I Statistiques : Vocabulaire

A Vocabulaire de base

Définitions

Lorsque l'on réalise une enquête, on est amené à étudier des caractères propres à chaque individu. L'ensemble des individus est appelé la population. Le caractère peut être qualitatif (la couleur des cheveux, les sports pratiqués ou le type de film préféré) ou quantitatif (la taille, l'âge, le temps passé devant la télévision). L'ensemble des données collectées s'appelle une série statistique. Avant traitement, elle est appelée série brute.

Effectifs : définition et calcul

Le nombre total d'individus de la population est appelé effectif total de la série. Le nombre d'individus qui possèdent un même caractère est appelé effectif du caractère.

Fréquences : définition et calcul

La fréquence d'une valeur est le quotient : "effectif de la valeur" /"effectif total" . Elle peut être exprimée sous forme décimale (exacte ou approchée) ou fractionnaire. C'est un nombre entre 0 et 1. La fréquence en pourcentage est l'écriture de la fréquence sous forme de pourcentage: "effectif de la valeur" /"effectif total" ×100

B Représenter et lire des données

Définitions

Un tableau permet de regrouper et d'organiser des données, de lire et d'interpréter facilement des informations.

Si on étudie un caractère quantitatif, on peut regrouper les données par classes pour limiter la taille du tableau de données. On détermine alors les effectifs de chaque classe.

Représentations :

Dans un diagramme circulaire (ou semi-circulaire), les mesures des angles au centre sont proportionnelles aux quantités représentées. Dans un diagramme en barres (ou en bâtons), les hauteurs des bâtons sont proportionnelles aux quantités représentées.
Pour représenter une situation, il existe plusieurs types de représentations :

• Le graphique qui montre les évolutions
• Le diagramme circulaire qui montre les proportions
• Le diagramme en barres (ou en bâtons) qui montre les répartitions
• L'histogramme pour les séries regroupées en classes

Moyenne d'une série statistique

Si x1, x2, ..., xp représentent les valeurs du caractère de la série, et M la moyenne de cette série statistique, on a alors :M=(x1+x2+...+xp)/p.

Remarque :

Si les données sont regroupées par classe, on choisit une valeur de l'intervalle pour effectuer le calcul de la moyenne. Classiquement, on prend la valeur centrale de la classe.

Calculer une médiane, une étendue

La médiane m d'une série dont les valeurs sont ordonnées est la plus petite valeur telle qu'il y ait au moins la moitié de l'effectif inférieur à cette valeur. L'étendue d'une série est la différence entre la plus grande et la plus petite des valeurs prises par cette série.

Les exercices du jour sur les statistiques (corrigés)

II. Probabilités

Définitions

Une expérience aléatoire est une expérience renouvelable à l'identique, dont les résultats possibles sont connus sans qu'on puisse déterminer lequel sera réalisé.

A retenir :

• Les résultats possibles s'appellent des issues.
• Un événement est un ensemble d'issues.
• Un événement élémentaire est un événement qui ne contient qu'une seule issue.
• La probabilité d'un événement estime sa chance de se produire.
• Une situation d'équiprobabilité est une expérience où toutes les issues ont la même chance de se produire.
• En cas d'équiprobabilité, une probabilité se calcule par :"nombre d'issues favorables" /"nombre d'issues possibles" .
• Une probabilité est un nombre compris entre 0 et 1.
• Plus la probabilité est proche de 1, plus l'événement a de chance de se réaliser.
• Si elle est égale à 1, l'événement se produit systématiquement. Il est certain.
• Une probabilité nulle traduit que l'événement est impossible.

Les exercices du jour sur les probabilités (corrigés)

Officiel

Au cycle 4, un travail sur le hasard est engagé. Il vise à repérer les représentations initiales que les élèves s'en font, à les dépasser dans une perspective rationnelle pour aboutir à la notion de probabilité qui quantifie l'attente d'un événement dont la réalisation est considérée comme dépendante du hasard. L'approche se fait d'abord à partir de situations familières aux élèves et relevant de l'équiprobabilité puis, à partir de la classe de quatrième, de manière fréquentiste (observation de la stabilisation des fréquences) pour disposer d'autres modèles.

Statistiques

• Recueillir des données, les organiser.
• Lire des données sous forme de données brutes,de tableau, de graphique.
• Calculer des efectifs, des fréquences.
• Tableaux, représentations graphiques (diagrammes en bâtons, diagrammes circulaires, histogrammes).
• Calculer et interpréter des caractéristiques de position ou de dispersion d'une série statistique. (Indicateurs : moyenne, médiane, étendue.)

Lien avec les domaines du socle

L'approche de la notion de probabilité sous forme de débats à partir des représentations initiales des élèves permet de travailler le domaine 1 (les langages pour penser et communiquer), en utilisant la langue française à l'oral et le domaine 3 (la formation de la personne et du citoyen), en apprenant à respecter et à prendre en compte la parole d'autrui. Les raisonnements et les calculs probabilistes (dans le cas de l'équiprobabilité ou non) mettent tout particulièrement en avant le domaine 4 (les systèmes naturels et les systèmes techniques), notamment en ce qui concerne la capacité à modéliser, à argumenter et à interpréter une situation. La compréhension ou la conception de programmes ainsi que l'utilisation d'un tableur relèvent du domaine 1 (les langages pour penser et communiquer) concernant les langages mathématiques et informatiques. Le domaine 2 (les méthodes et les outils pour apprendre) est également sollicité, notamment pour la recherche avec plus ou moins d'autonomie, le travail en groupes et la critique d'informations issues des médias.

Progressivité des apprentissages

Dès le début du cycle 4, des questions relatives au hasard sont abordées à partir de situations de la vie courante (jeux, achats, structures familiales, informations apportées par les médias, etc.). Les représentations initiales des élèves sont interrogées et des débats sont suscités, notamment grâce à des expérimentations qui peuvent donner lieu à recueil et traitement statistique des résultats. La perception naturelle du hasard peut être qualifiée dans un premier temps par des adjectifs (peu probable, probable, certain, ...) Ces débats et ces activités sont l'occasion, petit à petit, d'ordonner les probabilités, de quantifier le hasard sur une échelle de 0 à 1, d'introduire et de consolider le vocabulaire lié aux notions élémentaires de probabilités (expérience aléatoire, issue, probabilité). Les élèves calculent des probabilités en s'appuyant sur des conditions de symétrie ou de régularité qui fondent le modèle équiprobable. La stabilisation des fréquences peut être constatée à partir de la classe de quatrième. L'interprétation fréquentiste permet alors de contrôler a posteriori une hypothèse d'équiprobabilité ou d'approcher une probabilité inconnue, ce qui conduit à dépasser le modèle d'équiprobabilité mis en oeuvre en 5e.

Stratégies d'enseignement

Les élèves côtoient tous les jours l'incertitude et le hasard, mais pas forcément dans une perspective rationnelle. Il est essentiel de partir des représentations des élèves, parfois erronées, et d'« aborder les questions relatives au hasard à partir de situations issues de la vie courante ». La mise en œuvre graduée de l'enseignement des probabilités sur tout le cycle 4 doit permettre de :

* faire émerger les conceptions initiales des élèves de façon à lever les ambiguïtés, les malentendus (par exemple, « l'effet mémoire » conduisant à penser qu'après avoir obtenu six fois pile au jeu de pile ou face, la probabilité d'obtenir face est plus forte au septième lancer) qui font obstacle à la compréhension de l'approche mathématique de la notion de probabilité. Il s'agit de passer d'un hasard subi (dont on subit les effets : « on ne peut rien dire car c'est le hasard ») à un hasard construit auquel on peut rationnellement associer une quantification. Le rôle de la manipulation est essentiel ;

* prendre appui sur l'intuition de l'équiprobabilité pour quantifier le hasard ;

* faire observer des phénomènes aléatoires de manière rationnelle par le biais de protocoles expérimentaux ; les élèves seront invités à répéter des expériences aléatoires, à effectuer le relevé statistique des résultats, à les représenter afin d'appréhender peu à peu les régularités qui se font jour ;

* préparer la formalisation du langage probabiliste qui sera engagée au lycée. Sans développement théorique sur le modèle, les élèves devront être capables d'interpréter en contexte des probabilités proches de 0, proches de 1 ; savoir qu'une probabilité est un nombre compris entre 0 et 1, connaitre les propriétés des probabilités pour les événements incompatibles et contraires. La formalisation ensembliste n'est pas un attendu du programme. Comparer des probabilités permet de réinvestir et de consolider le travail sur les fractions et les pourcentages.

Différenciation

Les possibilités de différenciation peuvent notamment s'exercer :

* à partir de l'aide accordée aux élèves (par la possibilité de questionner le professeur, par un document complémentaire : indication, exemple fourni, par la possibilité d'utiliser le cahier de l'élève, un outil : calculatrice, tableur) ;

* en changeant la variable didactique. Par exemple, pour la question « quelle est la probabilité de tirer une boule rouge ? », on peut envisager, selon les élèves, des compositions d'urne différentes (urne 1 : 3 boules rouges et 4 vertes ; urne 2 : 3 boules rouges, 4 vertes, 2 bleues ; urne 3 : 3 boules rouges et n vertes) ;

* en variant la complexité des épreuves : épreuves simples (tirage d'une boule dans une urne) ou plus complexe (lancer de deux dés en même temps) ;

* sur l'utilisation du tableur et de la programmation, qui peut aller de l'interprétation d'un programme ou de son résultat, à la modification d'un code jusqu'à la création complète d'un programme.

Interdisciplinarité

Des liens sont possibles avec le programme de sciences de la vie et de la Terre pour des modélisations (exemple du modèle proies prédateurs) ou avec la géographie pour ce qui concerne la gestion des risques et les prévisions (par exemple la notion de crue centennale).