Vieillir, c'est déjeuner.
Wouf
Il est recommandé avant toutes choses de relire la leçon Equations et inéquations.
Ici on remarque que l'inconnue (x) se situe dans une somme (\( x+7 \)) et n'existe que d'un seul côté du égal.
Une égalité ne change pas quand on ajoute (ou soustrait) un même nombre à ses deux membres.
En enlevant 7 aux deux membres de l’équation, on obtient :
\begin{align} x+7 \color{red}{-7} \color{black}{= 100 }\color{red}{-7} \end{align}Soit :
\begin{align} x = 93 \end{align}Et, pour écrire que l'ensemble des solutions est un singleton (ensemble à un seul élément) ne contenant que la valeur 93 :
\begin{align} S = \{ 93 \} \end{align}Cette façon "de penser" est jusifiée par la méthode précédente.
\begin{align} x+7 = 100 \end{align}On transpose +7
( éthymologiquement on pose +7 de l'autre côté du égal.) Pour cela on déplace +7 en prenant son opposé de l'autre côté du égal (-7) :
\begin{align} x = 100 \color{red}{-7} \end{align} \begin{align} x = 93 \end{align} \begin{align} S = \{ 93 \} \end{align}Ici on remarque que l'inconnue (x) se situe dans un produit (\( x \times 7 \)) et n'existe que d'un seul côté du égal.
Une égalité ne change pas quand on multiplie (ou divise) ses deux membres par un même nombre non nul.
En divisant par 4 les deux membres de l’équation, on obtient :
\begin{align} {x \times 4 \over \color{red}{4} } \color{black}{=} {100 \over \color{red}{4}} \end{align}Soit :
\begin{align} x = 25 \end{align} \begin{align} S = \{ 25 \} \end{align}Cette façon "de penser" est jusifiée par la méthode précédente.
On divise par le coefficient (non nul) de x (4)
\begin{align} x = {100 \over \color{red}{4}} \color{black}{=} 25 \end{align} \begin{align} S = \{ 25 \} \end{align}Ici notre plan va être de commencer par isoler le terme en \(x\) (\( 2x \)) d'un côté du signe égal...
On transpose 5
\begin{align} 2x = 21 - 5 = 16 \end{align}On divise par le coefficient non nul 2
\begin{align} x = {16 \over 2} =8 \end{align} \begin{align} S = \{ 8 \} \end{align}Ici, la méthode traditionnelle voudrait qu'on développe le premier membre pour retomber sur un exemple similaire au 3. Mais il y a plus simple, nous le verrons ensuite.
Je développe le premier membre :
\begin{align} 3x + 6 = 300 \end{align}Je transpose 6.
\begin{align} 3x = 300 - 6 = 294 \end{align}Je divise par le coefficient de \(x\) :
\begin{align} x = {294 \over 3 } = 98 \end{align} \begin{align} S = \{ 98 \} \end{align}300 étant un multiple de 3 il aurait été plus intérressant d'utiliser la propriété 2 et de diviser les deux membres par 3 :
\begin{align} x+2=100 \end{align}Et de transposer 2.
\begin{align} x=100 - 2 = 98 \end{align} \begin{align} S = \{ 98 \} \end{align}C'est le type le plus classique d'équation du premier degré à une inconnue. Celui qu'on retrouve le plus fréquemment en fin de cycle 4.
On a une expression du type \( ax + b \) dans chaque membre de l'égalité.
De façon à n'avoir que des termes en \(x\) à gauche du égal on effectue une double transposition :
\begin{align} 4x-3x = -3 -7 \end{align} \begin{align} x = -10 \end{align} \begin{align} S = \{ -10 \} \end{align}C'est la même chose qu'au dessus !
\begin{align} 3x+ 11x=8 -5 \end{align} \begin{align} 14x=3 \end{align}Et on divise, comme d'habitude par le coefficent de x (non nul)
\begin{align} x = {3 \over 14} \end{align} \begin{align} S = \left\{ {3 \over 14} \right\} \end{align}On trouve ce type d'équation du premier degré à une inconnue, avec une égalité de fractions, assez souvent en fin de cycle 4 :
On peut se débrouiller en utilsant plusieurs fois la propriété 2 pour trouver la valeur de \(x\). Mais un moyen mnémotechnique est efficace et rapide : L'égalité fractionnaire montre deux diagonales. L'une d'entre elle ne contient pas l'inconnue, Il suffit de diviser le produit des valeurs de cette diagonale par le nombre restant. Et on a :
\begin{align} x = \frac{3 \times 5}{2} = \frac{15}{2} = 7,5 \end{align} \begin{align} S = \{ 7,5 \} \end{align}C'est la même chose qu'au dessus !
\begin{align} x = \frac{5 \times 11}{32} = \frac{55}{32} \approx 1,7 \end{align} \begin{align} S = \left\{ \frac{55}{32} \right\} \end{align}Dans l'écriture de la solution de manière ensembliste (avec les accolades), on ne fait apparaître que la valeur exacte !
Pourquoi cet exemple? Parceque vous êtes nombreux à être effrayé par les fractions...
On va commencer par transposer \({2\over 3} x\) : \begin{align} 3x - {2\over 3} x =5\end{align}
On va gérer la fraction par une simple mise au même dénominateur :
\begin{align} {9\over 3}x - {2\over 3} x =5\end{align} \begin{align} {7\over 3}x =5\end{align}il nous reste à diviser par le coefficient de \(x\) , c'est à dire à multiplier par l'inverse de \({7\over 3}\):
\begin{align} x =5 \times {3\over 7} = {15\over 7} \approx 2,1 \end{align} \begin{align} S = \left\{ \frac{15}{7} \right\} \end{align}Ici, on peut, comme d'habitude, diviser par le coefficient de \(x\) , qui est non nul (lui):
\begin{align} x = {0 \over -8} =0 \end{align} \begin{align} S = \{ 0 \} \end{align}Mais on peut aussi utiliser les propriétés 3 et 4 :
Si un produit est nul alors l'un des ses facteurs est nul.
Si l'un des facteurs d'un produit est nul, alors ce produit est nul.
Et on a immédiatement :
\begin{align} x = 0 \end{align} \begin{align} S = \{ 0 \} \end{align}Les dix premiers exemples ont évoqué des équations du premier degré (L'inconnu est sans puissance, ou à la puissance 1). Cette onzième est une équation du second degré (à une inconnue).
Pour les résoudre nous utiliserons la factorisation gràce l'identité remarquable :
\begin{align} \color{red}\fbox{a² - b²=(a-b)(a+b)} \end{align}En transposant 25, on va d'abord faire apparître une différence de deux carrés :
\begin{align} x²- 25 = 0 \end{align}On factorise ensuite à l'aide de l'égalité remarquable :
\begin{align} (x-5)(x+5) = 0 \end{align}On utilise la propriété 3 :
Si un produit est nul alors l'un des ses facteurs est nul.
On a donc :
\begin{align} x-5 =0 \text{ ou } x+5=0 \end{align}Et :
\begin{align} x=5\text{ ou } x=-5 \end{align}D'après la propriété 4 :
Si l'un des facteurs d'un produit est nul, alors ce produit est nul.
ces valeurs sont bien solutions :
\begin{align} S = \{ -5 ; 5 \} \end{align}On peut très vite faire apparaître une différence de deux carrés :
\begin{align} 4x² - 9 = 0 \end{align}On factorise :
\begin{align} (2x-3)(2x+3) = 0 \end{align}Si un produit est nul alors l'un des ses facteurs est nul.
On a donc :
\begin{align} 2x-3 = 0 \text{ ou } 2x +3 = 0 \end{align}Et :
\begin{align} 2x=3 \text{ ou } 2x =-3 \end{align} \begin{align} x={ 3\over 2} \text{ ou } x={ -3\over 2} \end{align}Si l'un des facteurs d'un produit est nul, alors ce produit est nul.
\begin{align} S = \left\{ -{ 3\over 2} ; { 3\over 2} \right\} \end{align}Si un produit est nul alors l'un des ses facteurs est nul.
On a donc :
\begin{align} 3x-1= 0 \text{ ou } 2x+5 = 0 \end{align}Et :
\begin{align} 3x=1 \text{ ou } 2x =-5 \end{align} \begin{align} x={ 1\over 3} \text{ ou } x={ -5\over 2} \end{align}Si l'un des facteurs d'un produit est nul, alors ce produit est nul.
\begin{align} S = \left\{ -{ 5\over 2} ; { 1\over 3} \right\} \end{align}Si un produit est nul alors l'un des ses facteurs est nul.
On a donc :
\begin{align} 3x-1= 0 \text{ ou } x = 0 \end{align}Et :
\begin{align} 3x=1 \text{ ou } x=0 \end{align} \begin{align} x={ 1\over 3} \text{ ou } x=0 \end{align}Si l'un des facteurs d'un produit est nul, alors ce produit est nul.
\begin{align} S = \left\{ 0 ; { 1\over 3} \right\} \end{align}Nombreux sont ceux qui font ici l'erreur suivante : Ils développent.
\begin{align} (2x-3)(2x-3)=(5x+1)(5x+1) \end{align} \begin{align} 4x²-6x-6x+9 = 25x²+5x+5x+1 \end{align} \begin{align} 4x²-12x+9 = 25x²+10x+1 \end{align}En transposant, ils obtiennent :
\begin{align} -21x² -22x + 8 =0 \end{align}Au cycle 4, nous nous trouvons bloqués, et c'est au lycée qu'on apprendra la méthode de résolution !
Si un produit est nul alors l'un des ses facteurs est nul.
On a donc :
\begin{align} -3x = 4 \text{ ou } 7x = 2 \end{align}Et :
\begin{align} x=-{ 4\over 3} \text{ ou } x={ 2\over 7} \end{align}Si l'un des facteurs d'un produit est nul, alors ce produit est nul.
\begin{align} S = \left\{ -{ 4\over 3} ; { 2\over 7} \right\} \end{align}Dès le début du cycle 4, les élèves comprennent l'intérêt d'utiliser une écriture littérale. Ils apprennent à tester une égalité en attribuant des valeurs numériques au nombre désigné par une lettre qui y figure. À partir de la 4e, ils rencontrent les notions de variables et d'inconnues, la factorisation, le développement et la réduction d'expressions algébriques. Ils commencent à résoudre, de façon exacte ou approchée, des problèmes du 1er degré à une inconnue et apprennent à modéliser une situation à l'aide d'une formule, d'une équation ou d'une inéquation. En 3e, ils résolvent algébriquement équations et inéquations du 1er degré et mobilisent le calcul littéral pour démontrer. Ils font le lien entre forme algébrique et représentation graphique.
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