Les Echecs. Le seul d'entre tous les jeux qui échappe à la tyrannie du hasard.
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En mathématiques, décrire un ensemble consiste à indiquer quels objets en font partie. Il existe plusieurs manières d'écrire un ensemble, chacune ayant ses avantages. Voici un tour d'horizon des notations les plus utilisées, du collège au lycée.
La forme la plus classique consiste à lister tous les éléments, entre accolades et séparés par des points-virgules :
Exemple :
{2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10}
désigne l’ensemble des cinq premiers nombres pairs strictement positifs inférieurs ou égaux à 10.
Lorsque l’ensemble contient trop d’éléments, ou est infini, on peut utiliser des points de suspension pour faire comprendre le schéma :
Exemple :
{2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; …}
désigne l’ensemble des nombres pairs strictement positifs.
Quand on connaît le premier et le dernier terme, et qu’aucune ambiguïté n’est possible sur la régularité, on peut écrire :
{2 ; 4 ; 6 ; … ; 28 ; 30}
Cela signifie qu’on prend tous les nombres pairs de 2 à 30, inclus.
On peut aussi définir un ensemble par une propriété caractéristique que doivent vérifier ses éléments.
Cette notation utilise souvent le symbole ∈ (appartient à), accompagné d’une barre verticale ( ∣ ) signifiant "tel que" :
{n ∈ ℕ ∣ n est pair}
se lit : "ensemble des entiers naturels n tels que n est pair".
On peut aussi définir un ensemble en décrivant une formule qui donne tous ses éléments :
{2m ∣ m ∈ ℕ}
Ici, on explique que tout nombre de l’ensemble est obtenu en multipliant un entier naturel par 2.
Ces deux notations décrivent le même ensemble, mais selon deux points de vue différents :
– l’un par propriété (pair),
– l’autre par expression explicite (2m).
Voici comment traduire certaines notations ensemblistes en langage Python, ce qui peut être utile en algorithmique ou pour manipuler des ensembles en programmation.
A = {2, 4, 6, 8, 10} print(A) # Affiche : {2, 4, 6, 8, 10}
# Ensemble des 10 premiers nombres pairs B = {2 * i for i in range(10)} print(B) # Affiche : {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18}
# Nombres pairs inférieurs à 30 C = {n for n in range(1, 31) if n % 2 == 0} print(C) # Affiche : {2, 4, ..., 30}
# 2m pour m de 0 à 20 D = {2 * m for m in range(21)} print(D) # Affiche : {0, 2, ..., 40}