site2wouf.fr : Triangles et quadrilatères

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Christine Albanel

TBI & CO
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Triangles et quadrilatères

I. Triangles égaux et semblables

A. Définitions

Deux triangles sont égaux s’ils sont superposables.

Cela veut dire qu’on peut poser l’un sur l’autre en le déplaçant, en le tournant ou même en le retournant pour qu’ils coïncident parfaitement.triangles égaux et retournement

On dit que deux triangles sont semblables quand leurs trois angles sont égaux deux à deux.

Les triangles suivants sont semblables :

triangles semblables

Deux triangles égaux sont semblables. Mais deux triangles semblables ne sont pas forcément égaux.

Un peu de logique

🐾 Un chien est un mammifère, mais un mammifère n'est pas forcément un chien !

B. Propriétés

Si deux triangles sont égaux alors ils sont semblables.

Pour des triangles égaux la définition signifie que leurs trois côtés et leurs trois angles sont égaux.

Deux triangles sont égaux quand ils ont un côté de même longueur et deux angles de même mesure.

Vous pouvez même démontrer, depuis la cinquième, que deux triangles qui ont deux angles égaux ont trois angles égaux ! 🤔

Si deux triangles ont deux angles égaux alors ils sont semblables.

Deux triangles sont égaux quand ils ont deux côtés de même longueur et l’angle formé par ces côtés de même mesure.

Les trois propriétés suivantes sont d'une importance capitale pour la suite de l'année !

Si deux triangles sont semblables alors l’un est l’agrandissement de l’autre.

Si deux triangles sont semblables alors l’un est la réduction de l’autre.

Si deux triangles sont semblables alors leurs côtés sont proportionnels.

C. Exercices témoin. D'après "Brevet des collèges Pondichéry 3 mai 2018 "

figure : Brevet des collèges Pondichéry 3 mai 2018

À la question 1., on a reproduit la figure en vraie grandeur.

À la question 2, on a prouvé que AH= 3, 5 cm.

3. Démontrer que les triangles ABC et HAC sont semblables.

4. Déterminer le coefficient de réduction permettant de passer du triangle ABC au triangle HAC.

3.

  • ABC est un triangle rectangle en A et HAC est rectangle en H
  • ^ACH = ^ACB est un angle commun aux deux triangles
  • Ces deux triangles ont deux angles égaux, ils sont donc semblables

4.

  • Dans ces deux triangles le dernier angle mesure 90 - 30 = 60°
  • Dans ces deux triangles semblables les côtés sont proportionnels.
  • Les côtés opposés à l'angle de 60° mesure 3,5 cm dans HAC et 7 cm dans ABC.
  • Le coefficient de réduction est donc 3,5 7 = 1 2 = 0,5

Compétence : Espace et géométrie

  • Reconnaître des situations de reproduction à l’échelle ; utiliser les propriétés des agrandissements et des réductions.
  • Utiliser les propriétés des figures semblables, notamment des triangles, pour démontrer, reproduire, ou construire.
Auto evaluation

II. Les quadrilatères

A. Définitions

Un quadrilatère est un polygone ayant quatre côtés.

Un trapèze est un quadrilatère ayant deux côtés parallèles.

Un trapèze rectangle est un trapèze ayant un angle droit (et donc deux !).

Un parallélogramme est un quadrilatère ayant des côtés opposés parallèles.

Un rectangle est un quadrilatère ayant quatre angles droits. (3 suffisent!)

Un losange est un quadrilatère dont les quatre côtés sont égaux.

Un carré est un quadrilatère rectangle et losange.

B. Propriétés du parallélogramme :

Si un quadrilatère est un parallélogramme alors :

C. Propriétés du losange :

Si un quadrilatère est un losange alors :

D. Propriétés du rectangle :

Si un quadrilatère est un rectangle alors :

E. Propriétés du carré :

Si un quadrilatère est un carré alors :

Lorsqu’on identifie une figure géométrique, il est important de justifier cette reconnaissance en précisant les propriétés utilisées : parallélisme ou égalité des côtés, nature des angles, caractéristiques des diagonales, etc.

F. Propriétés caractéristiques

Si les diagonales d’un quadrilatère se coupent en leur milieu alors c’est un parallélogramme.

Si les côtés opposés d’un quadrilatère sont parallèles alors c’est un parallélogramme.

Si les côtés opposés d’un quadrilatère sont égaux alors c’est un parallélogramme.

Si les diagonales d’un parallélogramme sont de même longueur alors c’est un rectangle.

Si un parallélogramme a un angle droit alors c’est un rectangle.

Si les diagonales d’un parallélogramme sont perpendiculaires alors c’est un losange.

Si deux côtés consécutifs d’un parallélogramme sont égaux alors c’est un losange.

Si un parallélogramme est rectangle et losange alors c’est un carré.

G. Exercice témoin d'après "Brevet des collèges Polynésie 9 septembre 2019"

Figure Brevet des collèges Polynésie 9 septembre 2019

On donne:

  • PC = PD = 1,30m
  • ED = BC = 40cm
  • E, D, P sont alignés
  • B, C, P sont alignés

2. Justifier que le quadrilatère ABPE est un carré.

2.

  • ABPE est un quadrilatère qui a 4 angles droits, c'est donc un rectangle (et par conséquent un parallélogramme.)
  • ABPE est un parallélogramme qui a deux cotés consécutifs égaux c'est donc un losange.
  • ABPE est un rectangle losange, c'est donc un carré.

Compétence : Espace et géométrie

  • Connaître et utiliser les propriétés des quadrilatères particuliers pour caractériser une figure ou démontrer qu’elle appartient à une famille.
  • Mettre en œuvre un raisonnement logique et structuré pour démontrer une propriété ou valider une construction géométrique.
Auto evaluation

La géométrie au cycle 4 : entre perception et démonstration

Au cycle 4, l’élève continue de s’appuyer sur une géométrie perçue par les sens et contrôlée par les instruments (règle, compas, équerre), mais évolue progressivement vers une approche plus rigoureuse, dans laquelle les propriétés sont validées par des raisonnements et des démonstrations. La manipulation, la construction, l’observation et la conjecture conservent leur place, mais sont désormais reliées à une argumentation structurée.

L’élève approfondit sa connaissance des figures planes (triangles, quadrilatères, cercles, polygones réguliers), et mobilise leurs propriétés géométriques et métriques dans des contextes variés. Les configurations remarquables sont introduites à partir de situations concrètes qui justifient leur étude. Les théorèmes de Pythagore (en 4e) et de Thalès (en 3e), ainsi que les rapports trigonométriques dans le triangle rectangle, sont abordés de manière progressive.

L’utilisation d’outils numériques (logiciels de géométrie dynamique, programmation, tableurs) permet d’explorer des figures, de formuler des conjectures, et d’automatiser certaines constructions. Les frises, rosaces et pavages offrent un cadre riche pour explorer les transformations géométriques (symétries, rotations, translations, agrandissements).

Attendus de fin de cycle

  • Reconnaître, nommer et décrire les figures usuelles et leurs propriétés géométriques.
  • Utiliser des propriétés pour justifier une démarche, une construction ou une conclusion.
  • Mettre en œuvre des raisonnements impliquant le théorème de Pythagore, Thalès ou la trigonométrie dans le triangle rectangle.
  • Mobiliser les transformations du plan pour démontrer ou construire des figures.

Compétences associées (Domaine « Espace et géométrie »)

  • Utiliser les instruments de géométrie et les outils numériques pour réaliser des constructions.
  • Représenter, décrire et analyser des figures géométriques planes ou spatiales.
  • Mettre en œuvre des algorithmes simples pour résoudre un problème géométrique.
  • Utiliser les transformations pour reproduire, construire ou démontrer.

Pour un approfondissement, consulter les ressources officielles : Programme de mathématiques du cycle 4 (BOEN 2015) et Ressources Eduscol pour le cycle 4.

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