site2wouf.fr : Trigonométrie

La plupart des calomnies qui courent sur mon compte sont plus douces que ce que je dirais sur moi si l'on m'interrogeait.

Jean Yanne

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Trigonométrie dans le triangle rectangle

I Relations trigonométriques dans le triangle rectangle

A Avant propos

figure, trigonométrie en vectoriel, cours 3ème

Dans le triangle rectangle ABC, A est l'angle droit, le côté opposé à A (en face de A) est [BC], c'est l'hypoténuse.

Si on s'intéresse à l'angle B:

Si on s'intéresse à l'angle C:

B. Formules

Dans ABC un triangle rectangle en A, le cosinus, le sinus et la tangente de l'angle aigu sont donnés par les formules suivantes:
formules

On a de même:
formules2

C Mnémotechnie

SOH CAH TOA n'est pas une formule magique mais un moyen mnémotechnique pour retenir les formules ci-dessus:

D Exemple

(Japon 96)

ABC est un triangle rectangle en A. On donne AB = 5 cm et ABC=35° .

Construire la figure en vraie grandeur.

Déterminer la longueur AC, arrondie au dixième de centimètre.

figure 2

Dans le triangle ABC, rectangle en A

exercice

Remarque:

On peut contrôler la vraisemblance du résultat: (3,5 < 5 et 35 < 45)

II Relations entre sinus, cosinus et tangente

A Relation fondamentale de la trigonométrie

Si a est un angle aigu d'un triangle rectangle:

cos 2 a + sin 2 a = 1

démonstration:

figure 3

Dans ABC rectangle en A:

exercice2

or d'après le théorème de Pythagore dans ABC rectangle en A:

AB²+AC²=BC²

donc

exercice3

B Autre relation

si a est un angle aigu d'un triangle rectangle:

exercice4

démonstration:

exercice5

III Valeurs particulières

En choisissant un triangle rectangle adapté aux différentes situations, vérifier (retrouver) dans le tableau les valeurs exactes suivantes.

tableau

OFFICIEL

CONTENUS

Triangle rectangle : relations trigonométriques

COMPETENCES EXIGIBLES

Connaître et utiliser dans le triangle rectangle des relations entre le cosinus, le sinus ou la tangente d'un angle aigu et les longueurs de 2 côtés du triangle.

Utiliser la calculatrice pour déterminer des valeurs approchées :

COMMENTAIRES

La définition du cosinus a été vue en 4ème . Le sinus et la tangente d'un angle aigu seront introduits comme rapports de longueurs ou à l'aide du quart de cercle trigonométrique.

On établira les formules:

formules

On n'utilisera pas d'autre unité que le degré décimal.

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