On peut avoir une certaine indifférence sur la peine de mort, ne point se prononcer, dire oui et non, tant qu'on n'a pas vu de ses yeux une guillotine.
Victor Hugo (Sur mon T shirt!)
Équations Inéquations Problèmes
On appelle égalité, une expression algébrique contenant le signe « = »
5 + 3 = 8 est une égalité, 5+3 est son premier membre et 8 son deuxième.
On appelle équation, une égalité dans laquelle au moins une lettre symbolise une valeur inconnue:
3 + 2x = 7 est une équation du premier degré à une inconnue.
Une égalité ne change pas si on ajoute (ou si on soustrait) un même nombre à ses deux membres.
Pour résoudre une équation, on utilise cette propriété.
3 + 2x = 7
3 + 2x - 3 = 7 - 3
2x = 4
En ajoutant -3 aux deux membres de cette équation, on a réussi à isoler l'unique terme « en x » dans le premier membre.
3 + 2x = 7
Une autre façon de voir les choses est la transposition (étymologiquement : poser de l'autre côté)
2x = 7 - 3
2x = 4
On a transposé 3 (terme d'une somme) en écrivant de l'autre côté du signe égal son opposé -3
Une égalité ne change pas si on multiplie (ou si on divise) ses deux membres par un même nombre non nul.
Pour résoudre une équation, on utilise cette propriété.
2x=4
2x/2 = 4/2
x = 2
En divisant par 2 les deux membres de cette équation, on trouve x=2. 2 est la solution de cette équation
2x = 4
Une autre façon de voir les choses: on divise par le coefficient de x:
x=4/2=2
Si un produit est nul alors l'un (au moins) de ses facteurs est nul. Si l'un des facteurs d'un produit est nul alors ce produit est nul.
Résoudre l'équation (2x + 6)(5x - 5)=0
Si un produit est nul alors l'un de ses facteurs est nul
donc
2x + 6 = 0 ou 5x - 5 = 0
soit:
2x=-6 ou 5x=5
et:
x=-6/2=-3 ou x=5/5 = 1
Cette équation admet donc deux solutions: x=-3 et x=1
a est strictement inférieur à b (plus petit mais pas égal)
a est inférieur (ou égal) à b (plus petit ou égal)
a est strictement supérieur à b (plus grand mais pas égal)
a est supérieur (ou égal) à b (plus grand ou égal)
On appelle inégalité une expression algébrique contenant l'un des symboles précédents.
On appelle inéquation une inégalité dans laquelle au moins une lettre symbolise une valeur inconnue:
3 + 2x > 7 est une inéquation.
Une Inégalité ne change pas si on ajoute (ou si on soustrait) un même nombre à ses deux membres.
Pour résoudre une inéquation, on utilise cette propriété:
3 + 2x > 7
3 + 2x - 3 > 7 - 3
2x > 4
Une autre façon de voir les choses: la transposition:
3 + 2x > 7
on transpose 3 (-3 de l'autre côté du signe)
2x > 7 - 3
2x > 4
Il faut faire très attention quand on multiplie, ou quand on divise les deux membres d'une inégalité par un même nombre non nul:
2x >4
On divise par le coefficient de x, qui est positif:
x > 4/2
x > 2
On a hachuré la zone des nombres qui ne sont pas solutions. 2 n'est pas solution, on l'a donc associé (]) à la zone hachurée.
On a hachuré la zone des nombres qui ne sont pas solutions. 1 est solution, on l'a donc associé ([) à la zone non hachurée.
De nombreux problèmes peuvent être traités grâce à des méthodes algébrique mettant en oeuvre équations ou inéquations.
Il est impératif de faire apparaître clairement les étapes lors de la résolution du problème :
OFFICIEL
Utiliser le fait que des nombres relatifs de la forme ab et ac sont dans le même ordre que b et c si a est strictement positif, dans l'ordre inverse si a est strictement négatif.
Résoudre une inéquation du premier degré à 1 inconnue à coefficients numériques.
Représenter ses solutions sur une droite graduée.
Résoudre une équation sous la forme AB=0, où A et B désignent 2 expressions du premier degré de la même variable.
Mettre en équation et résoudre un problème conduisant à une équation ou un système de 2 équations du premier degré.
On pourra s'appuyer dans toute cette partie sur des activités déjà pratiquées dans les classes antérieures, notamment celles de tests par substitution de valeurs numériques à des lettres.
L'étude du signe d'un produit ou d'un quotient de 2 expressions du premier degré de la même variable est, elle, hors programme.
Les problèmes sont issus des différentes parties du programme.
Comme en classe de quatrième, on dégagera à chaque fois les différentes étapes du travail :
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4 images (en png), bien utiles (représentations graphiques des solutions d'une inégalité)