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Statistiques et probabilités

I Statistiques : Vocabulaire

A Vocabulaire de base

1. Définitions

Lorsque l'on réalise une enquête, on est amené à étudier des caractères propres à chaque individu.

L'ensemble des individus est appelé la population.

Le caractère peut être qualitatif (la couleur des cheveux, les sports pratiqués ou le type de film préféré) ou quantitatif (la taille, l'âge, le temps passé devant la télévision).

L'ensemble des données collectées s'appelle une série statistique. Avant traitement, elle est appelée série brute.

2. Effectifs : définition et calcul

Le nombre total d'individus de la population est appelé effectif total de la série.

Le nombre d'individus qui possèdent un même caractère est appelé effectif du caractère.

3. Fréquences : définition et calcul

La fréquence d'une valeur est le quotient :

effectif de la valeur effectif total

Elle peut être exprimée sous forme décimale (exacte ou approchée) ou fractionnaire.
C'est un nombre entre 0 et 1.

La fréquence en pourcentage est l'écriture de la fréquence sous forme de pourcentage:

"effectif de la valeur" "effectif total" ×100

B. Représenter et lire des données

1. Définitions

Un tableau permet de regrouper et d'organiser des données, de lire et d'interpréter facilement des informations.

Si on étudie un caractère quantitatif, on peut regrouper les données par classes pour limiter la taille du tableau de données. On détermine alors les effectifs de chaque classe.

2. Exercice témoin. D'après l’exercice 3 du Brevet Pondichéry 2007

Voici les résultats au lancer de javelot lors d’un championnat d’athlétisme.
Les longueurs sont exprimées en mètres :

36 42 37 43 38 44 32 40 44 36 46 39 40 40 41 41 45 37 43 43 46 39 44 47 48
  1. Compléter le tableau suivant :
    Longueur ℓ du lancer (en mètres) 30 ≤ ℓ < 35 35 ≤ ℓ < 40 40 ≤ ℓ < 45 45 ≤ ℓ < 50 Total
    Nombre de sportifs
    Fréquence
    Fréquence en pourcentage
  2. Quel est le pourcentage de sportifs ayant lancé au moins à 40 mètres ?

1

Longueur ℓ du lancer (en mètres) 30 ≤ ℓ < 35 35 ≤ ℓ < 40 40 ≤ ℓ < 45 45 ≤ ℓ < 50 Total
Nombre de sportifs 1 6 12 6 25
Fréquence 0,04 0,24 0,48 0,24 1
Fréquence en pourcentage 4 % 24 % 48 % 24 % 100 %

2.

Il suffit d'additionner les pourcentages des deux dernières classes dans la ligne "Fréquence en pourcentage" du tableau :

48 + 24 = 72

Le pourcentage de sportifs ayant lancé au moins à 40 mètres est 72%

Compètences : Organisation et gestion de données, fonctions

  • Lire et compléter un tableau statistique avec effectifs, fréquences et pourcentages.
  • Calculer une fréquence à partir d’un effectif.
  • Interpréter un tableau avec données groupées par classe pour répondre à des questions simples.
Auto evaluation

3. Représentations :

Dans un diagramme circulaire (ou semi-circulaire), les mesures des angles au centre sont proportionnelles aux quantités représentées. Dans un diagramme en barres (ou en bâtons), les hauteurs des bâtons sont proportionnelles aux quantités représentées.
Pour représenter une situation, il existe plusieurs types de représentations 

Longueur ℓ du lancer (en mètres) 30 ≤ ℓ < 35 35 ≤ ℓ < 40 40 ≤ ℓ < 45 45 ≤ ℓ < 50 Total
Nombre de sportifs 1 6 12 6 25
Fréquence 0,04 0,24 0,48 0,24 1
Fréquence en pourcentage 4 % 24 % 48 % 24 % 100 %
  1. Représente ces données sous la formes d'un histogramme.

3.

Compètences : Organisation et gestion de données, fonctions

  • Lire ou construire un histogramme à partir d’un tableau statistique.
Auto evaluation

4. Moyenne d'une série statistique

Si x1, x2, ..., xp représentent les valeurs du caractère de la série, et M la moyenne de cette série statistique, on a alors :

M = x1+x2+...+xp p

Remarque :

Si les données sont regroupées par classe, on choisit une valeur de l'intervalle pour effectuer le calcul de la moyenne. Classiquement, on prend la valeur centrale de la classe.

Longueur ℓ du lancer (en mètres) 30 ≤ ℓ < 35 35 ≤ ℓ < 40 40 ≤ ℓ < 45 45 ≤ ℓ < 50 Total
Nombre de sportifs 1 6 12 6 25
Fréquence 0,04 0,24 0,48 0,24 1
Fréquence en pourcentage 4 % 24 % 48 % 24 % 100 %
Valeur centrale 32,5 -
  1. En utilisant les valeurs centrales, calculer la longueur moyenne d’un lancer.

4.

Longueur ℓ du lancer (en mètres) 30 ≤ ℓ < 35 35 ≤ ℓ < 40 40 ≤ ℓ < 45 45 ≤ ℓ < 50 Total
Nombre de sportifs 1 6 12 6 25
Fréquence 0,04 0,24 0,48 0,24 1
Fréquence en pourcentage 4 % 24 % 48 % 24 % 100 %
Valeur centrale 32,5 37,5 42,5 47,5

La longueur moyenne (estimée) du lancer est :

1 × 32,5 + 6 × 37,5 + 12 × 42,5 + 6 × 47,5 25 = 1 052,5 25 = 42,1 m

Compètences : Organisation et gestion de données, fonctions

  • Estimer la moyenne d’une série statistique à partir d’un tableau de classes, en utilisant les valeurs centrales.
Auto evaluation

5. Calculer une médiane

La médiane m d'une série dont les valeurs sont ordonnées est la plus petite valeur telle qu'il y ait au moins la moitié de l'effectif inférieur à cette valeur.

6. Calculer une étendue

L'étendue d'une série est la différence entre la plus grande et la plus petite des valeurs prises par cette série.

Voici à nouveau, les résultats au lancer de javelot lors d’un championnat d’athlétisme.
Les longueurs sont exprimées en mètres :

36 42 37 43 38 44 32 40 44 36 46 39 40 40 41 41 45 37 43 43 46 39 44 47 48
  1. Quel est le lancer médian ?
  2. Quelle est l'étendue ?
  1. Quel est le lancer médian ?

    Il y a 25 lancers au total, donc la médiane est la 13e valeur lorsque les données sont rangées par ordre croissant.

    Valeurs triées : 32, 36, 36, 37, 37, 38, 39, 39, 40, 40, 40, 41, 41, 42, 43, 43, 43, 43, 44, 44, 44, 45, 46, 46, 47, 48

    La 13e valeur est 41, donc le lancer médian est 41 m.

  2. Quelle est l’étendue ?

    L'étendue est 48 – 32 = 16 m.

Compètences : Organisation et gestion de données, fonctions

  • Déterminer la médiane d’une série statistique.
  • Calculer l’étendue d’une série statistique.
Auto evaluation

II. Probabilités.

A. Avant propos

Les probabilités sont une branche des mathématiques qui s'intéresse à quantifier l'incertitude liée à des événements futurs. Elles nous permettent d'évaluer la chance qu'un événement particulier se produise.

Pourquoi combiner statistiques et probabilités ?

Statistiques:

Elles s'intéressent à la collecte, à l'organisation, à l'analyse et à l'interprétation de données numériques. Elle permet de décrire des populations et d'identifier des tendances.

Probabilités:

Elles étudient le hasard et l'incertitude, en quantifiant la probabilité qu'un événement se produise. Elle sert à modéliser des phénomènes aléatoires.

Ensemble:

En combinant ces deux approches, on peut non seulement décrire des données existantes, mais aussi prédire des événements futurs et prendre des décisions éclairées en tenant compte de l'incertitude.

B. Expérience aléatoire

Une expérience aléatoire est une expérience qu'on peut répéter, dont le résultat ne peut être prédit avec certitude avant sa réalisation, même si l'ensemble des résultats possibles est connu.

Par exemple :

C. Issues d'une expérience aléatoire

Une issue est tout résultat possible d'une expérience aléatoire. C'est le résultat concret que l'on obtient lorsqu'on réalise une fois l'expérience.

Exemples détaillés

1. Lancer un dé à six faces:
2. Tirer une carte dans un jeu de 52 cartes:
3. Lancer une pièce de monnaie:

D. Événement d'une expérience aléatoire

Un événement d'une expérience aléatoire est un regroupement de plusieurs issues qui nous intéresse particulièrement.

Exemples détaillés

1. Lancer un dé à six faces:

L'événement "obtenir un nombre pair" est composé de 3 issues (Obtenir 2, obtenir 4 et obtenir 6)

2. Tirer une carte dans un jeu de 52 cartes:

L'événement "Obtenir un roi" est composé de 4 issues. Obtenir l'un des quatre rois : R♣ R♠ R♥ R♦

3. Lancer une pièce de monnaie:
L' événement "Obtenir Pile" est composé d'une seule issue !

Ce genre d'événement qui ne contient qu'une seule issue est appelé événement élémentaire.

E. Probabilité d'un événement.

La probabilité d'un événement est une mesure numérique qui exprime la chance que cet événement se produise lors d'une expérience aléatoire. Elle est comprise entre 0 et 1 :

  • 0: l'événement est impossible (il ne se produira jamais).
  • 1: l'événement est certain (il se produira à coup sûr).
  • Entre 0 et 1: l'événement est incertain, et la valeur de la probabilité indique sa "vraisemblance"

F. Équiprobabilité

L'équiprobabilité est une notion fondamentale en théorie des probabilités qui décrit une situation où toutes les issues d'une expérience aléatoire ont exactement la même chance de se produire.

On ne s'intéressera cette année qu'aux expériences aléatoires en situation d'équiprobabilité.

Exemples détaillés

1. Lancer un dé à six faces:

Chaque issue à une chance sur 6 de se réaliser.

On écrira par exemple:

p(5) = 1 6

pour dire que la probabilté de faire un 5 (événement élémentaire) est 1 6

En cas d'équiprobabilité, la probabilité d'un événement est égale au quotient du nombre d'issues favorables par le nombre d'issues total

P(un événement) = nombre d'issues favorables nombre d'issues total

Ainsi la propabilité de faire un nombre pair est 3 = 1 = 0,5

2. Tirer une carte dans un jeu de 52 cartes:

La probabilité de tirer un roi est 4 52 = 1 13 ≈ 0,08

G. Exercices témoins

Exercice 1 : Arbre de probabilité

Une urne contient deux boules vertes, cinq boules grises et une boule bordeaux, indiscernables au toucher.

On tire successivement, et sans remise, deux boules.

  1. Schématise l'arbre des probabilités en faisant apparaître sur chaque branche les probabilités évidentes.
  2. Quelle est la probabilité de tirer une boule verte au premier tirage ?
  3. Quelle est la probabilité de tirer une boule bordeaux au deuxième tirage ?
  1. Il y a deux boules vertes sur un total de 8 boules.

    La probabilité de tirer une boule verte au premier tirage est donc :

    28 = 14 = 0,25

  2. Probabilité de tirer une boule bordeaux au 2ème tirage :

    28 × 17 + 58 × 17 =

    256 + 556 =

    756 = 18 = 0,125 = 12,5%

Auto evaluation

Exercice 2 : Probabilité et tableaux à doubles entrées.

🎲 Exercice – Probabilités et tableau à double entrée

Un collège propose deux activités aux élèves de 3e pour une sortie de fin d’année : canoë ou randonnée. Les élèves doivent choisir leur activité préférée.

On interroge un échantillon de 80 élèves. On distingue les filles et les garçons. Les résultats sont regroupés dans le tableau ci-dessous :

  Canoë Randonnée Total
Filles 18 22 ?
Garçons 28 ? 40
Total ? ? 80
  1. Compléter le tableau.
  2. On choisit un élève au hasard parmi les 80 interrogés.
    1. Quelle est la probabilité que cet élève soit une fille ?
    2. Quelle est la probabilité que cet élève ait choisi le canoë ?
    3. Quelle est la probabilité que ce soit un garçon ayant choisi la randonnée ?
  3. On choisit un élève parmi ceux qui ont choisi le canoë. Quelle est la probabilité que ce soit une fille ?

✅ Correction – Probabilités et tableau à double entrée

1. Complétons le tableau :

L’effectif total est 80 élèves, dont 40 garçons.

Donc le nombre de filles est :

80 − 40 = 40

Il y a 40 filles.

Parmi les filles, 18 ont choisi le canoë et 22 la randonnée, ce qui correspond bien au total de 40.

Parmi les 40 garçons, 28 ont opté pour le canoë.

40 − 28 = 12

12 garçons ont choisi la randonnée.

8 + 28 = 46

Le nombre d'élèves ayant choisi le canoë est 46.

22 + 12 = 34

Le nombre d'élèves ayant choisi la randonnée est 34.

  Canoë Randonnée Total
Filles 18 22 40
Garçons 28 12 40
Total 46 34 80

2. Probabilités parmi les 80 élèves :

  1. Être une fille :

    4080 = 12 = 0,5

  2. Avoir choisi le canoë :

    4680 = 2340 = 0,575

  3. Être un garçon ayant choisi la randonnée :

    1280 = 320 = 0,15

3. Probabilité d’être une fille parmi ceux qui ont choisi le canoë :

Sur les 46 élèves ayant choisi le canoë, 18 sont des filles:

1846 = 923 ≈ 0,39

Auto evaluation

Officiel

Au cycle 4, un travail sur le hasard est engagé. Il vise à repérer les représentations initiales que les élèves s'en font, à les dépasser dans une perspective rationnelle pour aboutir à la notion de probabilité qui quantifie l'attente d'un événement dont la réalisation est considérée comme dépendante du hasard.

Attendus de fin de cycle 4

  • Lire, interpréter et construire quelques représentations de données : tableaux, diagrammes (diagrammes en bâtons, circulaires, histogrammes).
  • Interpréter les données d'une série statistique à l’aide de paramètres : moyenne, étendue, médiane.
  • Calculer la fréquence d’un événement dans une situation simple.
  • Utiliser la notion de probabilité dans des contextes familiers ou expérimentaux.

Compétences mathématiques mobilisées

  • Organiser et traiter des données : lecture, construction, interprétation de représentations graphiques.
  • Raisonner à partir de données : tirer une conclusion, anticiper un résultat, vérifier une conjecture.
  • Communiquer : utiliser un vocabulaire précis (fréquence, médiane, probabilité, événement, etc.).

Statistiques

  • Recueillir des données, les organiser.
  • Lire des données sous forme brute, en tableaux ou graphiques.
  • Calculer des effectifs, des fréquences.
  • Utiliser les représentations graphiques usuelles : diagrammes en bâtons, circulaires, histogrammes.
  • Calculer et interpréter des caractéristiques de position et de dispersion : moyenne, médiane, étendue.

Progressivité des apprentissages

Dès le début du cycle 4, des questions relatives au hasard sont abordées à partir de situations de la vie courante (jeux, achats, médias…). La perception naturelle du hasard peut être qualifiée par des adjectifs : peu probable, probable, certain, etc.

Ces activités permettent d’introduire peu à peu les notions de probabilité, de les ordonner et de les quantifier sur une échelle de 0 à 1. L’interprétation fréquentiste permet de dépasser le modèle équiprobable dès la 4e.

Le lien entre expérience aléatoire et probabilité est construit progressivement. L’approche utilisée privilégie les expériences concrètes (tirage dans une urne, lancers de dés, etc.). Elle débouche sur l’interprétation fréquentiste, avec des comparaisons de fréquences obtenues expérimentalement. Ce lien est renforcé par le recours à des outils tels que le tableur ou la programmation.

Remarques didactiques

La prise en compte des conceptions initiales des élèves sur le hasard est importante. L'effet mémoire dans les jeux de pile ou face, les idées fausses comme « il n’est pas tombé depuis longtemps » sont fréquentes. Il est donc utile de créer du conflit cognitif à partir de jeux, simulations, situations ludiques.

Le recours à l’équiprobabilité permet une première approche du calcul de probabilité par dénombrement. Mais il est important de ne pas s’y limiter. L’étude de cas non équiprobables (urnes déséquilibrées, biais, etc.) permet d’approfondir la notion.

Les probabilités permettent également de travailler les grandeurs (longueur, aire, volume) dans le cadre de tirages aléatoires sur des supports géométriques.

Différenciation pédagogique

  • Proposer des activités à plusieurs niveaux d’entrée (du simple tirage au tableur automatisé).
  • Favoriser la manipulation ou la simulation pour les élèves en difficulté.
  • Utiliser les outils numériques pour aider à généraliser (programmation de simulations, histogrammes dynamiques).
  • Permettre la verbalisation par les élèves pour travailler le lexique spécifique (événement, probabilité, fréquence, etc.).

Lien avec le socle commun

Les activités autour des statistiques et probabilités permettent de mobiliser :

  • Le domaine 1 : s’exprimer oralement, à l’écrit, utiliser un langage mathématique.
  • Le domaine 2 : travailler de manière autonome, coopérer, utiliser des outils numériques.
  • Le domaine 3 : raisonner avec rigueur, s’informer, faire preuve d’esprit critique.
  • Le domaine 4 : modéliser une situation, simuler un phénomène, interpréter un résultat.

Interdisciplinarité

  • Sciences (modélisation aléatoire, génétique, expérimentation).
  • Technologie (capteurs, objets programmables, données expérimentales).
  • Géographie (cartes de risques, données démographiques, probabilités de catastrophes naturelles).

Ressources officielles

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