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Pierre Dac (Nouveau design !)
🔑 Code de cette page :
Les mots comme somme, produit, double, tiers… vous disent quelque chose ? Êtes-vous capables de les comprendre et de les utiliser dans des calculs ?
Traduire les expressions suivantes en langage naturel : x+1 ; \(\pi+17\) ; 7×n ; 2a ; a+b+c ; 3b ; t2+3 ; (t+3)2 ; 3x+1 ; 7x+8 ; 7(x+8) ; 7(x+8)+2.
Correction.
x+1 est la somme de x et 1 ;
\(\pi+17\) est la somme de \(\pi\) et 17 ;
7×n est le produit de 7 par n ;
2a est le double de a ;
a+b+c est la somme de a, b et c ;
3b est le triple de b ;
t2+3 est la somme du carré de t et 3 ;
(t+3)2 est le carré de la somme de t et 3 ;
3x+1 est la somme du triple de x et 1 ;
7x+8 est la somme du produit de 7 par x et 8 ;
7(x+8) est le produit de 7 par la somme de x et 8 ;
7(x+8)+2 est la somme du produit de 7 par la somme de x et 8, et de 2.
La procédure inverse consiste à écrire l’expression littérale d’après le langage naturel.
Exemple 1. Écrire le produit de 7 par la somme de \(\pi\) et 323/2 :
\(7\left(\pi + \dfrac{3}{2}\right)\)
Sans les parenthèses, on écrirait la somme du produit de 7 par \(\pi\) et de 323/2 : c’est une erreur.
Exemple 2. Écrire la somme de 7 et du produit de \(\pi\) par 323/2 :
\(7 + \pi × \dfrac{3}{2}\)
Ajouter des parenthèses autour du produit est une imperfection : avec les priorités opératoires, elles ne servent à rien.
Compétence — traduire une expression littérale
Établir un lien clair entre le langage mathématique et son interprétation verbale : comprendre +, ×, les puissances et les parenthèses, et formuler en français des expressions simples à modérées.
1. Calculer astucieusement 2,5 × 4,36 + 7,5 × 4,36. C’est une somme de deux produits ayant 4,36 pour facteur commun :
2,5 × 4,36 + 7,5 × 4,36 = 4,36 × (2,5 + 7,5) = 4,36 × 10 = 43,6
On a transformé une somme en produit : on a factorisé.
2. De même, avec \(\pi\) en facteur commun :
\(3\pi + 5\pi + 2\pi = \pi × (3 + 5 + 2) = \pi × 10 = 10\pi \approx 31{,}4\)
Pour tous les nombres a, b et k : ka + kb = k(a+b) De la gauche vers la droite, on dit qu’on factorise k.
Compétence — reconnaître et utiliser une factorisation simple
Identifier un facteur commun dans une somme de termes et transformer cette somme en un produit, pour simplifier des calculs ou manipuler des expressions.
\[\begin{aligned} 3a + 2b + 5a &= 3a + 5a + 2b = a(3+5) + 2b \\ &= 8a + 2b \end{aligned}\]
On ne peut rien faire : aucun facteur commun aux trois produits.
Comme t = 1 × t = 1t : \[\begin{aligned} 7t + 2u + t &= 7t + 1t + 2u = (7+1)t + 2u = 8t + 2u \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} -2a + 3b + 2a - 2b &= a(-2+2) + b(3-2) = 0 × a + 1 × b = b \end{aligned}\]
Pour chaque lettre (avec son exposant) : on additionne ou soustrait les coefficients et on écrit le résultat. Par abus de langage, on dit qu’on « compte les a, les a2, les b… ».
En prenant les exposants par ordre décroissant et les lettres par ordre alphabétique : 1+5 = 6 termes en a2, −3 terme en a, 4−6 = −2 termes en b.
a2 − 3a + 4b + 5a2 − 6b = 6a2 − 3a − 2b
Compétence — réduire une expression littérale
Reconnaître les termes semblables, les regrouper et effectuer les calculs pour simplifier une expression.
3(5+3a) + 2a semble impossible à réduire à cause des parenthèses…
Pour tous les nombres a, b et k : ka + kb = k(a+b). De la droite vers la gauche, on dit qu’on distribue k, ou qu’on développe (étymologie : on enlève l’enveloppe).
\[\begin{aligned} 3(5+3a) + 2a &= 3×5 + 3×3a + 2a = 15 + 9a + 2a \\ &= 11a + 15 \end{aligned}\]
Développer : opération contraire de la factorisation ; on supprime les parenthèses avec la distributivité. Ex. 3(a+2) = 3a + 6.
Réduire : on regroupe les termes semblables (même partie littérale). Ex. 3a + 2b + a − b = 4a + b.
Ordonner (facultatif mais recommandé) : on écrit les termes par puissances décroissantes. Ex. 3 − 2c2 + c3 = c3 − 2c2 + 3.
Compétence — développer une expression littérale
Appliquer la distributivité pour transformer un produit en somme, du type a(b+c), afin de préparer une réduction ou de résoudre une équation.
Le signe égal ne signifie pas toujours « faire », comme sur une calculatrice. En algèbre, il exprime une égalité entre deux expressions ; il sert à poser des problèmes (équations), à vérifier des résultats, à exprimer des relations (formules), parfois à affecter une valeur. Le signe « = » n’a pas toujours le même sens !
Une égalité affirme que deux expressions ont la même valeur ; on la note avec le signe =.
2 + 3 = 5 est une égalité vraie ;
4 + 5 = 10 est une égalité fausse ;
p + p = 2p est vraie pour tous les nombres p ;
3 × x = 12 pourrait être vraie pour certaines valeurs de x (pour x = 10 : 3×10 = 30 ≠ 12, donc fausse).
\(P = 2\pi R\) est une formule : elle rappelle comment calculer le périmètre d’un cercle.
Une équation est une égalité contenant au moins une inconnue. La résoudre, c’est trouver toutes les valeurs de l’inconnue qui rendent l’égalité vraie.
Ici, le signe « = » ne sert donc ni à annoncer un résultat, ni à écrire une formule : il pose une question. Reprenons l’égalité 3 × x = 12 vue plus haut et résolvons-la, en utilisant l’opération inverse (la division) :
x = 12312/3 = 4
Cette équation admet une unique solution : x = 4.
La résolution des équations a × x = c et x + b = c est étudiée dans la leçon « Initiation aux écritures littérales » (code LEC5LITT).
En programmation (Python), le code x = 5 n’est pas une
égalité mais une affectation : on attribue la valeur
5 à la variable x (comme une étiquette sur une boîte).
Certains langages notent d’ailleurs x
arrow 5. Ainsi x = x + 2 donne à x la nouvelle valeur 5 + 2 = 7.
Dans un tableur (Excel, LibreOffice Calc), le signe = commence une formule.
Par exemple, =A1+B1 additionne les valeurs des cellules A1
et B1. Ici, = n’exprime pas une
égalité mathématique mais lance un calcul.
Compétence — comprendre les différents usages du signe égal
Distinguer une égalité de calcul, une formule, une équation et une affectation, et utiliser le signe = à bon escient selon le contexte.
🌀 Progression spiralée. Ce chapitre est l'aboutissement du travail entamé en Initiation aux écritures littérales en début d'année : la lettre, d'abord découverte puis calculée par substitution, devient ici un objet de calcul (développer, factoriser, réduire). Entre les deux, l'écriture littérale a été réinvestie dans les formules d'aires et de volumes.
Programme de mathématiques du cycle 4 (arrêté du 18 février 2026), applicable en classe de cinquième à la rentrée 2026.
Domaine : Nombres et calculs.
Arrêté du 18 février 2026 (Légifrance) · Programmes et ressources — Éduscol
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Référence au programme : Programme de mathématiques du cycle 4 — cycle des approfondissements (arrêté du 18 février 2026), applicable en classe de cinquième à la rentrée 2026. Domaine : Calcul littéral.
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