1. x + 7 = 100

L’inconnue est dans une somme, d’un seul côté. Par P1, on enlève 7 aux deux membres (transposition de +7) :

\(S = \{93\}\). Vérification : 93 + 7 = 100.

2. x × 4 = 100

L’inconnue est dans un produit. Par P2, on divise par le coefficient de x (4) :

\(S = \{25\}\). Vérification : 25 × 4 = 100.

3. 2x + 5 = 21

On isole le terme en x (transposition de 5), puis on divise par 2 :

\(S = \{8\}\). Vérification : 2 × 8 + 5 = 16 + 5 = 21.

4. 3(x + 2) = 300

300 étant multiple de 3, le plus rapide est de diviser d’abord les deux membres par 3 (P2), puis de transposer 2 :

\(S = \{98\}\). Vérification : 3 × (98 + 2) = 3 × 100 = 300.

5. 4x + 7 = 3x − 3

Type le plus classique (ax + b dans chaque membre). Double transposition pour regrouper les x à gauche :

\(S = \{-10\}\). Vérification : 4 × (−10) + 7 = −33 et 3 × (−10) − 3 = −33.

6. 3x + 5 = −11x + 8

Même méthode :

\(S = \left\{\dfrac{3}{14}\right\}\). Vérification : les deux membres valent 791479/14.

7. 3x3/x = 252/5

Égalité de fractions (fréquente avec Thalès ou la trigonométrie). On divise le produit de la diagonale sans inconnue par le nombre restant :

\(S = \{7{,}5\}\). Vérification (produits en croix) : 3 × 5 = 15 et 2 × 15215/2 = 15.

8. x11x/11 = 5325/32

Même méthode :

\(S = \left\{\dfrac{55}{32}\right\}\) (on ne met que la valeur exacte entre accolades). Vérification par les produits en croix (55).

9. 3x = 232/3x + 5

On transpose 232/3x, puis on met au même dénominateur :

On multiplie par l’inverse de 737/3 :

\(S = \left\{\dfrac{15}{7}\right\}\). Vérification : les deux membres valent 45745/7.

10. −8x = 0

On divise par le coefficient non nul −8 (P2), ou on applique P3 directement :

\(S = \{0\}\).

11. x² = 25

Première équation du second degré. On fait apparaître une différence de deux carrés, puis on factorise avec a² − b² = (a−b)(a+b) :

Par P3 : x − 5 = 0 ou x + 5 = 0, d’où x = 5 ou x = −5. \(S = \{-5\,;\,5\}\). Vérification : \((\pm 5)^{2} = 25\).

12. 4x² = 9

Différence de deux carrés :

Par P3 : 2x = 3 ou 2x = −3, d’où x = 323/2 ou x = −323/2. \(S = \left\{-\dfrac{3}{2}\,;\,\dfrac{3}{2}\right\}\). Vérification : \(4 \times \left(\pm\dfrac{3}{2}\right)^{2} = 4 \times \dfrac{9}{4} = 9\).

13. (3x − 1)(2x + 5) = 0

Produit déjà factorisé. Par P3 : 3x − 1 = 0 ou 2x + 5 = 0, d’où x = 131/3 ou x = −525/2. \(S = \left\{-\dfrac{5}{2}\,;\,\dfrac{1}{3}\right\}\).

14. 7(3x − 1)x = 0

Par P3 : 3x − 1 = 0 ou x = 0, d’où x = 131/3 ou x = 0. \(S = \left\{0\,;\,\dfrac{1}{3}\right\}\).

15. (2x − 3)² = (5x + 1)²

Mauvaise idée : développer conduit à −21x² − 22x + 8 = 0, qu’on ne sait pas résoudre au cycle 4. Bonne idée : faire apparaître une différence de deux carrés.

Par P3 : −3x = 4 ou 7x = 2, d’où x = −434/3 ou x = 272/7. \(S = \left\{-\dfrac{4}{3}\,;\,\dfrac{2}{7}\right\}\). (Vérification : les deux membres valent 2899289/9 pour −434/3, et 28949289/49 pour 272/7.)

16. x + 2 = x + 5

Ici la difficulté est la conclusion. Double transposition :

On devrait diviser par le coefficient de x, mais c’est 0 : la division par zéro est interdite. Aucun nombre multiplié par 0 ne donne 5 : l’équation n’a aucune solution.

(sans accolades).

17. 2x + 4 = 2(x + 2)

On ne peut pas diviser par 0, mais tout nombre multiplié par 0 donne 0 : tous les nombres sont solutions. L’ensemble des réels se note \(\mathbb{R}\) :