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Des moutons dirigés par un lion sont plus redoutables que des lions dirigés par un âne.
On appelle égalité, une expression algébrique contenant le signe « = »
5 + 3 = 8
est une égalité, 5+3 est son premier membre et 8 son deuxième.
On appelle équation, une égalité dans laquelle au moins une lettre symbolise une valeur inconnue:
3 + 2𝑥 = 7
est une équation du premier degré à une inconnue.
Une égalité ne change pas si on ajoute (ou si on soustrait) un même nombre à ses deux membres.
Pour résoudre une équation, on utilise cette propriété.
3 + 2𝑥 = 7
3 + 2𝑥 - 3 = 7 - 3
2𝑥 = 4
En ajoutant -3 au deux membres de cette équation, on a réussi à isoler l'unique terme « en 𝑥 » dans le premier membre.
Une autre façon de voir les choses est la transposition (étymologiquement : poser de l'autre côté)
3 + 2𝑥 = 7
2𝑥 = 7 - 3
2𝑥 = 4
On a transposé 3 (terme d'une somme) en écrivant de l'autre côté du signe égal son opposé -3
Une égalité ne change pas si on multiplie (ou si on divise) ses deux membres par un même nombre non nul.
Pour résoudre une équation, on utilise cette propriété.
2𝑥 = 4
2𝑥 2 = 4 2
𝑥 = 2
En divisant par 2 les deux membres de cette équation, on trouve 𝑥=2.
2 est la solution de cette équation
Une autre façon de voir les choses: on divise par le coefficient de 𝑥, ici c'est 2 :
2𝑥 = 4
𝑥 = 4 2 = 2
Si un produit est nul alors l'un (au moins) de ses facteurs est nul.
Si l'un des facteurs d'un produit est nul alors ce produit est nul.
Résoudre l'équation (2𝑥 + 6)(5𝑥 - 5)=0
(2𝑥 + 6)(5𝑥 - 5)=0
Si un produit est nul alors l'un de ses facteurs est nul donc
2𝑥 + 6 = 0 ou 5𝑥 - 5 = 0
soit
2𝑥 = -6 ou 5𝑥 = 5
et
𝑥 = -6 2 = -3 ou 𝑥 = 5 5 = 1
Cette équation admet donc deux solutions: 𝑥 = -3 et 𝑥 = 1
🤔 On pense à vérifier en substituant !
Domaine : Nombres et calculs
a < b
a est strictement inférieur à b (plus petit mais pas égal)
a ⩽ b
a est inférieur (ou égal) à b (plus petit ou égal)
a > b
a est strictement supérieur à b (plus grand mais pas égal)
a ⩾ b
a est supérieur (ou égal) à b (plus grand ou égal)
On appelle inégalité une expression algébrique contenant l'un des symboles précédents.
12,5 ⩾ 10 est une inégalité
On appelle inéquation une inégalité dans laquelle au moins une lettre symbolise une valeur inconnue:
3 + 2𝑥 > 7 est une inéquation.
Une Inégalité ne change pas si on ajoute (ou si on soustrait) un même nombre à ses deux membres.
Pour résoudre une inéquation, on utilise cette propriété:
3 + 2𝑥 > 7
3 + 2𝑥 - 3 > 7 - 3
2𝑥 > 4
Une autre façon de voir les choses: la transposition:
3 + 2𝑥 > 7
on transpose 3 (-3 de l'autre côté du signe)
2𝑥 > 7 - 3
2𝑥 > 4
⚠ Il faut faire très attention quand on multiplie, ou quand on divise les deux membres d'une inégalité par un même nombre non nul:
2𝑥 > 4
2𝑥 2 > 4 2
𝑥 > 4 2
𝑥 > 2
Une autre façon de voir les choses : On divise par le coefficient de 𝑥, qui est positif:
2𝑥 > 4
𝑥 > 4 2
𝑥 > 2
On a hachuré la zone des nombres qui ne sont pas solutions.
2 n'est pas solution, on l'a donc associé (]) à la zone hachurée.
6 - 3𝑥 ⩽ 3
- 3𝑥 ⩽ 3 - 6 On a transposé 6
- 3𝑥 ⩽ -3
𝑥 ⩾ -3 -3
On divise par -3, le coefficient de 𝑥 qui est négatif : On change le sens de l'inégalité.
𝑥 ⩾ 1
On a hachuré la zone des nombres qui ne sont pas solutions. 1 est solution, on l'a donc associé ([) à la zone non hachurée.
De nombreux problèmes peuvent être traités grâce à des méthodes algébrique mettant en oeuvre équations ou inéquations.
Il est impératif de faire apparaître clairement les étapes lors de la résolution du problème :
Un élève achète 4 stylos identiques et un cahier qui coûte 3 €. Il paie 15 € en tout.
On note 𝑥 le prix d’un stylo en euros.
4𝑥 + 3
4𝑥 + 3 = 15
4𝑥 = 15 − 3
4𝑥 = 12
𝑥 = 124 = 3
4 × 3 = 12
12 + 3 = 15
Le total est bien celui attendu. ✅Domaine : Organisation et gestion de données
OFFICIEL
Utiliser le fait que des nombres relatifs de la forme ab et ac sont dans le même ordre que b et c si a est strictement positif, dans l'ordre inverse si a est strictement négatif.
Résoudre une inéquation du premier degré à 1 inconnue à coefficients numériques.
Représenter ses solutions sur une droite graduée.
Résoudre une équation sous la forme AB=0, où A et B désignent 2 expressions du premier degré de la même variable.
Mettre en équation et résoudre un problème conduisant à une équation du premier degré.
On pourra s'appuyer dans toute cette partie sur des activités déjà pratiquées dans les classes antérieures, notamment celles de tests par substitution de valeurs numériques à des lettres.
L'étude du signe d'un produit ou d'un quotient de 2 expressions du premier degré de la même variable est, elle, hors programme.
Les problèmes sont issus des différentes parties du programme.
Comme en classe de quatrième, on dégagera à chaque fois les différentes étapes du travail :
Le Cahier d'exercices iParcours Maths 3e avec cours (édition 2022) est un cahier-manuel de160 pages, avec un cours complet en début de chaque chapitre et de nombreux exercices associés, notamment pour la préparation au Brevet.
Le manuel : 7,50 €
Cette page est développée en php avec l'éditeur de texte du projet GNOME. Elle se veut conforme aux instructions officielles de l'Éducation nationale.
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