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Tous les hommes seraient des tyrans s'ils le pouvaient.
Daniel Defoe ( Sur mon T-shirt)
Traduire les expressions suivante en langage naturel :
$$ \text {1. } ~ ~ ~ x+1 $$ $$ \text {2. } ~ ~ ~ \pi + 17 $$ $$ \text {3. } ~ ~ ~ 7 \times n $$ $$ \text {4. } ~ ~ ~ 2a $$ $$ \text {5. } ~ ~ ~ a+b+c$$ $$ \text {6. } ~ ~ ~ 3b $$ $$ \text {7. } ~ ~ ~ t² + 3 $$ $$ \text {8. } ~ ~ ~ (t + 3)² $$ $$ \text {9. } ~ ~ ~ 3x + 1 $$ $$ \text {10. } ~ ~ ~ 7x + 8 $$ $$ \text {11. } ~ ~ ~ 7(x + 8) $$ $$ \text {12. } ~ ~ ~ 7(x + 8) + 2\pi $$
La procédure inverse consiste à écrire l'expression littérale d'après l'expression en langage naturel.
Exemple 1: Écrire le produit de 7 par la somme de \( \pi \) et \( \dfrac {3}{2} \) :
$$ 7(\pi + \dfrac {3}{2})$$Exemple 2: Écrire la somme de 7 et du produit de \( \pi \) et \( \dfrac {3}{2} \) :
$$ 7+ \pi \times \dfrac {3}{2} = 7 + \dfrac {\pi \times 3}{2} = 7 + \dfrac {3\pi}{2} $$Quelques-uns ont oublié les parenthèses dans l'exemple 1:
$$ 7\pi + \dfrac {3}{2}$$C'est une erreur ils ont écrit la somme du produit de 7 par \( \pi \) et de \( \dfrac{3}{2} \)
Quelques-autres ont ajouté des parenthèses dans l'exemple 2:
C'est une imperfection, dans l'expression \( 7+ (\pi \times \dfrac {3}{2}) \) , si on se souvient des priorités opératoires, les parenthèses ne servent à rien !
Cette expression est une somme de produit.
en effet en "pensant priorités opératoires" on a:
Regardons attentivement les deux produits.
Le premier est constitué de deux facteurs 2,5 et 4,36
Le deuxième est constitué de deux facteurs 7,5 et 4,36
4,36 est un facteur commun et on a :
On vient de transformer une somme en produit ! On avait des termes, maintenant on a des facteurs. On a factorisé.
Et on peut terminer le calcul :
A nouveau on a une expression du type somme, cette fois-ci de trois produits, avec le nombre \( \pi \) en facteur commun. On a :
$$ 3\pi +5 \pi +2\pi = \pi \times (3+5+2) = \pi \times 10 = 10\pi \approx 31,4 $$L'égalité suivante est toujours vraie pour tous les nombres a,b et k :
ka + kb = k(a+b)
De la gauche vers la droite on dit qu'on factorise k
La formule qu'on vient de voir va nous permettre de réduire certaines sommes algébriques :
3a+ 2b+ 5a =On a une somme de trois termes 3a, 2b et 5a. L'ordre n'importe pas...
3a + 5a + 2b = On factorise a
a(3+5) + 2b = a × 8 +2b =
8a +2b
Ici, on ne peut rien faire. On n'a aucun facteur commun aux trois produits.
Celle-ci embête les élèves comme "il n' y pas de nombre devant le t"... jusqu'à ce qu'on explique que t = 1 × t =1t
7t + 2u + t =
7t + 2u + 1t =
7t + 1t + 2u =
(7 + 1)t +2u = 8t +2u
Ici ce sont les "-" qui embêtent les élèves.
En fait on a une somme de 4 termes -2a, 3b, 2a et -2b qu'on pourrait écrire :
-2a + 3b + 2a + (-2b)
On peut changer l'ordre des termes et regrouper ceux de son choix :
-2a + 3b + 2a - 2b = a(-2 +2) + b(3 -2) = 0 × a + 1 × b = b
On additionne ou on soustrait les coefficients et on écrit le résultat.
Par abus de langage on dit qu'on compte les a, les a², les b...
Pour ne pas oublier de lettre (avec exposant) on peut prendre les exposants par ordre décroissant et les lettres par ordre alphabétique :
L'expression réduite est donc 6a² - 3a - 2b
3(5+3a) + 2a est une somme algébrique qu'il semble impossible de réduire à cause des parenthèses...
L'égalité suivante est toujours vraie pour tous les nombres a,b et k :
ka + kb = k(a+b)
De la gauche vers la droite on dit qu'on factorise k
De la droite vers la gauche on dit qu'on distribue k, ou qu'on développe (étymologie : on enlève l'enveloppe.)
Commençons par développer (distribuer 3)
3(5+3a) + 2a =
3 ×5 + 3 ×3a +2a =
15 + 9a +2a =
11a + 15
La consigne "Développer, réduire et ordonner" est une instruction courante en algèbre, particulièrement lorsqu'on travaille avec des expressions littérales. Elle regroupe trois étapes successives pour simplifier une expression mathématique. Détaillons chacune de ces étapes :
C'est l'opération contraire de la factorisation. Elle consiste à supprimer les parenthèses en appliquant la distributivité.
Exemple: Développer l'expression 3(a+2) revient à écrire 3a + 6.
Une fois les parenthèses supprimées, on regroupe les termes semblables. Les termes semblables sont ceux qui ont la même partie littérale (les mêmes lettres avec les mêmes exposants).
Exemple: Dans l'expression 3a + 2b + a - b, on regroupe les termes en a (3a et a) et les termes en b (2b et -b) pour obtenir 4a + b.
Cette étape est optionnelle mais recommandée. Elle consiste à écrire les termes de l'expression dans un ordre précis, généralement par ordre décroissant des puissances d'une lettre choisie.
Exemple: On écrira souvent l'expression 3 -2c² + c³ comme ceci: c³ - 2c² + 3
Le signe égal, bien qu'il puisse sembler simple, renferme une richesse de sens en mathématiques.
Il ne signifie pas toujours "faire" comme sur une calculatrice.
En algèbre, il exprime une égalité entre deux expressions, qu'elles soient numériques ou littérales.
C'est un outil puissant pour poser des problèmes (équations), pour vérifier des résultats, pour exprimer des relations (formules).
Parfois, il sert à affecter une valeur à une inconnue, comme dans une affectation informatique.
Il est donc essentiel de comprendre le contexte dans lequel il est utilisé pour ne pas commettre d'erreurs.
Une égalité est une affirmation qui indique que deux expressions ont la même valeur. On la représente par le signe égal.
Pour \( x=10 \) cette dernière égalité est fausse : 2×10 + 5 = 20 + 5 = 25 et 25 ≠ 11
\( P = 2\pi R\) est une formule qui nous rappelle ce qu'il faut faire pour calculer le périmètre d'un cercle...
Une équation est une égalité mathématique qui contient au moins une inconnue.
Résoudre une équation c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue qui rendent l'égalité vraie.
On a vu tout à l'heure que \(2x + 5 = 11\) est une égalité. (fausse pour \( x=10 \).)
\(x \) étant une inconnue, cette égalité est une équation. Équation que nous allons résoudre.
$$2x + 5 = 11$$ $$2x + 5 -5 = 11 - 5$$ $$2x = 6$$ $$ x=3 $$Cette équation admet une unique solution \(x = 3\)
Remarque :En testant cette valeur tout à l'heure on aurait pu conclure que 3 était une solution, mais nous n'étions pas certain que c'était la seule !
En programmation (Python dans l'image ci-dessus) le code x=5 n'est pas une égalité mais une affectation. Dans certain langage pour éviter cette ambiguïté on notera plutôt : x ← 5
L'affectation sert à attribuer une valeur à une variable. C'est comme si on mettait un étiquette sur une boîte : l'étiquette (la variable) correspond au contenu de la boîte (la valeur).
Ici, on affecte la valeur 5 à la variable x. Après cette instruction, chaque fois qu'on rencontrera x dans le programme, il sera remplacé par 5.
Le code : print(x) demande simplement à Python d'imprimer à l'écran la valeur de la variable x.
Ce qui est plus étonnant c'est que quand on écrit maintenant x=x+2, on affecte à la variable x une nouvelle valeur 5 +2 soit 7.
Vous pouvez-vous amuser avec l'affectation avec le bac à sable Python du site2wouf.fr
Au cycle 3, l’élève a fait fonctionner de manière implicite les propriétés des opérations dans le champ des nombres, mais sans les avoir formalisées en tant que propriétés générales.
Il a rencontré des formules littérales dans le cadre des apprentissages liés aux mesures de grandeurs ; la lettre y avait essentiellement valeur d’abréviation ; ainsi, la formule 𝐴 = 𝐿 × 𝑙, est une abréviation de l’expression « aire du rectangle = longueur fois largeur » utilisée par l’élève pour effectuer directement le produit des nombres donnés pour la longueur et la largeur, sans identification explicite du processus de substitution des lettres par des valeurs numériques.
L’élève a aussi appris à compléter des égalités à trou, notamment à l’occasion du travail sur les notions de différence et de quotient. Il a résolu des problèmes du premier degré sans avoir recours à la résolution d’équations, mais en agissant par tâtonnements, en ayant recours à des étapes intermédiaires avec ou sans l’aide d’outils numériques (tableur, calculatrice).
Au titre de l’entrée dans l’algèbre, l’enseignement du calcul littéral au cycle 4 vise les objectifs suivants :
Le langage algébrique permet de formuler des propriétés mathématiques et de résoudre des problèmes. À travers la pratique du calcul littéral, son apprentissage contribue donc de façon essentielle à l’objectif « comprendre, s’exprimer en utilisant les langages mathématiques, scientifiques et informatiques » du domaine 1 du socle.
Les outils algébriques (lettres, fonctions) sont également utilisés pour représenter des systèmes naturels et techniques et fournir des preuves aux problèmes qu’ils engagent. Leur utilisation participe à la mise en œuvre de la démarche scientifique, en complément de l’observation, la manipulation et l’expérimentation. Le calcul littéral contribue donc fortement à l’atteinte des objectifs du domaine 4 du socle.
Le Cahier numérique iParcours Maths 5e avec cours est un logiciel qui permet d'afficher et de projeter le Cahier d'exercices iParcours 5e (éd. 2022) en version numérique.
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