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Quand on ne travaillera plus les lendemains de jours de repos, la fatigue sera enfin vaincue.
Pierre Dac (Nouveau design !)
Soit a un nombre positif
Il existe un nombre b positif unique tel que b²=a.
On appelle b : racine de a
et on note :
b = √a
√16 = 4 car 4² = 4 × 4 = 16
On ne parle de racine que pour un nombre positif
D'après la définition, pour a positif on a:
(√a)² = a
Le symbole utilisé pour écrire les racines peut faire penser à un V, mais c'est un R stylisé. Mais pas le R de racine, celui de « Radical ». En effet pour parler des racines carrées, on peut aussi employer le mot « radicaux ».
D'après les instructions officielles la maîtrise des carrés d'entiers est exigible jusqu'à 12² = 144.
Ceux qui sont capables de les mémoriser jusqu'à 20² = 400 n'hésitez pas, vous gagnerez du temps par la suite !
| n | n² |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 2 | 4 |
| 3 | 9 |
| 4 | 16 |
| 5 | 25 |
| 6 | 36 |
| 7 | 49 |
| 8 | 64 |
| 9 | 81 |
| 10 | 100 |
| 11 | 121 |
| 12 | 144 |
| 13 | 169 |
| 14 | 196 |
| 15 | 225 |
| 16 | 256 |
| 17 | 289 |
| 18 | 324 |
| 19 | 361 |
| 20 | 400 |
À calculer des carrés :
Imaginez qu'on vous demande si un triangle ayant pour longueurs des cotés 5 cm, 12 cm, et 13 cm est rectangle.
12² + 5² = 144 + 25 = 169
13² = 169
D'après la réciproque du théorème de Pythagore ce triangle est bien rectangle ! Et même sans calculatrice !
À calculer des racines :
√121 = 11 Et toujours sans calculatrice !
On pourrait s'arrêter là ... La suite n'est pas (plus) exigible.
Mais elle répond à des questions que vous vous poserez !
Le produit de deux racines est égal à la racine du produit
a et b étant deux nombres positifs :
√a × b = √a × √b
La démonstration est simple, en revenant à la définition.
Montrer que le produit de la racine de 2, par la racine de 8 est égal à 4.
√2 × √8 = √2 × 8 = √16 = 4
√72 = √36 × 2 = √36 × √2 = 6√2
Vous commencez à comprendre l'affichage des calculatrices !
Le quotient de deux racines est égal à la racine du quotient
√a √b = √a/b
Montrer que le quotient de racine de 27 par racine de 3 est égal à 3
√27 √3 = √27/3 = √9 = 3
Écrire √3/2 sous forme fractionnaire sans racine au dénominateur
√3/2 = √6/4 = √6 √4 = √6 2
✔ Savoir que si a est un nombre positif, alors √a est le nombre positif dont le carré est a.
✔ Utiliser les propriétés suivantes sur des exemples numériques :
✔ Résoudre des équations simples comme x² = a, avec a ≥ 0
✔ Simplifier des racines carrées en factorisant ou en rationalisant
🔸 La touche √ de la calculatrice permet d’obtenir des valeurs approchées. Elle est utile pour valider des estimations.
🔸 Le lien avec la géométrie (théorème de Pythagore) donne du sens au concept de racine carrée.
🔸 L’introduction du calcul littéral permet d’explorer des expressions comme √(x²), et des factorisations.
🔸 On distingue bien le calcul exact (simplification, formes irréductibles) du calcul approché (décimales).
Le Cahier d'exercices iParcours Maths 3e avec cours (édition 2022) est un cahier-manuel de160 pages, avec un cours complet en début de chaque chapitre et de nombreux exercices associés, notamment pour la préparation au Brevet.
Le manuel : 7,50 €
Cette page est développée en php avec l'éditeur de texte du projet GNOME. Elle se veut conforme aux instructions officielles de l'Éducation nationale.
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