site2wouf.fr : Fractions et Puissances

J'aime bien les histoires qui finissent mal. Ce sont les plus belles car ce sont celles qui ressemblent le plus à la vie.

Pierre Desproges

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Fractions et Puissances

I. Maîtrisons le vocabulaire des écritures fractionnaires.

A. Fractions ou écritures fractionnaires ?

On appelle écriture fractionnaire du quotient a:b de nombres relatifs l'écriture a b

Cette écriture fractionnaire est seulement appelée fraction quand a et b sont des entiers relatifs.

Les expressions suivantes sont des écritures fractionnaires : 3,5 6,123 et a b mais seul , -17 3 est une fraction.

B. Numérateur et dénominateur.

Le nombre du haut s'appelle le numérateur, celui du bas le dénominateur et « le trait » s'appelle « barre de fraction ».

C. Opposé d'un nombre relatif

1. Définition

L'opposé d'un nombre relatif est le nombre qui a la même distance à zéro mais le signe contraire.

2. Exemples

-17 3 et 17 3 sont opposés

3,5 6,123 et - 3,5 6,123 sont opposés

Place du signe « moins » dans une écriture fractionnaire

Quand une fraction représente un nombre négatif, le signe « moins » peut être écrit à trois endroits différents :

  • devant la fraction entière : -34
  • au numérateur : –34
  • au dénominateur : 3–4

Ces trois écritures correspondent au même nombre négatif : moins trois quarts.

Mais on place de préférence le signe « moins » devant la fraction, pour éviter toute confusion.

3. Propriétés

La somme de deux nombres relatifs opposés est nulle :

-17 3 et 17 3 sont opposés donc -17 3 + 17 3 = 0

Multiplier un relatif par -1, c'est prendre son opposé:

17 3 × (-1)= -17 3

D. Inverse d'un nombre relatif non nul.

1. Définition

L'inverse de x (avec x non nul) est le quotient de 1 par x. On le note 1/x ou 1 x ou encore x⁻¹.

2. Exemples

Ainsi l'inverse de 5 est 1/5, 1 5 ou 5⁻¹

3 Propriété

L'inverse d'un nombre relatif non nul x est le nombre relatif y tel que

x × y = 1

L'inverse de -2 3 est -3 2 en effet :

-2 3 × -3 2 = 1

II. Addition de relatifs en écriture fractionnaire.

A. Mise au même dénominateur.

La première étape pour ajouter des relatifs en écriture fractionnaire est la mise au même dénominateur:

3 2 + 2 3 = 9 6 + 4 6 =

B. Ajout de relatifs en écriture fractionnaire de même dénominateur.

Pour ajouter des relatifs en écriture fractionnaire de même dénominateur, on ajoute les numérateurs et on garde le dénominateur commun:

3 2 + 2 3 = 9 6 + 4 6 = 13 6

III. Soustraction de relatifs en écriture fractionnaire.

A. Petit rappel:

Soustraire un relatif, c'est ajouter son opposé.

B. Méthode

3 2 - 2 3 = 9 6 - 4 6 = 5 6

IV. Multiplication de relatifs en écriture fractionnaire.

A. Exercice :

Écrire le calcul qui correspond à la proposition suivante : les trois quarts de deux tiers.

Solution :

3 4 × 2 3

B. Propriété

Pour multiplier des relatifs en écriture fractionnaire, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

3 4 × 2 3 = 6 12 = 1 2

V. Division de relatifs en écriture fractionnaire

A. Propriété

Diviser par un relatif non nul, c'est multiplier par son inverse.

B. Méthode

On se ramène donc à une multiplication:

3 4 : 2 3 = 3 4 × 3 2 = 9 8

VI. Puissance et définitions

A. Carré

a étant un nombre relatif, on appelle carré de a, le nombre noté a² tel que :

a² = aa = a × a

Exemples :

4²=16

5²=25

(-6)²=36

B. Cube

a étant un nombre relatif, on appelle cube de a, le nombre noté a3 tel que:

a3 = aaa = a × a × a

Exemples :

23=8

(-3)3=-27

C. Généralisation pour n>1

a étant un nombre relatif et n un entier relatif n>1:

an = a × a × a × ... a × a avec n fois le facteur a.

On lit a puissance n. n est l'exposant.

D. Convention

Par convention :

Un nombre non nul, élevé à la puissance 0 est égal à 1 :

x⁰=1

Un nombre élevé à la puissance 1 est égal à lui-même :

x¹=x

E. Généralisation pour n<0

On généralise pour les entiers relatifs:

x⁻¹ = 1 x

x⁻² = 1

x⁻³ = 1

Au passage, on comprend la notation de l'inverse sur certaines calculatrices.

F. Puissances, priorités et pièges classiques...

La puissance est prioritaire sur les autres opérations.

Ne pas confondre :

(-6)² = (-6) × (-6) = 36

et

-6² = -36

VII. Exemples de calcul

A. Un conseil pour commencer

Pour calculer avec des puissances, il est nécessaire de bien connaître la définition et d'y revenir aussi souvent que possible!

B Des produits...

1. Même nombre, exposants différents

7³ × 7⁵ = ( 7 × 7 × 7 ) × (7 × 7 × 7 × 7 × 7 ) = 7⁸

En revenant à la définition, on s'aperçoit qu'il suffit d'ajouter les exposants!

2. Nombres différents, même exposant.

7³ × 5³ = 7 × 7 × 7 × 5 × 5 × 5 =( 7 × 5 ) × ( 7 × 5 ) × ( 7 × 5 ) =

( 7 × 5 )³ = 35³

C. Des quotients

1 Même nombre, exposants différents

7⁵ = 7 × 7 × 7 7 × 7 × 7 × 7 × 7 = 1 = 7⁻²

En revenant à la définition, on s'aperçoit qu'il suffit de soustraire les exposants!

2. Nombres différents, même exposant.

= 7 × 7 × 7 5 × 5 × 5 = 7 5 × 7 5 × 7 5 = ( 7 5 )³

D. Des puissances

(7²)³ = (7²) × (7²) × (7²) = 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 = 7⁶

En revenant à la définition, on s'aperçoit qu'il suffit de multiplier les exposants!

VIII Puissances de 10, notation scientifique.

A Écriture décimale des puissances de 10

1 Deux exemples :

10³ = 1 000 (exposant +3 et 3 zéros après le 1)

10⁻⁵ = 0,00001 (exposant -5 et 5 zéros avant le 1)

2 A retenir :

Si n est un entier positif :

10 est un nombre entier qui s'écrit avec un 1 suivi de n zéro(s)

10⁻ est un nombre décimal qui s'écrit 0,00..001 ,le chiffre 1 est précédé de n zéros.

B. Écriture scientifique.

1. Définition :

L'écriture scientifique d'un nombre est de la forme a x 10 où a est un nombre décimal tel que:

2. Exemples :

Donner l'écriture scientifique des nombres suivants : 789 et 0,0258

789 = 7,89 × 10²

0,0258 = 2,58 × 10⁻²

L' écriture scientifique d'un nombre permet d'avoir très rapidement une idée de l'ordre de grandeur d'un nombre.

156 000 000 000 000 000 000 est beaucoup moins parlant que 1,56 x 10²⁰
(pour le comparer avec un autre grand nombre par exemple)

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