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Il semble parfois que Dieu, en créant l'homme, ait quelque peu surestimé ses capacités.
Équations Inéquations Problèmes
On appelle égalité, une expression algébrique contenant le signe « = »
5 + 3 = 8 est une égalité, 5+3 est son premier membre et 8 son deuxième.
On appelle équation, une égalité dans laquelle au moins une lettre symbolise une valeur inconnue:
3 + 2x = 7 est une équation du premier degré à une inconnue.
Une égalité ne change pas si on ajoute (ou si on soustrait) un même nombre à ses deux membres.
Pour résoudre une équation, on utilise cette propriété.
3 + 2x = 7
3 + 2x - 3 = 7 - 3
2x = 4
En ajoutant -3 aux deux membres de cette équation, on a réussi à isoler l'unique terme « en x » dans le premier membre.
3 + 2x = 7
Une autre façon de voir les choses est la transposition (étymologiquement : poser de l'autre côté)
2x = 7 - 3
2x = 4
On a transposé 3 (terme d'une somme) en écrivant de l'autre côté du signe égal son opposé -3
Une égalité ne change pas si on multiplie (ou si on divise) ses deux membres par un même nombre non nul.
Pour résoudre une équation, on utilise cette propriété.
2x=4
2x/2 = 4/2
x = 2
En divisant par 2 les deux membres de cette équation, on trouve x=2. 2 est la solution de cette équation
2x = 4
Une autre façon de voir les choses: on divise par le coefficient de x:
x=4/2=2
Si un produit est nul alors l'un (au moins) de ses facteurs est nul. Si l'un des facteurs d'un produit est nul alors ce produit est nul.
Résoudre l'équation (2x + 6)(5x - 5)=0
Si un produit est nul alors l'un de ses facteurs est nul
donc
2x + 6 = 0 ou 5x - 5 = 0
soit:
2x=-6 ou 5x=5
et:
x=-6/2=-3 ou x=5/5 = 1
Cette équation admet donc deux solutions: x=-3 et x=1
a est strictement inférieur à b (plus petit mais pas égal)
a est inférieur (ou égal) à b (plus petit ou égal)
a est strictement supérieur à b (plus grand mais pas égal)
a est supérieur (ou égal) à b (plus grand ou égal)
On appelle inégalité une expression algébrique contenant l'un des symboles précédents.
On appelle inéquation une inégalité dans laquelle au moins une lettre symbolise une valeur inconnue:
3 + 2x > 7 est une inéquation.
Une Inégalité ne change pas si on ajoute (ou si on soustrait) un même nombre à ses deux membres.
Pour résoudre une inéquation, on utilise cette propriété:
3 + 2x > 7
3 + 2x - 3 > 7 - 3
2x > 4
Une autre façon de voir les choses: la transposition:
3 + 2x > 7
on transpose 3 (-3 de l'autre côté du signe)
2x > 7 - 3
2x > 4
Il faut faire très attention quand on multiplie, ou quand on divise les deux membres d'une inégalité par un même nombre non nul:
2x >4
On divise par le coefficient de x, qui est positif:
x > 4/2
x > 2
On a hachuré la zone des nombres qui ne sont pas solutions. 2 n'est pas solution, on l'a donc associé (]) à la zone hachurée.
On a hachuré la zone des nombres qui ne sont pas solutions. 1 est solution, on l'a donc associé ([) à la zone non hachurée.
De nombreux problèmes peuvent être traités grâce à des méthodes algébrique mettant en oeuvre équations ou inéquations.
Il est impératif de faire apparaître clairement les étapes lors de la résolution du problème :
OFFICIEL
Utiliser le fait que des nombres relatifs de la forme ab et ac sont dans le même ordre que b et c si a est strictement positif, dans l'ordre inverse si a est strictement négatif.
Résoudre une inéquation du premier degré à 1 inconnue à coefficients numériques.
Représenter ses solutions sur une droite graduée.
Résoudre une équation sous la forme AB=0, où A et B désignent 2 expressions du premier degré de la même variable.
Mettre en équation et résoudre un problème conduisant à une équation ou un système de 2 équations du premier degré.
On pourra s'appuyer dans toute cette partie sur des activités déjà pratiquées dans les classes antérieures, notamment celles de tests par substitution de valeurs numériques à des lettres.
L'étude du signe d'un produit ou d'un quotient de 2 expressions du premier degré de la même variable est, elle, hors programme.
Les problèmes sont issus des différentes parties du programme.
Comme en classe de quatrième, on dégagera à chaque fois les différentes étapes du travail :
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Le manuel : 7,50 €
Cette leçon au format Open office (.zip)
Cette leçon au format PDF (Adobe Acrobat Reader)
4 images (en png), bien utiles (représentations graphiques des solutions d'une inégalité)