 54° + \widehat{C} &= 180° \\ 144° + \widehat{C} &= 180° \\ \widehat{C} &= 180° - 144° = 36° \end{aligned}\]
Deux angles sont complémentaires lorsque leur somme est 90°.
Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires.
Méthode alternative : \[\begin{aligned} \widehat{B} + \widehat{C} &= 90° \\ 54° + \widehat{C} &= 90° \\ \widehat{C} &= 90° - 54° = 36° \end{aligned}\]
Un triangle isocèle a deux côtés égaux ; leur point d’intersection est le sommet principal (ici A). Les deux autres angles sont les angles de base, et ils sont égaux : \(\widehat{ABC} = \widehat{ACB}\).
Dans le triangle DEF isocèle en D, les angles de base sont égaux : \(\widehat{DEF} = \widehat{DFE} = 65°\).
\[\begin{aligned} \widehat{DEF} + \widehat{DFE} + \widehat{EDF} &= 180° \\ 65° + 65° + \widehat{EDF} &= 180° \\ 130° + \widehat{EDF} &= 180° \\ \widehat{EDF} &= 180° - 130° = 50° \end{aligned}\]
Dans le triangle JKL isocèle en J, les angles de base sont égaux (\(\widehat{JLK} = \widehat{LKJ}\)) et \(\widehat{KJL} = 48°\).
\[\begin{aligned} \widehat{KJL} + 2 × \widehat{JLK} &= 180° \\ 48° + 2 × \widehat{JLK} &= 180° \\ 2 × \widehat{JLK} &= 132° \\ \widehat{JLK} &= \dfrac{132°}{2} = 66° \end{aligned}\]
Dans le triangle RST rectangle et isocèle en R, les angles de base sont égaux et complémentaires.
\[\begin{aligned} \widehat{RST} + \widehat{RTS} &= 90° \\ \widehat{RST} = \widehat{RTS} &= \dfrac{90°}{2} = 45° \end{aligned}\]
Les trois angles du triangle équilatéral XYZ sont égaux et leur somme vaut 180°.
\[\begin{aligned} \widehat{ZXY} = \widehat{XYZ} = \widehat{YZX} &= \dfrac{180°}{3} = 60° \end{aligned}\]
La hauteur issue de A est la droite qui passe par A et qui est perpendiculaire au côté opposé [BC]. Elle coupe (BC) en un point H, appelé le pied de la hauteur.
Les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes : elles se coupent toutes les trois en un même point.
Quand un angle du triangle est obtus, le pied de la hauteur sort du côté : il faut alors prolonger ce côté pour aller y placer l’angle droit.
La médiane issue de A est la droite qui passe par A et par le milieu M du côté opposé [BC].
Les trois médianes d’un triangle sont concourantes.
Une médiane partage le triangle en deux triangles de même aire.
M est le milieu de [BC] : la médiane [AM] découpe le triangle ABC en deux triangles, ABM et ACM. Comparons leurs aires.
Ils ont des bases de même longueur : BM = MC, puisque M est le milieu de [BC].
Ils ont la même hauteur : c’est la distance h du point A à la droite (BC), qui est la même pour les deux triangles (leurs bases sont toutes les deux portées par la droite (BC)).
En utilisant la formule de l’aire d’un triangle :
aire(ABM) = BM × h2BM × h/2 et aire(ACM) = MC × h2MC × h/2
Or BM = MC : les deux calculs donnent le même résultat. Les triangles ABM et ACM ont donc la même aire.
Programme de mathématiques du cycle 4 (arrêté du 18 février 2026), applicable en classe de cinquième à la rentrée 2026.
Domaine : Espace et géométrie.
Arrêté du 18 février 2026 (Légifrance) · Programmes et ressources — Éduscol
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Référence au programme : Programme de mathématiques du cycle 4 — cycle des approfondissements (arrêté du 18 février 2026), applicable en classe de cinquième à la rentrée 2026. Domaine : Géométrie.
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