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Il semble parfois que Dieu, en créant l'homme, ait quelque peu surestimé ses capacités.
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Deux triangles sont égaux s’ils sont superposables (par déplacement, rotation ou retournement). Deux triangles sont semblables lorsque leurs trois angles sont égaux deux à deux.
Deux triangles égaux sont semblables, mais deux triangles semblables ne sont pas forcément égaux (comme un chien est un mammifère, mais un mammifère n’est pas forcément un chien !).
Si deux triangles sont égaux, alors ils ont leurs trois côtés et leurs trois angles égaux. Ils sont égaux dès qu’ils ont :
un côté de même longueur et deux angles de même mesure ; ou
deux côtés de même longueur et l’angle compris égal.
Si deux triangles ont deux angles égaux, alors ils sont semblables. Si deux triangles sont semblables, alors l’un est l’agrandissement (ou la réduction) de l’autre, et leurs côtés sont proportionnels.
ABC est un triangle rectangle en A tel que \(\widehat{ABC} = 30°\) et AB = 7 cm. H est le pied de la hauteur issue de A.
Tracer la figure en vraie grandeur, en laissant les traits de construction apparents.
Démontrer que AH = 3,5 cm.
Démontrer que les triangles ABC et HAC sont semblables.
Déterminer le coefficient de réduction permettant de passer du triangle ABC au triangle HAC.
On admet ici le résultat de la question 2 : AH = 3,5 cm.
Question 3. Les deux triangles sont rectangles — ABC en A, HAC en H — et ils ont en commun l’angle de sommet C, puisque \(\widehat{ACH} = \widehat{ACB}\). Ayant ainsi deux angles égaux deux à deux, ABC et HAC sont semblables.
Question 4. Cet angle commun mesure 90° − 30° = 60°, et le troisième angle de chacun mesure donc 30°. Dans deux triangles semblables, les côtés sont proportionnels : le côté opposé à l’angle de 60° mesure AH = 3,5 cm dans HAC et AB = 7 cm dans ABC.
AHABAH/AB = 3,573,5/7 = 121/2 = 0,5
Le coefficient de réduction vaut 0,5 : les dimensions de HAC sont deux fois plus petites que celles de ABC.
Un quadrilatère est un polygone à quatre côtés. Un trapèze a deux côtés parallèles (rectangle s’il a un angle droit). Un parallélogramme a ses côtés opposés parallèles. Un rectangle a quatre angles droits, un losange quatre côtés égaux, et un carré est à la fois rectangle et losange.
Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses diagonales se coupent en leur milieu et ses côtés opposés sont parallèles et de même longueur.
Un losange est un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires (et les quatre côtés égaux). Un rectangle est un parallélogramme dont les diagonales sont de même longueur (et les quatre angles droits). Un carré est à la fois rectangle et losange : ses diagonales sont perpendiculaires et de même longueur.
Un quadrilatère est un parallélogramme si ses diagonales se coupent en leur milieu, ou si ses côtés opposés sont parallèles, ou s’ils sont égaux.
Un parallélogramme est un rectangle si ses diagonales sont de même longueur, ou s’il a un angle droit. Un parallélogramme est un losange si ses diagonales sont perpendiculaires, ou si deux côtés consécutifs sont égaux. Un parallélogramme rectangle et losange est un carré.
On donne PC = PD = 1,30 m, ED = BC = 40 cm, avec E, D, P alignés et B, C, P alignés.
Justifier que ABPE est un carré. ABPE a quatre angles droits : c’est un rectangle (donc un parallélogramme). Ce parallélogramme a deux côtés consécutifs égaux : c’est donc un losange. Étant rectangle et losange, ABPE est un carré.
Au cycle 4, l’élève continue de s’appuyer sur une géométrie perçue par les sens et contrôlée par les instruments (règle, compas, équerre), mais évolue progressivement vers une approche plus rigoureuse, dans laquelle les propriétés sont validées par des raisonnements et des démonstrations. La manipulation, la construction, l’observation et la conjecture conservent leur place, mais sont désormais reliées à une argumentation structurée.
L’élève approfondit sa connaissance des figures planes (triangles, quadrilatères, cercles, polygones réguliers), et mobilise leurs propriétés géométriques et métriques dans des contextes variés. Les configurations remarquables sont introduites à partir de situations concrètes qui justifient leur étude. Les théorèmes de Pythagore (en 4e) et de Thalès (en 3e), ainsi que les rapports trigonométriques dans le triangle rectangle, sont abordés de manière progressive.
L’utilisation d’outils numériques (logiciels de géométrie dynamique, programmation, tableurs) permet d’explorer des figures, de formuler des conjectures, et d’automatiser certaines constructions. Les frises, rosaces et pavages offrent un cadre riche pour explorer les transformations géométriques (symétries, rotations, translations, agrandissements).
Pour un approfondissement, consulter les ressources officielles : Programme de mathématiques du cycle 4 (BOEN 2015) et Ressources Eduscol pour le cycle 4.
Le Cahier d'exercices iParcours Maths 3e avec cours (édition 2022) est un cahier-manuel de160 pages, avec un cours complet en début de chaque chapitre et de nombreux exercices associés, notamment pour la préparation au Brevet.
Le manuel : 7,50 €
Voir aussi : toutes les leçons · tous les exercices corrigés · toutes les questions flash · toutes les fiches de révision · annales du brevet
Cette page est développée en php avec l'éditeur de texte du projet GNOME. Elle se veut conforme aux instructions officielles de l'Éducation nationale.
Référence au programme : Programme de mathématiques du cycle 4 (arrêté du 9 novembre 2015 modifié), encore en vigueur en classe de troisième ; le nouveau programme (arrêté du 18 février 2026) s'y appliquera à la rentrée 2028. Domaine : Espace et géométrie.
lecon.body.tex : même texte et même plan que le PDF, la source LaTeX et le module TBI.N'hésitez pas à me contacter si vous detectez la moindre imperfection, ou si vous imaginez une amélioration potentielle !
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