Trigonométrie — Sinus, Cosinus, Tangente (3e)

Les iguanes c'est ultra bizarre.

Vincent Delerm

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Relations trigonométriques dans le triangle rectangle

Avant-propos

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Dans le triangle rectangle ABC, BAC est l’angle droit ; le côté opposé à BAC (en face) est [BC] : c’est l’hypoténuse.

Si on s’intéresse à l’angle ABC :

  • [AC] est le côté opposé à ABC ;

  • [AB] est le côté adjacent à ABC.

Si on s’intéresse à l’angle ACB :

  • [AB] est le côté opposé à ACB ;

  • [AC] est le côté adjacent à ACB.

Formulaire

Dans le triangle ABC rectangle en A, pour l’angle aigu ABC : cosABC = adjacenthypoténuseadjacent/hypoténuse = ABBCAB/BC sinABC = opposéhypoténuseopposé/hypoténuse = ACBCAC/BC tanABC = opposéadjacentopposé/adjacent = ACABAC/AB

De même, exprimer cosACB, sinACB et tanACB.

Correction.

cosACB = ACBCAC/BC sinACB = ABBCAB/BC tanACB = ABACAB/AC

Mnémotechnie

SOH CAH TOA n’est pas une formule magique, mais un moyen pour retenir les formules :

  • SOH : Sinus = Opposé / Hypoténuse ;

  • CAH : Cosinus = Adjacent / Hypoténuse ;

  • TOA : Tangente = Opposé / Adjacent.

Exemples

Japon 96 : chercher une longueur

ABC est un triangle rectangle en A. On donne AB = 5 cm et ABC = 35°. Déterminer la longueur AC, arrondie au dixième de centimètre.

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Correction. Dans le triangle ABC rectangle en A :

tanABC = ACABAC/AB = AC5AC/5

D’où :

AC = 5 × tanABC = 5 × tan(35°) ≈ 3,5 cm

Chercher un angle

Dans le triangle FCO rectangle en F, on sait que FC = 3,1 cm et FO = 5,4 cm. Calculer l’arrondi au degré près de la mesure de l’angle COF.

image

Correction. On cherche une relation entre COF, son côté opposé et son côté adjacent :

tanCOF = FCFOFC/FO = 3,15,43,1/5,4

\(\widehat{COF} = \arctan\left(\dfrac{3{,}1}{5{,}4}\right) \approx 30°\)

Parlons calculatrice

Les touches arccos, arcsin et arctan (souvent cos−1, sin−1, tan−1, via la touche 2nde) permettent de retrouver un angle à partir d’un rapport trigonométrique. Vérifie que ta calculatrice est bien réglée en degrés (« D » ou « DEG » à l’écran) : en tapant cos(60°), tu dois obtenir 0,5.

❓ Questions fréquentes sur la trigonométrie

  • Qu'est-ce que le sinus, cosinus et tangente d'un angle ?
  • Comment retenir les formules trigonométriques facilement ?
  • Quand utiliser sinus, cosinus ou tangente dans un exercice ?
  • Comment calculer un angle avec ma calculatrice Casio fx-92+ ?
  • Pourquoi ma calculatrice donne-t-elle des résultats bizarres ?
  • Comment savoir si je dois calculer un angle ou une longueur ?
  • À quoi sert SOH CAH TOA en pratique ?

🔍 Recherches populaires en trigonométrie

Formules et définitions

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Calculs et applications

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Calculatrice et méthodes

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OFFICIEL

CONTENUS

Triangle rectangle : relations trigonométriques

ATTENDUS DE FIN DE CYCLE

COMPÉTENCES EXIGIBLES

Connaître et utiliser dans le triangle rectangle des relations entre le cosinus, le sinus ou la tangente d’un angle aigu et les longueurs de deux côtés du triangle.

Utiliser la calculatrice pour déterminer des valeurs approchées :

COMMENTAIRES

La définition du cosinus a été vue en 4e. Le sinus et la tangente d’un angle aigu seront introduits comme rapports de longueurs dans un triangle rectangle, ou à l’aide du quart de cercle trigonométrique.

On n’utilisera pas d’autre unité que le degré décimal.

Le recours au logiciel ou à la calculatrice est attendu, notamment pour l’accès à une valeur d’un angle connaissant un rapport trigonométrique.

RÉFÉRENCE OFFICIELLE

Programme de mathématiques - Cycle 4 (source Éduscol)

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