site2wouf.fr : Racines carrées

Quand on ne travaillera plus les lendemains de jours de repos, la fatigue sera enfin vaincue.

Pierre Dac (Nouveau design !)

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Racines Carrées

I. Introduction

A. Définition

Soit a un nombre positif
Il existe un nombre b positif unique tel que b²=a.
On appelle b : racine de a

et on note :

b = a

B. Exemples:

16 = 4 car 4² = 4 × 4 = 16

C. ⚠ Attention ⚠

On ne parle de racine que pour un nombre positif

D. Remarques:

1. Remarque évidente:

D'après la définition, pour a positif on a:

(a)²  = a

2. Remarque étonnante:

Le symbole utilisé pour écrire les racines peut faire penser à un V, mais c'est un R stylisé. Mais pas le R de racine, celui de « Radical ». En effet pour parler des racines carrées, on peut aussi employer le mot « radicaux ».

E. À savoir !

D'après les instructions officielles la maîtrise des carrés d'entiers est exigible jusqu'à 12² = 144.

Ceux qui sont capables de les mémoriser jusqu'à 20² = 400 n'hésitez pas, vous gagnerez du temps par la suite !

n
11
24
39
416
525
636
749
864
981
10100
11121
12144
13169
14196
15225
16256
17289
18324
19361
20400

A quoi ça sert?

  1. À calculer des carrés :

    Imaginez qu'on vous demande si un triangle ayant pour longueurs des cotés 5 cm, 12 cm, et 13 cm est rectangle.

    • 12² + 5² = 144 + 25 = 169

    • 13² = 169

    D'après la réciproque du théorème de Pythagore ce triangle est bien rectangle ! Et même sans calculatrice !

  2. À calculer des racines :

    121 = 11 Et toujours sans calculatrice !

II. Approfondissement

On pourrait s'arrêter là ... La suite n'est pas (plus) exigible.

Mais elle répond à des questions que vous vous poserez !

calculatrice avec √72=6√2

A. Multiplications de racines

1. Propriété

Le produit de deux racines est égal à la racine du produit

a et b étant deux nombres positifs :

a × b = a × b

La démonstration est simple, en revenant à la définition.

B. Exemple de produit de racines

Montrer que le produit de la racine de 2, par la racine de 8 est égal à 4.

2 × 8 = 2 × 8 = 16 = 4

C. Application: simplification de racines

72 = 36 × 2 = 36 × 2 = 62

Vous commencez à comprendre l'affichage des calculatrices !

D. Quotient de racines

1. Propriété

Le quotient de deux racines est égal à la racine du quotient

a b = a/b

E. Exemple de quotient de racines

Montrer que le quotient de racine de 27 par racine de 3 est égal à 3

27 3 = 27/3 = 9 = 3

F. Application : écriture fractionnaire "propre"

Écrire 3/2 sous forme fractionnaire sans racine au dénominateur

3/2 = 6/4 = 6 4 = 6 2

calculatrice avec √(3/2)=√6/2

INSTRUCTIONS OFFICIELLES

Contenus du programme de 3e

  • Racine carrée d’un nombre positif
  • Égalités fondamentales : (√a)² = a et √(a²) = a pour a ≥ 0
  • Produit et quotient de racines carrées
  • Utilisation du théorème de Pythagore et de sa réciproque
  • Calcul exact et approché avec ou sans calculatrice

Compétences attendues

✔ Savoir que si a est un nombre positif, alors √a est le nombre positif dont le carré est a.

✔ Utiliser les propriétés suivantes sur des exemples numériques :

√25 = 5     car     5² = 25
(√a)² = a
√(a × b) = √a × √b
√(a / b) = √a / √b

✔ Résoudre des équations simples comme x² = a, avec a ≥ 0

✔ Simplifier des racines carrées en factorisant ou en rationalisant

Commentaires pédagogiques

🔸 La touche de la calculatrice permet d’obtenir des valeurs approchées. Elle est utile pour valider des estimations.

🔸 Le lien avec la géométrie (théorème de Pythagore) donne du sens au concept de racine carrée.

🔸 L’introduction du calcul littéral permet d’explorer des expressions comme √(x²), et des factorisations.

🔸 On distingue bien le calcul exact (simplification, formes irréductibles) du calcul approché (décimales).

Ressources officielles

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