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Il ne faut jamais faire que les sottises qui nous plaisent.
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L’addition est l’opération qui permet de calculer la somme de plusieurs nombres ; ces nombres sont les termes de la somme.
Exemples :
7 + 2 + 8 est la somme des termes 7, 2 et 8 ;
8 − 3 + 2 est la somme de 8, −3 et 2 ; on peut l’écrire 8 + (−3) + 2 ;
a + 5 + b + 7 est la somme de a, 5, b et 7 ;
3a − 2 est la somme de 3a et −2.
Dans une somme algébrique, on peut changer l’ordre des termes et regrouper les termes de son choix.
Exemples :
7 + 2 + 8 = (8 + 2) + 7
8 − 3 + 2 = 8 + 2 − 3
a + 5 + b + 7 = (5 + 7) + a + b
La multiplication est l’opération qui permet de calculer le produit de deux nombres ; ces nombres sont les facteurs du produit.
Exemples :
7 × 2 × 5 est le produit des facteurs 7, 2 et 5 ;
757/5 peut être considéré comme le produit de 7 par 151/5 ;
a2 est le produit de a par a ;
a31+aa3/1+a est le produit de a (3 fois) et de 11+a1/1+a.
Dans un produit, on peut changer l’ordre des facteurs et regrouper les facteurs de son choix.
Exemple :
7 × 2 × 5 = (2 × 5) × 7
Le signe « multiplié » est facultatif devant une lettre ou une parenthèse : 3b veut dire 3 × b ; k(a+b) veut dire k × (a+b). Mais 37 ne veut pas dire 3 × 7 !
Certaines sommes algébriques peuvent être réduites :
7 + 2 + 8 = (8 + 2) + 7 = 10 + 7 = 17
a + 5 + b + 7 = 12 + a + b
D’autres sont irréductibles : 3a − 2 …STOP.
Dans l’ordre, on s’occupe :
des parenthèses les plus imbriquées ;
des puissances ;
des produits ;
des sommes.
On peut séparer les expressions algébriques en deux types : les sommes et les produits.
7 × 2 + 5 est-il un produit ou une somme ? Effectuons le calcul en respectant les priorités :
7 × 2 + 5 = 14 + 5 = 19
19 est la somme de 14 et 5, c’est-à-dire de 7 × 2 et 5. Donc 7 × 2 + 5 est la somme de 5 et du produit de 7 par 2.
Développer (étymologie : enlever l’enveloppe), c’est transformer un produit en somme.
k(a+b) = ka + kb
Premier membre : produit de k par la somme de a et b. Deuxième membre : somme des produits ka et kb.
(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd
Factoriser, c’est transformer une somme en produit.
ka + kb = k(a+b)
Premier membre : somme des produits ka et kb. Deuxième membre : produit de k par la somme de a et b.
Développer : A = (a+b)2 ; B = (a−b)2 ; C = (a+b)(a−b).
Correction.
A = (a+b)(a+b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2
B = (a−b)(a−b) = a2 − ab − ab + b2 = a2 − 2ab + b2
C = (a+b)(a−b) = a2 − ab + ab − b2 = a2 − b2
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2 (a−b)2 = a2 − 2ab + b2 (a+b)(a−b) = a2 − b2
De la gauche vers la droite, on développe ; de la droite vers la gauche, on factorise.
(a+b)2 est un produit remarquable. a2 − 2ab + b2 est une somme remarquable. (a+b)2 = a2 + 2ab + b2 est une identité remarquable (ou égalité remarquable). 2ab est un double produit. a2 − b2 est une différence de deux carrés.
Si on repère un produit remarquable, on peut utiliser l’identité correspondante pour développer plus rapidement :
(y − 10)2 = y2 − 20y + 100
est plus rapide que :
(y − 10)2 = y2 − 10y − 10y + 10 × 10 = y2 − 20y + 100
Si on repère une somme remarquable, on peut l’utiliser pour factoriser (on ne dispose d’ailleurs pas d’autre méthode) :
4a2 − 4a + 1 = (2a)2 − 2 × 2a + 1 = (2a − 1)2
16 − 9x2 = 42 − (3x)2 = (4 − 3x)(4 + 3x)
(x + 5)2 − 4 = (x + 5 − 2)(x + 5 + 2) = (x + 3)(x + 7)
1012 = (100 + 1)2 = 1002 + 2 × 100 + 1 = 10 000 + 200 + 1 = 10 201
Résoudre une équation sous la forme AB=0, où A et B désignent 2 expressions du premier degré de la même variable.
COMMENTAIRES
La reconnaissance de la forme d'une expression algébrique faisant intervenir une identité remarquable peut représenter une difficulté qui doit être prise en compte. Les travaux s'articuleront sur 2 axes:
Les activités viseront à assurer la maîtrise du développement d'expressions simples; en revanche, le travail sur la factorisation qui se poursuivra au lycée, ne vise à développer l'autonomie des élèves que dans des situations très simples.
On consolidera les compétences en matière de calcul sur les puissances, notamment sur les puissances de 10.
L'étude du signe d'un produit ou d'un quotient de 2 expressions du premier degré de la même variable est, elle, hors programme.
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Référence au programme : Programme de mathématiques du cycle 4 (arrêté du 9 novembre 2015 modifié), encore en vigueur en classe de troisième ; le nouveau programme (arrêté du 18 février 2026) s'y appliquera à la rentrée 2028. Domaine : Nombres et calculs.
lecon.body.tex : même texte et même plan que le PDF, la source LaTeX et le module TBI.N'hésitez pas à me contacter si vous detectez la moindre imperfection, ou si vous imaginez une amélioration potentielle !
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