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Il faut beaucoup de talent pour faire rire avec des mots. Mais il faut du génie pour amuser avec des points de suspension...
Frédéric Dard
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Soit a un nombre positif. Il existe un nombre b positif unique tel que b2 = a. On appelle b la racine carrée de a, et on note : b = √a
√16 = 4 car 42 = 4 × 4 = 16
On ne parle de racine carrée que pour un nombre positif.
D’après la définition, pour a positif on a :
(√a)2 = a
Le symbole des racines peut faire penser à un V, mais c’est un R stylisé : pas le R de « racine », celui de « Radical ». On emploie d’ailleurs aussi le mot « radicaux » pour parler des racines carrées.
D’après les instructions officielles, la maîtrise des carrés d’entiers est exigible jusqu’à 122 = 144. Ceux qui les mémorisent jusqu’à 202 = 400 gagneront du temps par la suite !
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| n2 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 |
| n | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| n2 | 64 | 81 | 100 | 121 | 144 | 169 |
| n | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| n2 | 196 | 225 | 256 | 289 | 324 | 361 | 400 |
a. À calculer des carrés. Un triangle de côtés 5 cm, 12 cm et 13 cm est-il rectangle ?
122 + 52 = 144 + 25 = 169
132 = 169
D’après la réciproque du théorème de Pythagore, ce triangle est rectangle — et même sans calculatrice !
b. À calculer des racines.
√121 = 11
Et toujours sans calculatrice !
On pourrait s’arrêter là : la suite n’est plus exigible. Mais elle répond à des questions que vous vous poserez !
Le produit de deux racines est égal à la racine du produit. Pour a et b positifs : √a × b = √a × √b
La démonstration est simple, en revenant à la définition.
Montrer que le produit de la racine de 2 par la racine de 8 est égal à 4.
√2 × √8 = √2 × 8 = √16 = 4
√72 = √36 × 2 = √36 × √2 = 6√2
Vous commencez à comprendre l’affichage des calculatrices !
Le quotient de deux racines est égal à la racine du quotient. Pour a positif et b strictement positif : √a√b√a/√b = \sqrtaba/b
Montrer que le quotient de la racine de 27 par la racine de 3 est égal à 3.
√27√3√27/√3 = \sqrt27327/3 = √9 = 3
Écrire \sqrt323/2 sous forme fractionnaire sans racine au dénominateur.
\sqrt323/2 = \sqrt646/4 = √6√4√6/√4 = √62√6/2
✔ Savoir que si a est un nombre positif, alors √a est le nombre positif dont le carré est a.
✔ Utiliser les propriétés suivantes sur des exemples numériques :
✔ Résoudre des équations simples comme x² = a, avec a ≥ 0
✔ Simplifier des racines carrées en factorisant ou en rationalisant
🔸 La touche √ de la calculatrice permet d’obtenir des valeurs approchées. Elle est utile pour valider des estimations.
🔸 Le lien avec la géométrie (théorème de Pythagore) donne du sens au concept de racine carrée.
🔸 L’introduction du calcul littéral permet d’explorer des expressions comme √(x²), et des factorisations.
🔸 On distingue bien le calcul exact (simplification, formes irréductibles) du calcul approché (décimales).
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Référence au programme : Programme de mathématiques du cycle 4 (arrêté du 9 novembre 2015 modifié), encore en vigueur en classe de troisième ; le nouveau programme (arrêté du 18 février 2026) s'y appliquera à la rentrée 2028. Domaine : Nombres et calculs.
lecon.body.tex : même texte et même plan que le PDF, la source LaTeX et le module TBI.N'hésitez pas à me contacter si vous detectez la moindre imperfection, ou si vous imaginez une amélioration potentielle !
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