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La richesse consiste bien plus dans l'usage qu'on en fait que dans la possession.
Aristote
On appelle écriture fractionnaire du quotient a:b de nombres relatifs l'écriture a b
Cette écriture fractionnaire est seulement appelée fraction quand a et b sont des entiers relatifs.
Les expressions suivantes sont des écritures fractionnaires : 3,5 6,123 et a b mais seul , -17 3 est une fraction.
Le nombre du haut s'appelle le numérateur, celui du bas le dénominateur et « le trait » s'appelle « barre de fraction ».
L'opposé d'un nombre relatif est le nombre qui a la même distance à zéro mais le signe contraire.
-17 3 et 17 3 sont opposés
3,5 6,123 et - 3,5 6,123 sont opposés
Quand une fraction représente un nombre négatif, le signe « moins » peut être écrit à trois endroits différents :
Ces trois écritures correspondent au même nombre négatif : moins trois quarts.
Mais on place de préférence le signe « moins » devant la fraction, pour éviter toute confusion.
La somme de deux nombres relatifs opposés est nulle :
-17 3 et 17 3 sont opposés donc -17 3 + 17 3 = 0
Multiplier un relatif par -1, c'est prendre son opposé:
17 3 × (-1)= -17 3
L'inverse de x (avec x non nul) est le quotient de 1 par x. On le note 1/x ou 1 x ou encore x⁻¹.
Ainsi l'inverse de 5 est 1/5, 1 5 ou 5⁻¹
L'inverse d'un nombre relatif non nul x est le nombre relatif y tel que
x × y = 1
L'inverse de -2 3 est -3 2 en effet :
-2 3 × -3 2 = 1
La première étape pour ajouter des relatifs en écriture fractionnaire est la mise au même dénominateur:
3 2 + 2 3 = 9 6 + 4 6 =
Pour ajouter des relatifs en écriture fractionnaire de même dénominateur, on ajoute les numérateurs et on garde le dénominateur commun:
3 2 + 2 3 = 9 6 + 4 6 = 13 6
Soustraire un relatif, c'est ajouter son opposé.
3 2 - 2 3 = 9 6 - 4 6 = 5 6
Écrire le calcul qui correspond à la proposition suivante : les trois quarts de deux tiers.
3 4 × 2 3
Pour multiplier des relatifs en écriture fractionnaire, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
3 4 × 2 3 = 6 12 = 1 2
Diviser par un relatif non nul, c'est multiplier par son inverse.
On se ramène donc à une multiplication:
3 4 : 2 3 = 3 4 × 3 2 = 9 8
a étant un nombre relatif, on appelle carré de a, le nombre noté a² tel que :
a² = aa = a × a
Exemples :
4²=16
5²=25
(-6)²=36
a étant un nombre relatif, on appelle cube de a, le nombre noté a3 tel que:
a3 = aaa = a × a × a
Exemples :
23=8
(-3)3=-27
a étant un nombre relatif et n un entier relatif n>1:
an = a × a × a × ... a × a avec n fois le facteur a.
On lit a puissance n. n est l'exposant.
Un nombre non nul, élevé à la puissance 0 est égal à 1 :
x⁰=1
Un nombre élevé à la puissance 1 est égal à lui-même :
x¹=x
On généralise pour les entiers relatifs:
x⁻¹ = 1 x
x⁻² = 1 x²
x⁻³ = 1 x³
Au passage, on comprend la notation de l'inverse sur certaines calculatrices.
La puissance est prioritaire sur les autres opérations.
Ne pas confondre :
(-6)² = (-6) × (-6) = 36
et-6² = -36
Pour calculer avec des puissances, il est nécessaire de bien connaître la définition et d'y revenir aussi souvent que possible!
7³ × 7⁵ = ( 7 × 7 × 7 ) × (7 × 7 × 7 × 7 × 7 ) = 7⁸
En revenant à la définition, on s'aperçoit qu'il suffit d'ajouter les exposants!
7³ × 5³ = 7 × 7 × 7 × 5 × 5 × 5 =( 7 × 5 ) × ( 7 × 5 ) × ( 7 × 5 ) =
( 7 × 5 )³ = 35³
7³ 7⁵ = 7 × 7 × 7 7 × 7 × 7 × 7 × 7 = 1 7² = 7⁻²
En revenant à la définition, on s'aperçoit qu'il suffit de soustraire les exposants!
7³ 5³ = 7 × 7 × 7 5 × 5 × 5 = 7 5 × 7 5 × 7 5 = ( 7 5 )³
(7²)³ = (7²) × (7²) × (7²) = 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 = 7⁶
En revenant à la définition, on s'aperçoit qu'il suffit de multiplier les exposants!
10³ = 1 000 (exposant +3 et 3 zéros après le 1)
10⁻⁵ = 0,00001 (exposant -5 et 5 zéros avant le 1)
Si n est un entier positif :
10ⁿ est un nombre entier qui s'écrit avec un 1 suivi de n zéro(s)
10⁻ⁿ est un nombre décimal qui s'écrit 0,00..001 ,le chiffre 1 est précédé de n zéros.
L'écriture scientifique d'un nombre est de la forme a x 10ⁿ où a est un nombre décimal tel que:
Donner l'écriture scientifique des nombres suivants : 789 et 0,0258
789 = 7,89 × 10²
0,0258 = 2,58 × 10⁻²
L' écriture scientifique d'un nombre permet d'avoir très rapidement une idée de l'ordre de grandeur d'un nombre.
156 000 000 000 000 000 000 est beaucoup moins parlant que 1,56 x 10²⁰
(pour le comparer avec un autre grand nombre par exemple)
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