Écriture littérale et identités remarquables

I Somme algébrique

A Définition :

L'addition est l'opération qui permet de calculer la somme de plusieurs nombres, ces nombres sont les termes de la somme.

Exemples :

7 + 2 + 8 est la somme algébrique des termes 7, de 2 et de 8

8 - 3 + 2 est la somme algébrique de 8, -3 et 2 .
On peut l' écrire 8 + (-3) + 2

a + 5 + b + 7 est la somme algébrique de a, 5 , b et 7

3a-2 est la somme algébrique de 3a et -2

B. Propriété :

Dans une somme algébrique, on peut changer l'ordre des termes et regrouper les termes de son choix.

Exemples :

7 + 2 + 8 = ( 8 + 2 ) + 7

8 - 3 + 2 = 8 + 2 - 3

a + 5 + b + 7 = ( 5 + 7 ) + a + b

II. Produit

A. Définition :

La multiplication est l'opération qui permet de calculer le produit de deux nombres, ces nombres sont les facteurs du produits.

Exemples :

7 × 2 × 5 est le produit des facteurs 7 , 2 et 5.

7 5 peut être considéré comme le produit de 7 par 1 5 .

a² est le produit de a par a.

a³ 1 + a est le produit de a (3 fois) et de 1 1 + a

B. Propriété

Dans un produit, on peut changer l'ordre des facteurs et regrouper les facteurs de son choix.

Exemple :

7 × 2 × 5 = (2 × 5) × 7

III. Expressions algébriques

A. Simplification d'écriture initiale

Le signe «multiplié» est facultatif devant une lettre ou une parenthèse, ainsi :

3b veut dire 3 × b

k(a+b) veut dire k × ( a + b )

mais 37 ne veut pas dire 3 × 7 !

B. Réduction d'une somme algébrique.

Certaines sommes algébriques peuvent être réduites:

7 + 2 + 8 = ( 8 + 2 ) + 7 = 10 + 7 = 17

a + 5 + b + 7 = 12 + a + b

D'autres sont irréductibles:

3a-2 = .. STOP

C. Reconnaître une expression algébrique.

1. Rappel des priorités opératoires.

Dans l'ordre on s'occupe de :

1. Des parenthèses les plus imbriquées,
2. Des puissances,
3. des produits,
4. des sommes.

2. Propriété:

On peut séparer les expressions algébriques en deux types:

• les sommes
• les produits.

3. Problème

7 × 2 + 5 est-il un produit ou une somme?

Effectuons le calcul en respectant les priorités:

7 × 2 + 5 =

14 + 5 =

19

19 est la somme de 14 et 5, c-est-à-dire la somme de 7 × 2 et 5.
7 × 2 + 5 est donc la somme de 5 et du produit de 7 par 2.

D. Développer (un produit)

1. Définition:

Développer (étymologie : enlever l'enveloppe) c'est transformer un produit en somme.

2. Distributivité simple:

k(a+b)=ka+kb

Premier membre : produit de k par la somme de a et b

Deuxième membre : somme des produits ka et kb

3. Distributivité double:

(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd

E. Factoriser (une somme)

1. Définition :

Factoriser c'est transformer une somme en produit.

2. Distributivité simple:

ka+kb=k(a+b)

Premier membre : somme des produits ka et kb

Deuxième membre : produit de k par la somme de a et b

IV. Les identités remarquables (ou égalités remarquables)

A. Exercices

Développer:

1. A = ( a + b )²

2. B = ( a - b )²

3. C = ( a + b )( a - b )

1. A = ( a + b )² =
   ( a + b ) ( a + b ) =
   a × a  +  a × b  +  b × a  +  b × b =
   a²  +  ab  +  ab + b² =
   a²  +  2ab  +  b²

2. B = ( a - b )² =
   ( a - b ) ( a - b ) =
   a × a  -  a × b  -  b × a  +  b × b =
   a²  -  ab  -  ab  +  b² =
   a²  -  2ab  + b²

3. C = ( a + b )( a - b ) =
   a × a  -  a × b  - b × a  +  b × b =
   a²  -  ab  +  ab  +  b² =
   a²  -  b²

B. Boite à outils:

( a + b )²  =  a²  +  2ab  +  b²
( a - b )²  =  a²  -  2ab  +  b²
( a + b )( a - b )  =  a²  -  b²

De la gauche vers la droite, on développe, de la droite vers la gauche, on factorise.

C. Vocabulaire:

(a+b)² est un produit remarquable.

a² -  2ab  +  b² est une somme remarquable.

(a+b)² =  a²  +  2ab  +  b² est une identité remarquable (ou égalité remarquable)

2ab est un double produit

a²   -   b² est une différence de deux carrés

V. Utilisation des outils:

A Pour développer

Si on repère un produit remarquable, on peut utiliser l'identité correspondante pour développer plus rapidement:

(y - 10)² = y² - 20y + 100

est plus rapide que:

(y - 10)² = y² - 10y - 10y + 10 × 10 = y² - 20y + 100

B. Pour factoriser

Si on repère une somme remarquable, on peut l'utiliser pour factoriser (d'ailleurs on ne dispose pas d'autre méthode):

4a² - 4a + 1 = (2a)² - 2×2a + 1 = (2a-1)²

16 - 9x² = 4² - (3x)² = (4 - 3x)(4 + 3x)

(x + 5)² - 4 = (x + 5 - 2)(x + 5 + 2) = (x + 3)(x + 7)

C. Pour calculer astucieusement

101² = (100 + 1)² = 100² + 2×100 + 1 = 10 000 + 200 + 1 = 10 201

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