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Le bonheur, c'est avoir une bonne santé et une mauvaise mémoire.
Ingrid Bergman
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On appelle écriture fractionnaire du quotient a : b de nombres relatifs l’écriture aba/b. Cette écriture fractionnaire est seulement appelée fraction quand a et b sont des entiers relatifs.
3,56,1233,5/6,123 et aba/b sont des écritures fractionnaires, mais seul −173−17/3 est une fraction.
Le nombre du haut s’appelle le numérateur, celui du bas le dénominateur, et « le trait » s’appelle la barre de fraction.
L’opposé d’un nombre relatif est le nombre qui a la même distance à zéro mais le signe contraire.
−173−17/3 et 17317/3 sont opposés ; 3,56,1233,5/6,123 et −3,56,1233,5/6,123 sont opposés.
Place du signe « moins ». Quand une fraction représente un nombre négatif, le signe « moins » peut s’écrire à trois endroits : devant la fraction −343/4, au numérateur −34−3/4, ou au dénominateur 3−43/−4. Ces trois écritures représentent le même nombre. On place de préférence le signe « moins » devant la fraction.
La somme de deux nombres relatifs opposés est nulle :
−173−17/3 + 17317/3 = 0
Multiplier un relatif par −1, c’est prendre son opposé :
17317/3 × (−1) = −173−17/3
L’inverse de x (avec x non nul) est le quotient de 1 par x. On le note 1x1/x ou encore x−1.
L’inverse de 5 est 151/5 ou 5−1.
L’inverse d’un nombre relatif non nul x est le nombre relatif y tel que x × y = 1.
L’inverse de −23−2/3 est −32−3/2, en effet :
−23−2/3 × −32−3/2 = 1
La première étape pour ajouter des relatifs en écriture fractionnaire est la mise au même dénominateur :
323/2 + 232/3 = 969/6 + 464/6
Pour ajouter des relatifs en écriture fractionnaire de même dénominateur, on ajoute les numérateurs et on garde le dénominateur commun :
323/2 + 232/3 = 969/6 + 464/6 = 13613/6
Soustraire un relatif, c’est ajouter son opposé.
323/2 − 232/3 = 969/6 − 464/6 = 565/6
Écrire le calcul qui correspond à : « les trois quarts de deux tiers ».
Solution :
343/4 × 232/3
Pour multiplier des relatifs en écriture fractionnaire, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
343/4 × 232/3 = 6126/12 = 121/2
Diviser par un relatif non nul, c’est multiplier par son inverse.
On se ramène donc à une multiplication :
343/4 ÷ 232/3 = 343/4 × 323/2 = 989/8
a étant un nombre relatif, on appelle carré de a le nombre noté a2 tel que a2 = a × a.
42 = 16 52 = 25 (−6)2 = 36
a étant un nombre relatif, on appelle cube de a le nombre noté a3 tel que a3 = a × a × a.
23 = 8 (−3)3 = −27
a étant un nombre relatif et n un entier, n > 1 : \[a^{n} = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ fois}}\] On lit « a puissance n ». n est l’exposant.
Un nombre non nul élevé à la puissance 0 est égal à 1 : x0 = 1. Un nombre élevé à la puissance 1 est égal à lui-même : x1 = x.
On généralise pour les entiers relatifs :
x−1 = 1x1/x x−2 = 1x21/x2 x−3 = 1x31/x3
Au passage, on comprend la notation de l’inverse sur certaines calculatrices.
La puissance est prioritaire sur les autres opérations.
Ne pas confondre :
(−6)2 = (−6) × (−6) = 36
−62 = −36
Pour calculer avec des puissances, il est nécessaire de bien connaître la définition et d’y revenir aussi souvent que possible !
73 × 75 = (7 × 7 × 7) × (7 × 7 × 7 × 7 × 7) = 78
En revenant à la définition, il suffit d’ajouter les exposants !
73 × 53 = (7 × 5) × (7 × 5) × (7 × 5) = (7 × 5)3 = 353
737573/75 = 7 × 7 × 77 × 7 × 7 × 7 × 77 × 7 × 7/7 × 7 × 7 × 7 × 7 = 1721/72 = 7−2
En revenant à la définition, il suffit de soustraire les exposants !
735373/53 = 7 × 7 × 75 × 5 × 57 × 7 × 7/5 × 5 × 5 = 757/5 × 757/5 × 757/5 = (757/5)3
(72)3 = 72 × 72 × 72 = 76
En revenant à la définition, il suffit de multiplier les exposants !
103 = 1 000
(exposant +3 et 3 zéros après le 1)
10−5 = 0,00001
(exposant −5 et 5 zéros avant le 1)
Si n est un entier positif :
10n est un nombre entier qui s’écrit avec un 1 suivi de n zéro(s) ;
10−n est un nombre décimal qui s’écrit 0,00…01, le chiffre 1 étant précédé de n zéros.
L’écriture scientifique d’un nombre est de la forme a × 10n où a est un nombre décimal tel que : a n’a qu’un seul chiffre avant la virgule, et ce chiffre n’est pas nul.
Donner l’écriture scientifique de 789 et de 0,0258.
789 = 7,89 × 102
0,0258 = 2,58 × 10−2
L’écriture scientifique permet d’avoir très rapidement une idée de l’ordre de grandeur d’un nombre : 156 000 000 000 000 000 000 est beaucoup moins parlant que 1,56 × 1020.
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Référence au programme : Programme de mathématiques du cycle 4 (arrêté du 9 novembre 2015 modifié), encore en vigueur en classe de troisième ; le nouveau programme (arrêté du 18 février 2026) s'y appliquera à la rentrée 2028. Domaine : Nombres et calculs.
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