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Tous les matins, j'apporte à ma femme le café au lit. Elle n'a plus qu'à le moudre.
Pierre Desproges (sur mon T shirt!)
Lorsque l'on réalise une enquête, on est amené à étudier des caractères propres à chaque individu.
L'ensemble des individus est appelé la population.
Le caractère peut être qualitatif (la couleur des cheveux, les sports pratiqués ou le type de film préféré) ou quantitatif (la taille, l'âge, le temps passé devant la télévision).
L'ensemble des données collectées s'appelle une série statistique. Avant traitement, elle est appelée série brute.
Le nombre total d'individus de la population est appelé effectif total de la série.
Le nombre d'individus qui possèdent un même caractère est appelé effectif du caractère.
La fréquence d'une valeur est le quotient :
effectif de la valeur effectif total
Elle peut être exprimée sous forme décimale (exacte ou approchée) ou fractionnaire.
C'est un nombre entre 0 et 1.
La fréquence en pourcentage est l'écriture de la fréquence sous forme de pourcentage:
"effectif de la valeur" "effectif total" ×100
Un tableau permet de regrouper et d'organiser des données, de lire et d'interpréter facilement des informations.
Si on étudie un caractère quantitatif, on peut regrouper les données par classes pour limiter la taille du tableau de données. On détermine alors les effectifs de chaque classe.
Voici les résultats au lancer de javelot lors d’un championnat d’athlétisme.
Les longueurs sont exprimées en mètres :
| Longueur ℓ du lancer (en mètres) | 30 ≤ ℓ < 35 | 35 ≤ ℓ < 40 | 40 ≤ ℓ < 45 | 45 ≤ ℓ < 50 | Total |
|---|---|---|---|---|---|
| Nombre de sportifs | |||||
| Fréquence | |||||
| Fréquence en pourcentage |
| Longueur ℓ du lancer (en mètres) | 30 ≤ ℓ < 35 | 35 ≤ ℓ < 40 | 40 ≤ ℓ < 45 | 45 ≤ ℓ < 50 | Total |
|---|---|---|---|---|---|
| Nombre de sportifs | 1 | 6 | 12 | 6 | 25 |
| Fréquence | 0,04 | 0,24 | 0,48 | 0,24 | 1 |
| Fréquence en pourcentage | 4 % | 24 % | 48 % | 24 % | 100 % |
Il suffit d'additionner les pourcentages des deux dernières classes dans la ligne "Fréquence en pourcentage" du tableau :
48 + 24 = 72
Le pourcentage de sportifs ayant lancé au moins à 40 mètres est 72%
Dans un diagramme circulaire (ou semi-circulaire), les mesures des angles au centre sont proportionnelles aux quantités représentées.
Dans un diagramme en barres (ou en bâtons), les hauteurs des bâtons sont proportionnelles aux quantités représentées.
Pour représenter une situation, il existe plusieurs types de représentations
| Longueur ℓ du lancer (en mètres) | 30 ≤ ℓ < 35 | 35 ≤ ℓ < 40 | 40 ≤ ℓ < 45 | 45 ≤ ℓ < 50 | Total |
|---|---|---|---|---|---|
| Nombre de sportifs | 1 | 6 | 12 | 6 | 25 |
| Fréquence | 0,04 | 0,24 | 0,48 | 0,24 | 1 |
| Fréquence en pourcentage | 4 % | 24 % | 48 % | 24 % | 100 % |
Si x1, x2, ..., xp représentent les valeurs du caractère de la série, et M la moyenne de cette série statistique, on a alors :
M = x1+x2+...+xp p
Si les données sont regroupées par classe, on choisit une valeur de l'intervalle pour effectuer le calcul de la moyenne. Classiquement, on prend la valeur centrale de la classe.
| Longueur ℓ du lancer (en mètres) | 30 ≤ ℓ < 35 | 35 ≤ ℓ < 40 | 40 ≤ ℓ < 45 | 45 ≤ ℓ < 50 | Total |
|---|---|---|---|---|---|
| Nombre de sportifs | 1 | 6 | 12 | 6 | 25 |
| Fréquence | 0,04 | 0,24 | 0,48 | 0,24 | 1 |
| Fréquence en pourcentage | 4 % | 24 % | 48 % | 24 % | 100 % |
| Valeur centrale | 32,5 | - |
| Longueur ℓ du lancer (en mètres) | 30 ≤ ℓ < 35 | 35 ≤ ℓ < 40 | 40 ≤ ℓ < 45 | 45 ≤ ℓ < 50 | Total |
|---|---|---|---|---|---|
| Nombre de sportifs | 1 | 6 | 12 | 6 | 25 |
| Fréquence | 0,04 | 0,24 | 0,48 | 0,24 | 1 |
| Fréquence en pourcentage | 4 % | 24 % | 48 % | 24 % | 100 % |
| Valeur centrale | 32,5 | 37,5 | 42,5 | 47,5 | – |
La longueur moyenne (estimée) du lancer est :
1 × 32,5 + 6 × 37,5 + 12 × 42,5 + 6 × 47,5 25 = 1 052,5 25 = 42,1 m
La médiane m d'une série dont les valeurs sont ordonnées est la plus petite valeur telle qu'il y ait au moins la moitié de l'effectif inférieur à cette valeur.
L'étendue d'une série est la différence entre la plus grande et la plus petite des valeurs prises par cette série.
Voici à nouveau, les résultats au lancer de javelot lors d’un championnat d’athlétisme.
Les longueurs sont exprimées en mètres :
Il y a 25 lancers au total, donc la médiane est la 13e valeur lorsque les données sont rangées par ordre croissant.
Valeurs triées : 32, 36, 36, 37, 37, 38, 39, 39, 40, 40, 40, 41, 41, 42, 43, 43, 43, 43, 44, 44, 44, 45, 46, 46, 47, 48
La 13e valeur est 41, donc le lancer médian est 41 m.
L'étendue est 48 – 32 = 16 m.
Les probabilités sont une branche des mathématiques qui s'intéresse à quantifier l'incertitude liée à des événements futurs. Elles nous permettent d'évaluer la chance qu'un événement particulier se produise.
Elles s'intéressent à la collecte, à l'organisation, à l'analyse et à l'interprétation de données numériques. Elle permet de décrire des populations et d'identifier des tendances.
Elles étudient le hasard et l'incertitude, en quantifiant la probabilité qu'un événement se produise. Elle sert à modéliser des phénomènes aléatoires.
En combinant ces deux approches, on peut non seulement décrire des données existantes, mais aussi prédire des événements futurs et prendre des décisions éclairées en tenant compte de l'incertitude.
Une expérience aléatoire est une expérience qu'on peut répéter, dont le résultat ne peut être prédit avec certitude avant sa réalisation, même si l'ensemble des résultats possibles est connu.
Par exemple :
Une issue est tout résultat possible d'une expérience aléatoire. C'est le résultat concret que l'on obtient lorsqu'on réalise une fois l'expérience.
Un événement d'une expérience aléatoire est un regroupement de plusieurs issues qui nous intéresse particulièrement.
L'événement "obtenir un nombre pair" est composé de 3 issues (Obtenir 2, obtenir 4 et obtenir 6)
L'événement "Obtenir un roi" est composé de 4 issues. Obtenir l'un des quatre rois : R♣ R♠ R♥ R♦
Ce genre d'événement qui ne contient qu'une seule issue est appelé événement élémentaire.
La probabilité d'un événement est une mesure numérique qui exprime la chance que cet événement se produise lors d'une expérience aléatoire. Elle est comprise entre 0 et 1 :
L'équiprobabilité est une notion fondamentale en théorie des probabilités qui décrit une situation où toutes les issues d'une expérience aléatoire ont exactement la même chance de se produire.
On ne s'intéressera cette année qu'aux expériences aléatoires en situation d'équiprobabilité.
Chaque issue à une chance sur 6 de se réaliser.
On écrira par exemple:
p(5) = 1 6
pour dire que la probabilté de faire un 5 (événement élémentaire) est 1 6
En cas d'équiprobabilité, la probabilité d'un événement est égale au quotient du nombre d'issues favorables par le nombre d'issues total
P(un événement) = nombre d'issues favorables nombre d'issues total
Ainsi la propabilité de faire un nombre pair est 3 6 = 1 2 = 0,5
La probabilité de tirer un roi est 4 52 = 1 13 ≈ 0,08
Une urne contient deux boules vertes, cinq boules grises et une boule bordeaux, indiscernables au toucher.
On tire successivement, et sans remise, deux boules.
Il y a deux boules vertes sur un total de 8 boules.
La probabilité de tirer une boule verte au premier tirage est donc :
28 = 14 = 0,25
Probabilité de tirer une boule bordeaux au 2ème tirage :
28 × 17 + 58 × 17 =
256 + 556 =
756 = 18 = 0,125 = 12,5%
Un collège propose deux activités aux élèves de 3e pour une sortie de fin d’année : canoë ou randonnée. Les élèves doivent choisir leur activité préférée.
On interroge un échantillon de 80 élèves. On distingue les filles et les garçons. Les résultats sont regroupés dans le tableau ci-dessous :
| Canoë | Randonnée | Total | |
|---|---|---|---|
| Filles | 18 | 22 | ? |
| Garçons | 28 | ? | 40 |
| Total | ? | ? | 80 |
L’effectif total est 80 élèves, dont 40 garçons.
Donc le nombre de filles est :
80 − 40 = 40
Il y a 40 filles.
Parmi les filles, 18 ont choisi le canoë et 22 la randonnée, ce qui correspond bien au total de 40.
Parmi les 40 garçons, 28 ont opté pour le canoë.
40 − 28 = 12
12 garçons ont choisi la randonnée.
8 + 28 = 46
Le nombre d'élèves ayant choisi le canoë est 46.
22 + 12 = 34
Le nombre d'élèves ayant choisi la randonnée est 34.
| Canoë | Randonnée | Total | |
|---|---|---|---|
| Filles | 18 | 22 | 40 |
| Garçons | 28 | 12 | 40 |
| Total | 46 | 34 | 80 |
4080 = 12 = 0,5
4680 = 2340 = 0,575
1280 = 320 = 0,15
Sur les 46 élèves ayant choisi le canoë, 18 sont des filles:
1846 = 923 ≈ 0,39
Au cycle 4, un travail sur le hasard est engagé. Il vise à repérer les représentations initiales que les élèves s'en font, à les dépasser dans une perspective rationnelle pour aboutir à la notion de probabilité qui quantifie l'attente d'un événement dont la réalisation est considérée comme dépendante du hasard.
Dès le début du cycle 4, des questions relatives au hasard sont abordées à partir de situations de la vie courante (jeux, achats, médias…). La perception naturelle du hasard peut être qualifiée par des adjectifs : peu probable, probable, certain, etc.
Ces activités permettent d’introduire peu à peu les notions de probabilité, de les ordonner et de les quantifier sur une échelle de 0 à 1. L’interprétation fréquentiste permet de dépasser le modèle équiprobable dès la 4e.
Le lien entre expérience aléatoire et probabilité est construit progressivement. L’approche utilisée privilégie les expériences concrètes (tirage dans une urne, lancers de dés, etc.). Elle débouche sur l’interprétation fréquentiste, avec des comparaisons de fréquences obtenues expérimentalement. Ce lien est renforcé par le recours à des outils tels que le tableur ou la programmation.
La prise en compte des conceptions initiales des élèves sur le hasard est importante. L'effet mémoire dans les jeux de pile ou face, les idées fausses comme « il n’est pas tombé depuis longtemps » sont fréquentes. Il est donc utile de créer du conflit cognitif à partir de jeux, simulations, situations ludiques.
Le recours à l’équiprobabilité permet une première approche du calcul de probabilité par dénombrement. Mais il est important de ne pas s’y limiter. L’étude de cas non équiprobables (urnes déséquilibrées, biais, etc.) permet d’approfondir la notion.
Les probabilités permettent également de travailler les grandeurs (longueur, aire, volume) dans le cadre de tirages aléatoires sur des supports géométriques.
Les activités autour des statistiques et probabilités permettent de mobiliser :
Le Cahier d'exercices iParcours Maths 3e avec cours (édition 2022) est un cahier-manuel de160 pages, avec un cours complet en début de chaque chapitre et de nombreux exercices associés, notamment pour la préparation au Brevet.
Le manuel : 7,50 €
Cette page est développée en php avec l'éditeur de texte du projet GNOME. Elle se veut conforme aux instructions officielles de l'Éducation nationale.
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