TBI & CO

Aire et périmètre

I. Le polygone quelconque

1. Périmètre d'un polygone quelconque

Définition

Le périmètre d’une figure est la longueur de son contour.

On imagine une fourmis qui fait le tour du polygone en calculant sa distance parcourue:

Ici on a P = 5 + 4 + 2,5 + 3 = 14,5 cm

B. Aire d'un polygone quelconque

On ne dispose pas de formule pour calculer l'aire d'un polygone quelconque !

II. Le carré

1. Périmètre d'un carré

Le périmètre d'un carré de côté c est donné par la formule suivante :

P = 4 × c

Un carré de coté 5cm a donc un périmètre de 4 × 5 = 20 cm

2. Aire d'un carré

L'aire d'un carré de côté c est donnée par la formule suivante :

A = c × c

Un carré de coté 5cm a donc une aire de 5 × 5 = 25 cm ²

III. Le rectangle

A. Périmètre d'un rectangle

Le périmètre d'un rectangle de longueur L et de largeur l est donné par la formule suivante :

P = 2 × (L + l) =2 × L + 2 × l

Ainsi, si on a un rectangle de longueur 7m et de largeur 3m, son périmètre est :

2 × (7 + 3) = 2 × 10 = 20m

ou 2 × 7 + 2 × 3 = 14 + 6 = 20m

B. Aire d'un rectangle

L'aire d'un rectangle de longueur L et de largeur l est donnée par la formule suivante :

A = L × l

Ainsi, si on a un rectangle de longueur 7m et de largeur 3m, son aire est :

7 × 3 = 21m²

IV. Le triangle rectangle

A. Périmètre d'un triangle rectangle

Le périmètre se calcule comme pour tous les polygones quelconques (penser à la fourmis) en ajoutant les mesures des segments qui le composent:

Ici on a:

P = a + b + c

Ici, si a,b et c sont respectivement égal à 4km, 3km et 5km, le périmètre du triangle est :

P = 4 + 3 + 5 = 12 km

B. Aire d'un triangle rectangle

L'aire d'un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit ont pour mesures a et b est donnée par la formule suivante :

$ A = \dfrac{a \times b}{2} $

Ici, si a,b et c sont respectivement égal à 4km, 3km et 5km, l'aire du triangle est :

$ A = \dfrac{4 \times 3}{2} = 6~km^2 $

V. Le triangle quelconque

A. Vocabulaire important

Dans le triangle quelconque ci-dessus $ (AH) \perp (BC) $. On dit que [AH] est la hauteur issue de A ou que [AH] est la hauteur relative au coté [BC]. Le point H est appelé pied de la hauteur.

B. Périmètre d'un triangle

Le périmètre se calcule comme pour tous les polygones quelconques en ajoutant les mesures des segments qui le composent:

Ici on a:

P = a + b + c

C. Aire d'un triangle
L'aire d'un triangle est égale à la moitié du produit de la longueur d'un côté par sa hauteur relative.

Ici on a :
$ A = \dfrac{a \times d}{2} $

D. Remarque :

Quand il y a un angle obtus dans le triangle, le pied de la hauteur peut se situer hors du segment :

Mais cela ne change rien, on a encore:

P = a + b + c

$ A = \dfrac{a \times d}{2} $

VI. Le cercle, le disque

A. Définition : Le cercle

Le cercle de centre O et de rayon 5cm (par exemple) est l'ensemble des points situés à 5cm de O.

5cm est le rayon du cercle.

B. Définition : Le disque

Le disque de centre O et de rayon 5cm (par exemple) est l'ensemble des points situés à moins de 5cm de O.

5cm est le rayon du disque.

C. Un peu de vocabulaire

Le point O est le centre du cercle, c'est aussi le centre du disque.
Les segments [OA], [OB] et [OC] sont des rayons du cercle (et du disque.)
La longueur OA= OB = OC est le rayon du cercle (et du disque.)
Le segment [AB] est un diamètre du cercle (et du disque.)
La longueur AB est le diamètre du cercle (et du disque.)
Le segment [BC] (pas tracé), qui joint deux points distincts du cercle, est une corde du cercle (et du disque.)
Le diamètre [AB] est la plus grande corde du cercle (et du disque.)
La partie du cercle entre B et C est un arc de cercle et se note : $ \overset{\frown}{~\text{BC}~} $.

D. Aire et périmètre

Même si ces deux objets se ressemblent, ils sont très différents. On parlera du périmètre d'un cercle et de l'aire d'un disque.

1. Périmètre de ce cercle.

Le périmètre de ce cercle de centre O, de rayon r et de diamètre d est donné par la formule :

$P = 2 \times π \times r = π \times d$

2. Aire de ce disque.

L'aire de ce disque, de rayon r et de diamètre d est donné par la formule :

$P = π \times r \times r = π \times r ²$

Officiel :

Comparer, estimer, mesurer des grandeurs géométriques avec des nombres entiers et des nombres décimaux : longueur (périmètre), aire, volume, angle - Utiliser le lexique, les unités, les instruments de mesures spécifiques de ces grandeurs

Ce que sait faire l’élève

Il connaît la formule de la longueur d’un cercle et l’utilise. Exemples de réussite
Il calcule, à l’aide de la formule et en utilisant 3,14 comme valeur approchée du nombre Pi, la longueur d’un cercle dont :

Le rayon est donné (par exemple par calcul mental dans le cas où le rayon est 5 cm, ou à l’aide d’une multiplication posée ou de la calculatrice dans le cas où le rayon est de 7,8 dm) ; (L1 ≈ 2 × 3,14 × 5 cm et L2 ≈ 2 × 3,14 × 7,8 m)
Le diamètre est donné (par exemple par calcul mental dans le cas où le diamètre est 20 cm, ou à l’aide d’une multiplication posée ou de la calculatrice dans le cas où le diamètre est de 9,6 m). (L3 ≈ 3,14 × 20 cm et L4 ≈ 3,14 × 9,6 m)

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1. Périmètre d'un carré

2. Aire d'un carré

III. Le rectangle

A. Périmètre d'un rectangle

B. Aire d'un rectangle

IV. Le triangle rectangle

A. Périmètre d'un triangle rectangle

B. Aire d'un triangle rectangle

V. Le triangle quelconque

A. Vocabulaire important

B. Périmètre d'un triangle

C. Aire d'un triangle
L'aire d'un triangle est égale à la moitié du produit de la longueur d'un côté par sa hauteur relative.

Ici on a :
\( A = \dfrac{a \times d}{2} \)

D. Remarque :

VI. Le cercle, le disque

A. Définition : Le cercle

B. Définition : Le disque

C. Un peu de vocabulaire

D. Aire et périmètre

1. Périmètre de ce cercle.

2. Aire de ce disque.

Officiel :

Comparer, estimer, mesurer des grandeurs géométriques avec des nombres entiers et des nombres décimaux : longueur (périmètre), aire, volume, angle - Utiliser le lexique, les unités, les instruments de mesures spécifiques de ces grandeurs

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2. Aire d'un carré

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V. Le triangle quelconque

A. Vocabulaire important

B. Périmètre d'un triangle

C. Aire d'un triangle L'aire d'un triangle est égale à la moitié du produit de la longueur d'un côté par sa hauteur relative. Ici on a :\( A = \dfrac{a \times d}{2} \)

D. Remarque :

VI. Le cercle, le disque

A. Définition : Le cercle

B. Définition : Le disque

C. Un peu de vocabulaire

D. Aire et périmètre

1. Périmètre de ce cercle.

2. Aire de ce disque.

Officiel :

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C. Aire d'un triangle
L'aire d'un triangle est égale à la moitié du produit de la longueur d'un côté par sa hauteur relative.

Ici on a :
\( A = \dfrac{a \times d}{2} \)